课时分层作业18 第2课时 函数的最大(小)值（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第一册高中同步学案（人教版）

课时分层作业(十八)　函数的最大(小)值 基础达标 一、选择题 1．函数f(x)在[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是(　　) A．f(－2)，0 B．0，2 C．f(－2)，2 D．f(2)，2 【答案】　C 【解析】　由图象可知，此函数的最小值是f(－2)，最大值是2. 2．已知f(x)＝，则y＝f(x)在区间[2，8]上的最小值与最大值分别为(　　) A.与 B．与1 C.与 D．与 【答案】　A 【解析】　y＝在[2，8]上单调递减，故当x＝8时，ymin＝，当x＝2时，ymax＝. 3．函数f(x)＝的最大值是(　　) A. B． C. D． 【答案】　C 【解析】　因为1－x(1－x)＝x2－x＋1＝(x－)2＋≥，所以≤.故f(x)的最大值为. 4．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x(其中销售量单位：辆)．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为(　　) A．90万元 B．60万元 C．120万元 D．120.25万元 【答案】　C 【解析】　设公司在甲地销售x台，则在乙地销售(15－x)台，公司获利为L＝－x2＋21x＋2(15－x)＝－x2＋19x＋30＝－(x－)2＋30＋，∴当x＝9或10时，L最大为120万元． 5．函数f(x)＝(x∈[，2])的值域为(　　) A．[－1，] B．[－1，2] C．[，2] D．[，1] 【答案】　A 【解析】　f(x)＝＝1－，当x∈[，2]时，函数f(x)为增函数， ∴当x＝时，函数取得最小值，最小值为f()＝1－＝1－2＝－1，当x＝2时，函数取得最大值，最大值为f(2)＝1－＝，即函数f(x)的值域为[－1，]，故选A. 二、填空题 6．函数y＝的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】　－5　0 【解析】　由题意可知，当x∈[－3，－1]时，ymin＝－2；当x∈(－1，4]时，ymin＝－5，故最小值为－5，同理可得，最大值为0. 7．函数y＝ax＋1在区间[1，3]上的最大值为4，则a＝ ． 【答案】　1 【解析】　若a<0，则y＝ax＋1单减，∴a＋1＝4，∴a＝3舍去．若a>0，则y＝ax＋1单增，∴3a＋1＝4，∴a＝1符合题意． 8．函数y＝－x2＋6x＋9在区间[a，b](a<b<3)上有最大值9，最小值－7，则a＝ ，b＝ ． 【答案】　－2　0 【解析】　y＝－(x－3)2＋18，∵a<b<3， ∴函数y在区间[a，b]上单调递增，即－b2＋6b＋9＝9. 解得b＝0(b＝6不合题意，舍去)． －a2＋6a＋9＝－7，解得a＝－2(a＝8不合题意，舍去)． 三、解答题 9．已知函数f(x)＝ax2－4ax＋b(a>0)在区间[0，1]上有最大值1和最小值－2. (1)求a，b的值； (2)若在区间[－1，1]上，不等式f(x)>－x＋m恒成立，求实数m的取值范围． 【解】　(1)∵f(x)＝a(x－2)2＋b－4a， 又a>0，∴函数图象开口向上，对称轴x＝2， ∴f(x)在[0，1]上是减函数； ∴f(0)＝b＝1，且f(1)＝b－3a＝－2， ∴a＝b＝1. (2)f(x)>－x＋m⇔x2－4x＋1>－x＋m 即x2－3x＋1－m>0，要使此不等式在[－1，1]上恒成立， 只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1，1]上的最小值大于0即可． ∵g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1，1]上单调递减， ∴g(x)min＝g(1)＝－m－1，由－m－1>0得，m<－1. 因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1)． 10．某公司生产的A种产品，它的成本是2元/件，售价是3元/件，月销售量为10(万件)．为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每月投入的广告费是x(万元)时，产品的月销售量将是原销售量的t倍，且t是x的二次函数，它们的关系如下表： x(万元) 0 1 2 … t 1 1.5 1.8 … (1)求t关于x的函数关系式； (2)如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出月利润S(万元)和广告费x(万元)的函数关系式； (3)如果投入的月广告费x在区间[1，2]内，问广告费为多少万元时，公司可获得的最大月利润为多少万元？ 【解】　(1)设二次函数的解析式为t＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 由关系表得解得 ∴所求函数的解析式为t＝－0.1x2＋0.6x＋1. (2)根据题意得S＝10t·(3－2)－x， ∴S＝－x2＋5x＋10(x≥0)， S＝－x2＋5x＋10＝－(x－)2＋. (3)∵1≤x≤2，S随x的增大而增大， ∴当x＝2时，S取得最大值为16. 故当月广告费为2万元时，公司可获得最大的月利润为16万元． 能力提升 11．函数f(x)＝－x＋在[－2，－]上的最大值是(　　) A. B．－ C．－2 D．2 【答案】　A 【解析】　∵f(x)＝－x＋在[－2，－]上单调递减， ∴f(x)max＝f(－2)＝2－＝. 12．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是(　　) A．[1，＋∞) B．[0，2] C．(－∞，2] D．[1，2] 【答案】　D 【解析】　f(x)＝(x－1)2＋2， ∵f(x)min＝2， f(x)max＝3，且f(1)＝2，f(0)＝f(2)＝3， ∴1≤m≤2，故选D. 13．函数g(x)＝2x－的值域为 ． 【答案】　[－，＋∞) 【解析】　设＝t(t≥0)， 则x＋1＝t2， 即x＝t2－1，∴y＝2t2－t－2＝2(t－)2－，t≥0， ∴当t＝时，ymin＝－， ∴函数g(x)的值域为[－，＋∞)． 14．用min{a，b}表示a，b两个数中的最小值，设f(x)＝min{x＋2，10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为 ． 【答案】　6 【解析】　在同一个平面直角坐标系内画出函数y＝x＋2和y＝10－x的图象． 根据min{x＋2，10－x}(x≥0)的含义可知，f(x)的图象应为图中的实线部分． 解方程x＋2＝10－x，得x＝4，此时y＝6，故两图象的交点为(4，6)． 所以f(x)＝其最大值为交点的纵坐标，所以f(x)的最大值为6. 15．已知函数f(x)＝－x2＋2x－3. (1)求f(x)在区间[2a－1，2]上的最小值g(a)； (2)求g(a)的最大值． 【解】　(1)f(x)＝－(x－1)2－2，f(2)＝－3，f(0)＝－3， ∴当2a－1≤0，即a≤时，f(x)min＝f(2a－1)＝－4a2＋8a－6； 当0<2a－1<2，即<a<时， f(x)min＝f(2)＝－3. 所以g(a)＝ (2)当a≤时，g(a)＝－4a2＋8a－6单调递增， ∴g(a)≤g()＝－3； 又当<a<时，g(a)＝－3， ∴g(a)的最大值为－3. 思维拓展 16．(多选)函数f(x)＝x＋(　　) A．函数单调递增 B．有最小值，无最大值 C．有最大值，无最小值 D．有最小值，有最大值2 【答案】　AB 【解析】　∵f(x)＝x＋在定义域[，＋∞)上是增函数，∴f(x)≥f()＝，即函数f(x)的最小值为，无最大值，故选AB. 17．(多选)已知函数f(x)＝x2－2x＋2，关于f(x)的最大(小)值有如下结论，其中正确的是(　　) A．f(x)在区间[－1，0]上的最小值为1 B．f(x)在区间[－1，2]上既有最小值，又有最大值 C．f(x)在区间[2，3]上有最小值2，最大值5 D．当0<a<1时，f(x)在区间[0，a]上的最小值为f(a)，当a>1时，f(x)在区间[0，a]上的最小值为1 【答案】　BCD 【解析】　函数f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1的图象开口向上，对称轴为直线x＝1.在选项A中，因为f(x)在区间[－1，0]上单调递减，所以f(x)在区间[－1，0]上的最小值为f(0)＝2，A错误；在选项B中，因为f(x)在区间[－1，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，所以f(x)在区间[－1，2]上的最小值为f(1)＝1，又因为f(－1)＝5，f(2)＝2，f(－1)>f(2)，所以f(x)在区间[－1，2]上的最大值为f(－1)＝5，B正确；在选项C中，因为f(x)在区间[2，3]上单调递增，所以f(x)在区间[2，3]上的最小值为f(2)＝2，最大值为f(3)＝5，C正确；在选项D中，当0<a<1时，f(x)在区间[0，a]上是减函数数，f(x)的最小值为f(a)，当a>1时，由图象知f(x)在区间[0，a]上的最小值为1，D正确．因此选BCD. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$