课时分层作业7 全称量词与存在量词（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第一册高中同步学案（人教版）

课时分层作业(七)　全称量词与存在量词 基础达标 一、选择题 1．下列命题是“∀x∈R，x2>3”的另一种表述方式的是(　　) A．有一个x∈R，使得x2>3 B．对有些x∈R，使得x2>3 C．任选一个x∈R，使得x2>3 D．至少有一个x∈R，使得x2>3 【答案】　C 【解析】　“∀”和“任选一个”都是全称量词． 2．下列命题中的假命题是(　　) A．∃x∈R，|x|＝0 B．∃x∈R，2x－10＝1 C．∀x∈R，x3>0 D．∀x∈R，x2＋1>0 【答案】　C 【解析】　当x＝0时，x3＝0，故选项C为假命题． 3．下列命题中是存在量词命题的是(　　) A．∀x∈R，x2>0 B．∃x∈R，x2≤0 C．平行四边形的对边平行 D．矩形的任一组对边相等 【答案】　B 【解析】　A含有全称量词∀，为全称量词命题，B含有存在量词∃，为存在量词命题，满足条件．C省略了全称量词所有，为全称量词命题，D省略了全称量词所有，为全称量词命题，故选B. 4．以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是(　　) A．锐角三角形的内角是锐角或钝角 B．至少有一个实数x，使x2≤0 C．两个无理数的和必是无理数 D．存在一个负数x，使>2 【答案】　B 【解析】　A中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称量词命题；B中x＝0时，x2＝0，所以B既是存在量词命题又是真命题；C中因为＋(－)＝0，所以C是假命题；D中对于任一个负数x，都有<0，所以D是假命题． 5．记S＝{正方形}，p(x)：“平行四边形”，用量词符号写成全称量词命题正确的是(　　) A．∀x∈p(x)，x∈S B．∀x∈S，x∈p(x) C．A、B都不对 D．无法写出 【答案】　B 【解析】　任意一个正方形都是平行四边形，平行四边形不一定都是正方形．故选B. 二、填空题 6．命题“存在实数x，y，使得x＋y>1”是 (填“全称量词命题”或“存在量词命题”)，用符号表示为 ． 【答案】　存在量词命题　∃x，y∈R，x＋y>1 【解析】　命题“存在实数x，y，使得x＋y>1”是存在量词命题，用符号表示为：“∃x，y∈R，x＋y>1”． 7．命题“任意一个x∈R，都有x2－2x＋4≤0”的否定是 ． 【答案】　存在一个x∈R，使得x2－2x＋4>0 【解析】　原命题为全称量词命题，其否定为存在量词命题，既要否定量词又要否定结论，所以其否定为：存在一个x∈R，使得x2－2x＋4>0. 8．若“∀x∈R，x2＋4x≥m”是真命题，则实数m的取值范围为 ． 【答案】　{m|m≤－4} 【解析】　由题意，y＝x2＋4x＝(x＋2)2－4的最小值为－4，所以m≤－4. 三、解答题 9．判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定： (1)三角形的内角和为180°； (2)每个二次函数的图象都开口向下； (3)存在一个四边形不是平行四边形． 【解】　(1)是全称量词命题且为真命题．命题的否定：三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角形的内角和不等于180°. (2)是全称量词命题且为假命题．命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不向下． (3)是存在量词命题且为真命题．命题的否定：所有的四边形都是平行四边形． 10．写出下列命题的否定，并判断其真假： (1)p：∀m∈R，方程x2＋x－m＝0必有实根； (2)q：有些梯形的对角线相等． 【解】　(1)¬p：∃m∈R，方程x2＋x－m＝0无实数根． 由于当m＝－1时，方程x2＋x－m＝0的根的判别式Δ<0， ∴方程x2＋x－m＝0无实数根，故其是真命题． (2)¬q：∀x∈{梯形}，x的对角线不相等，如等腰梯形对角线相等，故其是假命题． 能力提升 11．下列命题中正确的个数是(　　) ①∃x∈R，x≤0； ②至少有一个整数，它既不是合数也不是质数； ③∃x∈{x|x是无理数}，x2是无理数． A．0　　　　　 B．1 C．2 D．3 【答案】　D 【解析】　①∃x∈R，x≤0，正确；②至少有一个整数，它既不是合数也不是质数，正确，例如数1满足条件；③∃x∈{x|x是无理数}，x2是无理数，正确，例如x＝π.综上可得①②③都正确．故选D. 12．下列命题的否定是真命题的为(　　) A．p1每一个合数都是偶数 B．p2两条平行线被第三条直线所截内错角相等 C．p3有些实数的绝对值是正数 D．p4某些平行四边形是菱形 【答案】　A 【解析】　若判断某命题的否定的真假，只要判断出原命题的真假即可得解，它们的真假性始终相反．因p1为全称量词命题，且是假命题，则¬p1是真命题．命题p2，p3，p4均为真命题，即¬p2，¬p3，¬p4均为假命题． 13．命题“∀x>0，都有x2－x＋3≤0”的否定是 ． 【答案】　∃x>0，使得x2－x＋3>0 【解析】　命题“∀x>0，都有x2－x＋3≤0”的否定是：∃x>0，使得x2－x＋3>0. 14．已知命题p：存在x∈R，x2＋2x＋a＝0.若命题p是真命题，则实数a的取值范围是 ． 【答案】　{a|a≤1} 【解析】　存在x∈R，x2＋2x＋a＝0为真命题， ∴Δ＝4－4a≥0，∴a≤1. 15．写出下列命题的否定，并判断其真假． (1)p：每一个素数都是奇数； (2)p：某些平行四边形是菱形； (3)可以被5整除的数，末位是0； (4)能被3整除的数，也能被4整除． 【解】　(1)由于全称量词“每一个”的否定为“存在一个”，因此，¬p：存在一个素数不是奇数，是真命题． (2)由于存在量词“某些”的否定为“每一个”，因此，¬p：每一个平行四边形都不是菱形，是假命题． (3)省略了全称量词“任何一个”，命题的否定为：有些可以被5整除的数，末位不是0，是真命题． (4)省略了全称量词“所有”，命题的否定为：存在一个能被3整除的数，不能被4整除，是真命题． 思维拓展 16．(多选)下列命题正确的是(　　) A．命题“∃x∈R，2x2＋1≤2”的否定是“∀x∈R，2x2＋1>2” B．命题“∀x∈R，x2≠x”的否定是“∀x∉R，x2≠x” C．命题“∀x∈Z，(x＋1)2－1>0”的否定是“∀x∉Z，(x＋1)2－1≤0” D．命题“存在x∈R，x2－8x＋18<0”的否定是“∀x∈R，x2－8x＋18≥0” 【答案】　AD 【解析】　A选项中，因为命题“∃x∈R，2x2＋1≤2”为存在量词命题，所以其否定是“∀x∈R，2x2＋1>2”．故A正确； B选项中，根据全称量词命题的否定是存在量词命题，得原命题的否定是“∃x∈R，x2＝x”．故B错误； C选项中，命题“∀x∈Z，(x＋1)2－1>0”的否定是“∃x∈Z，(x＋1)2－1≤0”，故C错误； D选项中，命题“存在x∈R，x2－8x＋18<0”的否定是“∀x∈R，x2－8x＋18≥0”，故D正确． 17．(多选)给出下列命题，其中真命题有(　　) A．存在x<0，使|x|>x B．对于一切x<0，都有|x|>x C．已知a＝2n，b＝3n，则存在n∈N*，使得a＝b D．已知A＝{a|a＝2n，n∈N*}，B＝{b|b＝3n，n∈N*}，则A∩B＝∅ 【答案】　AB 【解析】　易知选项A、B为真命题；C中，“存在n∈N*，使得a＝b”的否定是“对于任意的n∈N*，都有a≠b”，由于a－b＝2n－3n＝－n，所以对于任意的n∈N*，都有a<b，即a≠b，故C为假命题；D中，已知A＝{a|a＝2n，n∈N*}，B＝{b|b＝3n，n∈N*}，易知6∈A，6∈B，因此D为假命题，故选AB. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$