专题39 平面向量的内积及运算（讲义） -2026版黑龙江春季高考一轮复习《数学知识点清单》（解析版+原卷版）

编写说明：2026版黑龙江春季高考一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》及黑龙江春季高考真题进行编写.本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型.整套资料共包含11个模块共42个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题. 本专题是2026版黑龙江春季高考一轮复习《数学知识点清单》的第39个专题：平面向量的内积与运算.本专题涵盖向量的夹角、平面向量的内积、平面向量内积的性质及其坐标表示等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测. 2026版黑龙江春季高考 一轮复习 《数学知识点清单》 专题39 平面向量的内积及运算（讲义） 知识点一：向量的夹角 两个非零向量a与b，过O点作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角；范围是 [0，π]　. a与b的夹角为 　时，则a与b垂直，记作a⊥b. 知识点二：平面向量的内积 (1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做a与b的内积(或内积)，记作a·b，即a·b＝ |a||b|cos θ　，规定零向量与任一向量的内积为0，即0·a＝0. (2)几何意义：内积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积． 知识点三：平面向量内积的性质及其坐标表示 (1)设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角． ①内积：a·b＝|a||b|cos θ＝ x1x2＋y1y2 . ②夹角：cos θ＝ 　＝. ③已知两非零向量a与b，a⊥b⇔a·b＝0⇔ x1x2＋y1y2＝0． (2)平面向量内积的运算律 ①a·b＝b·a(交换律)． ②λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)． ③(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)． 1．（2022年黑龙江职教高考）已知向量 a , b 均为单位向量，向量 a 与向量 b 的夹角为60°，那么 =（ ） A． B. C. D. 2.（2023年黑龙江职教高考）已知向量的夹角为，且，则（ ） A. 0 B. 10 C. D. 3.（2023年黑龙江职教高考）已知向量，，满足，，，，则_____. 4.（2024年黑龙江职教高考）若向量满足,则=（ ） A. B. C. D. 5.（2024年黑龙江职教高考）已知，向量与向量的夹角是30°，则_____. 1．已知，，则（ ）. A. B. C. D. 2.下列向量中，与垂直的是（ ） A．(2,1) B．(1,2) C．(1,2) D．(2,1) 3.若，，若⊥，则k=（ ） A. 2 B. 2 C. D. 4.已知向量 =( m ,1), =(2, n )，若 =2, ，则mn =（ ） A. 6 B. ±6 C. ±3 D. 3 5.已知，，，则（   ） A． B． C． D． 6．已知，||，且〈，〉135°，则||（ ）. A. B. C. D. 7.已知，，若，则（  ） A． B．1 C． D． 8.已知(1,0)，(0,1)，则与夹角的余弦值为（ ） A. 0 B. 1 C. -1 D. 9.给出下面的关系式： ①；②；③；④；⑤． 其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．已知为单位向量，，那么（      ） A． B． C． D． 11.若单位向量，的夹角为，则 ． 12.已知向量，，，则 ． 13.已知向量，满足，，则与所成的角为 14．已知 ，求： (1)； (2). 15．已知，，计算： （1）； （2）. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：2026版黑龙江春季高考一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》及黑龙江春季高考真题进行编写.本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型.整套资料共包含11个模块共42个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题. 本专题是2026版黑龙江春季高考一轮复习《数学知识点清单》的第39个专题：平面向量的内积与运算.本专题涵盖向量的夹角、平面向量的内积、平面向量内积的性质及其坐标表示等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测. 2026版黑龙江春季高考 一轮复习 《数学知识点清单》 专题39 平面向量的内积及运算（讲义） 知识点一：向量的夹角 两个非零向量a与b，过O点作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角；范围是 [0，π]　. a与b的夹角为 　时，则a与b垂直，记作a⊥b. 知识点二：平面向量的内积 (1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做a与b的内积(或内积)，记作a·b，即a·b＝ |a||b|cos θ　，规定零向量与任一向量的内积为0，即0·a＝0. (2)几何意义：内积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积． 知识点三：平面向量内积的性质及其坐标表示 (1)设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角． ①内积：a·b＝|a||b|cos θ＝ x1x2＋y1y2 . ②夹角：cos θ＝ 　＝. ③已知两非零向量a与b，a⊥b⇔a·b＝0⇔ x1x2＋y1y2＝0． (2)平面向量内积的运算律 ①a·b＝b·a(交换律)． ②λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)． ③(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)． 1．（2022年黑龙江职教高考）已知向量 a , b 均为单位向量，向量 a 与向量 b 的夹角为60°，那么 =（ ） A． B. C. D. 【答案】C 【分析】根据平面向量的内积求出，结合 即可得解. 【解析】因为向量与的夹角为60°，，， 所以， 则． 故答案为：C. 2.（2023年黑龙江职教高考）已知向量的夹角为，且，则（ ） A. 0 B. 10 C. D. 【答案】C 【分析】根据平面向量内积的定义运算即可. 【解析】已知，，， 则， 故选：C. 3.（2023年黑龙江职教高考）已知向量，，满足，，，，则_____. 【答案】6 【分析】根据得，展开并将已知条件代入即可求解． 【解析】∵， ∴，∴， ∴，又，，， ∴，∴． 故答案为：6． 4.（2024年黑龙江职教高考）若向量满足,则=（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据内积的运算，分别计算从而求解. 【解析】因为 ⇒ ⇒ ， 所以, 故选：C. 5.（2024年黑龙江职教高考）已知，向量与向量的夹角是30°，则_____. 【答案】 【分析】根据平面向量内积的定义运算即可. 【解析】已知，，， 则. 1．已知，，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】 C 【分析】 本题考查向量内积的坐标运算，若，，则+. 【解析】 . 2.下列向量中，与垂直的是（ ） A．(2,1) B．(1,2) C．(1,2) D．(2,1) 【答案】 B 【分析】 本题考查向量垂直的坐标条件，⊥，则. 【解析】 对选项 B：，故与垂直. 3.若，，若⊥，则k=（ ） A. 2 B. 2 C. D. 【答案】 A 【分析】 本题考查垂直条件的参数计算，利用内积为0列方程. 【解析】 由⊥得，即，解得. 4.已知向量 =( m ,1), =(2, n )，若 =2, ，则mn =（ ） A. 6 B. ±6 C. ±3 D. 3 【答案】 A 【分析】 本题考查垂直条件的参数计算，利用内积为0列方程. 【解析】 由⊥得，即, 又,解得m=, 所以当时，，则mn=-6; 当时，，则mn=-6; 故mn=-6. 5.已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据内积的定义即可求解. 【解析】因为，，， 所以. 故选：A. 6．已知，||，且〈，〉135°，则||（ ）. A. B. C. D. 【答案】 A 【分析】 本题考查内积公式的逆用，已知内积、模长和夹角，求另一向量的模. 【解析】 由得：，即()，解得. 7.已知，，若，则（  ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是向量垂直关系. 【解析】已知，，所以， 由可得，解得． 8.已知(1,0)，(0,1)，则与夹角的余弦值为（ ） A. 0 B. 1 C. -1 D. 【答案】 A 【分析】 本题考查夹角余弦公式的应用. 【解析】 ，，，故. 9.给出下面的关系式： ①；②；③；④；⑤． 其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据向量的内积的运算律逐个分析即可. 【解析】零向量与任意向量的数量积为0，即，故①正确， ，故②正确， ，故③正确， ，故④错误， ，其中为的夹角，故⑤错误. 故选：C. 10．已知为单位向量，，那么（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的内积求解. 【解析】因为为单位向量，， . 故选：C. 11.若单位向量，的夹角为，则 ． 【答案】0 【分析】根据平面向量内积的定义可求解. 【解析】由题可知， . 故答案为：0. 12.已知向量，，，则 ． 【答案】 【分析】由数量积的定义即可求解. 【解析】因为，，， 所以. 故答案为：. 13.已知向量，满足，，则与所成的角为 【答案】 【分析】运用向量内积与模、夹角余弦值之间的关系，代入条件，求得夹角的余弦值，从而求得夹角. 【解析】因为和， 又，得到. 又由于与所成的角的范围应为 ，因此与所成的角为. 故答案为：. 14．已知 ，求： (1)； (2). 【答案】(1);(2) 【分析】（1）根据向量内积的定义即可求解. （2）根据向量模长公式即可求解. 【解析】（1）因为 ， 所以. （2）由（1）可知， 所以. 15．已知，，计算： （1）； （2）. 【答案】 （1）；（2） 【分析】 本题考查向量的内积坐标运算及变形公式应用. 【解析】 （1）.（2） . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$