第二章 函数（单元测试·提升卷）数学北师大版2019必修第一册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一数学单元检测卷 第二章 函数·提升通关 建议用时：120分钟，满分：150分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 2．下列各组函数是同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 3．已知函数在上具有单调性，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．定义运算“”：，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 5．已知幂函数，当取不同的正数时，在区间上它们的图象是一族曲线（如图）.设点，，连接，线段恰好被其中的两个幂函数，的图象三等分，即有，那么（   ） A． B． C．1 D．3 6．已知函数是奇函数，且在区间上的最大值为2，则（    ） A．2或 B． C．3 D．3或 7．已知，关于的方程在上有实数解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数是定义域为的奇函数，且，若对任意的，，且，都有成立，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数若，则a的值可能为（   ） A． B． C． D． 10．形如的函数，我们称之为“对勾函数”.“对勾函数”具有如下性质：该函数在上单调递减，在上单调递增.已知函数在区间上的最大值比最小值大，则实数a的值可以是（   ） A．2 B．14 C． D． 11．定义，设，则（    ） A．有最大值，无最小值 B．当，的最大值为 C．不等式的解集为 D．的单调递增区间为 第二部分（非选择题 共92分） 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设，则的值为 . 13．已知函数，若，，且，则的最小值是 ． 14．“高斯函数”为：对于实数，符号表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如，，定义函数，则下列命题中正确的序号是 . ①函数的最大值为；②函数的最小值为； ③函数的图象与直线有无数个交点；④. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知是定义在R上的偶函数，当时，. (1)求函数在R上的解析式； (2)若函数在区间上单调递增，求实数m的取值范围. 16． （15分） 已知函数，且，. (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性并用单调性的定义证明你的判断； (3)若不等式恒成立，求的取值范围. 17． （15分） 已知函数是定义在上的增函数，并且满足，． (1)求和的值； (2)判断函数的奇偶性； (3)解关于的不等式 18． （17分） 已知幂函数在上单调递减. (1)求的值并写出的解析式； (2)已知，，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围. 19．（17分） 设函数在区间D上有定义，若对任意，都存在使得：，则称函数在区间D上具有性质 (1)判断函数在R上是否具有性质，并说明理由; (2)若函数在区间上具有性质，求实数a的取值范围; (3)设，若存在唯一的实数m，使得函数在上具有性质，求t的值. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学单元检测卷 第二章 函数·提升通关 建议用时：120分钟，满分：150分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数解析式的结构得到不等式组，求解即得. 【详解】有意义，等价于， 解得且，故函数的定义域为. 故选：C. 2．下列各组函数是同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】函数相等的充要条件是对应法则、定义域相同，由此逐一判断各个选项即可得解. 【详解】对于A，与的定义域分别为，故A错误； 对于B，与的定义域分别为，故B错误； 对于C，与的定义域都是，且，故C正确； 对于D，与的定义域分别为，故D错误. 故选：C. 3．已知函数在上具有单调性，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对称轴与区间的关系构造不等式求解即可. 【详解】由题意二次函数对称轴为：， 要使得函数在上具有单调性， 需满足或， 得或， 则k的取值范围为． 故选：B 4．定义运算“”：，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求得函数为，再分段求值域即可. 【详解】由，可得， 所以， 当时，， 当时，在上单调递增，所以， 当时，在上单调递减，所以， 所以的值域为. 故选：A. 5．已知幂函数，当取不同的正数时，在区间上它们的图象是一族曲线（如图）.设点，，连接，线段恰好被其中的两个幂函数，的图象三等分，即有，那么（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】C 【分析】根据三等分关系求出坐标，，即可求出对应幂函数得解析式，解出的值. 【详解】由题得：点，，， 所以，，分别代入，， 因为，， 所以. 故选：C. 6．已知函数是奇函数，且在区间上的最大值为2，则（    ） A．2或 B． C．3 D．3或 【答案】D 【分析】通过可得的值，判断出的单调性，列出关于的方程解出即可. 【详解】由题可知，即， 则，，所以. 因为在区间上单调递增，所以， 解得或. 故选：D. 7．已知，关于的方程在上有实数解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将方程的根看为两个函数定区间内交点的问题，分别由反比例函数与二次函数的单调性计算即可. 【详解】关于的方程在上有实数解， 即函数在上有交点， 因为，所以在上单调递增， 易知在上单调递减， 所以要满足题意需，即， 解之得. 故选：B 【点睛】思路点睛：将方程有解看为两函数有交点，利用单调性列不等式组计算即可. 8．已知函数是定义域为的奇函数，且，若对任意的，，且，都有成立，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由在单调递增，又结合为奇函数得出上递增，再由等价于或，即可求解集. 【详解】对任意的，，且，都有成立，所以在单调递增， 又因为函数是定义域为的奇函数，所以在单调递增， 由， 当时，，即； 当时，，即； 由可得. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数若，则a的值可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】先设，求出的值，再根据的值求出的值. 【详解】先设 , 当时，，解得或（舍去，因为）. 当时，，解得.   再根据的值求的值， 当时： 若，则，，此方程无实数解. 若，则，解得（舍去，因为）.   当时： 若，则，，，解得. 若，则，解得.    综上所得，的值可能为或. 故选：BD. 10．形如的函数，我们称之为“对勾函数”.“对勾函数”具有如下性质：该函数在上单调递减，在上单调递增.已知函数在区间上的最大值比最小值大，则实数a的值可以是（   ） A．2 B．14 C． D． 【答案】AC 【分析】根据题设“对勾函数”的性质讨论参数a的范围，结合最值之差列方程求参数，即可得答案. 【详解】由题意，若时，有，可得，满足； 若时，有： ，则，可得，不满足； ，则，可得（舍）或， 所以，此时，满足； 若时，有，可得，不满足； 综上，或. 故选：AC 11．定义，设，则（    ） A．有最大值，无最小值 B．当，的最大值为 C．不等式的解集为 D．的单调递增区间为 【答案】BC 【分析】作出函数图象，根据图象逐项判断即可. 【详解】作出函数的图象，如图所示： 对于A，根据图象，可得无最大值，也无最小值，故A错误； 对于B，由图可知当，的最大值为，可得B正确； 对于C，由解得，并结合图象可得不等式的解集为，可得C正确； 对于D，由图可得，的单调递增区间为，故D错误. 故选：BC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设，则的值为 . 【答案】11 【分析】代入分段函数，结合分段函数自变量范围，逐步求出函数值. 【详解】. 故答案为：. 13．已知函数，若，，且，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】求出，得到，根据函数的奇偶性，得到，利用基本不等式“1”的代换求解即可. 【详解】函数的定义域为， 因为， 所以为奇函数， 由，得， 则，则， 又，， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值是. 故答案为：. 14．“高斯函数”为：对于实数，符号表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如，，定义函数，则下列命题中正确的序号是 . ①函数的最大值为；②函数的最小值为； ③函数的图象与直线有无数个交点；④. 【答案】②③④ 【分析】根据高斯函数的定义可得解析式，画出图形，根据函数图象逐个命题判断即可. 【详解】由题意得：， 由解析式可得函数图形如下图所示， 对于①，函数，①错误； 对于②：函数的最小值为，②正确； 对于③，函数的图象与直线有无数个交点，③正确； 对于④，由图象函数满足， 也可利用定义推导，，④正确； 故答案为：②③④ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知是定义在R上的偶函数，当时，. (1)求函数在R上的解析式； (2)若函数在区间上单调递增，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数是偶函数结合分段函数解析式求解； （2）根据函数单调性列不等式计算求参. 【详解】（1）由题意知是定义在R上的偶函数，当时，. 故当时，， 故函数在R上的解析式为； （2）作出函数的图象如图： 结合图象可得，若函数在区间上单调递增， 需满足，即. 16．（15分）已知函数，且，. (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性并用单调性的定义证明你的判断； (3)若不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2)在上的单调递增；证明见解析 (3) 【分析】（1）由已知可得，计算即可求得的解析式； （2）函数在上单调递增，利用单调性的定义即可证明； （3）求得，利用单调性可得，求解即可. 【详解】（1）因为函数，且，， 所以，解得，所以； （2）函数在上单调递增，理由如下： ，且， ， 因为，，所以，， 所以，所以，所以， 所以在上的单调递增； （3）由（1）可得，解得，解得或， 所以， 又因为，由，可得， 由（2）可知在上的单调递增； 所以，解得或， 所以的取值范围为. 17．（15分）已知函数是定义在上的增函数，并且满足，． (1)求和的值； (2)判断函数的奇偶性； (3)解关于的不等式 【答案】(1)， (2)奇函数 (3) 【分析】（1）通过赋值法来确定函数的特殊值； （2）根据奇偶性的定义判断函数的奇偶性； （3）运用函数奇偶性，结合函数的单调性求解不等式即可. 【详解】（1）令，得，解得． ，； （2）因为函数的定义域为R，， 令，则有，，即， ∴函数为奇函数； （3）因为，所以， 又因为， 即由，则， 即， 又因为为增函数，所以，解得， 故x的取值范围为． 18．（17分）已知幂函数在上单调递减. (1)求的值并写出的解析式； (2)已知，，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2)或. 【分析】（1）由条件得到求解即可； （2）由条件得到的值域为值域的子集.再分类讨论求解； 【详解】（1）因为幂函数在上单调递减， 所以 解得：， 所以. （2）， 当时，， 易得的值域为. ，总存在，使， 的值域为值域的子集. ， ①当时，， 则； ②当时，， 则； ③当时，，不符合题意. 综上，或. 19．（17分）设函数在区间D上有定义，若对任意，都存在使得：，则称函数在区间D上具有性质 (1)判断函数在R上是否具有性质，并说明理由; (2)若函数在区间上具有性质，求实数a的取值范围; (3)设，若存在唯一的实数m，使得函数在上具有性质，求t的值. 【答案】(1)函数在R上不具有性质，理由见解析 (2) (3)或 【分析】（1）求出指数函数的定义域，根据特例，判断函数在R上是否具有性质； （2）根据函数在区间上具有性质得到和的关系，求出的取值范围； （3）设，求出的表达式，求出的范围，分和两种情况求解. 【详解】（1）指数函数在R上不具有性质， 理由如下：指数函数的定义域为R， 对于，，因为，， 所以不存在，满足， 因此函数在R上不具有性质； （2）因为函数在区间上具有性质， 所以对于任意，都存在， 使得，即， 因为，所以， 得； （3）设， 若函数在上具有性质， 则对任意，都存在，使得， 即，因为， 所以，所以， ①当时，， 因为，所以且， 即，因为m唯一， 所以，得 ②当时， 因为，所以且， 即，因为m唯一，所以， 得，综上，t的值为或 【点睛】关键点点睛：本题（3）关键在于，求出的表达式，求出的范围. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学单元检测卷 第二章 函数·提升通关（参考答案） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C C B A C D B D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BD AC BC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．11 13． 14．②③④ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） (1)(2) 【详解】（1）由题意知是定义在R上的偶函数，当时，. 故当时，，（4分） 故函数在R上的解析式为；（6分） （2）作出函数的图象如图： （9分） 结合图象可得，若函数在区间上单调递增， 需满足，（12分） 即.（13分） 16．（15分）(1) (2)在上的单调递增；证明见解析 (3) 【详解】（1）因为函数，且，， 所以，解得，（2分） 所以；（3分） （2） 函数在上单调递增，（4分） 理由如下：，且，（5分） ，（7分） 因为，，所以，， 所以，所以，所以，（9分） 所以在上的单调递增；（10分） （3）由（1）可得，解得，解得或， 所以，（12分） 又因为，由，可得，（13分） 由（2）可知在上的单调递增； 所以，解得或， 所以的取值范围为.（15分） 17．（15分）(1)， (2)奇函数 (3) 【详解】（1）令，得，解得．（2分） ，；（4分） （2）因为函数的定义域为R，， 令，则有，，即，（6分） ∴函数为奇函数；（7分） （3）因为，所以，（9分） 又因为，（10分） 即由，则，（12分） 即， 又因为为增函数，所以，解得，（14分） 故x的取值范围为．（15分） 18．（17分）(1)， (2)或. 【详解】（1）因为幂函数在上单调递减， 所以 （3分） 解得：， 所以.（5分） （2），（6分） 当时，，（8分） 易得的值域为. ，总存在，使， 的值域为值域的子集.（10分） ， ①当时，， 则；（13分） ②当时，， 则；（16分） ③当时，，不符合题意. 综上，或.（17分） 19．（17分）(1)函数在R上不具有性质，理由见解析 (2) (3)或 【详解】（1）指数函数在R上不具有性质，（1分） 理由如下：指数函数的定义域为R， 对于，，因为，， 所以不存在，满足， 因此函数在R上不具有性质；（4分） （2）因为函数在区间上具有性质， 所以对于任意，都存在， 使得，即，（6分） 因为，所以， 得；（9分） （3）设， 若函数在上具有性质， 则对任意，都存在，使得， 即，因为， 所以，所以，（12分） ①当时，， 因为，所以且， 即，因为m唯一， 所以，得（14分） ②当时， 因为，所以且， 即，因为m唯一，所以， 得，（16分） 综上，t的值为或（17分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高一数学单元检测卷 第二章 函数·提升通关 建议用时：120分钟，满分：150分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 2．下列各组函数是同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 3．已知函数在上具有单调性，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．定义运算“”：，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 5．已知幂函数，当取不同的正数时，在区间上它们的图象是一族曲线（如图）.设点，，连接，线段恰好被其中的两个幂函数，的图象三等分，即有，那么（   ） A． B． C．1 D．3 6．已知函数是奇函数，且在区间上的最大值为2，则（    ） A．2或 B． C．3 D．3或 7．已知，关于的方程在上有实数解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数是定义域为的奇函数，且，若对任意的，，且，都有成立，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数若，则a的值可能为（   ） A． B． C． D． 10．形如的函数，我们称之为“对勾函数”.“对勾函数”具有如下性质：该函数在上单调递减，在上单调递增.已知函数在区间上的最大值比最小值大，则实数a的值可以是（   ） A．2 B．14 C． D． 11．定义，设，则（    ） A．有最大值，无最小值 B．当，的最大值为 C．不等式的解集为 D．的单调递增区间为 第二部分（非选择题 共92分） 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设，则的值为 . 13．已知函数，若，，且，则的最小值是 ． 14．“高斯函数”为：对于实数，符号表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如，，定义函数，则下列命题中正确的序号是 . ①函数的最大值为；②函数的最小值为； ③函数的图象与直线有无数个交点；④. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知是定义在R上的偶函数，当时，. (1)求函数在R上的解析式； (2)若函数在区间上单调递增，求实数m的取值范围. 16． （15分） 已知函数，且，. (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性并用单调性的定义证明你的判断； (3)若不等式恒成立，求的取值范围. 17． （15分） 已知函数是定义在上的增函数，并且满足，． (1)求和的值； (2)判断函数的奇偶性； (3)解关于的不等式 18． （17分） 已知幂函数在上单调递减. (1)求的值并写出的解析式； (2)已知，，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围. 19．（17分） 设函数在区间D上有定义，若对任意，都存在使得：，则称函数在区间D上具有性质 (1)判断函数在R上是否具有性质，并说明理由; (2)若函数在区间上具有性质，求实数a的取值范围; (3)设，若存在唯一的实数m，使得函数在上具有性质，求t的值. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $