课时分层作业17 第1课时 函数的单调性（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第一册高中同步学案（人教版）

课时分层作业(十七)　函数的单调性 基础达标 一、选择题 1．函数y＝f(x)，x∈[－4，4]的图象如图所示，则f(x)的增区间是(　　) A．[－4，4] B．[－4，－3]∪[1，4] C．[－3，1] D．[－3，4] 【答案】　C 【解析】　由图象知增区间为[－3，1]，故选C. 2．下列说法中，正确的有(　　) ①若任意x1，x2∈I，当x1<x2时，>0，则y＝f(x)在I上是增函数；②函数y＝x2在R上是增函数；③函数y＝－在定义域上是增函数；④函数y＝的单调区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)． A．0个　　　　　 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】　B 【解析】　当x1<x2时，x1－x2<0，由>0知f(x1)－f(x2)<0，∴f(x1)<f(x2)，①正确；②③④均不正确． 3．下列函数中，在区间(0，2)上为增函数的是(　　) A．y＝5－x B．y＝x2＋2 C．y＝ D．y＝－|x| 【答案】　B 【解析】　选项A，C，D中的函数在(0，2)上是减函数，只有函数y＝x2＋2在(0，2)上是增函数． 4．若函数y＝x2＋(2a－1)x＋1在区间(－∞，2]上是减函数，则实数a的取值范围是(　　) A．(－，＋∞) B．(－∞，－] C．(3，＋∞) D．(－∞，－3] 【答案】　B 【解析】　∵函数y＝x2＋(2a－1)x＋1的图象是开口向上，直线x＝为函数的对称轴，又∵函数在区间(－∞，2]上是减函数，故2≤，解得a≤－. 5．已知定义域为R的函数f(x)在(4，＋∞)上为减函数，且函数y＝f(x)的对称轴为x＝4，则(　　) A．f(2)>f(3) B．f(2)>f(5) C．f(3)>f(5) D．f(3)>f(6) 【答案】　D 【解析】　∵f(x)关于x＝4对称且在(4，＋∞)上为减函数， ∴f(x)在(－∞，4)上为增函数，且f(5)＝f(3)，f(6)＝f(2)， ∴f(3)>f(2)＝f(6)，故选D. 二、填空题 6．函数f(x)＝在(a，＋∞)上单调递减，则a的取值范围是 ． 【答案】　[－1，＋∞) 【解析】　函数f(x)＝的单调减区间为(－1，＋∞)，(－∞，－1)，又f(x)在(a，＋∞)上单调递减，所以a≥－1. 7．下列函数中满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，都有>0”的是 (填序号)． ①f(x)＝－；②f(x)＝－3x＋1； ③f(x)＝x2＋4x＋3；④f(x)＝x－. 【答案】　①③④ 【解析】　由题意知f(x)在(0，＋∞)上为增函数，①③④在(0，＋∞)上均为增函数． 8．函数y＝f(x)在(－2，2)上为增函数，且f(2m)>f(－m＋1)，则实数m的取值范围是 ． 【答案】　(，1) 【解析】　由题意知解得<m<1. 三、解答题 9．已知函数f(x)＝ (1)画出f(x)的图象； (2)写出f(x)的单调递增区间及值域． 【解】　(1)f(x)的图象如下图． (2)函数f(x)在[－1，0]和[2，5]上为增函数，在(0，2)上为减函数，所以单调递增区间为[－1，0]和[2，5]． 由图象知值域为[－1，3]． 10．证明：函数f(x)＝x2－在区间(0，＋∞)上是增函数． 【证明】　任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝x－－x＋＝(x1－x2)(x1＋x2＋)． ∵0<x1<x2，∴x1－x2<0，x1＋x2＋>0， ∴f(x1)－f(x2)<0， 即f(x1)<f(x2)， ∴函数f(x)＝x2－在区间(0，＋∞)上是增函数． 能力提升 11．已知函数f(x)是R上的增函数，A(0，－1)，B(3，1)是其图象上的两点，那么－1<f(x)<1的解集是(　　) A．(－3，0) B．(0，3) C．(－∞，－1]∪[3，＋∞) D．(－∞，0]∪[1，＋∞) 【答案】　B 【解析】　由已知f(0)＝－1，f(3)＝1， ∴－1<f(x)<1，即f(0)<f(x)<f(3)． 又∵f(x)在R上单调递增， ∴0<x<3， ∴－1<f(x)<1的解集为(0，3)． 12．若函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，则函数y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上(　　) A．单调递增 B．单调递减 C．先增后减 D．先减后增 【答案】　B 【解析】　由于函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上均为减函数，故a<0，b<0，故二次函数f(x)＝ax2＋bx的图象开口向下，且对称轴为直线x＝－<0，故函数y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上单调递减． 13．已知y＝f(x)在[0，＋∞)上是减函数，则f()与f(a2－a＋1)的大小关系为 ． 【答案】　f()≥f(a2－a＋1) 【解析】　∵a2－a＋1＝(a－)2＋≥， ∴由函数的单调性知f(a2－a＋1)≤f()． 14．已知函数f(x)＝是(－∞，＋∞)上的减函数，则实数a的取值范围是 ． 【答案】　[0，] 【解析】　当x<0时，函数f(x)＝x2－ax＋1是减函数，解得a≥0；当x≥0时，函数f(x)＝－x＋3a是减函数，分段点0处的值应满足1≥3a，解得a≤.∴0≤a≤. 15．已知一次函数f(x)是R上的增函数，g(x)＝f(x)(x＋m)，且f(f(x))＝16x＋5. (1)求f(x)的解析式； (2)若g(x)在(1，＋∞)上单调递增，求实数m的取值范围． 【解】　(1)由题意设f(x)＝ax＋b(a>0)， 从而f(f(x))＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝16x＋5， 所以 解得或(不合题意，舍去)． 所以f(x)的解析式为f(x)＝4x＋1. (2)g(x)＝f(x)(x＋m)＝(4x＋1)(x＋m)＝4x2＋(4m＋1)x＋m，g(x)图象的对称轴为直线x＝－. 若g(x)在(1，＋∞)上单调递增，则－≤1，解得m≥－，所以实数m的取值范围为[－，＋∞)． 思维拓展 16．(多选)下列函数中，在(－∞，0)上为增函数的是(　　) A．y＝|x|＋1 B．y＝ C．y＝－ D．y＝x＋ 【答案】　CD 【解析】　在A中，当x<0时，y＝|x|＋1＝－x＋1在(－∞，0)上为减函数；在B中，当x<0时，y＝＝－1在(－∞，0)上既不是增函数，也不是减函数；在C中，当x<0时，y＝－＝x在(－∞，0)上是增函数；在D中，当x<0时，y＝x＋＝x－1在(－∞，0)上是增函数．故选CD. 17．(多选)设函数f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，则(　　) A．f(a)>f(2a) B．f(a2＋1)<f(a) C．f(a2＋a)<f(a) D．f(a2＋1)≤f(2a) 【答案】　BD 【解析】　∵a2＋1－a＝(a－)2＋>0，∴a2＋1>a. 又∵函数f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，∴f(a2＋1)<f(a)，故B选项正确． ∵a2＋1－2a＝(a－1)2≥0，∴f(a2＋1)≤f(2a)，故D选项正确，故选BD. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$