精品解析：山东省枣庄市第四十一中学2025年中考第四次模拟考试数学试题

2024-2025学年度初中数学九年级模拟试题 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，90分；全卷共6页，满分120分．考试时间为120分钟． 2．答卷时，务必将第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分的答案填涂或书写在答题卡指定位置上． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的代号填在答题纸上．） 1. 2025年是农历乙巳蛇年，2025的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 2. 中华文化源远流长，不论是玉器、漆器还是服饰都具有特色纹样．下列中国传统纹样图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 袁枚的一首诗《苔》在《经典咏流传》的舞台被重新唤醒，“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径为米，将用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 4. 如图的立体图形由相同大小的正方体积木堆叠而成．判断拿走图中的哪一个积木后，此图形主视图的形状会改变（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 5. “孔子周游列国”是流传很广的故事．有一次孔子和学生们到距离他们住的驿站12公里的书院参观，学生们步行出发，1小时后，孔子乘牛车出发，牛车的速度是步行的速度的1.5倍，孔子和学生们同时到达书院．设学生们步行的速度为每小时公里，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图是可调节台灯及其示意图．固定支撑杆垂直底座于点O，现调节台灯使外侧光线，，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点和点，分别交反比例函数，的图象于点和点，过点作轴于点，连结，，若的面积与的面积相等，则的值是（ ） A. 2 B. C. 1 D. 4 8. 如图，是的直径，点为圆上一点，，是弧的中点，与交于点，若是的中点，则的长为（ ） A. 9 B. 8 C. 10 D. 11 9. 如图，在正方形中，点为上一点，将正方形沿所在直线折叠后，点的对应点恰好落在边的垂直平分线上．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 我们约定：在平面直角坐标系中，与轴有交点的函数称为“零点函数”，交点的横坐标称为“零点”．例如：函数与轴的交点坐标是，所以函数是“零点函数”， 是该函数的“零点”．则下列结论正确的是（ ） ①对于反比例函数，存在实数使得该函数是零点函数； ②对于一次函数，不论为何值，该函数始终存在唯一的零点； ③若二次函数的两个零点互为相反数，则且； ④若二次函数的两个零点为，，且，则 A. ①② B. ③④ C. ②③ D. ②④ 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（（木大题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 若实数a、b满足，我们就说a与b是关于6的“如意数”，则与是关于6的“如意数”的是：_______． 12. 小明周六从家出发沿一条路匀速步行去图书馆查阅资料，资料查阅完毕后沿原路匀速返回，速度与来时相同，途中遇到同学小亮，交谈一段时间后以相同速度继续行进，直至返回家中，如图是小明离家距离与时间的关系，则小明与小亮交谈的时间为________． 13. 小刚将二维码打印在面积为10的正方形纸片上，如图所示．为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，多次试验后获得如下数据： 重复试验次数 30 50 100 300 800 点落在阴影部分次数 19 32 59 183 483 “点落在阴影部分”的频率（结果保留两位小数） 0.67 0.64 0.59 0.61 0.60 由此可以估计此二维码中黑色阴影部分的面积为_____．（结果保留整数） 14. 如图，已知扇形的半径为3，圆心角为，点在上，，过作于点，连接．则图中阴影部分的面积是______．（结果保留根号和） 15. 已知a，b为实数，定义一种新的运算“☆”如下： ，若，则_____ 16. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点A，过点A作交x轴于点B，作交反比例函数图象于点，过点作交x轴于点，再作交反比例函数图象于点，依次进行下去，……，则点的纵坐标为______ 三、解答题（本题共7小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （1）计算： （2）先化简，再求值：，其中x是不等式 的最小整数解 18. 今年央视春晚节目《秧BOT》别出心裁，独树一帜，人机共舞为文化传承搭建了新的桥梁，不仅舞出了精彩的节目，更是舞出了传统文化与现代科技交织的艺术新境界．科创小达人菲菲从某省的快递分拣站随机抽取两种型号的智能机器人各10台，统计它们每天可分拣的快递数量． 【数据收集与整理】 型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）条形统计图如图所示： 型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）如下表所示： 分拣快递数量（万件） 16 17 20 22 23 机器人台数（台） 1 1 5 2 1 【数据分析与运用】 两组样本数据的众数、中位数、平均数整理如下表： 众数/万件 中位数/万件 平均数/万件 型号 14和16 15 型号 20 请你根据以上数据，解答下列问题： （1）填空：表中___________，___________； （2）请计算表中的值；（需要写出计算过程） （3）若该省共投放市场的型号智能机器人有80台，型号智能机器人有100台，请你估计该省每天用这两种智能机器人分拣的快递共有多少万件？ 19. 综合与实践 主题：日月贝的设计与数学思考 【文化背景】坐落于珠海市香洲区的日月贝，不仅是一座具有艺术价值的建筑，也是来珠海市旅游的必去之地，为游客提供了丰富的体验和享受．日月贝的设计灵感源自名画《维纳斯的诞生》，由一大一小两组“贝壳”的形体组成，白天呈现半通透效果，夜晚则像贝壳一样闪闪发光． 【素材一】如图和图所示，日贝和月贝外形都可近似处理成与地面相交的圆弧．已知月贝高为米，日贝高为米，和分别是两贝的直径，两圆心到地面的距离均约为各自半径的． 【问题一】 （1）求和的长度（结果取整数）． 【素材二】如图，为了体现错落的艺术感，日贝和月贝各自斜向形成一定的夹角．小队成员在进行地面勘测时，发现了其中隐藏的几何模型．将其转化为以下数学问题． 【问题二】 （2）如图，在等腰直角中，，．在（1）的条件下，计算的长度（结果取整数）． （参考数据，，，，） 20. 【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻之间关系为，通过实验得出如下数据： … 1 3 4 6 … … 4 3 2.4 2 … （1）_______，_______； （2）【探究】根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质． ①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象； ②随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是_________． （3）【拓展】结合（2）中函数图象分析，当时，的解集为________． 21. 如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB=2∠BCP．  （1）求证：直线CP是⊙O的切线；  （2）若BC=2，sin∠BCP=，求点B到AC的距离； （3）在第（2）的条件下，求△ACP的周长． 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． （1）求、两点的坐标； （2）当时，动直线与抛物线交于点，与直线交于点，线段的长为，求关于的函数解析式； （3）我们规定：横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若抛物线在点，之间的部分与线段所围成的区域内（不含边界）恰有个整点，试结合函数图象直接写出的取值范围． 23. 定义：在一个四边形中，若一条对角线能把该四边形分成的两个三角形中，至少有一个三角形为等腰直角三角形，则这个对角线叫做“奋进线”，这个四边形叫做“奋进四边形”． （1）①如图1，在四边形中，若，，则四边形______（填“是”或“否”）“奋进四边形”，若是，则______是“奋进线”（若不是，此空不填）； ②如图1，若四边形为“奋进四边形”，为“奋进线”，且，，时，当为等腰三角形时，的长为______； （2）如图2，四边形和四边形均为“奋进四边形”，，，对角线分别为这两个四边形的“奋进线”，求证：； （3）如图3，四边形为“奋进四边形”，为“奋进线”，若，，，当为“奋进线”时，且恰好为等腰直角三角形的一条直角边，直接写出此时的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度初中数学九年级模拟试题 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，90分；全卷共6页，满分120分．考试时间为120分钟． 2．答卷时，务必将第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分的答案填涂或书写在答题卡指定位置上． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的代号填在答题纸上．） 1. 2025年是农历乙巳蛇年，2025的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是倒数的含义．根据乘积为1的两个数互为倒数作答即可． 【详解】解：2025的倒数是， 故选：B． 2. 中华文化源远流长，不论是玉器、漆器还是服饰都具有特色纹样．下列中国传统纹样图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别，掌握其定义，找出对称轴，对称中心是解题的关键． 轴对称图形，是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这条直线就叫做对称轴；中心对称：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么就说明这两个图形的形状关于这个点成中心对称，这个点叫做它的对称中心；根据定义，结合图形找出对称轴和对称中心即可求解． 【详解】解：A、没有对称轴，不是轴对称图形，有对称中心，是中心对称图形，不符合题意； B、有对称轴，是轴对称图形，没有对称中心，不是中心对称图形，不符合题意； C、有对称轴，是轴对称图形，有对称中心，是中心对称图形，符合题意； D、有对称轴，是轴对称图形，没有对称中心，不是中心对称图形，不符合题意； 故选：C ． 3. 袁枚的一首诗《苔》在《经典咏流传》的舞台被重新唤醒，“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径为米，将用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，熟练掌握一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定是解题的关键．左起第一个不为零的数为，前面有个零，故，即可求解． 【详解】解：， 故选：A． 4. 如图的立体图形由相同大小的正方体积木堆叠而成．判断拿走图中的哪一个积木后，此图形主视图的形状会改变（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【解析】 【分析】观察可知，图形的主视图分3列，第1列有3个小正方形，第2列有2个小正方形，第3列有1个小正方形，进行判断即可. 【详解】解：观察可知，图形的主视图分3列，第1列有3个小正方形，第2列有2个小正方形，第3列有1个小正方形， 故当移走甲，丙，丁后，主视图不变，移走乙后，主视图的第2列变为1个小正方形，主视图发生变化. 5. “孔子周游列国”是流传很广的故事．有一次孔子和学生们到距离他们住的驿站12公里的书院参观，学生们步行出发，1小时后，孔子乘牛车出发，牛车的速度是步行的速度的1.5倍，孔子和学生们同时到达书院．设学生们步行的速度为每小时公里，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，设学生步行的速度为每小时x公里，则牛车的速度是每小时公里，根据学生们步行出发，1小时后，孔子乘牛车出发，孔子和学生们同时到达书院，列出分式方程即可． 【详解】解：设学生步行的速度为每小时x公里，则牛车的速度是每小时1.5x公里， 由题意得：， 故选：A． 6. 如图是可调节台灯及其示意图．固定支撑杆垂直底座于点O，现调节台灯使外侧光线，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，如图所示，过点A作，过点B作，则，由得到，则，进而得到，再根据平行线的性质得到，由此即可得到．正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图所示，过点A作，过点B作， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 7. 如图，已知在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点和点，分别交反比例函数，的图象于点和点，过点作轴于点，连结，，若的面积与的面积相等，则的值是（ ） A. 2 B. C. 1 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握反比例函数的应用是解题关键．过点作轴于点，先根据一次函数的解析式求出，再根据反比例函数可得的面积为1，利用三角形的面积公式可得，从而可得点的坐标，代入计算即可得． 【详解】解：如图，过点作轴于点， 对于一次函数， 当时，，即， ∵点位于反比例函数的图象上，且轴于点， ∴的面积为， ∵的面积与的面积相等， ∴，即， ∴， 将代入一次函数得：， ∴， 将点代入反比例函数得：， 故选：D． 8. 如图，是的直径，点为圆上一点，，是弧的中点，与交于点，若是的中点，则的长为（ ） A. 9 B. 8 C. 10 D. 11 【答案】A 【解析】 【分析】连接交于，由垂径定理及推论得，，可证，再证，根据性质得，则，设，则，，由勾股定理即可求解． 【详解】解：连接交于，如图， ∵是弧的中点， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴是中位线， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得，负值舍去， 即， 故选：A． 【点睛】本题考查了圆周角定理，中位线的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，垂径定理及推论，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 9. 如图，在正方形中，点为上一点，将正方形沿所在直线折叠后，点的对应点恰好落在边的垂直平分线上．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由折叠的性质及三角函数求得，从而求得求；再由折叠的性质及三角函数求得结果． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴； ∵垂直平分线段， ∴； ∴四边形是矩形， ∴，； 由折叠知，，； 在中，， ∴，； ∴； ∵，， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，矩形的判定与性质，垂直平分线的性质，锐角三角函数；熟练掌握这些知识是解题的关键． 10. 我们约定：在平面直角坐标系中，与轴有交点的函数称为“零点函数”，交点的横坐标称为“零点”．例如：函数与轴的交点坐标是，所以函数是“零点函数”， 是该函数的“零点”．则下列结论正确的是（ ） ①对于反比例函数，存在实数使得该函数是零点函数； ②对于一次函数，不论为何值，该函数始终存在唯一的零点； ③若二次函数的两个零点互为相反数，则且； ④若二次函数的两个零点为，，且，则 A. ①② B. ③④ C. ②③ D. ②④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了新定义——“零点函数”，“零点”．熟练掌握新定义，一次函数，二次函数，反比例函数的图象和性质，一元二次方程根与系数的关系，是解题的关键． 根据“零点函数”，“零点”的意义，一次函数，二次函数，反比例函数的图象和性质，一元二次方程根与系数的关系，逐一判断，即得． 【详解】解：①∵反比例函数与x轴不相交， ∴不存在零点， ∴不存在实数使得该函数是零点函数； ∴①不正确； ②∵时，， ∴一次函数的零点为； ∴②正确； ③设二次函数与x轴的两个交点为， ∵二次函数的两个零点互为相反数， ∴， ∴且互为相反数； ∴③不正确； ④∵二次函数的两个零点为，， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴④正确． 故选：D． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（（木大题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 若实数a、b满足，我们就说a与b是关于6的“如意数”，则与是关于6的“如意数”的是：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，准确理解新定义是解题的关键．直接根据“如意数”的概念进行求解即可． 【详解】解：∵ ∴与是关于6的“如意数”． 故答案为：． 12. 小明周六从家出发沿一条路匀速步行去图书馆查阅资料，资料查阅完毕后沿原路匀速返回，速度与来时相同，途中遇到同学小亮，交谈一段时间后以相同速度继续行进，直至返回家中，如图是小明离家距离与时间的关系，则小明与小亮交谈的时间为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一次函数的应用，首先利用待定系数法求出，然后求出当时，，进而求解即可． 【详解】解：设当时，y与x的函数关系式为 将代入得， 解得 ∴ 当时， 解得 ∴ ∴小明与小亮交谈的时间为． 故答案为：． 13. 小刚将二维码打印在面积为10的正方形纸片上，如图所示．为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，多次试验后获得如下数据： 重复试验次数 30 50 100 300 800 点落在阴影部分次数 19 32 59 183 483 “点落在阴影部分”的频率（结果保留两位小数） 0.67 0.64 0.59 0.61 0.60 由此可以估计此二维码中黑色阴影部分的面积为_____．（结果保留整数） 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，熟练掌握用频率估计概率是解题的关键．根据总面积乘以“点落在阴影部分”的频率的稳定值即可得到答案． 【详解】解：估计此二维码中黑色阴影部分的面积为， 故答案为：． 14. 如图，已知扇形的半径为3，圆心角为，点在上，，过作于点，连接．则图中阴影部分的面积是______．（结果保留根号和） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求扇形的面积，直角三角形的性质，勾股定理．在中，利用直角三角形的性质以及勾股定理求得，，再利用图中阴影部分的面积列式计算即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 在中，，， ∴，， ∴图中阴影部分的面积 ， 故答案为：． 15. 已知a，b为实数，定义一种新的运算“☆”如下： ，若，则_____ 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了解分式方程，以及实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．分类讨论3与的大小，利用题中的新定义化简，计算即可求出x的值． 【详解】解：当，即时，已知等式变形得：， 去分母得：， 解得：， 经检验是分式方程的解，但，不符合题意，舍去； 当，即时，已知等式变形得：， 去分母得：， 解得：， 经检验是分式方程的解，且符合题意． 故答案为：． 16. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点A，过点A作交x轴于点B，作交反比例函数图象于点，过点作交x轴于点，再作交反比例函数图象于点，依次进行下去，……，则点的纵坐标为______ 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数图象的交点，掌握一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形的性质是正确解答的前提． 由一次函数与反比例函数的图象交于点,可得；易得是等腰直角三角形，则分别过点, 作轴的垂线，垂足分别为 ,则是等腰直角三角形，设则则 在反比例函数上，可得的值，求出点的坐标，同理可得的坐标，以此类推，可得结论. 【详解】解：如图，分别过点, 作轴的垂线，垂足分别为. ∵一次函数与反比例函数的图象交于点， ∴联立 ，解得 ， ∴点的坐标为. ， ， ∴是等腰直角三角形. ， ， ， 设 则 ∴点 的坐标为， ∵点在反比例函数上, ， 解得或(负值舍去). ∴点的坐标为 ； ， ， ， ， ， 设 则 ∴点的坐标为 ∵点在反比例函数 上, ， 解得 (负值舍去). ∴点的坐标为； 同理点的坐标为； 以此类推，可得点的纵坐标为， 故答案为：． 三、解答题（本题共7小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （1）计算： （2）先化简，再求值：，其中x是不等式 的最小整数解 【答案】（1）；（2）； 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，解一元一次不等式，实数的运算，求特殊角三角函数值，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，再计算立方根和绝对值，最后计算加减法即可得到答案； （2）先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，最后根据分式减法计算法则化简，接着解不等式求出整数x的最小值，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解：（1） ； （2） ， 解不等式得， ∴整数x的最小值为， ∴原式． 18. 今年央视春晚节目《秧BOT》别出心裁，独树一帜，人机共舞为文化传承搭建了新的桥梁，不仅舞出了精彩的节目，更是舞出了传统文化与现代科技交织的艺术新境界．科创小达人菲菲从某省的快递分拣站随机抽取两种型号的智能机器人各10台，统计它们每天可分拣的快递数量． 【数据收集与整理】 型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）条形统计图如图所示： 型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）如下表所示： 分拣快递数量（万件） 16 17 20 22 23 机器人台数（台） 1 1 5 2 1 【数据分析与运用】 两组样本数据的众数、中位数、平均数整理如下表： 众数/万件 中位数/万件 平均数/万件 型号 14和16 15 型号 20 请你根据以上数据，解答下列问题： （1）填空：表中___________，___________； （2）请计算表中的值；（需要写出计算过程） （3）若该省共投放市场的型号智能机器人有80台，型号智能机器人有100台，请你估计该省每天用这两种智能机器人分拣的快递共有多少万件？ 【答案】（1）20，15 （2）20． （3）3200万件． 【解析】 【分析】本题主要考查了频数分布直方图，中位数，众数，用样本估计总体，从统计图中得出数量之间关系是解答本题的关键． （1）根据众数和中位数的定义求解即可； （2）运用加权平均数的计算公式求解即可； （3）分别求出型和型号智能机器人分别分拣的快递件数，再求和即可． 【小问1详解】 解：型号的智能机器人每天可分拣20万件的机器人有5台，数量最多， 故众数； 型智能机器人分拣的快递件数最中间的两个数据是15，15， 故中位数； 故答案为：20；15； 【小问2详解】 解：（万件）， 表中的值为20． 【小问3详解】 解：（万件）， 估计该省每天用这两种智能机器人分拣的快递共有3200万件． 19. 综合与实践 主题：日月贝的设计与数学思考 【文化背景】坐落于珠海市香洲区的日月贝，不仅是一座具有艺术价值的建筑，也是来珠海市旅游的必去之地，为游客提供了丰富的体验和享受．日月贝的设计灵感源自名画《维纳斯的诞生》，由一大一小两组“贝壳”的形体组成，白天呈现半通透效果，夜晚则像贝壳一样闪闪发光． 【素材一】如图和图所示，日贝和月贝外形都可近似处理成与地面相交的圆弧．已知月贝高为米，日贝高为米，和分别是两贝的直径，两圆心到地面的距离均约为各自半径的． 【问题一】 （1）求和的长度（结果取整数）． 【素材二】如图，为了体现错落的艺术感，日贝和月贝各自斜向形成一定的夹角．小队成员在进行地面勘测时，发现了其中隐藏的几何模型．将其转化为以下数学问题． 【问题二】 （2）如图，在等腰直角中，，．在（1）的条件下，计算的长度（结果取整数）． （参考数据，，，，） 【答案】（1）米， 米； （2） 米 【解析】 【分析】过点作，垂足为点，连接，设月贝半径为 ，根据月贝的高度是米，可得：，解方程求出月贝的半径，根据勾股定理可求米，设日贝的半径是米，根据日贝的高度是米，可得：，可求米，利用勾股定理可求米； 设，根据等腰直角三角形斜边与直角边之间的关系可得：，解方程求出米，过点作 ，利用锐角三角函数可得：，从而可求米，根据垂径定理可知米． 【详解】解：如下图所示，过点作，垂足为点，连接，设月贝半径为 ， 月贝高米，且 ， ， 解得：米， 在 中米， 米， 设日贝的半径是米， 日贝的高度是米， ， 解得：米， 米， 答： 的长度为米， 的长度为 米； 解：设， 在等腰 中，米，米， ， 解得：米， 过点作 ， ， ， 解得：米， 米， 答：的长度为米． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、垂径定理、等腰直角三角形的性质、三角函数的应用，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形，解直角三角形求线段的长度． 20. 【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻之间关系为，通过实验得出如下数据： … 1 3 4 6 … … 4 3 2.4 2 … （1）_______，_______； （2）【探究】根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质． ①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象； ②随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是_________． （3）【拓展】结合（2）中函数图象分析，当时，的解集为________． 【答案】（1）2， （2）①根据表格数据，描点、连线得到函数的图象如图： ； ②函数值逐渐减小 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据解析式求解即可； （2）①根据表格数据，描点连线画出函数图象；②根据图象可得出结论； （3）求出第一象限的交点坐标，结合图象可得结论． 【小问1详解】 解：由题意，， 当时，由得， 当时，， 故答案为：2，； 【小问2详解】 解：①略 ②由图象可知，随着自变量的不断增大，函数值逐渐减小， 故答案为：函数值逐渐减小； 【小问3详解】 解：当时，，当时，， ∴函数与函数的图象交点坐标为，， 在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，如图， 由图知，当或时，， 即当时，的解集为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查函数的图象与性质、描点法画函数图象、两个函数图象的交点问题，根据表格画出函数的图象，并利用数形结合思想探究函数性质是解答的关键． 21. 如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB=2∠BCP．  （1）求证：直线CP是⊙O的切线；  （2）若BC=2，sin∠BCP=，求点B到AC的距离； （3）在第（2）的条件下，求△ACP的周长． 【答案】（1）证明见解析；（2）4；（3）20． 【解析】 【分析】（1）利用直径所对的圆周角为直角，2∠CAN=∠CAB，∠CAB=2∠BCP判断出∠ACP=90°即可； （2）利用锐角三角函数，即勾股定理即可； （3）在直角△BCF中，利用勾股定理可以求得CF=2，所以利用平行线分线段成比例分别求得线段PC、PB的长度．则△ACP的周长迎刃可解了． 【详解】解：（1）∵∠ABC=∠ACB， ∴AB=AC， ∵AC为⊙O的直径， ∴∠ANC=90°， ∴∠CAN+∠ACN=90°，2∠BAN=2∠CAN=∠CAB， ∵∠CAB=2∠BCP， ∴∠BCP=∠CAN， ∴∠ACP=∠ACN+∠BCP=∠ACN+∠CAN=90°， ∵点D在⊙O上， ∴直线CP是⊙O的切线； （2）如图，作BF⊥AC ∵AB=AC，∠ANC=90°， ∴CN=CB=， ∵∠BCP=∠CAN，sin∠BCP=， ∴sin∠CAN=， ∴ ∴AC=5， ∴AB=AC=5， 设AF=x，则CF=5﹣x， 在Rt△ABF中，BF2=AB2﹣AF2=25﹣x2， 在Rt△CBF中，BF2=BC2﹣CF2=2O﹣（5﹣x）2， ∴25﹣x2=2O﹣（5﹣x）2， ∴x=3， ∴BF2=25﹣32=16， ∴BF=4， 即点B到AC的距离为4． （3）在Rt△BCF中，CF= ∴AF=AC-CF=5-2=3， ∵BF∥CP， ∴,， ∴CP=，BP= ∴△APC的周长是AC+PC+AP=20． 【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，构造出直角三角形Rt△ABF和Rt△CBF是解本题的关键． 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． （1）求、两点的坐标； （2）当时，动直线与抛物线交于点，与直线交于点，线段的长为，求关于的函数解析式； （3）我们规定：横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若抛物线在点，之间的部分与线段所围成的区域内（不含边界）恰有个整点，试结合函数图象直接写出的取值范围． 【答案】（1），； （2）； （3）或． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点坐标，二次函数与线段长度，二次函数上点的特征，运用分类讨论思想和数形结合思想是解题的关键． （）令时，，然后解方程即可； （）当时，抛物线为，求出，再利用待定系数法求出解析式为，设，则，从而； （）分若时，和若时两种情况分析即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴当时，， ∴，， ∴，； 【小问2详解】 解：当时，抛物线为， 当时，， ∴， 设解析式为， ∴，解得：， ∴解析式为， 设，则， ∴； 【小问3详解】 解：若时， ∴，顶点为， ∵恰有个整点， ∴，解得：； 若时，如图， ∴，顶点为， ∵恰有个整点， ∴，解得：； 综上可得：的取值范围为或． 23. 定义：在一个四边形中，若一条对角线能把该四边形分成的两个三角形中，至少有一个三角形为等腰直角三角形，则这个对角线叫做“奋进线”，这个四边形叫做“奋进四边形”． （1）①如图1，在四边形中，若，，则四边形______（填“是”或“否”）“奋进四边形”，若是，则______是“奋进线”（若不是，此空不填）； ②如图1，若四边形为“奋进四边形”，为“奋进线”，且，，时，当为等腰三角形时，的长为______； （2）如图2，四边形和四边形均为“奋进四边形”，，，对角线分别为这两个四边形的“奋进线”，求证：； （3）如图3，四边形为“奋进四边形”，为“奋进线”，若，，，当为“奋进线”时，且恰好为等腰直角三角形的一条直角边，直接写出此时的长． 【答案】（1）①是；；②或 （2） 证明：由题意知：和都是等腰直角三角形， ∵， ，， ∵ ， ， ； （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理与勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的性质与判定等待，正确理解“奋进四边形”的定义是解题的关键． （1）①可证明，则可利用勾股定理的逆定理证明是等腰直角三角形，据此可得结论； ②可利用勾股定理的逆定理证明不是等腰直角三角形，则是等腰直角三角形，据此分和，两种情况利用勾股定理求解即可； （2）由题意知：和都是等腰直角三角形，则可证明，得到； （3）同理可证明不是等腰直角三角形，则是等腰直角三角形，再分和，两种情况画出示意图讨论求解即可． 【小问1详解】 解：①∵在四边形中，，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴四边形是“奋进四边形”，且是“奋进线”； ②当时， ∵， ∴此时不是等腰直角三角形， 同理可得当时，不是等腰直角三角形， ∵四边形为“奋进四边形”，为“奋进线”， ∴是等腰直角三角形， ∵ ∴， 当时，则； 当时，； 综上所述，的长为或； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：同理可证明不是等腰直角三角形， ∵四边形为“奋进四边形”，为“奋进线”， ∴是等腰直角三角形， 当时，如图1，作，取，连接， 同理可证明， ， ，是等腰直角三角形， ，， ， ， ∴由勾股定理得， ， 当时，如图，同理可得， 综上：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $