课时作业(6) 充要条件（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第一册高中同步学案（北师大版）

课时作业(六)　充要条件 [基础达标练] 1．设a，b是实数，则“a＞b”是“a2＞b2”的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：D 2．(多选)设全集为U，在下列选项中，是B⊆A的充要条件的有(　　) A．A∪B＝A　　　　B．(∁UA)∩B＝∅ C．(∁UA)⊆(∁UB) D．A∪(∁UB)＝U 答案：ABCD 3．设a，b∈R，则“(a－b)a2<0”是“a<b”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A　因为a，b∈R，(a－b)a2<0， 可得a<b， 由a<b，即a－b<0，可得(a－b)a2≤0， 所以根据充分、必要条件的定义可以判断，若a，b∈R，则“(a－b)a2<0”是“a<b”的充分不必要条件． 4．不等式x(x－2)<0成立的一个必要不充分条件是(　　) A．0<x<2 B．x≥－1 C．0<x<1 D．1<x<3 解析：选B　由二次函数的图象可知，x(x－2)<0⇔{x|0<x<2}， 因为{x|0<x<2}{x|x≥－1}， 所以“x≥－1”是“不等式x(x－2)<0成立”的一个必要不充分条件． 5．若“x≤－1或x≥1”是“x<a”的必要不充分条件，则实数a的最大值为________． 解析：“x≤－1，或x≥1”是“x<a”的必要不充分条件，则由“x<a”可以推出“x≤－1，或x≥1”，但由“x≤－1，或x≥1”推不出“x<a”，所以a≤－1，所以实数a的最大值为－1. 答案：－1 6．设a，b是实数，则“a＋b＞0”是“ab＞0”的________条件． 答案：既不充分也不必要 7．在下列电路图中，分别判断闭合开关A是灯泡B亮的什么条件． 解：如题干图(1)所示，开关A闭合是灯泡B亮的充分不必要条件； 如题干图(2)所示，开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件； 如题干图(3)所示，开关A闭合是灯泡B亮的充要条件； 如题干图(4)所示，开关A闭合是灯泡B亮的既不充分也不必要条件． 8．求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0. 证明：必要性：由于方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，所以Δ＝b2－4ac>0，x1x2＝<0(x1，x2为方程的两根)，所以ac<0. 充分性：由ac<0，可推得b2－4ac>0，及x1x2＝<0(x1，x2为方程的两根).所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，且两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根． 综上可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0. [能力提升练] 9．若非空集合A，B，C满足A∪B＝C，且B不是A的子集，则下列结论正确的是(　　) A．“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件 B．“x∈C”中“x∈A”的必要条件但不是充分条件 C．“x∈C”是“x∈A”的充要条件 D．“x∈C”既不是“x∈A”的充分条件，也不是“x∈A”的必要条件 解析：选B　∵非空集合A，B，C满足A∪B＝C，且B不是A的子集，∴由x∈A⇒x∈A∪B⇒x∈C. 由x∈C⇒x∈A∪B⇒x∈A或x∈B. ∵B不是A的子集，∴不一定有x∈A， 即仅有B正确． 10．如果A是B的必要不充分条件，B是C的充要条件，D是C的充分不必要条件，那么A是D的(　　) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A　由条件，知D⇒C⇒B⇒A，即D⇒Α，但A⇒/ D.故选A. 11．已知a，b是实数，则“|a＋b|＝|a|＋|b|”是“ab＞0”的________条件． 解析：因为|a＋b|＝|a|＋|b|⇔a2＋2ab＋b2＝a2＋2|ab|＋b2⇔|ab|＝ab⇔ab≥0，而由ab≥0不能推出ab>0，由ab>0能推出ab≥0，所以由|a＋b|＝|a|＋|b|不能推出ab>0，由ab>0能推出|a＋b|＝|a|＋|b|，故应填必要不充分条件． 答案：必要不充分条件 12．若集合A＝{x|x>－2}，B＝{x|x≤b，b∈R}，则A∪B＝R的一个必要不充分条件是________；A∪B＝R的一个充分不必要条件是__________． 解析：若A∪B＝R，则b≥－2， 故A∪B＝R的一个充要条件是b≥－2. 所以A∪B＝R的一个必要不充分条件可以是b≥－3. 所以A∪B＝R的一个充分不必要条件可以是b≥－1. 答案：b≥－3　b≥－1(答案不唯一) 13．求证：关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充要条件是m≥2. 证明：(1)充分性：∵m≥2， ∴Δ＝m2－4≥0， 方程x2＋mx＋1＝0有实根， 设x2＋mx＋1＝0的两根为x1，x2， 由韦达定理知：x1x2＝1>0， ∴x1，x2同号，又∵x1＋x2＝－m≤－2， ∴x1，x2同为负根． (2)必要性：∵x2＋mx＋1＝0的两个实根x1，x2均为负，且x1x2＝1， ∴m－2＝－(x1＋x2)－2＝－－2 ＝－＝－≥0. ∴m≥2.综上(1)，(2)知命题得证． [素养拓展练] 14．已知方程x2－2(m＋2)x＋m2－1＝0有两个大于2的根，试求实数m的取值范围． 解：由于方程x2－2(m＋2)x＋m2－1＝0有两个大于2的根， 设这两个根为x1，x2， 则有 结合解得m＞5. 所以当m∈(5，＋∞)时，方程x2－2(m＋2)x＋m2－1＝0有两个大于2的根． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$