24.3 正多边形和圆（培优教学课件）数学人教版九年级上册

24.3 正多边形和圆 第二十四章 圆 人教版2024·九年级上册 情境导入 观看下面的图片，试着想一想，日常生活中，还有哪些正多边形形状的物体， 或利用正多边形组成的美丽图案? 知识建构 回顾：什么叫做正多边形？ 各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形. 正多边形 各边相等 各角相等 缺一不可 知识建构 思考：正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正八边形都是轴对称图形吗？都是中心对称图形吗？ 知识建构 正三角形 正四边形 正五边形 正六边形 正八边形 图形 轴对称图形 中心对称图形 结论 正 n 边形都是轴对称图形，都有 n 条对称轴，只有边数为偶数的正多边形才是中心对称图形. √ × √ √ √ × √ √ √ √ 知识建构 思考：已知⊙O 的半径为 2 cm，如何画圆的内接正三角形？ O 正三角形的中心角是多少？ 120 ° A B （1）任意画出一条半径OA； （2）用量角器画一个等于120°的圆心角，对应 ； （3）在圆上截取与 相等的 ； 用什么方法在圆上截取相等的弧呢？ ①用量角器依次画出相等的圆心角； ②用圆规依次截取该圆心角所对弧的等弧. O 知识建构 已知⊙O 的半径为 2 cm，画圆的内接正三角形． 120 ° A O C B （1）任意画出一条半径OA； （2）用量角器画一个等于120°的圆心角，对应 ； （3）在圆上截取与 相等的 ； （4）顺次连接各点得正△ABC. 等分圆周 120 ° 用量角器画圆心角∠BOC=120° 知识建构 120 ° A C B O 思考： 如何在圆上截取与 相等的 ？ 用圆规截取 知识建构 思考：刚才我们度量的是圆心角，还能度量哪个角来等分圆周呢？ 120 ° A C B 30 ° 30 ° O 可用量角器或30°的三角板度量，使∠OAB=∠OAC=30°. 知识建构 试着算出正四边形、正五边形的圆心角. · A B C D O · A B C D E O 90° 72° 你能借助刚才的正五边形画一个五角星吗？ · A B C D E O 正多边形的中心角 等分圆周可以设计很多美丽的图案，你还能设计出哪些图案？ 劣弧与优弧 用等分圆周的方法作正多边形的一般步骤 任意画一个圆和一条半径； 算出该正多边形的中心角的度数， 用量角器画出一个圆心角（中心角）， 获得该圆心角所对的弧； 用圆规在圆上依次截取相等的弧， 得到圆的等分点； 顺次连接各分点得到正多边形. 使用工具：量角器，圆规 知识建构 思考：借助圆画一个边长为1.5 cm的正六边形. E F C D A B O 中心角 半径R . 60° 1.5 cm 分析：如何确定所画圆的半径？ 中心角 △OEF为等边三角形 正六边形的边长等于半径 劣弧与优弧 归纳总结 O 把圆分成n（n≥3）等份：依次连接各分点所得的多边形一定是 ，这个正n边形是这个圆的 ，这个圆是这个正n边形的 . 正n边形 内接正n边形 外接圆 劣弧与优弧 圆的内接正多边形 O A B C D E R r 正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心，叫做正多边形的中心 外接圆的半径叫做正多边形的半径 内切圆的半径叫做正多边形的边心距 正多边形每一条边所对的圆心角，叫做正多边形的中心角.每个中心角都等于 O 劣弧与优弧 圆的内接正多边形 正多边形的边数 内角 外角 中心角 3 4 6 n 60° 120° 120° 90° 90° 90° 120° 60° 60° 正多边形的外角=中心角 弦相等 圆周角相等 弧相等 劣弧与优弧 圆的内接正多边形 E F C D O 中心角 半径R 边心距r . A B 正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心. 外接圆的半径叫做正多边形的半径. 正多边形的每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角. 中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距. 例题讲解 例1 H 例题讲解 例2 一个上、下底面为全等正六边形的礼盒，高为10 cm，上、下底面正六边形的边长为12 cm，如果用彩色胶带按如图(1)所示的方式包扎礼盒，所需胶带的长度至少为 cm. 图(1) 图(2) 72+60 解：胶带包括上、下底面各3段，侧面6段，上、下底面中的每段胶带的长度至少都等于图(2)中OC长度的2倍. 由该六边形是正六边形，易得OB=AB=12cm，BC= AB= 6cm. 在Rt∆OBC中，由勾股定理得OC= =6cm， ∴上、下底面每段胶带的长至少为12 cm， ∴所需胶带的长度至少为6×12 +6×10=(72+60)(cm). 例题讲解 例3 有一个亭子，它的地基是半径为 4 m 的正六边形，求地基的周长和面积 (面积保留小数点后一位 ). 抽象成 如何将实际问题抽象成数学模型？ 例题讲解 利用勾股定理，可得边心距 亭子地基的面积 4 m O A B C D E F M r 解：连接 OB，过点 O 作 OM⊥BC 于 M. 在 Rt△OMB 中，OB = 4，MB = 亭子地基的周长 l = 6×4 = 24 (m)， 例3 有一个亭子，它的地基是半径为 4 m 的正六边形，求地基的周长和面积 (面积保留小数点后一位 ). 劣弧与优弧 归纳总结 O B C r R P . 圆内接正多边形常用辅助线 连半径，得中心角 1 2 作边心距，得直角三角形 F A D E R r 由勾股定理得 劣弧与优弧 归纳总结 正多边形的边数 边长 半径 边心距 周长 面积 3 2 4 2 6 2 例题讲解 例4 如图，已知点 O 是正六边形 ABCDEF 的对称中心，G，H 分别是 AF，BC 上的点，且 AG = BH． (1) 求∠FAB 的度数； (1) 解：∵ 六边形 ABCDEF 是正六边形， ∴∠FAB = . 例题讲解 例4 (2) 证明：连接 OA、OB. ∵ OA = OB， ∴∠OAB =∠OBA. ∵∠FAB =∠CBA， ∴∠OAG =∠OBH. ∴△AOG≌△BOH (SAS). ∴ OG = OH． 又∵ AG = BH， 如图，已知点 O 是正六边形 ABCDEF 的对称中心，G，H 分别是 AF，BC 上的点，且 AG = BH． (2) 求证：OG = OH． 例题讲解 例5 例题讲解 例6 我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的 (1)求圆内接正六边形面积． (2)圆内接正八边形的面积为_____． (3)运用“割圆术”，用圆内接正十二边形近似估计圆O的面积，可得圆内接正十二边形面积是_____，可得π的估计值为_____． 方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”.“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416,如图，若圆O的半径为1.（在求圆内接正多边形面积时，通过分割成三角形，利用特殊角解决） 例题讲解 例6 (1)求圆内接正六边形面积． 由勾股定理得， . 例题讲解 例6 (2)圆内接正八边形的面积为_____． 由勾股定理得， . 例题讲解 例6 (3)运用“割圆术”，用圆内接正十二边形近似估计圆O的面积，可得圆内接正十二边形面积是_____，可得π的估计值为_____． 例题讲解 例7 假期中小华和小伙伴一起走进影院去看国漫电影《哪吒2》，影片中，玉虚宫的镇宫之宝“天元鼎”大到超乎想象，存放它的建筑是一座“正八边形”的宫殿，你想知道这座建筑有多大吗？若“正八边形”的边长AB为2a,求正八边形的面积． 本课小结 正多边形和圆 正多边形的 有关概念 正多边形的 有关计算 添加辅助线的方法： 连半径，作边心距 中心 半径 边心距 中心角 对称性 E F C D O 中心角 半径R 边心距r . A B 课后巩固 A 1．如图，⊙O与正五边形ABCDE的两边AE， CD相切于A，C两点，则∠AOC的度数是（　　） A．144° B．130° C．129° D．108° 2.如图，正五边形 ABCDE 内接于⊙O， 则∠ADE 的度数是 （ ） A．60° B．45° C．36° D．30° · A B C D E O C 课后巩固 3.若一个圆内接正多边形的中心角是40°，则这个多边形是（    ） A．正十边形 B．正九边形 C．正八边形 D．正七边形 B 4.大自然中有许多小动物都是“小数学家”，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．一个巢房的横截面为正六边形，如图所示，若正六边形半径为4mm,则这个正六边形的面积是（　　） A.18mm2 B.12mm2 C.24mm2 D.48mm2 C 课后巩固 C A.20° B.25° C.30° D.40° A.64° B.72° C.74° D.80° C 课后巩固 . 48° 2 9.如图，将正六边形放在平面直角坐标系中，正六边形的中心与坐标原点重合，若点A的坐标为(-1,0),则点C的坐标为 . () 课后巩固 A B C D E F P 10.如图，正六边形ABCDEF的边长为 ，点P为六边形内任一点．则点P到 各边距离之和是多少？ ∴点P到各边距离之和为3BD=3×6=18． 解：过P作AB的垂线，分别交AB、DE于H、K，连接BD，作CG⊥BD于G. G H K ∴P到AF与CD的距离之和，及P到EF、BC的距离之和均为HK的长. ∵六边形ABCDEF是正六边形 ∴AB∥DE，AF∥CD，BC∥EF， ∵BC=CD，∠BCD=∠ABC=∠CDE=120°， ∴∠CBD=∠BDC=30°，BD∥HK，且BD=HK. ∵CG⊥BD， ∴BD=2BG=6. 感谢聆听! $$