第二章 一元二次函数、方程和不等式章末测试卷-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第二章 一元二次函数、方程和不等式章末测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 2．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知集合 ，集合，则（     ） A． B． C． D． 4．已知不等式的解集非空，则的取值范围是（   ） A． B．或 C．或 D． 5．已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．甲、乙两人同时从地出发沿同一路线到达B地，所用的时间分别为，，甲有一半的时间以速度行走，另一半的时间以速度行走；乙有一半的路程以速度行走，另一半的路程以速度行走，且，则（    ） A． B． C． D．的大小不能确定 7．已知表示中的较小值，若，，则的最大值是（   ） A． B．1 C． D． 8．已知实数，，满足恒成立，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9．已知，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 10．关于的不等式的解集，下列说法正确的是（    ） A．时，解集为 B．时，解集为 C．时，解集为 D．时，原不等式在时恒成立 11．已知实数，满足，则（   ） A．有最小值为 B．有最大值为 C．有最小值为 D．有最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．已知，则的取值范围是 . 13．若关于的不等式的解集不为空集，则实数的取值范围为 . 14．若对任意实数，不等式恒成立，则实数的最小值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．解下列不等式： (1)； (2) (3) 16．设a，b都是正数. (1)证明：； (2)若，求的最小值. 17．已知、为东西方向的海岸线上相距的两地（在的东侧），是、之间距地处的一地，在地正南方向处有一海岛，由海岛开往海岸的小船以的速度按直线方向航行. (1)某人在海岛上乘小船在距地正东方向处的地登岸，登岸后以的速度向东步行到地，求此人从海岛到达地的时间； (2)一快递员以的速度从地向地骑行，同时某人乘小船从海岛向海岸出发，两人恰好相遇于、之间的地，且距地，求快递员的速度的最大值． 18．已知关于x的不等式， (1)若的解集为，求实数a，b的值； (2)若求关于x的不等式的解集． 19．在三角形中，设a、b、c为其三边长，我们用∑表示循环求和，即：，，．我们尝试证明如下不等式：．在面对这种不等式时，为了剥离三角形三边长的关系对于不等式代数变形时的限制，我们常用的一种处理手段是“换元”.我们令，，，且x，y，z均为正实数，这样我们就剥离了三角形三边长的关系.有了上述操作手法，在面对涉及三角形三边长的不等式的问题时，我们便能够轻松化解. (1)计算当时，的值； (2)证明如下不等式：； (3)证明如下不等式：． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 一元二次函数、方程和不等式章末测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，则． 故选：C 2．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】因为，则，则，则充分性成立； 时，易知也成立，此时不成立，则必要性不成立； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 3．已知集合 ，集合，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，， 所以. 故选：A 4．已知不等式的解集非空，则的取值范围是（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【详解】由在R上有解，又开口向上， 所以，解得或，即或. 故选：B 5．已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，即， 解得或，由， 即，因为， 不等式的解集为， 结合题意，此时原不等式组的解集为，且仅有一个整数解， 所以. 故选：B. 6．甲、乙两人同时从地出发沿同一路线到达B地，所用的时间分别为，，甲有一半的时间以速度行走，另一半的时间以速度行走；乙有一半的路程以速度行走，另一半的路程以速度行走，且，则（    ） A． B． C． D．的大小不能确定 【答案】B 【详解】设地到B地相距,依题意，① ，② ， 由①,可得，由②,可得. 则， 因，且，故，即. 故选：B. 7．已知表示中的较小值，若，，则的最大值是（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【详解】令， 因为，，所以，， 所以，当且仅当时取等号， 因为，当且仅当，即时取等号， 所以当且，即时，的最大值为， 所以的最大值是. 故选：D 8．已知实数，，满足恒成立，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，，则，故， 所以，而， 故，则，即的最小值为2.当且仅当时取到. 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9．已知，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】对于A，当时满足，但不成立，故A不正确； 对于B，等价于， ∵，∴，故，故B正确； 对于C，当时满足，但，故C不正确； 对于D， ，故D正确. 故选：BD. 10．关于的不等式的解集，下列说法正确的是（    ） A．时，解集为 B．时，解集为 C．时，解集为 D．时，原不等式在时恒成立 【答案】BD 【详解】时，不等式为，即，解得，解集为，故A错误； 不等式可化为， 当时，，不等式的解集为， 当时，，不等式的解集为， 故B正确，C错误； 令，对称轴为， 当时，所以当时，最大值为， 又时，， 所以最大值，即不等式在时恒成立，故D正确． 故选：BD． 11．已知实数，满足，则（   ） A．有最小值为 B．有最大值为 C．有最小值为 D．有最大值为 【答案】AC 【详解】对于A，由可得 当时，因，即，即， 解得，当且仅当时，有最小值为； 当时，显然有，即得； 当中有一个为0时，或， 综上可得，有最小值为，即A正确； 对于B，由可得，解得， 当或时等号成立，即有最大值为，故B错误； 对于C，由可得， 因，则解得， 当或时等号成立，即有最小值为，故C正确； 对于D，当，满足，但，故D错误. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．已知，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】由不等式可乘性得，由同向可加性得，由正数的可乘方性得， 所以的取值范围是. 故答案为：. 13．若关于的不等式的解集不为空集，则实数的取值范围为 . 【答案】或 【详解】若，则不等式为，不符合题意，舍去， 若，则不等式为，解得，符合题意， 若或，此时，为开口向上的二次函数， 此时不等式的解不为空集，符合题意， 若，此时，为开口向下的二次函数， 要使不等式的解不为空集，需要满足，所以， 综上可得或， 故答案为：或 14．若对任意实数，不等式恒成立，则实数的最小值为 ． 【答案】 【详解】由题意得，，整理得． 设，则， 再设，则 ，当且仅当，即时等号成立， 此时，所以，即实数的最小值为． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．解下列不等式： (1)； (2) (3) 【答案】(1)或； (2)； (3). 【详解】（1）不等式化为：，解得或， 所以原不等式的解集为或. （2）不等式化为：，则， 所以原不等式的解集为. （3）不等式化为：，解得， 所以原不等式的解集为. 16．设a，b都是正数. (1)证明：； (2)若，求的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由于a，b都是正数， 则 ， 当且仅当时，等号成立， 所以； （2）由于， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 17．已知、为东西方向的海岸线上相距的两地（在的东侧），是、之间距地处的一地，在地正南方向处有一海岛，由海岛开往海岸的小船以的速度按直线方向航行. (1)某人在海岛上乘小船在距地正东方向处的地登岸，登岸后以的速度向东步行到地，求此人从海岛到达地的时间； (2)一快递员以的速度从地向地骑行，同时某人乘小船从海岛向海岸出发，两人恰好相遇于、之间的地，且距地，求快递员的速度的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：如下图所示： 由题意可得，，，，， 由勾股定理可得， 因此，此人从海岛到达地的时间为. （2）解：如下图所示：，，，， 由勾股定理可得， 由题意可得，即， 可得， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，快递员的速度的最大值为. 18．已知关于x的不等式， (1)若的解集为，求实数a，b的值； (2)若求关于x的不等式的解集． 【答案】(1)， (2)答案见解析 【详解】（1）若的解集为， 则是方程的一个根，即，解得， 所以不等式为，解得：，所以. 即，. （2）因为，即， 当时，令，解得， 若时，，不等式解集为：； 若时，，不等式解集为：； 若时， ，不等式解集为：； 综上所述： 当时，不等式解集为：； 当时，不等式解集为：； 当时， 不等式解集为：. 19．在三角形中，设a、b、c为其三边长，我们用∑表示循环求和，即：，，．我们尝试证明如下不等式：．在面对这种不等式时，为了剥离三角形三边长的关系对于不等式代数变形时的限制，我们常用的一种处理手段是“换元”.我们令，，，且x，y，z均为正实数，这样我们就剥离了三角形三边长的关系.有了上述操作手法，在面对涉及三角形三边长的不等式的问题时，我们便能够轻松化解. (1)计算当时，的值； (2)证明如下不等式：； (3)证明如下不等式：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）设，则，，， 所以. （2）设，，， 则. 因为x，y，z均为正实数，所以，，， 当且仅当时取 “”. 所以. 即（当且仅当时取“”）. （3）设，，， 则，，. 则转化成： . 因为，，（当且仅当时取“”） 各式相加得：. 所以成立（当且仅当时取“”）. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解循环求和的概念，列出循环求和的式子. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$