课时作业(10) 基本不等式的应用（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第一册高中同步学案（北师大版）

课时作业(十)　基本不等式的应用 [基础达标练] 1．已知f(x)＝x＋－2(x＜0)，则f(x)有(　　) A．最大值为0　　　　　B．最小值为0 C．最大值为－4 D．最小值为－4 答案：C 2．已知a>0，b>0且2a＋b＝2，则ab的最大值为(　　) A． B． C． D．1 解析：选B　ab＝·2a·b≤＝， 当且仅当2a＝b，即b＝1，a＝时等号成立，∴ab的最大值为. 3．(多选)设a＞0，b＞0，给出下列不等式恒成立的是(　　) A．a2＋1＞a B．a2＋9＞6a C．(a＋b)≥4 D．≥4 答案：ACD 4．3x2＋的最小值是(　　) A．3－3 B．3 C．6 D．6－3 解析：选D　3x2＋＝3(x2＋1)＋－3≥2－3＝2－3＝6－3，当且仅当x2＝－1时等号成立，故选D. 5．函数y＝x＋(x≥0)的最小值为________________________________________________________________________． 答案：1 6．如下图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72 dm2(图中阴影部分)，上下空白各宽2 dm，左右空白各宽1 dm，则四周空白部分面积的最小值是________dm2. 答案：56 7．当x＜时，求函数y＝x＋的最大值． 解：y＝(2x－3)＋＋ ＝－＋， ∵当x＜时，3－2x＞0， ∴＋≥2＝4，当且仅当＝，即x＝－时取等号． 于是y≤－4＋＝－， 故函数有最大值－. 8．某企业需要建造一个容积为8立方米，深度为2米的无盖长方体水池，已知池壁的造价为每平方米100元，池底造价为每平方米300元，设水池底面一边长为x米，水池总造价为y元，求y关于x的函数关系式，并求出水池的最低造价． 解：由于长方体水池的容积为8立方米，深为2米，因此其底面积为4平方米，底面一边长为x米，则另一边长为米，又因为池壁的造价为每平方米100元，而池壁的面积为2平方米，因此池壁的总造价为100·2元，而池底的造价为每平方米300元，池底的面积为4平方米，因此池底的总造价为1 200元，故水池的总造价为y＝100·2＋1 200＝400＋1 200(x>0)，y＝400＋1 200≥400×2＋1 200＝1 600＋1 200＝2 800，当且仅当x＝，即x＝2时，函数有最小值2 800，此时总造价最低． [能力提升练] 9．(多选)若a＞0，b＞0，且a＋b＝4，则下列结论不正确的是(　　) A．≤ B．＋≤1 C．≥2 D．a2＋b2≥8 解析：选ABC　4＝a＋b≥2(当且仅当a＝b时，等号成立)，即≤2，ab≤4，≥，A、C不成立；＋＝＝≥1，B不成立；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝16－2ab≥8. 故选ABC. 10．若不等式a2＋b2＋2＞λ(a＋b)对任意正数a，b恒成立，则实数λ的取值范围是(　　) A．λ＜ B．λ＜1 C．λ＜2 D．λ＜3 解析：选C　∵不等式a2＋b2＋2＞λ(a＋b)对任意正数a，b恒成立，∴λ＜. ∵≥ ＝＋≥2 ＝2， 当且仅当a＝b＝1时取等号，∴λ＜2. 11．若a，b∈(0，＋∞)，满足a＋b＋3＝ab，则a＋b的取值范围是________． 解析：∵a＋b＋3＝ab≤， ∴(a＋b)2－4(a＋b)－12≥0，解a＋b≥6，当且仅当a＝b＝3时取等号． 12．若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是________． 解析：x2＋y2＋xy＝(x＋y)2－xy＝1， ∴(x＋y)2＝xy＋1≤＋1. ∴(x＋y)2≤1. ∴x＋y≤，当且仅当x＝y＝时等号成立． 答案： 13．已知a>0，b>0. (1)求证：＋≥a＋b； (2)利用(1)的结论，试求当0<x<1时， ＋的最小值． 解：(1)证明：∵a>0，b>0， ∴＋＋a＋b＝＋≥2a＋2b， 当且仅当a＝b时等号成立， ∴＋≥a＋b(当且仅当a＝b时等号成立). (2)由于0<x<1， 可将1－x看作(1)中的a，x看作(1)中的b， 根据(1)的结论，则有＋≥1－x＋x＝1， 当且仅当1－x＝x，即x＝时，等号成立， 故所求式子的最小值为1. [素养拓展练] 14．时隔35年，三星堆的发掘再次震惊世人，三千多年前的“中国制造”持续登上热搜．新发现6座三星堆文化“祭祀坑”，已出土众多重要文物，某博物馆为了保护一件珍贵文物，需要在一种透明又密封的长方体玻璃保护罩内充入保护液体．该博物馆需要支付保护这件文物的总费用由两部分组成：①罩内该种液体的体积比保护罩的容积少0.5立方米，且每立方米液体费用为2 000元；②需支付一定的保险费用，且支付的保险费用与保护罩容积成反比，当容积为4立方米时，支付的保险费用为18 000元．(长方体保护罩最大容积为10立方米) (1)求该博物馆需支付保护这件文物的总费用y与保护罩容积x之间的函数关系式； (2)求该博物馆支付总费用的最小值，并求出此时长方体保护罩的容积． 解：(1)设保险费用为y1＝，代入x＝4，y1＝18 000，解得t＝72 000， 则总费用y＝2 000(x－0.5)＋(0.5<x≤10)， 即y＝2 000x＋－1 000(0.5<x≤10). (2)由基本不等式可得 y＝2 000x＋－1 000≥ 2－1 000＝24 000－1 000＝23 000， 当且仅当2 000x＝⇒x＝6. 故当长方体保护罩容积为6立方米时，总费用最小值为23 000元． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$