课时作业(18) 函数的奇偶性（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第一册高中同步学案（北师大版）

课时作业(十八)　函数的奇偶性 [基础达标练] 1．若f(x)＝3x3＋5x＋a－1为奇函数，则a的值为(　　) A．0　　　　　　　　　B．－1 C．1 D．2 解析：选C　∵f(x)为R上的奇函数， ∴f(0)＝0，得a＝1. 2．(多选)下列函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是(　　) A．y＝x2(x>0) B．y＝|x＋1| C．y＝ D．y＝3x－1 解析：选ABD　根据定义域知A符合题意，根据奇偶性的定义可知BD也符合题意，C是偶函数． 3．已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上单调递减，若f(a)≥f(－2)，则a的取值范围是(　　) A．a≤－2 B．a≥2 C．a≤－2或a≥2 D．－2≤a≤2 解析：选D　由f(a)≥f(－2)得f(|a|)≥f(2)， ∴|a|≤2，∴－2≤a≤2. 4．函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x＋1，则当x<0时，f(x)的解析式为(　　) A．f(x)＝－x＋1 B．f(x)＝－x－1 C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝x－1 答案：B 5．若f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，则f(x)＝________；g(x)＝________． 解析：f(－x)＋g(－x)＝x2－x－2，由f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，得f(x)－g(x)＝x2－x－2，又f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，两式联立得f(x)＝x2－2，g(x)＝x. 答案：x2－2　x 6．设偶函数f(x)的定义域为[－5，5]，若当x∈[0，5]时，f(x)的图象如下图所示，则不等式f(x)<0的解集是________． 答案：{x|－5≤x＜－2或2＜x≤5} 7．判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝－x; (2)f(x)＝； (3)f(x)＝ 解：(1)f(x)定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，又f(－x)＝－(－x)＝－＋x＝ －＝－f(x)， ∴f(x)是奇函数． (2)函数f(x)的定义域是(－∞，－2)∪(－2，＋∞)，不关于原点对称， ∴f(x)既不是奇函数也不是偶函数． (3)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称， 当x>0时，－x<0，f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)； 当x<0时，－x>0，f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x). 综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数． 8．已知函数f(x)的定义域为(－1，1)，且满足下列条件： ①f(x)为奇函数； ②f(x)在定义域上是减函数； ③f(1－a)＋f (1－a2)<0. 求实数a的取值范围． 解：∵f(x)为奇函数， ∴f(1－a2)＝－f(a2 －1)， ∴f(1－a)＋f(1－a2)<0⇒f(1－a)<－f (1－a2)⇒f(1－a)<f (a2－1). ∵f(x)在定义域(－1，1)上是减函数， ∴解得0<a<1， 故实数a的取值范围为(0，1). [能力提升练] 9．(多选)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是(　　) A．|f(x)|g(x)是奇函数 B．f(x)|g(x)|是奇函数 C．f(x)＋|g(x)|是偶函数 D．|f(x)|＋g(x)是偶函数 解析：选BD　A中，令h(x)＝|f(x)|·g(x)，则h(－x)＝|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|·g(x)＝|f(x)|g(x)＝h(x)， ∴函数是偶函数，A错误； B中，令h(x)＝f(x)|g(x)|，则h(－x)＝f(－x)|·|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|＝－h(x)，∴函数是奇函数，B正确； C中，由f(x)是奇函数，可得f(－x)＝－f(x)，由g(x)是偶函数可得g(－x)＝g (x)，由f(－x)＋|g(－x)|＝－f(x)＋|g(x)|，知C错误； D中，由|f(－x)|＋g(－x)＝|－f(x)|＋g(x)＝|f(x)|＋g(x)，知D正确．故选BD. 10．已知函数g(x)＝f(x)－x－1，其中g(x)是偶函数，且f(2)＝1，则f(－2)等于(　　) A．－1 B．1 C．－3 D．3 解析：选C　由g(x)＝f(x)－x－1可知，g(2)＝f(2)－2－1＝－2，由于函数g(x)为偶函数，故g(－2)＝f(－2)＋2－1＝－2，所以f(－2)＝－3. 11．已知函数f(x)＝为奇函数，则a－b＝________． 解析：由题意知 则解得 当a＝－1，b＝1时，经检验知f(x)为奇函数， 故a－b＝－2. 答案：－2 12．已知定义在R上的函数f(x)关于直线x＝1对称，且f(x)在[1，＋∞)上单调递减，则当x＝________时，f(x)取得最大值；若不等式f(0)<f(m)成立，则m的取值范围是________． 解析：由f(x)的图象关于直线x＝1对称，又f(x)在(1，＋∞)上单调递减，则f(x)在(－∞，1]上单调递增，所以当x＝1时f(x)取到最大值．由对称性可知f(0)＝f(2)，所以由f(0)<f(m)，得0<m<2，即m的取值范围为(0，2). 答案：1　(0，2) 13．设函数f(x)对任意实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且x>0时，f(x)<0，f(1)＝－2. (1)求证：f(x)是奇函数； (2)求f(x)在[－3，3]上的最大值与最小值． 解：(1)证明：令x＝y＝0， 得f(0)＋f(0)＝f(0)， ∴f(0)＝0. 又令y＝－x， 得f(0) ＝f(x)＋f(－x) ＝0， ∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数． (2)设x1，x2∈R，且x1<x2， 则x2－x1>0， 于是f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝ f(x2－x1)<0， ∴f(x1)>f(x2)， ∴f(x)在R上是减函数， ∴f(x)的最大值为f(－3)＝－f(3)＝－3f(1)＝(－3)×(－2)＝6，最小值为f(3)＝－f(－3)＝－6. [素养拓展练] 14．设函数f(x) ＝x2－2|x－a|＋3，x∈R. (1)王鹏同学认为，无论a取何值，f(x)都不可能是奇函数．你同意他的观点吗？请说明你的理由； (2)若f(x)是偶函数，求a的值； (3)在(2)的情况下，画出y＝f(x)的图象并指出其单调递增区间． 解：(1)我同意王鹏同学的观点． 理由如下： 假设f(x)是奇函数，则由f(a)＝a2＋3，f(－a)＝a2－4|a|＋3，可得f(a)＋f(－a)＝0， 即a2－2|a|＋3＝0，显然a2－2|a|＋3＝0无解， ∴f(x)不可能是奇函数． (2)若f(x)为偶函数，则有f(a)＝f(－a)， 即a2＋3＝a2－4|a|＋3，解得a＝0. 经验证，此时f(x)＝x2－2|x|＋3是偶函数． (3)由(2)知f(x)＝x2－2|x|＋3，其图象如下图所示： 由图可得，其单调递增区间是(－1，0)和(1，＋∞). 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$