2.4单摆-2025-2026学年高二物理同步讲练（人教版选择性必修第一册）

2.4单摆 1.知道单摆是一种理想化模型，理解单摆模型的条件，能将实际问题中的对象和过程转化 为单摆模型。 2.能通过理论推导，判定单摆小角度振动时的运动特点。 3.在探究单摆的周期与摆长的定量关系时，能分析数据、发现规律、形成合理的结论，能 用己有的物理知识解释相关现象。 4.知道单摆周期与摆长、重力加速度的关系，能运用其解决相关实际问题。 生活中经常可以看到悬挂起来的物体在竖直平面内往复运动。将一小球用细绳悬挂起来，把小球拉离最低点释放后，小球就会来回摆动。小球的摆动是否为简谐运动呢？ 考点一、单摆 1．单摆的组成：由细线和小球组成． 2．理想化模型 (1)细线的质量与小球相比可以忽略． (2)小球的直径与线的长度相比可以忽略． 考点二：单摆的回复力 (1)回复力的来源：摆球的重力沿圆弧切线方向的分力． (2)回复力的特点：在摆角很小时，摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总指向平衡位置，即F＝－x.从回复力特点可以判断单摆做简谐运动． 考点三、单摆的周期 1．单摆振动的周期与摆球质量无关(填“有关”或“无关”)，在振幅较小时与振幅无关(填“有关”或“无关”)，但与摆长有关(填“有关”或“无关”)，摆长越长，周期越大(填“越大”“越小”或“不变”)． 2．周期公式 (1)提出：周期公式是荷兰物理学家惠更斯首先提出的． (2)公式：T＝2π，即周期T与摆长l的二次方根成正比，与重力加速度g的二次方根成反比，而与振幅、摆球质量无关． 题型1单摆的回复力 [例题1] 单摆在振动过程中，不计空气阻力，以下说法正确的是（　　） A．摆球在最低点加速度为零 B．摆球经过同一高度时，动能相同 C．摆球所受回复力始终等于拉力与重力的合力 D．同一单摆，在天津振动的周期大于在海南振动的周期 【答案】B 【详解】A．摆球在最低点时速度最大，向心加速度为，故加速度不为零，A错误； B．机械能守恒，同一高度重力势能相同，动能也相同（速度大小相同），B正确； C．回复力是重力切向分量，而拉力与重力的合力提供向心力（径向），方向不同，C错误； D．周期公式，天津的比海南大，故周期更小，D错误。 故选B。 [例题2] 两根等长的轻质细绳下方系两个完全相同的小球，让其中一个小球做圆锥摆运动，另一个小球做秋千摆运动，如图所示。圆锥摆过程中细绳与竖直方向夹角和秋千摆的最大摆角相等，不考虑空气阻力，轻绳不可伸长，则下列说法中正确的是（    ）    A．小球做圆锥摆时受到细绳拉力和做秋千摆时在最高点A处受到的拉力大小相等 B．小球做圆锥摆时，可以保证与竖直方向夹角不变的情况下，增大小球的角速度 C．小球做秋千摆时，在C点处于平衡状态 D．小球做秋千摆时，在B点处于超重状态 【答案】D 【详解】A．小球做圆锥摆时受到细绳拉力 做秋千摆时在最高点A处受到的拉力大小，选项A错误； B．小球做圆锥摆时，根据 可得 可知增大小球的角速度，则摆线与竖直方向夹角增大，选项B错误； C．小球做秋千摆时，在C点加速度不为零，则不是处于平衡状态，选项C错误； D．小球做秋千摆时，在B点加速度竖直向上，处于超重状态，选项D正确。 故选D。 [例题3] 简谐运动是最简单、最基本的振动。图甲是做简谐运动的某物体，全振动50次用了20s；图乙是研究单摆的回复力实验图，下列对应的说法正确的是（    ） A．图甲是研究弹簧振子的运动实验图，弹簧振子在弹簧弹力作用下做匀变速直线运动 B．图甲是研究弹簧振子的运动实验图，弹簧振子的频率为2.5Hz C．图乙中做单摆运动的摆球的回复力是摆球重力和细线拉力的合力 D．图乙中做单摆运动的摆球运动到O点时速度最大，回复力最小 【答案】BD 【详解】A．题图甲是研究弹簧振子的运动实验图，弹簧振子在弹簧弹力作用下做简谐运动，简谐运动是变加速运动，故A错误； B．依题意，可得振动周期为 则频率为 故B正确； C．题图乙是研究单摆的回复力实验图，单摆的回复力是摆球重力沿圆弧切线方向的分力，故C错误； D．题图乙中单摆的摆球运动到点时所受合力指向圆心，速度最大，回复力最小，故D正确。 故选BD。 题型2单摆的周期 [例题4] 单摆在、两点之间做简谐运动，点为平衡位置，如图甲所示。单摆的振动图像如图乙所示（向右为正方向），取重力加速度大小，下列说法正确的是（　　） A．单摆的振幅为 B．单摆的摆动频率为 C．时，摆球在点 D．单摆的摆长为 【答案】D 【详解】A．由图乙可知，单摆的振幅为，故A错误； B．由图乙可知，单摆的周期为，则单摆的摆动频率为，故B错误； C．时，单摆振动了，根据题意可知，单摆从点开始振动，则时，摆球在点，故C错误； D．根据题意，由单摆周期公式 可得单摆的摆长为，故D正确。 故选D。 [例题5] 某学习小组的同学在实验室用如图甲所示装置研究单摆的运动规律，O是单摆的平衡位置，单摆在竖直平面内左右摆动，M、N是摆球所能到达的最远位置。取向右为正方向。图乙是单摆的振动图像。已知当地的重力加速度大小，取，下列说法中正确的是（　　） A．单摆的振幅是0.14m，振动的频率是1Hz B．振动的表达式为 C．单摆的摆长为1m D．时摆球在N点 【答案】C 【详解】A．由题图乙，可知振幅、周期 则频率，故A错误； B．振动的表达式为 且 则，故B错误； C．由单摆的周期公式 解得，故C正确； D．由题图乙知，时摆球在负向最大位移处，因向右为正方向，所以摆球在M点，故D错误。 故选C。 [例题6] 如图为单摆做简谐运动的振动图像，重力加速度g取10m/s2，则下列说法正确的是（　　） A．单摆摆长为2.5m，摆球零时刻速度最大 B．单摆摆长为2.5m，摆球在A、B两点的速度相同 C．单摆摆长为1.225m，摆球零时刻速度为零 D．单摆摆长为1.225m，摆球在A、C两点的速度相同 【答案】D 【详解】由单摆的振动图像可知振动周期为 由单摆的周期公式 得摆长为 图像的斜率代表速度，故摆球零时刻速度最大，且A、C点的速度相同，A、B点的速度大小相同，方向不同。 故选D。 题型3单摆的振动图像和表达式 [例题7] 一摆球在竖直平面内做单摆运动，从最低点开始计时，该单摆的振动图像如图所示，重力加速度g取，取，下列说法正确的是（　　） A．该单摆的摆长为4m B．时，摆球的加速度为0 C．时，摆球的速度最大 D．到时间内，回复力先增大后减小 【答案】AD 【详解】A．根据，，得，故A正确； B．由图像可知，时，摆球在最低点，摆球做圆周运动，加速度不为0，故B错误； C．时，摆球在最大位移处，速度最小，故C错误； D．到的过程中，摆球远离最低点，受到的回复力变大，到过程中，摆球靠近最低点，受到的回复力减小，故D正确。 故选D。 [例题8] 如图甲所示，单摆固定悬点为O，将可看成质点的摆球拉至A点，然后由静止释放，并开始计时，摆球在竖直平面内的A、C之间来回摆动，摆角θ小于5°，B点为运动中的最低位置。摆球相对平衡位置的位移x随时间t变化的图像如图乙所示，不计空气阻力，重力加速度g取9.8m/s2，π2≈9.8。下列说法正确的是（　　） A．该单摆摆长约为1m B．摆球受到重力、拉力、向心力、回复力的作用 C．摆球在B点处，速度最大，回复力也最大 D．在0.5~1s内，摆球从C点向B点运动 【答案】A 【详解】A．根据图乙可知，周期为2s，根据周期公式 解得，故A正确； B．摆球受到重力、拉力两个力的作用。向心力、回复力都是效果力，在实际受力分析中不存在，故B错误； C．最低位置B是单摆做简谐运动的平衡位置，摆球在B点处，速度最大，向心加速度最大，但回复力最小，故C错误； D．从A点刚释放开始计时，根据图乙可知，在的时间内，摆球从B点向C点运动，故D错误。 故选A。 [例题9] 如图甲所示的漏斗在做简谐运动的同时，小付同学将下方的薄木板沿箭头方向匀加速拉出，漏斗3s内漏出的细沙在板上形成的曲线如图乙所示，当地重力加速度大小，下列说法正确的是（    ） A．该沙摆的周期为2s B．该沙摆的摆长约为1m C．由图乙可知，木板被匀加速拉出 D．当图乙中的B点通过沙摆正下方时，薄木板的速度大小为0.35m/s 【答案】ABC 【详解】A．由题图乙知，该沙摆的周期为2s，故A正确； B．沙摆的周期 解得 故B正确； C．由题图乙中数据可知，木板在连续且相等的时间段内的位移差 根据逐差法可得加速度 可知木板被匀加速拉出，故C正确； D．匀变速直线运动在一段时间间隔的中间时刻的瞬时速度，等于这段时间内的平均速度，所以有 故D错误。 故选ABC。 题型4等效单摆问题 [例题10] 水平地面上固定一段光滑绝缘圆弧轨道，过轨道左端N点的竖直线恰好经过轨道的圆心（图上未画出），紧贴N点左侧还固定有绝缘竖直挡板。自零时刻起将一带正电的小球自轨道上的M点由静止释放。小球与挡板碰撞时无能量损失，碰撞时间不计，运动周期为T，MN间的距离为L并且远远小于轨道半径，以下说法正确的是（    ） A．圆弧轨道的半径为 B．空间加上竖直向下的匀强电场，小球的运动周期会增大 C．空间加上垂直纸面向里的匀强磁场，若小球不脱离轨道，运动周期会增大 D．时小球距N点的距离约为 【答案】D 【详解】A．由MN间的距离为L并且远远小于轨道半径，则小球在圆弧轨道过程，可看成单摆模型，其周期为单摆的半个周期，根据单摆的周期公式有 题意可知 联立解得 故A错误； B．空间加上竖直向下的匀强电场，等效重力加速度增大，根据单摆的周期公式可知小球的运动周期将减小，故B错误； C．空间加上垂直纸面向里的匀强磁场，小球下滑时由洛仑兹力总是于速度方向垂直，洛仑兹力总不做功，不改变速度大小，所以若小球不脱离轨道，运动周期将不改变，故C错误； D．由MN间的距离为L并且远远小于轨道半径，则小球在圆弧轨道过程，可看成单摆模型。单摆离开平衡位置的位移与时间的关系为 从M到N的时间为 因此对应从平衡位置N点离开的时间为 代入关系式解得 故D正确。 故选D。 [例题11] 如图所示，某同学利用双线摆和光电计数器测量当地的重力加速度。已知每根悬线长为d，两悬点间相距s，金属小球半径为r，AB为光电计数器。现将小球垂直于纸面向外拉动，使悬线偏离竖直方向一个较小的角度并由静止释放，同时，启动光电计数器，当小球第一次经过图中虚线（光束）位置O时，由A射向B的光束被挡住，计数器计数一次，显示为“1”，同时计时器开始计时。然后每当小球经过点O时，计数器都计数一次。当计数器上显示的计数次数刚好为n时，所用的时间为t，则下列说法正确的是（　　） A．双线摆的摆角越小，则周期越小 B．双线摆的振动周期 C．双线摆的等效摆长 D．静止释放瞬间，小球的回复力为零 【答案】B 【详解】A．双线摆可等效为单摆，在摆角较小时，根据周期公式有 可知周期与摆角大小无关，故A错误； B．当计数器显示计数次数为时，小球经过平衡位置次，则有 解得单摆的周期，故B正确； C．双线摆的等效摆长为，故C错误； D．由静止释放瞬间，小球偏离平衡位置，即小球相对于平衡位置的位移不等于0，则回复力不为零，故D错误。 故选B。 [例题12] 如图所示，在倾角为的光滑斜面顶端固定一摆长为L的单摆，单摆在斜面上做小角度摆动，摆球经过平衡位置时的速度为v，则以下判断正确的是（　　） A．T为该单摆在斜面上摆动的周期 B．摆球经过平衡位置时的加速度大小为 C．若小球带正电，并加一沿斜面向下的匀强电场，则单摆的振动周期将不变 D．若小球带正电，并加一垂直斜面向下的匀强磁场，则单摆的振动周期将发生变化 【答案】B 【详解】A．单摆在平衡位置时，等效重力加速度为 所以单摆在斜面上摆动的周期 A错误； B．摆球经过平衡位置时受到的回复力大小为0，切线加速度为零，但向心加速度为 B正确； C．若小球带正电，并加一沿斜面向下的匀强电场，单摆在平衡位置时，等效重力加速度为 所以单摆在斜面上摆动的周期 可知，单摆的周期减小，C错误； D．若小球带正电，并加一垂直斜面向下的匀强磁场，则小球摆动过程中洛伦兹力始终垂直速度，不产生回复力的效果，周期不变，D错误。 故选B。 题型5探究单摆周期与摆长的关系 [例题13] 1785年，库仑发表了《关于电学和磁学的第一篇科学论文报告》，记述了他受万有引力的启发，通过类比思想测定电荷之间的引力是否遵从距离平方反比定律，库仑当时的思考和实验过程如下： （1）根据单摆做简谐运动的周期公式及地球表面物体所受重力与万有引力的关系，可以得到地球表面摆长L的单摆的周期T和地球半径R的关系 。已知地球质量为M，万有引力常量为G。 （2）库仑把电荷之间引力与万有引力进行类比，设计了电摆实验仪，其结构如图所示。G为绝缘支架上的金属球，S为一端有镀金的小圆纸片的绝缘小木棍，悬挂在丝线下端。让G与圆片带上异号电荷。由于圆片受G的电引力作用，圆片将在水平面上摆动，测量出G的球心与圆片在距离r取不同值时，圆片摆动的周期，就可以判断周期与距离r的关系。已知圆片的振动可视为单摆。某次实验的测量数据如下： 实验次数 r/cm 15次振动所需时间/s 1 18 20 2 36 43 3 54 69 （3）类比万有引力的思想，上表中三次实验的周期之比应为 ，而实际测量时，第二次和第三次周期比理论值偏大，库仑猜想这可能是由于实验过程中带电球在缓慢漏电造成的。请你设计一个方案，仍然使用该实验的器材，验证他的猜想是否合理。 。 【答案】 将r从大到小变化，再做一组实验 【详解】[1]根据， 联立可得 [2]类比万有引力的思想，结合可知三次振动的周期之比应为; [3]题中实验过程是将距离从小到大，第二次和第三次周期比理论值偏大，库仑猜想这可能是由于实验过程中带电球在缓慢漏电造成的，所以再使得将r从大到小变化，再做一组实验，再进行数据对比。 [例题14] 在探究单摆运动的实验中，图甲是用力传感器对单摆小角度（小于5°）振动过程进行测量的装置图，图乙是与力传感器连接的计算机屏幕所显示的绳子拉力大小与时间图像（已知）． (1)关于此单摆下列说法正确的是________。 A．摆球摆到最高点速度、加速度均为零 B．摆球摆动过程合力方向始终沿绳指向悬挂点 C．最低点为平衡位置，此时合力为零 D．摆球的回复力为重力在垂直摆线方向上的分力 (2)根据图乙的信息可得周期为 s（结果保留三位有效数字）；摆球的质量为 g。 【答案】(1)D (2) 1.57 2 【详解】（1）A．摆球摆到最高点速度为0、加速度不为零，故A错误； B．摆球摆动过程存在径向的向心力，切向的回复力，故B错误； C．最低点为平衡位置，回复力为0，但合力不为零，故C错误； D．摆球的回复力为重力在垂直摆线方向上的分力，故D正确。 故选D。 （2）由图乙可知周期 设摆线与竖直方向的夹角为，则在最高点，向心加速度为零，则有 在最低点，根据牛顿第二定律有 从最高点到最低点，根据机械能守恒有 联立解得 [例题15] 李老师和他的儿子在公园里玩耍，公园里有一个用一块木板和两根绳子做成的秋千，绳子上端系在一棵大榕树的树枝上。小朋友想知道悬挂秋千的绳子有多长，李老师和他一起做了一个简易实验来测量绳子的长度。实验步骤如下： ①秋千静止时，在秋千旁边支起一根自拍杆，如图所示； ②让小朋友坐在秋千上，然后轻推小朋友使秋千前后小弧度摆动； ③李老师使用手机上的秒表在小朋友某次经过自拍杆时开始计时； ④开始计时后，小朋友第30次经过自拍杆时停止计时，记录的时间为69s。 (1)根据以上实验步骤，秋千摆动的周期为 s。 (2)若将秋千的运动视为单摆运动，且认为摆长等于绳长，可测得绳长为 m。（保留两位有效数字，取） (3)由于人坐在秋千上时，重心不在木板上，仅考虑该因素对实验结果的影响，则（2）问中测得的绳长比实际绳长 （填“长”或“短”）。 【答案】(1)4.6 (2)5.3 (3)短 【详解】（1）从开始计时到小朋友第30次经过自拍杆所用的时间为15个周期，故周期。 （2）若将秋千的运动视为单摆运动，且认为摆长等于绳长，根据单摆的周期公式 可得 （3）人坐在秋千上时，重心在木板上方，利用周期公式计算得到的L为重心到绳子上端的距离，小于木板到绳子上端的距离，即测得的绳长小于实际绳长。 1. 某单摆做简谐运动的振动图像如图所示，取g=9.8m/s2，则该单摆（　　） A．周期为1.0s B．摆长约为1m C．t=1.0s时所受合力为零 D．t=1.5s与t=2.5s时加速度相同 【答案】B 【详解】A．由图可知，周期，故A错误； B．由，得，故B正确； C．时小球经过平衡位置，水平方向不受力，但竖直方向所受合力不为零，故小球所受合力不为零，故C错误； D．和时，小球分别到达平衡位置两侧最大位移处，此时向心加速度为零，故小球的加速度沿切线指向平衡位置，加速度方向不同，大小相等，故加速度不同，故D错误。 故选B。 2. 光滑圆弧面上有一个小球，小球静止时位于C点，把小球从C点移至A点由静止释放，放手后小球开始在A、E之间来回运动，B、D分别为圆弧AC、CE的中点，圆弧AE远小于圆弧半径，不计空气阻力，则下列说法正确的是（　　） A．小球在B点的速度一定与其在D点的速度等大同向 B．小球在B点的加速度一定与其在D点的加速度等大反向 C．小球由A点运动到B点的时间可能与其由B点运动到C点的时间相同 D．小球运动到C点时的加速度大小不为0 【答案】D 【详解】A．圆弧AE远小于圆弧半径，小球可以看做简谐运动，根据运动的对称性可知小球在B点的速度与其在D点的速度大小一定相等，方向不相同（沿圆轨迹切线方向），故A错误； B．小球圆弧AE中做变速圆周运动，根据对称性可知，小球在B点的加速度一定与其在D点的加速度大小相等、方向不同（不共线），故B错误； C．小球从A点到C点的过程中，小球做加速运动，所以小球由A点运动到B点的时间大于由B点运动到C点的时间，故C错误； D．小球做圆周运动，运动到C点时，有向心加速度，所以加速度大小不为0，故D正确。 故选D。 3. 某同学利用图甲所示装置来测量重力加速度。打开手机的磁传感器并放置于O点正下方，将磁性小球从平衡位置拉开一个小角度由静止释放，手机软件记录的磁感应强度变化曲线如图乙，已知单摆摆长为l，忽略实验环境对磁性小球的影响，则（　　） A．单摆的周期为t0 B．测量出的重力加速度 C．小球的摆幅越小，周期越小 D．小球经过最低点时，合力为零 【答案】B 【详解】A．一个周期内小球两次经过最低点，小球经过最低点时磁感应强度最大，根据图乙所示可知，单摆的周期为2t0，故A错误； BC．小球做单摆运动，根据周期公式有 可知周期与摆幅无关，解得重力加速度为，故B正确，C错误； D．小球经过最低点时，速度最大，小球的运动方向发生改变，合力提供向心力，合力不为零，故D错误。 故选B。 4. 单摆做简谐运动，其动能随时间t的变化关系如图所示。已知重力加速度为g，则该单摆（　　） A．摆动周期为 B．摆动周期为 C．摆长为 D．摆长为 【答案】C 【详解】AB．摆球一个周期内两次经过最低点，则一个周期内两次动能最大，由图可知，单摆的周期，故AB错误； CD．根据单摆周期公式 解得，故C正确，D错误； 故选C。 5. 摆球质量为m的单摆做简谐运动，其动能Ek随时间t的变化关系如图所示，重力加速度为g，则该单摆（　　） A．摆长为 B．摆长为 C．摆球向心加速度的最大值为 D．摆球向心加速度的最大值为 【答案】C 【详解】AB．由题图可知，单摆的周期为，根据单摆周期公式 可得摆长为，故AB错误； CD．摆球到最低点的动能为 摆球在最低点时向心加速度最大，为 联立解得，故C正确，D错误。 故选C。 6. 将一小球可视为质点悬挂于O点，拉开一个小角度后静止释放，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．小球质量越大，摆动周期越小 B．拉开角度越小，摆动周期越小 C．小球摆动过程中机械能守恒 D．摆动过程中，绳的拉力与重力的合力充当回复力 【答案】C 【详解】AB．根据单摆周期公式，可知摆动周期与小球质量和拉开角度无关，故AB错误； C．小球摆动过程中，只有重力做功，机械能守恒，故C正确； D．摆动过程中，重力的切向分力提供回复力，故D错误。 故选C。 7. 如图所示，不可伸长的光滑细线穿过质量为0.1kg的小铁球，两端A、B悬挂在倾角为的固定斜杆上，间距为1.5m。小球平衡时，A端细线与杆垂直；当小球受到垂直纸面方向的扰动做微小摆动时，等效于悬挂点位于小球重垂线与AB交点的单摆，重力加速度，则（　　） A．摆角变小，周期变大 B．小球摆动周期约为2s C．小球平衡时，A端拉力为N D．小球平衡时，A端拉力小于B端拉力 【答案】B 【详解】A．根据单摆的周期公式可知周期与摆角无关，故A错误； B．根据几何知识可知摆长为 故周期为，故B正确。 CD．同一根绳中，A端拉力等于B端拉力，平衡时对小球受力分析如图 可得 解得故CD错误； 故选B。 8. 惠更斯发现“单摆做简谐运动的周期T与重力加速度的二次方根成反比”。为了通过实验验证这一结论，某同学创设了“重力加速度”可以人为调节的实验环境：如图所示，在水平地面上固定一倾角θ可调的光滑斜面，把摆线固定于斜面上的O点，使摆线平行于斜面。拉开摆球至A点，静止释放后，摆球在ABC之间做简谐运动，摆角为α。下列说法正确的是（　　） A．多次改变α角的大小，即可获得不同的等效重力加速度 B．多次改变斜面的倾角θ，只要得出就可以验证该结论成立 C．多次改变斜面的倾角θ，只要得出就可以验证该结论成立 D．在摆角很小的情况下，改变α角，可改变单摆的振动周期 【答案】C 【详解】A．对小球进行受力分析可知，小球的重力垂直于斜面的分力始终与斜面的支持力平衡，令等效重力加速度为，则有 解得 可知，多次改变角的大小，即可获得不同的等效重力加速度，故A错误； BC．根据单摆的周期公式可得 可知，多次改变斜面倾角，只要得出，就可以验证该结论成立，故B错误，C正确； D．根据可知，在摆角很小的情况下，改变α角，单摆的振动周期不变，故D错误。 故选C。 9. 如图甲所示，一个单摆做小角度摆动，以向右的方向作为摆球偏离平衡位置的位移的正方向，得到摆球相对平衡位置的位移x随时间t变化的图像，如图乙所示，不计空气阻力。对于这个单摆的振动过程，下列说法正确的是（　　） A．t=0.5s时，摆球所受回复力最大，方向向右 B．t=1s时，摆球偏离平衡位置位移最大，方向向右 C．此单摆的周期是1s D．该单摆摆长约为2m 【答案】A 【详解】A．以向右的方向作为摆球偏离平衡位置的位移的正方向, 时，位移为，即摆球在端点A，由可知，摆球所受回复力最大，方向向右，故A正确； B．时，摆球的位移为零，即摆球刚好在平衡位置，故B错误； CD．由图像可知单摆的周期为 由单摆周期公式，可得摆长为，故CD错误。 故选A。 10. 如图甲所示，一摆球在竖直平面内做小角度摆动（θ<5°）。某次摆球从左向右通过平衡位置开始计时，其振动图像如图乙所示。不计空气阻力，g取10m/s2。下列说法正确的是（　　）    A．摆长约为2m B．t=0.5s时摆球速度为零，回复力也为零 C．t=2.0s时摆球所受回复力为零，但拉力最大 D．摆球的位移x随时间t的变化规律为x=8sin（πt）m 【答案】C 【详解】A．根据图乙可知，周期T=2s 根据周期公式有 解得，故A错误； B．由于 摆球从左向右通过平衡位置开始计时，则0.5s时摆球位于右侧最高点，相对于平衡位置的位移达到最大值，则摆球速度为零，但回复力达到最大值，故B错误； C．由于 摆球从左向右通过平衡位置开始计时，则2.0s时摆球位于最低点，相对于平衡位置的位移为零，则摆球回复力为零。摆球在运动过程中，由沿绳方向的合力提供向心力，令绳与竖直方向夹角为，则有 摆球从最高点运动到上述位置时有 减小，摆球速度增大，则绳拉力增大，可知，t=2.0s时拉力最大，故C正确； D．根据可知，摆球的位移x随时间t的变化规律为，故D错误。 故选C。 11. 宇航员在月球表面利用单摆做摆角小于的摆动，已知摆长为l，n次全振动的总时间为t，月球的半径为R，引力常量为G。下列说法正确的是（　　） A．月球表面的重力加速度为 B．月球的第一宇宙速度为 C．月球的质量为 D．质量为m的物体在月球表面的重力为 【答案】B 【详解】AD．n次全振动的总时间为t，可知单摆周期为 根据单摆周期公式可得 解得月球表面的重力加速度为 则质量为m的物体在月球表面的重力为，故AD错误； C．在月球表面有 可得月球的质量为，故C错误； B．月球的第一宇宙速度等于近月卫星的运行速度，则有 可得月球的第一宇宙速度为，故B正确。 故选B。 12. 如图1所示，一单摆悬挂在O点，在O点正下方P点有一个钉子，将小球（可视为质点）拉到A点后静止释放，小球在竖直平面内做简谐运动，摆球的振动图像如图2所示。已知摆球摆角始终不超过5°，重力加速度g取10m/s²，不计一切阻力和能量损失，下列说法中正确的是（　　） A．该单摆的周期为0.4πs B．OP间的距离为1.6m C．t=0.2πs时小球动能最大 D．图中x₁与x₂的比值为2∶1 【答案】D 【详解】A．由图像可知，该单摆的周期为T=2(0.5-0.2)πs=0.6πs 选项A错误； B．根据单摆周期公式， 解得OP间的距离为LOP=1.2m 选项B错误； C．t=0.2πs时小球到达最高点，此时速度为零，则动能为零，选项C错误； D．不计摆线和钉子相碰时的能量损失，所以整个过程机械能守恒，由机械能守恒定律可知mgh1=mgh2 所以摆球摆到两侧最高点的位置是等高；单摆在OP左侧最大偏角为θ，由数学知识得 单摆在OP右侧最大偏角为α，由数学知识得 由机械能守恒定律得：mgLOA（1-cosθ）=mgLBP（1-cosα） 其中LOA=4LBP 联立解得 图中x₁与x₂的比值为2∶1，选项D正确。 故选D。 13. 用倾斜摆探究单摆周期与等效重力加速度的定量关系。如图甲，在倾角θ可调的斜面上开有许多气孔（图中未画出），来自气孔中的气流刚好可以将摆球托起。摆球通过摆线与力传感器连接，摆球沿图中虚线在斜面上做小幅摆动，传感器可实时记录拉力大小F随时间t变化的关系。 (1)在某次实验中，拉力F随时间t变化曲线如图乙所示，倾斜摆的周期为 s； (2)多次改变斜面的倾角θ，分别测出对应的单摆周期T，做出图像如图丙所示。根据图像可以得到的实验结论是 ； (3)实验中倾斜摆的摆长为 m。（取π2=10，结果保留两位有效数字） 【答案】(1)1.20 (2)单摆周期T与成正比 (3)0.28 【详解】（1）由图可知，倾斜摆的周期为T=1.20s； （2）由于的图像是一条通过原点的直线，故单摆的周期T与成正比； （3）根据单摆的周期公式可得 结合图像可得 解得等效单摆的摆长为 14. 如图所示，将一摆长为l，摆球质量为m的单摆悬挂在O点。拉开摆球，使它偏离平衡位置一个很小的角度，然后释放，摆球将沿着平衡位置为中点的一段圆弧做往复运动。摆球可视为质点，不计空气阻力，重力加速度为g。 (1)求单摆摆动任一角度θ时的回复力大小F； (2)证明单摆的运动是简谐运动； (3)若将上述单摆悬挂在升降机顶端，当升降机以加速度a加速下降时，拉开摆球，使它偏离平衡位置一个很小的角度，然后释放，摆球相对于升降机是否做简谐运动，若做简谐运动请写出其振动的周期T。 【答案】(1) (2) (3)是做简谐运动， 【详解】（1）摆球所受回复力为重力在运动轨迹切线方向的分力，摆角为时，其大小为 （2）当摆角很小时，摆球运动的圆弧可以看成直线，相对位置O的位移x大小与弧长相等，有 回复力大小可表示为 由于回复力方向与位移x方向相反，故回复力与位移关系可表示为 其中是定值，故在摆角很小时，摆球的运动是简谐运动。 （3）若将上述单摆悬挂在升降机顶端，当升降机以加速度a加速下降时，其等效重力 用第二问知识可类比推出回复力与位移关系可表示为，故在摆角很小时，摆球的运动是简谐运动。 其振动的周期 【点睛】 15. 如图甲，O点为单摆的固定悬点，将力传感器接在摆球与O点之间。现将摆球拉到A点，释放摆球，摆球将在竖直面内的A、C之间来回摆动，其中B点为运动中的最低位置，摆角为θ（θ<5°）。图乙表示细线对摆球的拉力大小F随时间t变化的曲线，最小值为F1、最大值为F2，表图中t=0为摆球从A点开始运动的时刻，重力加速度为g。 (1)求单摆的振动周期T和摆长L（用π、g、t0表示）； (2)求摆球的质量m（用F1、F2、g表示）。 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）根据图甲、图乙可知，从A位置开始，经过到达C，再经过回到A，完成一次周期性振动，故周期 根据单摆的周期公式 解得摆长 （2）当摆球在A点或者C点时，根据平衡条件 当摆球在B点时，根据牛顿第二定律 摆球从A点到B点，根据动能定理 解得 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.4单摆 1.知道单摆是一种理想化模型，理解单摆模型的条件，能将实际问题中的对象和过程转化 为单摆模型。 2.能通过理论推导，判定单摆小角度振动时的运动特点。 3.在探究单摆的周期与摆长的定量关系时，能分析数据、发现规律、形成合理的结论，能 用己有的物理知识解释相关现象。 4.知道单摆周期与摆长、重力加速度的关系，能运用其解决相关实际问题。 生活中经常可以看到悬挂起来的物体在竖直平面内往复运动。将一小球用细绳悬挂起来，把小球拉离最低点释放后，小球就会来回摆动。小球的摆动是否为简谐运动呢？ 考点一、单摆 1．单摆的组成：由细线和小球组成． 2．理想化模型 (1)细线的质量与小球相比可以忽略． (2)小球的直径与线的长度相比可以忽略． 考点二：单摆的回复力 (1)回复力的来源：摆球的重力沿圆弧切线方向的分力． (2)回复力的特点：在摆角很小时，摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总指向平衡位置，即F＝－x.从回复力特点可以判断单摆做简谐运动． 考点三、单摆的周期 1．单摆振动的周期与摆球质量无关(填“有关”或“无关”)，在振幅较小时与振幅无关(填“有关”或“无关”)，但与摆长有关(填“有关”或“无关”)，摆长越长，周期越大(填“越大”“越小”或“不变”)． 2．周期公式 (1)提出：周期公式是荷兰物理学家惠更斯首先提出的． (2)公式：T＝2π，即周期T与摆长l的二次方根成正比，与重力加速度g的二次方根成反比，而与振幅、摆球质量无关． 题型1单摆的回复力 [例题1] 单摆在振动过程中，不计空气阻力，以下说法正确的是（　　） A．摆球在最低点加速度为零 B．摆球经过同一高度时，动能相同 C．摆球所受回复力始终等于拉力与重力的合力 D．同一单摆，在天津振动的周期大于在海南振动的周期 [例题2] 两根等长的轻质细绳下方系两个完全相同的小球，让其中一个小球做圆锥摆运动，另一个小球做秋千摆运动，如图所示。圆锥摆过程中细绳与竖直方向夹角和秋千摆的最大摆角相等，不考虑空气阻力，轻绳不可伸长，则下列说法中正确的是（    ）    A．小球做圆锥摆时受到细绳拉力和做秋千摆时在最高点A处受到的拉力大小相等 B．小球做圆锥摆时，可以保证与竖直方向夹角不变的情况下，增大小球的角速度 C．小球做秋千摆时，在C点处于平衡状态 D．小球做秋千摆时，在B点处于超重状态 [例题3] 简谐运动是最简单、最基本的振动。图甲是做简谐运动的某物体，全振动50次用了20s；图乙是研究单摆的回复力实验图，下列对应的说法正确的是（    ） A．图甲是研究弹簧振子的运动实验图，弹簧振子在弹簧弹力作用下做匀变速直线运动 B．图甲是研究弹簧振子的运动实验图，弹簧振子的频率为2.5Hz C．图乙中做单摆运动的摆球的回复力是摆球重力和细线拉力的合力 D．图乙中做单摆运动的摆球运动到O点时速度最大，回复力最小 题型2单摆的周期 [例题4] 单摆在、两点之间做简谐运动，点为平衡位置，如图甲所示。单摆的振动图像如图乙所示（向右为正方向），取重力加速度大小，下列说法正确的是（　　） A．单摆的振幅为 B．单摆的摆动频率为 C．时，摆球在点 D．单摆的摆长为 [例题5] 某学习小组的同学在实验室用如图甲所示装置研究单摆的运动规律，O是单摆的平衡位置，单摆在竖直平面内左右摆动，M、N是摆球所能到达的最远位置。取向右为正方向。图乙是单摆的振动图像。已知当地的重力加速度大小，取，下列说法中正确的是（　　） A．单摆的振幅是0.14m，振动的频率是1Hz B．振动的表达式为 C．单摆的摆长为1m D．时摆球在N点 [例题6] 如图为单摆做简谐运动的振动图像，重力加速度g取10m/s2，则下列说法正确的是（　　） A．单摆摆长为2.5m，摆球零时刻速度最大 B．单摆摆长为2.5m，摆球在A、B两点的速度相同 C．单摆摆长为1.225m，摆球零时刻速度为零 D．单摆摆长为1.225m，摆球在A、C两点的速度相同 题型3单摆的振动图像和表达式 [例题7] 一摆球在竖直平面内做单摆运动，从最低点开始计时，该单摆的振动图像如图所示，重力加速度g取，取，下列说法正确的是（　　） A．该单摆的摆长为4m B．时，摆球的加速度为0 C．时，摆球的速度最大 D．到时间内，回复力先增大后减小 [例题8] 如图甲所示，单摆固定悬点为O，将可看成质点的摆球拉至A点，然后由静止释放，并开始计时，摆球在竖直平面内的A、C之间来回摆动，摆角θ小于5°，B点为运动中的最低位置。摆球相对平衡位置的位移x随时间t变化的图像如图乙所示，不计空气阻力，重力加速度g取9.8m/s2，π2≈9.8。下列说法正确的是（　　） A．该单摆摆长约为1m B．摆球受到重力、拉力、向心力、回复力的作用 C．摆球在B点处，速度最大，回复力也最大 D．在0.5~1s内，摆球从C点向B点运动 [例题9] 如图甲所示的漏斗在做简谐运动的同时，小付同学将下方的薄木板沿箭头方向匀加速拉出，漏斗3s内漏出的细沙在板上形成的曲线如图乙所示，当地重力加速度大小，下列说法正确的是（    ） A．该沙摆的周期为2s B．该沙摆的摆长约为1m C．由图乙可知，木板被匀加速拉出 D．当图乙中的B点通过沙摆正下方时，薄木板的速度大小为0.35m/s 题型4等效单摆问题 [例题10] 水平地面上固定一段光滑绝缘圆弧轨道，过轨道左端N点的竖直线恰好经过轨道的圆心（图上未画出），紧贴N点左侧还固定有绝缘竖直挡板。自零时刻起将一带正电的小球自轨道上的M点由静止释放。小球与挡板碰撞时无能量损失，碰撞时间不计，运动周期为T，MN间的距离为L并且远远小于轨道半径，以下说法正确的是（    ） A．圆弧轨道的半径为 B．空间加上竖直向下的匀强电场，小球的运动周期会增大 C．空间加上垂直纸面向里的匀强磁场，若小球不脱离轨道，运动周期会增大 D．时小球距N点的距离约为 [例题11] 如图所示，某同学利用双线摆和光电计数器测量当地的重力加速度。已知每根悬线长为d，两悬点间相距s，金属小球半径为r，AB为光电计数器。现将小球垂直于纸面向外拉动，使悬线偏离竖直方向一个较小的角度并由静止释放，同时，启动光电计数器，当小球第一次经过图中虚线（光束）位置O时，由A射向B的光束被挡住，计数器计数一次，显示为“1”，同时计时器开始计时。然后每当小球经过点O时，计数器都计数一次。当计数器上显示的计数次数刚好为n时，所用的时间为t，则下列说法正确的是（　　） A．双线摆的摆角越小，则周期越小 B．双线摆的振动周期 C．双线摆的等效摆长 D．静止释放瞬间，小球的回复力为零 [例题12] 如图所示，在倾角为的光滑斜面顶端固定一摆长为L的单摆，单摆在斜面上做小角度摆动，摆球经过平衡位置时的速度为v，则以下判断正确的是（　　） A．T为该单摆在斜面上摆动的周期 B．摆球经过平衡位置时的加速度大小为 C．若小球带正电，并加一沿斜面向下的匀强电场，则单摆的振动周期将不变 D．若小球带正电，并加一垂直斜面向下的匀强磁场，则单摆的振动周期将发生变化 题型5探究单摆周期与摆长的关系 [例题13] 1785年，库仑发表了《关于电学和磁学的第一篇科学论文报告》，记述了他受万有引力的启发，通过类比思想测定电荷之间的引力是否遵从距离平方反比定律，库仑当时的思考和实验过程如下： （1）根据单摆做简谐运动的周期公式及地球表面物体所受重力与万有引力的关系，可以得到地球表面摆长L的单摆的周期T和地球半径R的关系 。已知地球质量为M，万有引力常量为G。 （2）库仑把电荷之间引力与万有引力进行类比，设计了电摆实验仪，其结构如图所示。G为绝缘支架上的金属球，S为一端有镀金的小圆纸片的绝缘小木棍，悬挂在丝线下端。让G与圆片带上异号电荷。由于圆片受G的电引力作用，圆片将在水平面上摆动，测量出G的球心与圆片在距离r取不同值时，圆片摆动的周期，就可以判断周期与距离r的关系。已知圆片的振动可视为单摆。某次实验的测量数据如下： 实验次数 r/cm 15次振动所需时间/s 1 18 20 2 36 43 3 54 69 （3）类比万有引力的思想，上表中三次实验的周期之比应为 ，而实际测量时，第二次和第三次周期比理论值偏大，库仑猜想这可能是由于实验过程中带电球在缓慢漏电造成的。请你设计一个方案，仍然使用该实验的器材，验证他的猜想是否合理。 。 [例题14] 在探究单摆运动的实验中，图甲是用力传感器对单摆小角度（小于5°）振动过程进行测量的装置图，图乙是与力传感器连接的计算机屏幕所显示的绳子拉力大小与时间图像（已知）． (1)关于此单摆下列说法正确的是________。 A．摆球摆到最高点速度、加速度均为零 B．摆球摆动过程合力方向始终沿绳指向悬挂点 C．最低点为平衡位置，此时合力为零 D．摆球的回复力为重力在垂直摆线方向上的分力 (2)根据图乙的信息可得周期为 s（结果保留三位有效数字）；摆球的质量为 g。 [例题15] 李老师和他的儿子在公园里玩耍，公园里有一个用一块木板和两根绳子做成的秋千，绳子上端系在一棵大榕树的树枝上。小朋友想知道悬挂秋千的绳子有多长，李老师和他一起做了一个简易实验来测量绳子的长度。实验步骤如下： ①秋千静止时，在秋千旁边支起一根自拍杆，如图所示； ②让小朋友坐在秋千上，然后轻推小朋友使秋千前后小弧度摆动； ③李老师使用手机上的秒表在小朋友某次经过自拍杆时开始计时； ④开始计时后，小朋友第30次经过自拍杆时停止计时，记录的时间为69s。 (1)根据以上实验步骤，秋千摆动的周期为 s。 (2)若将秋千的运动视为单摆运动，且认为摆长等于绳长，可测得绳长为 m。（保留两位有效数字，取） (3)由于人坐在秋千上时，重心不在木板上，仅考虑该因素对实验结果的影响，则（2）问中测得的绳长比实际绳长 （填“长”或“短”）。 1. 某单摆做简谐运动的振动图像如图所示，取g=9.8m/s2，则该单摆（　　） A．周期为1.0s B．摆长约为1m C．t=1.0s时所受合力为零 D．t=1.5s与t=2.5s时加速度相同 2. 光滑圆弧面上有一个小球，小球静止时位于C点，把小球从C点移至A点由静止释放，放手后小球开始在A、E之间来回运动，B、D分别为圆弧AC、CE的中点，圆弧AE远小于圆弧半径，不计空气阻力，则下列说法正确的是（　　） A．小球在B点的速度一定与其在D点的速度等大同向 B．小球在B点的加速度一定与其在D点的加速度等大反向 C．小球由A点运动到B点的时间可能与其由B点运动到C点的时间相同 D．小球运动到C点时的加速度大小不为0 3. 某同学利用图甲所示装置来测量重力加速度。打开手机的磁传感器并放置于O点正下方，将磁性小球从平衡位置拉开一个小角度由静止释放，手机软件记录的磁感应强度变化曲线如图乙，已知单摆摆长为l，忽略实验环境对磁性小球的影响，则（　　） A．单摆的周期为t0 B．测量出的重力加速度 C．小球的摆幅越小，周期越小 D．小球经过最低点时，合力为零 4. 单摆做简谐运动，其动能随时间t的变化关系如图所示。已知重力加速度为g，则该单摆（　　） A．摆动周期为 B．摆动周期为 C．摆长为 D．摆长为 5. 摆球质量为m的单摆做简谐运动，其动能Ek随时间t的变化关系如图所示，重力加速度为g，则该单摆（　　） A．摆长为 B．摆长为 C．摆球向心加速度的最大值为 D．摆球向心加速度的最大值为 6. 将一小球可视为质点悬挂于O点，拉开一个小角度后静止释放，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．小球质量越大，摆动周期越小 B．拉开角度越小，摆动周期越小 C．小球摆动过程中机械能守恒 D．摆动过程中，绳的拉力与重力的合力充当回复力 7. 如图所示，不可伸长的光滑细线穿过质量为0.1kg的小铁球，两端A、B悬挂在倾角为的固定斜杆上，间距为1.5m。小球平衡时，A端细线与杆垂直；当小球受到垂直纸面方向的扰动做微小摆动时，等效于悬挂点位于小球重垂线与AB交点的单摆，重力加速度，则（　　） A．摆角变小，周期变大 B．小球摆动周期约为2s C．小球平衡时，A端拉力为N D．小球平衡时，A端拉力小于B端拉力 8. 惠更斯发现“单摆做简谐运动的周期T与重力加速度的二次方根成反比”。为了通过实验验证这一结论，某同学创设了“重力加速度”可以人为调节的实验环境：如图所示，在水平地面上固定一倾角θ可调的光滑斜面，把摆线固定于斜面上的O点，使摆线平行于斜面。拉开摆球至A点，静止释放后，摆球在ABC之间做简谐运动，摆角为α。下列说法正确的是（　　） A．多次改变α角的大小，即可获得不同的等效重力加速度 B．多次改变斜面的倾角θ，只要得出就可以验证该结论成立 C．多次改变斜面的倾角θ，只要得出就可以验证该结论成立 D．在摆角很小的情况下，改变α角，可改变单摆的振动周期 9. 如图甲所示，一个单摆做小角度摆动，以向右的方向作为摆球偏离平衡位置的位移的正方向，得到摆球相对平衡位置的位移x随时间t变化的图像，如图乙所示，不计空气阻力。对于这个单摆的振动过程，下列说法正确的是（　　） A．t=0.5s时，摆球所受回复力最大，方向向右 B．t=1s时，摆球偏离平衡位置位移最大，方向向右 C．此单摆的周期是1s D．该单摆摆长约为2m 10. 如图甲所示，一摆球在竖直平面内做小角度摆动（θ<5°）。某次摆球从左向右通过平衡位置开始计时，其振动图像如图乙所示。不计空气阻力，g取10m/s2。下列说法正确的是（　　）    A．摆长约为2m B．t=0.5s时摆球速度为零，回复力也为零 C．t=2.0s时摆球所受回复力为零，但拉力最大 D．摆球的位移x随时间t的变化规律为x=8sin（πt）m 11. 宇航员在月球表面利用单摆做摆角小于的摆动，已知摆长为l，n次全振动的总时间为t，月球的半径为R，引力常量为G。下列说法正确的是（　　） A．月球表面的重力加速度为 B．月球的第一宇宙速度为 C．月球的质量为 D．质量为m的物体在月球表面的重力为 12. 如图1所示，一单摆悬挂在O点，在O点正下方P点有一个钉子，将小球（可视为质点）拉到A点后静止释放，小球在竖直平面内做简谐运动，摆球的振动图像如图2所示。已知摆球摆角始终不超过5°，重力加速度g取10m/s²，不计一切阻力和能量损失，下列说法中正确的是（　　） A．该单摆的周期为0.4πs B．OP间的距离为1.6m C．t=0.2πs时小球动能最大 D．图中x₁与x₂的比值为2∶1 13. 用倾斜摆探究单摆周期与等效重力加速度的定量关系。如图甲，在倾角θ可调的斜面上开有许多气孔（图中未画出），来自气孔中的气流刚好可以将摆球托起。摆球通过摆线与力传感器连接，摆球沿图中虚线在斜面上做小幅摆动，传感器可实时记录拉力大小F随时间t变化的关系。 (1)在某次实验中，拉力F随时间t变化曲线如图乙所示，倾斜摆的周期为 s； (2)多次改变斜面的倾角θ，分别测出对应的单摆周期T，做出图像如图丙所示。根据图像可以得到的实验结论是 ； (3)实验中倾斜摆的摆长为 m。（取π2=10，结果保留两位有效数字） 14. 如图所示，将一摆长为l，摆球质量为m的单摆悬挂在O点。拉开摆球，使它偏离平衡位置一个很小的角度，然后释放，摆球将沿着平衡位置为中点的一段圆弧做往复运动。摆球可视为质点，不计空气阻力，重力加速度为g。 (1)求单摆摆动任一角度θ时的回复力大小F； (2)证明单摆的运动是简谐运动； (3)若将上述单摆悬挂在升降机顶端，当升降机以加速度a加速下降时，拉开摆球，使它偏离平衡位置一个很小的角度，然后释放，摆球相对于升降机是否做简谐运动，若做简谐运动请写出其振动的周期T。 15. 如图甲，O点为单摆的固定悬点，将力传感器接在摆球与O点之间。现将摆球拉到A点，释放摆球，摆球将在竖直面内的A、C之间来回摆动，其中B点为运动中的最低位置，摆角为θ（θ<5°）。图乙表示细线对摆球的拉力大小F随时间t变化的曲线，最小值为F1、最大值为F2，表图中t=0为摆球从A点开始运动的时刻，重力加速度为g。 (1)求单摆的振动周期T和摆长L（用π、g、t0表示）； (2)求摆球的质量m（用F1、F2、g表示）。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$