学易金卷：九年级数学上学期第一次月考（重庆专用，人教版）

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题4分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题4分，共24分） 11．____________________ 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 15．____________________ 16．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（本大题共9个小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（8分） (1)； (2) 18．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19． （10分） 20．（10分） 八年级抽取的学生成绩扇形统计图： 七、八年级抽取的学生成绩统计表： 平均数 中位数 众数 七年级 79 82 b 八年级 79 a 82 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（10分） 22．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（10分） 24．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版2012八年级下册 第十六章~九年级上册第二十二章。 第一部分（选择题 共40分） 1、 选择题：本题共10小题，每小题10分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列各组数中，能构成直角三角形的一组数是（   ） A．1，2，3 B．5，， C．1，1，2 D．4，6，8 2．下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 3．估计的运算结果应在（    ） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 4．直线经过第一、二、四象限，则直线的图象只能是图中的（　　） A．B． C． D． 5．一组数据 2 、4 、5 、6 、5 ，对该组数据描述正确的是（       ） A．平均数是4.5 B．中位数是5 C．众数是4 D．方差是9.2 6．如图，在菱形中，、是对角线，．若，则的长是（   ） A．4 B．5 C．6 D．10 7．将抛物线向下平移个单位，那么所得新抛物线的表达式是（　　） A． B． C． D． 8．如图，在中，，．若点在边上移动，则的最小值是（    ） A．3.6 B．4 C．4.5 D．4.8 9．如图，四边形是正方形，点在边上，且，作分别交，于点，；，分别是，的中点，则的值为（   ） A． B． C． D． 10．已知两个非零实数，按规则进行运算，运算的结果记为，称此为一次操作；再从中任选两个数，按同样规则操作一次得到的数记为；再从中任选两个数，按同样规则操作一次得到的数记为，依次进行下去，以下结论正确的个数为（    ） ①若为方程的两个根，则； ②若，则； ③若，要使得成立，则至少为5． A．0 B．1 C．2 D．3 第二部分（非选择题 共110分） 2、 填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．关于的一元二次方程有一个根是，则的值是 ． 12．二次函数经过点和，则这个二次函数的对称轴是直线 ． 13．已知一次函数图像上有三个点则大小关系 ． 14．一次演讲比赛中，评委将从演讲内容、演讲能力两个方面为选手打分．各项成绩均按百分制计，然后再按演讲内容占、演讲能力占，计算选手的综合成绩（百分制）．进入决赛的前两名选手的单项成绩如下表所示，则综合成绩最高的选手是 ． 选手 演讲内容 演讲能力 甲 90 85 乙 85 95 15．如图，在矩形中，，对角线，点，分别是线段，上的点，将沿直线折叠，点，分别落在点，处．当点落在折线上，且时，的长为 ．    16．若是正整数，除以的余数为，则称是“阿二数”．例如：是正整数，，则是“阿二数”；是正整数，且，则不是“阿二数”，对于任意四位正整数，的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为．有一个四位正整数是“阿二数”，的千位数字比百位数字少，十位数字与个位数字的和为，且为有理数，则满足条件的的值为 ． 3、 解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（8分）用适合的方法解下列方程： (1)； (2) 18．（8分）在学习了平行四边形的相关知识以后，某数学兴趣小组进行了更深入的探究与思考．如图所示，四边形是平行四边形，对角线交于点E，，交于点F． (1)用无刻度直尺和圆规作在下方作，使得，且射线交的延长线于点G，连接（不写作法，保留作图痕迹）； (2)试探究四边形的形状，并按下列思路完成填空． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴对角线互相平分，即． 又∵ ①， ∴为的中位线， ∴ ②． ∵， ③， ∴， ∴ ④． 又， ∴， ∴四边形是平行四边形． 19． （10分）先化简，再求值：，其中 20．（10分）为了在青少年中推动法制教育与法治实践、道德教育有机结合，充分调动广大青少年学法守法用法的积极性和自觉性，增强青少年法制宣传教育的针对性、时效性和有效性，某校组织了法律知识主题大赛．从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的成绩（百分制，单位：分）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A．B．；C．；D．）．下面给出了部分信息： 七年级10名学生的成绩是： 八年级10名学生的成绩在C组中的数据是：． 八年级抽取的学生成绩扇形统计图： 七、八年级抽取的学生成绩统计表： 平均数 中位数 众数 七年级 79 82 b 八年级 79 a 82 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：______，______，______； (2)根据以上数据．你认为该校七年级和八年级中哪个年级学生掌握法律知识较好？请说明理由（一条即可）； (3)已知该校七年级有680人，八年级有850人参加了此次主题大赛活动，请估计两个年级参加该活动的成绩不低于80分的共有多少人？ 21．（10分）在矩形中，，点是边的中点．动点以每秒1个单位的速度从出发，按的顺序在边上运动．设运动时间为秒，的面积为． (1)请直接写出关于的函数表达式； (2)在给定的直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)在图中已经画出了直线的图象，结合两函数图象，直接写出时自变量的取值范围．（结果保留一位小数，误差不超过） 22．（10分）如图，亮亮与洋洋分别住在M、Q两个不同的城市，他们约好一起去景区A地旅游，洋洋家在Q地，亮亮家所在的M地在Q地的南偏东方向的千米处，亮亮乘大巴从M地出发，导航显示大巴沿北偏东方向，以平均70千米/小时的速度行驶，10分钟后，洋洋乘出租车从Q地出发，导航显示沿北偏东的方向匀速行驶，亮亮与洋洋两同学同时到达景区A地． (1)亮亮同学从M地出发到达景区A地用了多长时间？ (2)求洋洋同学乘出租车的速度．（结果保留根号） 23．（10分）某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十八号”模型．今年9月份的销售量是件，11月份的销售量是720件． (1)若该网店9月份到11月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； (2)市场调查发现，该网店“神舟十八号”模型的进价为每件元，若售价为每件元，每天能销售件，售价每降价元，每天可多售出件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利元，则售价应降低多少元？ 24．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线交直线于点E，过点P作x轴的平行线交直线于点F，求面积的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，连接，，抛物线上是否存在点Q，使？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 25．（10分）如图，在四边形中，对角线、相交于点，，． (1)如图1，若，，，求四边形的面积． (2)如图2，点、点分别是、上的点，，点、点分别为、的中点，连接，为上一点，为延长线上一点，连接、，若，，，证明：； (3)如图3，过点作于点，是上一点，连接，作于点，交于点，，．当点在直线上运动时，将绕点顺时针旋转得，连接，，，若，当最小时，直接写出的面积． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$数学 第 1页（共 6页） 数学 第 2页（共 6页） 数学 第 3页（共 6页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 4分，共 40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题 4分，共 24分） 11．____________________ 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 15．____________________ 16．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（本大题共 9个小题，共 86分，解答应写出文字说明、证明 过程或演算步骤） 17．（8分） (1)  22 1 81x   ； (2)    2 3 3 3x x x   18．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 19．（10分） 20．（10分） 八年级抽取的学生成绩扇形统计图： 七、八年级抽取的学生成绩统计表： 平均数 中位数 众数 七年级 79 82 b 八年级 79 a 82 数学 第 4页（共 6页） 数学 第 5页（共 6页） 数学 第 6页（共 6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（10分） 22．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（10分） 24．（10分） 25．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版2012八年级下册 第十六章~九年级上册第二十二章。 第一部分（选择题 共40分） 1、 选择题：本题共10小题，每小题10分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列各组数中，能构成直角三角形的一组数是（   ） A．1，2，3 B．5，， C．1，1，2 D．4，6，8 2．下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 3．估计的运算结果应在（    ） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 4．直线经过第一、二、四象限，则直线的图象只能是图中的（　　） A．B． C． D． 5．一组数据 2 、4 、5 、6 、5 ，对该组数据描述正确的是（       ） A．平均数是4.5 B．中位数是5 C．众数是4 D．方差是9.2 6．如图，在菱形中，、是对角线，．若，则的长是（   ） A．4 B．5 C．6 D．10 7．将抛物线向下平移个单位，那么所得新抛物线的表达式是（　　） A． B． C． D． 8．如图，在中，，．若点在边上移动，则的最小值是（    ） A．3.6 B．4 C．4.5 D．4.8 9．如图，四边形是正方形，点在边上，且，作分别交，于点，；，分别是，的中点，则的值为（   ） A． B． C． D． 10．已知两个非零实数，按规则进行运算，运算的结果记为，称此为一次操作；再从中任选两个数，按同样规则操作一次得到的数记为；再从中任选两个数，按同样规则操作一次得到的数记为，依次进行下去，以下结论正确的个数为（    ） ①若为方程的两个根，则； ②若，则； ③若，要使得成立，则至少为5． A．0 B．1 C．2 D．3 第二部分（非选择题 共110分） 2、 填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．关于的一元二次方程有一个根是，则的值是 ． 12．二次函数经过点和，则这个二次函数的对称轴是直线 ． 13．已知一次函数图像上有三个点则大小关系 ． 14．一次演讲比赛中，评委将从演讲内容、演讲能力两个方面为选手打分．各项成绩均按百分制计，然后再按演讲内容占、演讲能力占，计算选手的综合成绩（百分制）．进入决赛的前两名选手的单项成绩如下表所示，则综合成绩最高的选手是 ． 选手 演讲内容 演讲能力 甲 90 85 乙 85 95 15．如图，在矩形中，，对角线，点，分别是线段，上的点，将沿直线折叠，点，分别落在点，处．当点落在折线上，且时，的长为 ．    16．若是正整数，除以的余数为，则称是“阿二数”．例如：是正整数，，则是“阿二数”；是正整数，且，则不是“阿二数”，对于任意四位正整数，的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为．有一个四位正整数是“阿二数”，的千位数字比百位数字少，十位数字与个位数字的和为，且为有理数，则满足条件的的值为 ． 3、 解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（8分）用适合的方法解下列方程： (1)； (2) 18．（8分）在学习了平行四边形的相关知识以后，某数学兴趣小组进行了更深入的探究与思考．如图所示，四边形是平行四边形，对角线交于点E，，交于点F． (1)用无刻度直尺和圆规作在下方作，使得，且射线交的延长线于点G，连接（不写作法，保留作图痕迹）； (2)试探究四边形的形状，并按下列思路完成填空． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴对角线互相平分，即． 又∵ ①， ∴为的中位线， ∴ ②． ∵， ③， ∴， ∴ ④． 又， ∴， ∴四边形是平行四边形． 19． （10分）先化简，再求值：，其中 20．（10分）为了在青少年中推动法制教育与法治实践、道德教育有机结合，充分调动广大青少年学法守法用法的积极性和自觉性，增强青少年法制宣传教育的针对性、时效性和有效性，某校组织了法律知识主题大赛．从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的成绩（百分制，单位：分）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A．B．；C．；D．）．下面给出了部分信息： 七年级10名学生的成绩是： 八年级10名学生的成绩在C组中的数据是：． 八年级抽取的学生成绩扇形统计图： 七、八年级抽取的学生成绩统计表： 平均数 中位数 众数 七年级 79 82 b 八年级 79 a 82 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：______，______，______； (2)根据以上数据．你认为该校七年级和八年级中哪个年级学生掌握法律知识较好？请说明理由（一条即可）； (3)已知该校七年级有680人，八年级有850人参加了此次主题大赛活动，请估计两个年级参加该活动的成绩不低于80分的共有多少人？ 21．（10分）在矩形中，，点是边的中点．动点以每秒1个单位的速度从出发，按的顺序在边上运动．设运动时间为秒，的面积为． (1)请直接写出关于的函数表达式； (2)在给定的直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)在图中已经画出了直线的图象，结合两函数图象，直接写出时自变量的取值范围．（结果保留一位小数，误差不超过） 22．（10分）如图，亮亮与洋洋分别住在M、Q两个不同的城市，他们约好一起去景区A地旅游，洋洋家在Q地，亮亮家所在的M地在Q地的南偏东方向的千米处，亮亮乘大巴从M地出发，导航显示大巴沿北偏东方向，以平均70千米/小时的速度行驶，10分钟后，洋洋乘出租车从Q地出发，导航显示沿北偏东的方向匀速行驶，亮亮与洋洋两同学同时到达景区A地． (1)亮亮同学从M地出发到达景区A地用了多长时间？ (2)求洋洋同学乘出租车的速度．（结果保留根号） 23．（10分）某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十八号”模型．今年9月份的销售量是件，11月份的销售量是720件． (1)若该网店9月份到11月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； (2)市场调查发现，该网店“神舟十八号”模型的进价为每件元，若售价为每件元，每天能销售件，售价每降价元，每天可多售出件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利元，则售价应降低多少元？ 24．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线交直线于点E，过点P作x轴的平行线交直线于点F，求面积的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，连接，，抛物线上是否存在点Q，使？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 25．（10分）如图，在四边形中，对角线、相交于点，，． (1)如图1，若，，，求四边形的面积． (2)如图2，点、点分别是、上的点，，点、点分别为、的中点，连接，为上一点，为延长线上一点，连接、，若，，，证明：； (3)如图3，过点作于点，是上一点，连接，作于点，交于点，，．当点在直线上运动时，将绕点顺时针旋转得，连接，，，若，当最小时，直接写出的面积． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 参考答案 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题10分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A C D B B D D C D 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．2024 12． 13．/ 14．乙 15．2或 16． 3、 解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（8分） 【详解】（1）解：， ∴， 解得：，； （4分） （2）解：， ， ∴或， 解得：，． （8分） 18．（8分） 【详解】（1）解：由题意，作图如下： （4分） （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴对角线互相平分，即， 又∵①， ∴为的中位线， ∴②， ∵，③， ∴， ∴④， 又， ∴， ∴四边形是平行四边形． 故答案为：；；；． （8分，一空1分） 19．（10分）【详解】解： （6分） 当时，原式． （10分） 20．（10分）【详解】（1）解：由题知，八年级组所占百分比为：． 八年级组所占百分比为：， ∴ ∵八年级共有人， ∴处于、两个等级的人数之和为：（人），名同学成绩从小到大排序后中间的两个数为第个第个， ∵八年级名学生的成绩在组中的数据是：． ∴八年级名同学成绩从小到大排序后中间的两个数为第个和第个为，， ∴ ∵七年级名学生的成绩是：，其中出现次数最多的是 ∴， 故答案为：，，； （3分） （2）解：七年级掌握知识较好， 从平均数看，七年级分八年级分， 从中位数看，七年级分八年级分， ∴七年级掌握知识较好； （6分） （3）解：七年级10名学生中成绩不低于80分的有5人（85，85，85，86，100），占比，因此七年级680人中估计有人． 八年级成绩不低于80分的是C组和D组，占比，因此八年级850人中估计有人． 两个年级成绩不低于80分的共有（人）． 答：估计两个年级参加竞赛成绩不低于80分的共有850人． （10分） 21．（10分）【详解】（1）解：在矩形中，， ， 点E是边的中点．， 当点M在上时，此时， 可得，则， ； 当点M在上时，此时， 可得， ， 综上，； （4分） （2）画图如图： 性质：当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大． （8分） （3）由图像，可知 当时，或． （10分） 22（10分）【详解】（1）解：由题意得千米， ．， ∴， 过点M作，垂足为D．如图∶ 则，， ∴， ∵，即， ∴千米， ∴千米， 则亮亮同学从M地出发到达景区A地用小时． （5分） （2）解：在中， 千米， ∴千米， ∴千米/小时， 则洋洋同学乘出租车的速度为千米/小时． （10分） 23．（10分）【详解】（1）解：设月平均增长率为， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：月平均增长率为． （5分） （2）解：设售价应降低元， 由题意得：， 整理得：， 解得或， ∵商家决定降价促销，同时尽量减少库存， ∴， 答：售价应降低20元． （10分） 24．（10分）【详解】（1）解：把代入得，， 解得， ∴抛物线的解析式为； （3分） （2）解：由可得，， 设直线的解析式为， 把代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， ， ， ， ∵轴，轴， ， ∴为等腰直角三角形， ， 设，则， ， 当时，即取最大值，此时的面积最大， 则； （7分） （3）解：存在． 当点在上方时，作点关于轴的对称点，过点作交抛物线于点， ∵与关于轴对称， ， 又 ∵， ， ， ， ， 同理可得直线解析式为， 设直线解析式为，将代入得，， ， ， 由， 解得或， ； 当点在下方时，作点，直线与抛物线交于点， ， 同理可得直线解析式为， ， ， ， ， 联立， 解得或， ， 综上，点的坐标为或． （10分） 25．（10分）【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∵， ∴在中，， 即， 解得：， ∴， ∴； （4分） （2）解：如图，连接，取中点，连接，， 同（1）可得四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵点、点分别为、的中点，为中点， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即， ∵， ，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 即； （8分） （3）解：∵，， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， 同（1）可得四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴在中，， 即， 解得：， ∴， ∴，， 如图，过点作于点，连接， 由旋转知，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点，，共线， ∴点的轨迹为直线， 如图，过点作直线的对称点，连接， 则，当且仅当，，依次共线时取最小值， 此时如图， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． （10分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版2012八年级下册 第十六章~九年级上册第二十二章。 第一部分（选择题 共40分） 1、 选择题：本题共10小题，每小题10分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列各组数中，能构成直角三角形的一组数是（   ） A．1，2，3 B．5，， C．1，1，2 D．4，6，8 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、，，，不能构成直角三角形； B、，，，能构成直角三角形； C、，，，不能构成直角三角形； D、，，，不能构成直角三角形； 故选：B． 2．下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程，只含有一个未知数，并且未知数的指数最高是的整式方程是一元二次方程，逐一判断即可求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：、方程是一元二次方程，该选项符合题意； 、方程不是整式方程，不是一元二次方程，该选项不合题意； 、方程含有个未知数，不是一元二次方程，该选项不合题意； 、方程含有个未知数，且未知数的最高次数是，不是一元二次方程，该选项不合题意； 故选：． 3．估计的运算结果应在（    ） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的乘法和无理数的估算．先根据二次根式的乘法法则计算，然后根据“夹逼法”估算即可． 【详解】解：∵，且， ∴，即， ∴的运算结果应在4到5之间， 故选：C． 4．直线经过第一、二、四象限，则直线的图象只能是图中的（　　） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据直线经过的象限，确定、的正负性，再据此判断直线经过的象限。本题主要考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数（、为常数，）中、对函数图象的影响是解题的关键。 【详解】解：∵直线经过第一、二、四象限， ∴，， ∴直线的图象经过第一、三、四象限， 故选：D 5．一组数据 2 、4 、5 、6 、5 ，对该组数据描述正确的是（       ） A．平均数是4.5 B．中位数是5 C．众数是4 D．方差是9.2 【答案】B 【分析】本题主要考查数据统计中的平均数、中位数，众数和方差．分别求出该组数据的平均数、中位数，众数和方差，即可判断． 【详解】解：将该组数据从小到大排列为， 则该组数据的中位数为； 众数为； 平均数为； 方差为； 故B选项正确． 故选：B． 6．如图，在菱形中，、是对角线，．若，则的长是（   ） A．4 B．5 C．6 D．10 【答案】B 【分析】本题考查的是菱形的性质，含角的直角三角形的性质，解答本题的关键是熟练掌握菱形的性质． 根据菱形的性质可得， ，根据含角的直角三角形的性质即可求得的长，从而得到结果． 【详解】解：如图， ∵四边形是菱形， ∴， ， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 7．将抛物线向下平移个单位，那么所得新抛物线的表达式是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是二次函数的平移，解题关键是熟练掌握二次函数的平移规律． 根据上加下减的规律即可得解． 【详解】解：将抛物线向下平移个单位，所得新抛物线的表达式是． 故选：． 8．如图，在中，，．若点在边上移动，则的最小值是（    ） A．3.6 B．4 C．4.5 D．4.8 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、垂线段最短、勾股定理以及三角形的面积，作于点D，如图，根据等腰三角形的性质和勾股定理可求出，根据垂线段最短可知：当时，最小，再利用三角形的面积求解即可． 【详解】解：作于点D，如图， ∵，， ∴， ∴， ∵当时，最小， ∴， ∴， 解得， 即的最小值是4.8． 故选：D． 9．如图，四边形是正方形，点在边上，且，作分别交，于点，；，分别是，的中点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，则，，连接．证明，则是直角三角形，利用是斜边上的中线，可得，利用勾股定理求出的长即可得，再由勾股定理求出即可得出结论． 【详解】解：设，则，， 连接．如图所示， ∵四边形是边长为的正方形． ∴，且平分． ∴． ∵． ∴． ∴是等腰直角三角形． 四边形，是矩形， ∴，，， ∴， ∴； 在中， ∵P为中点． ∴． ∴是直角三角形． ∵点H为的中点， 四边形是矩形， ∴过点H．且点H为的中点． 在中，． ∴． 故选：C． 10．已知两个非零实数，按规则进行运算，运算的结果记为，称此为一次操作；再从中任选两个数，按同样规则操作一次得到的数记为；再从中任选两个数，按同样规则操作一次得到的数记为，依次进行下去，以下结论正确的个数为（    ） ①若为方程的两个根，则； ②若，则； ③若，要使得成立，则至少为5． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】解：①解方程得，或， ∵为方程的两个根， ∴不妨设， ∴， ∵， ∴从中任选两个数，只有两种情况，即选择或， 当选择时，则， 当选择时，则， 综上所述，，故①正确； ②∵， ∴， ∴或， 又∵， ∴， ∴，故②正确； ③∵， ∴每次操作后，得到的所有结果都大于0，且的所有结果最小为3， 要使得成立时，n最小，那么每次操作都要使对应的最大，，且k为正整数， ∴每次操作时选择的两个数一定要是可选择的数中最大的两个数， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴若，要使得成立，则至少为5，故③正确， 故选：D． 第二部分（非选择题 共110分） 2、 填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．关于的一元二次方程有一个根是，则的值是 ． 【答案】2024 【分析】本题考查一元二次方程的解，把代入方程，进行求解即可． 【详解】解：把代入，得：， 解得：； 故答案为：2024 12．二次函数经过点和，则这个二次函数的对称轴是直线 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求二次函数的对称轴，直接根据二次函数的对称性求解即可． 【详解】解：∵二次函数经过点和， ∴这个二次函数的对称轴是直线， 故答案为：． 13．已知一次函数图像上有三个点则大小关系 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的增减性是解决本题的关键 ． 由一次函数中，可判断该函数中y随x的增大而减小，由三个点的横坐标即可判断大小 ． 【详解】解：∵一次函数中， ∴该函数中y随x的增大而减小， ∵该函数图像上有三个点， 且， ∴． 故答案为： ． 14．一次演讲比赛中，评委将从演讲内容、演讲能力两个方面为选手打分．各项成绩均按百分制计，然后再按演讲内容占、演讲能力占，计算选手的综合成绩（百分制）．进入决赛的前两名选手的单项成绩如下表所示，则综合成绩最高的选手是 ． 选手 演讲内容 演讲能力 甲 90 85 乙 85 95 【答案】乙 【分析】本题考查加权平均数，解题的关键是熟练掌握加权平均数． 利用加权平均数的公式计算比较即可． 【详解】解：由已知可得， 甲的综合成绩：（分） 乙的综合成绩：（分） ∵， ∴乙选手的综合成绩高于甲选手的综合成绩， 故答案为：乙． 15．如图，在矩形中，，对角线，点，分别是线段，上的点，将沿直线折叠，点，分别落在点，处．当点落在折线上，且时，的长为 ．    【答案】2或 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ，， ， 当点落在上时， 将沿直线折叠， ， ， ， ； 当点落在上时，如图2，连接，过点作于，   ， ， ， ， ， 将沿直线折叠， ， ， ， ， 综上所述：的长为2或． 故答案为：2或． 16．若是正整数，除以的余数为，则称是“阿二数”．例如：是正整数，，则是“阿二数”；是正整数，且，则不是“阿二数”，对于任意四位正整数，的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为．有一个四位正整数是“阿二数”，的千位数字比百位数字少，十位数字与个位数字的和为，且为有理数，则满足条件的的值为 ． 【答案】 【分析】根据题意得出，得出,符合题意，代入验证即可求解． 【详解】解：依题意，，，， 则 ∵正整数是“阿二数” ∴能被整除 ∴能被13整除， 设 ∵是正整数，则是9的倍数， ∴,符合题意， ∵是有理数 ∴是平方数， 当，时，符合题意， ∴ 则 故答案为：． 3、 解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（8分）用适合的方法解下列方程： (1)； (2) 【答案】(1)，； (2)， 【详解】（1）解：， ∴， 解得：，； （2）解：， ， ∴或， 解得：，． 18．（8分）在学习了平行四边形的相关知识以后，某数学兴趣小组进行了更深入的探究与思考．如图所示，四边形是平行四边形，对角线交于点E，，交于点F． (1)用无刻度直尺和圆规作在下方作，使得，且射线交的延长线于点G，连接（不写作法，保留作图痕迹）； (2)试探究四边形的形状，并按下列思路完成填空． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴对角线互相平分，即． 又∵ ①， ∴为的中位线， ∴ ②． ∵， ③， ∴， ∴ ④． 又， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)；；；； 【详解】（1）解：由题意，作图如下： （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴对角线互相平分，即， 又∵①， ∴为的中位线， ∴②， ∵，③， ∴， ∴④， 又， ∴， ∴四边形是平行四边形． 故答案为：；；；． 19．（10分）先化简，再求值：，其中 【答案】． 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，分母有理化，先把小括号内的式子通分化简，再把第一个分式的分子与分母分解因式后约分，接着把除法变成乘法后约分化简，最后计算分式减法化简并代值计算即可得到答案． 【详解】解： 当时，原式． 20．（10分）为了在青少年中推动法制教育与法治实践、道德教育有机结合，充分调动广大青少年学法守法用法的积极性和自觉性，增强青少年法制宣传教育的针对性、时效性和有效性，某校组织了法律知识主题大赛．从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的成绩（百分制，单位：分）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A．B．；C．；D．）．下面给出了部分信息： 七年级10名学生的成绩是： 八年级10名学生的成绩在C组中的数据是：． 八年级抽取的学生成绩扇形统计图： 七、八年级抽取的学生成绩统计表： 平均数 中位数 众数 七年级 79 82 b 八年级 79 a 82 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：______，______，______； (2)根据以上数据．你认为该校七年级和八年级中哪个年级学生掌握法律知识较好？请说明理由（一条即可）； (3)已知该校七年级有680人，八年级有850人参加了此次主题大赛活动，请估计两个年级参加该活动的成绩不低于80分的共有多少人？ 【答案】(1)，， (2)七年级掌握知识较好，理由见解析 (3)估计两个年级参加竞赛成绩不低于分的共有人 【详解】（1）解：由题知，八年级组所占百分比为：． 八年级组所占百分比为：， ∴ ∵八年级共有人， ∴处于、两个等级的人数之和为：（人），名同学成绩从小到大排序后中间的两个数为第个第个， ∵八年级名学生的成绩在组中的数据是：． ∴八年级名同学成绩从小到大排序后中间的两个数为第个和第个为，， ∴ ∵七年级名学生的成绩是：，其中出现次数最多的是 ∴， 故答案为：，，； （2）解：七年级掌握知识较好， 从平均数看，七年级分八年级分， 从中位数看，七年级分八年级分， ∴七年级掌握知识较好； （3）解：七年级10名学生中成绩不低于80分的有5人（85，85，85，86，100），占比，因此七年级680人中估计有人． 八年级成绩不低于80分的是C组和D组，占比，因此八年级850人中估计有人． 两个年级成绩不低于80分的共有（人）． 答：估计两个年级参加竞赛成绩不低于80分的共有850人． 21．（10分）在矩形中，，点是边的中点．动点以每秒1个单位的速度从出发，按的顺序在边上运动．设运动时间为秒，的面积为． (1)请直接写出关于的函数表达式； (2)在给定的直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)在图中已经画出了直线的图象，结合两函数图象，直接写出时自变量的取值范围．（结果保留一位小数，误差不超过） 【答案】(1) (2)见解析，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大 (3)或 【详解】（1）解：在矩形中，， ， 点E是边的中点．， 当点M在上时，此时， 可得，则， ； 当点M在上时，此时， 可得， ， 综上，； （2）画图如图： 性质：当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大． （3）由图像，可知 当时，或． 22．（10分）如图，亮亮与洋洋分别住在M、Q两个不同的城市，他们约好一起去景区A地旅游，洋洋家在Q地，亮亮家所在的M地在Q地的南偏东方向的千米处，亮亮乘大巴从M地出发，导航显示大巴沿北偏东方向，以平均70千米/小时的速度行驶，10分钟后，洋洋乘出租车从Q地出发，导航显示沿北偏东的方向匀速行驶，亮亮与洋洋两同学同时到达景区A地． (1)亮亮同学从M地出发到达景区A地用了多长时间？ (2)求洋洋同学乘出租车的速度．（结果保留根号） 【答案】(1)1小时 (2)千米/小时 【详解】（1）解：由题意得千米， ．， ∴， 过点M作，垂足为D．如图∶ 则，， ∴， ∵，即， ∴千米， ∴千米， 则亮亮同学从M地出发到达景区A地用小时． （2）解：在中， 千米， ∴千米， ∴千米/小时， 则洋洋同学乘出租车的速度为千米/小时． 23．（10分）某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十八号”模型．今年9月份的销售量是件，11月份的销售量是720件． (1)若该网店9月份到11月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； (2)市场调查发现，该网店“神舟十八号”模型的进价为每件元，若售价为每件元，每天能销售件，售价每降价元，每天可多售出件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利元，则售价应降低多少元？ 【答案】(1) (2)20元 【详解】（1）解：设月平均增长率为， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：月平均增长率为． （2）解：设售价应降低元， 由题意得：， 整理得：， 解得或， ∵商家决定降价促销，同时尽量减少库存， ∴， 答：售价应降低20元． 24．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线交直线于点E，过点P作x轴的平行线交直线于点F，求面积的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，连接，，抛物线上是否存在点Q，使？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)面积的最大值为，此时点P的坐标为 (3)存在，Q的坐标为或 【详解】（1）解：把代入得，， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由可得，， 设直线的解析式为， 把代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， ， ， ， ∵轴，轴， ， ∴为等腰直角三角形， ， 设，则， ， 当时，即取最大值，此时的面积最大， 则； （3）解：存在． 当点在上方时，作点关于轴的对称点，过点作交抛物线于点， ∵与关于轴对称， ， 又 ∵， ， ， ， ， 同理可得直线解析式为， 设直线解析式为，将代入得，， ， ， 由， 解得或， ； 当点在下方时，作点，直线与抛物线交于点， ， 同理可得直线解析式为， ， ， ， ， 联立， 解得或， ， 综上，点的坐标为或． 25．（10分）如图，在四边形中，对角线、相交于点，，． (1)如图1，若，，，求四边形的面积． (2)如图2，点、点分别是、上的点，，点、点分别为、的中点，连接，为上一点，为延长线上一点，连接、，若，，，证明：； (3)如图3，过点作于点，是上一点，连接，作于点，交于点，，．当点在直线上运动时，将绕点顺时针旋转得，连接，，，若，当最小时，直接写出的面积． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∵， ∴在中，， 即， 解得：， ∴， ∴； （2）解：如图，连接，取中点，连接，， 同（1）可得四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵点、点分别为、的中点，为中点， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即， ∵， ，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 即； （3）解：∵，， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， 同（1）可得四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴在中，， 即， 解得：， ∴， ∴，， 如图，过点作于点，连接， 由旋转知，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点，，共线， ∴点的轨迹为直线， 如图，过点作直线的对称点，连接， 则，当且仅当，，依次共线时取最小值， 此时如图， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$