第二章 机械振动（高效培优·复习讲义）物理人教版2019选择性必修第一册

第二章 机械振动 【题型导航】 【重难题型讲解】 1 题型1 简谐运动 1 题型2 简谐运动的描述 4 题型3 简谐运动的回复力和能量 9 题型4 单摆 14 题型5 实验：用单摆测量重力加速度 21 题型6 受迫振动 共振 24 【能力培优练】 29 【链接高考】 41 【重难题型讲解】 题型1 简谐运动 一、弹簧振子 1、机械振动：我们把物体或物体的一部分在一个位置附近的往复运动称为机械振动，简称振动。 2、弹簧振子：我们把小球和弹簧组成的系统称为弹簧振子，有时也简称为振子。 3、平衡位置：振子原来静止时的位置。 （1）位于平衡位置时，小球所受合力为0。 （2）经过平衡位置时，小球速度最快。 二、弹簧振子的位移—时间图像 1、用横坐标表示振子运动的时间(t)，纵坐标表示振子离开平衡位置的位移(x)，描绘出的图像就是位移随时间变化的图像，即x－t图像，如图所示。 2、振子的位移：振子相对平衡位置的位移。 3、图像的物理意义：反映了振子位置随时间变化的规律，它不是振子的运动轨迹。 三、简谐运动 1、定义：如果物体的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图像（x−t 图像）是一条正弦曲线，这样的振动是一种简谐运动。 2、特点：简谐运动是最简单、最基本的振动，弹簧振子的运动就是简谐运动。 3、简谐运动的图像：表示一个振子不同时刻所在的位置或者一个振子位移随时间的变化规律。 （1）描述振动物体的位移随时间的变化规律。 （2）简谐运动的图像是正弦曲线，从图像上可直接看出不同时刻振动质点的位移大小和方向、速度方向以及速度大小的变化趋势。 【探究归纳】简谐运动是回复力与位移成正比且反向（F=-kx）的周期性运动，如弹簧振子、小角度单摆，其位移、速度等物理量随时间呈周期性变化，具有对称性，是最简单的机械振动形式。 【典例1-1】简谐运动属于下列哪种运动（　　） A．匀速直线运动 B．匀加速直线运动 C．匀变速运动 D．非匀变速运动 【答案】D 【详解】做简谐运动的物体速度随时间周期性变化，根据 可知加速度随位移变化而变化，而位移随时间周期性变化，加速度也作周期性变化，是非匀变速运动，故D正确，ABC错误。 故选D。 【典例1-2】（多选）下列运动属于机械振动的是(　　) A．说话时声带的运动 B．弹簧振子在竖直方向的上下运动 C．体育课上同学进行25米折返跑 D．竖直向上抛出的物体的运动 【答案】AB 【详解】AB．物体在平衡位置附近所做的往复运动，叫做机械振动，通常简称为振动；说话时声带的运动、弹簧振子在竖直方向的上下运动，均是在其平衡位置附近的振动，故AB正确； CD．体育课上同学进行25米折返跑、竖直向上抛出的物体的运动都不是在其平衡位置附近的振动，故CD错误。 故选AB。 跟踪训练1弹簧上端固定在O点，下端连接一小球，组成一个振动系统，如图所示，用手向下拉一小段距离后释放小球，小球便上下振动起来，关于小球的平衡位置，下列说法正确的是（　　） A．在小球运动的最低点 B．在弹簧处于原长时的位置 C．在小球位移最大时的位置 D．在小球原来静止时的位置 【答案】D 【详解】ABD．平衡位置是振动系统不振动时，小球（振子）处于平衡状态时所处的位置，可知此时小球所受的重力大小与弹簧的弹力大小相等，即mg＝kx，也即小球原来静止的位置，AB错误，D正确； C．当小球处于平衡位置时，位移是零，在小球位移最大时，加速度最大，C错误。 故选D。 跟踪训练2（多选）如图是一弹簧振子，O为平衡位置，则振子从a→O运动的过程中，下列说法正确的是（　　） A．位移不断减小 B．速度不断减小 C．加速度不断减小 D．弹簧的弹性势能不断增大 【答案】AC 【详解】振子从a→O运动的过程是靠近平衡位置，故位移减小，速度增加，加速度减小，弹性势能减小，故BD错误，AC正确。 故选AC。 题型2 简谐运动的描述 一、振幅 1、定义：振动物体离开平衡位置的最大距离，叫做振动的振幅。 2、振幅和位移的区别 （1）振子的位移大小等于其偏离平衡位置的距离，时刻在变化；但振幅是不变的。 （2）位移是矢量，振幅是标量，它等于最大位移的数值。 二、周期和频率 1、全振动：一个完整的振动过程称为一次全振动，弹簧振子完成一次全振动的时间总是相同的。 2、周期：做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间，叫作振动的周期，用T表示．在国际单位制中，周期的单位是秒(s)。 3、频率：周期的倒数叫作振动的频率，数值等于单位时间内完成全振动的次数，用f表示．在国际单位制中，频率的单位是赫兹，简称赫，符号是Hz。 4、周期和频率的关系：f＝。周期和频率都是表示物体振动快慢的物理量，周期越小，频率越大，表示振动越快。 5、圆频率ω：表示简谐运动的快慢，其与周期T、频率f间的关系式为ω＝，ω＝2πf. 三、相位 1、简谐运动的表达式：x＝Asin (ωt＋φ0)＝Asin (t＋φ0)，其中：A为振幅，ω为圆频率，T为简谐运动的周期，φ0叫初相位。 2、相位概念：描述周期性运动在一个运动周期中的状态。 3、相位表示：相位的大小为ωt＋φ，其中φ是t＝0时的相位，叫初相位，或初相。 3．相位差：两个相同频率的简谐运动的相位的差值，Δφ＝φ1－φ2。 【探究归纳】简谐运动的描述常用位移公式 x=A sin (ωt+φ)：A 为振幅（最大位移），T 为周期（完成 一次全振动的时间），f 为频率（f=1/T），ω=2π/T 为角频率，(ωt+φ) 为相位（描述振动状态），φ 为初相位，这些量共同表征其振动特征。 【典例2-1】如图所示为某弹簧振子做简谐运动的图像，下列描述正确的是（　　） A．该振子的周期为2s B．在1.5~2s时间内，振子的加速度不断增大 C．在2.5~3.5s时间内，振子位移为零 D．在3.5s时，振子的速度沿轴负方向，加速度沿轴正方向 【答案】C 【详解】A．图像可知该振子的周期为4s，故A错误； B．图像可知在1.5~2s时间内，振子的位移在减小，振子的加速度 可知振子的加速度不断减小，故B错误； C．对称性可知2.5s与3.5s时振子在同一位置，故该过程振子位移为零，故C正确； D．图像可知在3.5s时，振子的速度沿轴负方向，但位移沿轴正方向，根据 可知位移方向与加速度方向相反，故加速度沿轴负方向，故D错误。 故选C。 【典例2-2】（多选）如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动，取向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示，下列说法正确的是（　　） A．t=0.2s时，振子在O点右侧6 cm处 B．t=0.6s和t=1.4s时，振子的速度完全相同 C．t=0.8s时，振子的速度方向向左 D．t=0.4s到t=0.8s的时间内，振子的动能逐渐增大 【答案】CD 【详解】A．在0~0.4s内，振子做变减速运动，不是匀速运动，所以t=0.2s时，振子不在O点右侧6cm处，故A错误； B．由图像乙知t=0.6s和t=1.4s时，振子的速度大小相等，方向相反，故B错误； C．t=0.8s时，图像的斜率为负，说明振子的速度为负，即振子的速度方向向左，故C正确； D．t=0.4s到t=0.8s的时间内，振子正向靠近平衡位置，速度逐渐增大，动能逐渐增大，故D正确。 故选CD。 【典例2-3】如图所示，一轻质弹簧的上端固定在光滑斜面顶部，下端栓接小球A，A通过一段细线与小球B相连，两球均静止。某时刻，将细线烧断。已知斜面的倾角为θ=30°且固定在水面上，A、B的质量分别为m、2m，弹簧的劲度系数为k，弹簧振子简谐运动的周期为，重力加速度为g，空气阻力可忽略不计。 (1)A运动的振幅； (2)A运动时的最大速度。 (3)从细线烧断到弹簧第一次恢复原长经历的时间。 【答案】（1）开始AB组成的系统静止时，设弹簧的伸长量，则有 解得 又烧断细线A运动过程中，受力平衡时，设弹簧的伸长量为，则有 解得 即A运动的平衡位置是弹簧伸长量为的位置；烧断细线后A初位置开始向上运动，到达平衡位置运动的距离为物块A的振幅，则振幅为 （2）当A运动到平衡位置时速度最大，从烧断细线到A运动到平衡位置，由动能定理 联立可得 （3）选A的平衡位置处为坐标原点，沿斜面向下为正方向建立坐标系，用表示A离开平衡位置的位移，当A运动到平衡位置下位置时，物块A受到的合力为 解得 则A受到的合外力总是与物块的位移成反比，所以A做简谐振动；当弹簧第一次恢复原长时，A做简谐运动的位移为，根据简谐运动的对称性及简谐运动的方程 可得A从平衡位置到弹簧原长位置所用时间为，则从细线烧断到弹簧第一次恢复原长经历的总时间 又 解得 跟踪训练1如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在光滑水平地面上A、B两点之间做简谐运动。取水平向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化关系如图乙所示，下列正确的是（　　） A．t=0.8s时，振子受到的回复力最大 B．t=0.2s和t=0.6s时，振子的速度相同 C．1.2s-1.6s时间内，振子的速度逐渐减小 D．t=1.3s时振子正在向右做加速度减小的加速运动 【答案】D 【详解】A．t=0.8s时，根据图乙可知，振子在平衡位置，合力为零，受到的回复力最小，故A错误； B．图像斜率代表速度，所以t=0.2s和t=0.6s时，振子的速度方向相反，故B错误； C．1.2s~1.6s时间内，振子从负向最大位移处向平衡位置靠近，振子的速度逐渐增大，故C错误； D．t=1.3s时振子正从负向最大位移处，向平衡位置运动，速度增大，回复力减小，做加速度减小的加速运动，故D正确。 故选D。 跟踪训练2（多选）一个质点做简谐运动的振动图像如图所示，下列说法正确的是 （　　） A．在任意4s的时间内，质点经过的路程都是8cm B．t=2s前后，质点加速度方向改变 C．在 t=2s到t=3s时间内，质点的位移大小在减小 D．t=0.5s和t=1.5s两个时刻， 质点的速度大小相等，方向相同 【答案】AB 【详解】A．题图可知周期T为4s，振幅A为2cm，一个周期内质点运动路程为4A，故在任意4s的时间内，质点经过的路程都是，故A正确； B．题图可知2s前后位移方向发生改变，根据 可知回复力方向发生改变，故质点加速度方向改变，故B正确； C．题图可知在 t=2s到t=3s时间内，质点的位移大小在增大，故C错误； D．图像斜率表示速度，对称性可知t=0.5s和t=1.5s两个时刻， 质点的速度大小相等，方向相反，故D错误。 故选AB。 跟踪训练3如图甲，方形木块A、B叠放在光滑水平地面上，在水平轻质弹簧的作用下一起做简谐运动，以运动过程中的某时刻开始计时，以其平衡位置为位移零点，其位移时间图像如图乙所示，已知A的质量，B的质量，弹簧的劲度系数，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度。求： (1)A的位移随时间变化的方程； (2)A、B间的动摩擦因数需要满足什么条件？ 【答案】（1）A做简谐运动的振幅，周期，位移方程为 时，， 时，， 则可得， 代入，得位移方程为 （2）在振幅处整体有最大加速度，由牛顿第二定律，有 解得 对A，有 且 联立，解得 题型3 简谐运动的回复力和能量 一、简谐运动的回复力 1、回复力定义：使振子回到平衡位置的力。回复力是根据力的效果命名的，可能由合力、某个力或某个力的分力提供．它一定等于振动物体在振动方向上所受的合力。回复力方向总是指向平衡位置。 2、回复力公式：F＝－kx。 （1）k是比例系数，不一定是弹簧的劲度系数．其值由振动系统决定，与振幅无关。 （2）“－”号表示回复力的方向与偏离平衡位置的位移的方向相反。 3、简谐运动的加速度：a＝－x，加速度a与位移x的大小成正比，方向与位移方向相反。 4、物体做简谐运动的判断方法 （1）简谐运动的回复力满足F＝－kx。 （2）简谐运动的振动图像是正弦曲线。 二、简谐运动的能量 1、简谐运动的能量由振动系统和振幅决定，对同一个振动系统，振幅越大，能量越大。 2、在简谐运动中，振动的能量保持不变，所以振幅保持不变，只要没有能量损耗，它将永不停息地振动下去。 3、在振动的一个周期内，动能和势能完成两次周期性变化．物体的位移减小，势能转化为动能，位移增大，动能转化为势能。 4、能量特点：在简谐运动中，振动系统的机械能守恒，而在实际运动中都有一定的能量损耗，因此简谐运动是一种理想化的模型。 三、简谐运动中各个物理量的变化规律 1、每次经过同一位置处，x、F、a、势能、动能均相同，v大小相等，方向不一定。若连续两次经过同一点，v反向。 2、简谐运动的加速度大小和方向都随时间做周期性的变化，所以简谐运动是变加速运动。 3、当物体从最大位移处向平衡位置运动时，由于v与a的方向一致，物体做加速度越来越小的加速运动。 4、当物体从平衡位置向最大位移处运动时，由于v与a的方向相反，物体做加速度越来越大的减速运动。 【归纳总结】简谐运动的回复力与位移成正比且反向（F=-kx），由弹力等提供；能量在动能与势能间转化，机械能守恒，平衡位置动能最大，最大位移处势能最大。 【典例3-1】如图，水平弹簧振子沿x轴在M、N间做简谐运动，坐标原点O为振子的平衡位置，其振动方程为，下列说法正确的是（　　） A．振子的运动周期是0.2s B．时，振子位于M点 C．时，振子具有最小速度 D．从运动过程中，振子的加速度减小，振子的动能减小 【答案】A 【详解】A．因，可知振子的运动周期是，故A正确； B．由，可知时，，即振子位于N点，故B错误； C．由可知s时，，此时振子在O点，振子速度最大，故C错误； D．从M→O，形变量减小，振子加速度减小，弹力做正功，振子的动能增加，故D错误。 故选A。 【典例3-2】（多选）某鱼漂的示意图如图甲，、、为鱼漂上的三个点。当鱼漂静止时，水面恰好过点。用手将鱼漂向下压，使点到达水面，松手后，不考虑阻力的影响，鱼漂会上下做简谐运动，上升到最高处时，点到达水面。以点为坐标原点，竖直向上为正方向，并取经过点向下运动时为计时零点，描绘出鱼漂所受浮力与时间的变化图像、速度与时间的变化图像，下列图像正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】AB．由题可知，鱼漂在O点时，浮力等于鱼漂的重力，且浮力逐渐增大，A错误，B正确； CD．由于点向下运动时为计时零点，故在O点时速度方向为负，且速度逐渐减小，C错误，D正确。 故选BD。 【典例3-3】弹簧振子以O点为平衡位置在B、C两点之间做简谐运动，B、C相距。某时刻振子处于B点，经过，振子首次到达C点，求： (1)该弹簧振子振动的振幅和频率； (2)振子在内通过的路程和位移的大小； (3)振子在B点的加速度大小与在距O点处P点的加速度大小的比值；由B到P的最短时间。 【答案】（1）设振幅为A，由题意 所以 振子从B到C所用时间0.5s，为周期T的一半，所以 频率为 （2）振子在一个周期内通过的路程为4A，故内，通过的路程 五个周期振子正好回到初始位置B点，故位移大小为0。 （3）根据牛顿第二定律 振子加速度为 即与成正比，所以 当振子由点第一次通过点时所用时间最短，因为 则振子由点开始振动的振动方程为 当振子运动到的点，由上述方程可知，最短时间为 跟踪训练1如图所示，小物块拴在轻弹簧上，并和弹簧竖直悬挂处于静止状态。此时小物块所处位置为原点O，以竖直向下为正方向建立x轴。将小物块竖直向上托起使弹簧处于原长，后将小物块由静止释放并开始计时，小物块在竖直方向振动方程为，忽略小物块受到的阻力，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（　　） A．小物块第一次到达最低点时间为0.8s B．小物块出发点到最低点的距离为0.16m C．小物块在最低点时加速度大小为g，方向向上 D．小物块下降到最低点过程中重力势能在减小动能在增加 【答案】C 【详解】A．小物块第一次到达最低点时 解得 A错误； B．小物块出发点到最低点的距离为 B错误； C．根据对称性可知，小物块在最低点时，加速度大小为g，方向向上，故C正确； D．小物块下降到最低点过程中重力势能在减小，动能先增加后减小，故D错误。 故选C。 跟踪训练2（多选）如图（a）所示，两组同学在光滑水平面上做弹簧振子实验，以水平向右为正方向，得到甲、乙两弹簧振子的x-t图像如图（b），下列说法正确的是（　　） A．甲、乙的频率之比为1：2 B．t =3s时甲的振动方向向右 C．甲的位移-时间函数为 D．在任意相同的时间内，甲、乙振子的路程相等 【答案】AC 【详解】A．由图（b）可知，甲、乙的周期之比为，所以频率之比为，故A正确； B．时甲的振动方向为负，即为向左，故B错误； C．甲周期等于8s，由，故甲的位移-时间函数为，故C正确； D．甲、乙周期不同，在任意相同时间内，完成的全振动次数不同，路程不一定不相等，故D错误。 故选AC。 跟踪训练3如图所示，在倾角θ=37°的光滑斜面顶端固定一轻弹簧，弹簧下端连接着小球甲，小球甲与小球乙通过轻绳连接。已知小球甲的质量m甲=200g，小球乙的质量m乙=400g，静止时弹簧的伸长量x=18cm（未超出弹性限度）。现烧断甲、乙之间的轻绳，则甲沿斜面做简谐运动。已知重力加速度g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，求： (1)小球甲做简谐运动的振幅A； (2)小球甲运动过程中的最大加速度a； (3)小球甲运动过程中弹簧的最大压缩量Δx。 【答案】（1）由题意，当小球甲静止时，有 剪断细绳后，小球甲处于平衡位置时，有 联立求得此时弹簧的伸长量为 则小球甲做简谐运动的振幅 （2）根据简谐振动的特点，可知剪断细绳瞬间，小球甲具有运动过程中的最大加速度，根据牛顿第二定律有 （3）根据简谐振动的对称性，可知当小球甲运动到斜面最高点时，此时弹簧具有最大压缩量，且 求得 题型4 单摆 一、单摆 1、单摆的定义：细线一端固定在悬点，另一端系一个小球，如果细线的质量与小球相比可以忽略；球的直径与线的长度相比也可以忽略，这样的装置就叫做单摆。 (1)悬点：固定。 (2)摆球：体积小、质量大。 (3)摆线：细而长、不可伸长。 2、理想化模型：单摆是实际摆的理想化模型。 (1)摆线质量m远小于摆球质量 M，即m << M 。 (2)摆球的直径d远小于单摆的摆长Ｌ，即 d <<Ｌ。 (3)摆球所受空气阻力远小于摆球重力及绳的拉力，可忽略。 (4)摆线的伸长量很小，可以忽略。 二、单摆的回复力 1、回复力的来源：摆球的重力沿圆弧切线方向的分力。 2、回复力的特点：在摆角很小时（θ＜50），摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总指向平衡位置，即F＝－x。从回复力特点可以判断单摆做简谐运动。 推导：F回=mgsinθ，θ角很小时，用弧度制表示的θ与它的正弦值近似相等即sinθ ≈ θ≈。 则：F = mgsinθ≈ mgθ≈。 位移方向与回复力方向相反F = −。 可以写成：F = −k x 三、简谐运动中各个物理量的变化规律 1、单摆振动的周期与摆球质量无关，在振幅较小时与振幅无关，但与摆长有关，摆长越长，周期越大。 2、周期公式 （1）提出：周期公式是荷兰物理学家惠更斯首先提出的。 （2）公式：T＝2π，即周期T与摆长l的二次方根成正比，与重力加速度g的二次方根成反比，而与振幅、摆球质量无关。 【归纳总结】单摆由不可伸长的轻质细线悬挂小球组成，小角度（≤5°）摆动时近似简谐运动，回复力为重力切向分力，周期公式T＝2π（l为摆长，g 为重力加速度），周期与摆球质量、振幅无关，仅由摆长和重力加速度决定。 【典例4-1】如图，长度轻质细线的一端固定在O点，另一端栓接小球A，小球的直径远小于绳长；另有半径的光滑圆弧轨道固定在O点右下方，轨道下端在O点正下方，且轨道下端的切线水平，在轨道下端放置与A完全相同的小球B。现将小球A拉离竖直位置一个很小角度，并由静止释放，小球A与小球B发生对心弹性碰撞。计算中可以认为重力加速度，小球可视为质点，下列说法正确的是（　　） A．小球A从释放到再次摆到最高点经历的时间为 B．释放小球A后，每经过0.5s时间两小球发生一次碰撞 C．若仅将小球B的质量减半，则两球发生第一次碰撞后两球速度会同时减为0 D．若仅将小球A的质量减半，则第一次碰撞后两球仍会在轨道的最低点发生碰撞 【答案】A 【详解】A．由 小球A的周期为 小球B的周期为 依题意，小球A和B完全相同，故小球A与小球B发生对心弹性碰撞时，速度交换 则小球A从释放到再次摆到最高点经历的时间为，A正确； B．释放小球A，A碰B后，经，B再碰A，之后再经，A再碰B，B错误； C．根据动量守恒定律，两球发生第一次碰撞后两球速度不会同时减为0，C错误； D．小球A的质量减半，与B碰后反弹，B向右运动，因为二者的周期不变，且，故两球会在最低点的右侧再次相遇，D错误。 故选A。 【典例4-2】（多选）如图甲所示，O点为单摆的固定悬点，将力传感器接在摆球与O点之间。将摆球拉到A点从静止释放，摆球将在竖直面内的A、C之间做简谐运动，其中B点为运动中的最低位置。乙表示细线对摆球的拉力大小F随时间t变化的曲线，图中t=0为摆球从A点开始运动时的（g取10m/s2）。下列说法中正确的是（　　） A．在小于的情况下，θ越大，周期不变 B．小球的质量为0.10kg C．小球在最低点的速度大约为0.283m/s D．摆球所受重力和摆线对摆球拉力的合力充当单摆的回复力 【答案】AC 【详解】A．根据单摆周期公式 可知在小于的情况下，单摆做简谐运动，周期只与摆长L和重力加速度g有关，与摆θ无关，所以θ越大，周期不变，故A正确； BC．根据图像可知单摆周期为 根据单摆周期公式 解得 小球在最高点时速度为零，拉力最小，则有 小球在最低点时速度最大，拉力最大，则有 从最高点到最低点根据机械能守恒定律 联立解得， 故B错误，C正确； D．摆球所受重力沿切线方向的分力充当单摆的回复力，而不是重力和摆线对摆球拉力的合力，故D错误。 故选AC。 【典例4-3】如图所示，一单摆在竖直面内做最大摆角为θ的小角度摆动，摆长为L，A、C点分别是左、右两端点，B点是最低点，小球的质量为m，重力加速度大小为g，求： (1)单摆的周期T； (2)小球回到B点时对细线的拉力大小F。 【答案】（1）由题意可知，该单摆摆长为L，当地重力加速度大小为g，由单摆的周期公式可得 （2）小球从A点运动到B点的过程中只有重力做功，故机械能守恒，设小球到B点的速度为，对小球从A点运动到B点的过程列机械能守恒方程有 解得 小球回到B点时，由重力和绳的拉力的合力提供做圆周运动的向心力，由牛顿第二定律得 解得 由牛顿第三定律可知小球回到B点时对细线的拉力大小为 跟踪训练1如图所示，一质量为2m的小球a用轻质细线悬挂于O点，构成一个单摆，当小球a运动到最低点时与地面恰好不接触。O点正下方的地面上放置一质量为m的物块b，初始时，将小球a拉至与竖直方向成θ角的位置由静止释放，运动到最低点时与物块b发生弹性碰撞，碰撞时间极短，当物块b停止运动时，小球a恰好再次回到最低点。小球和物块均可视为质点，则物块b与地面间的动摩擦因数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设小球的摆长为，摆下来的过程中，根据动能定理可得 解得，小球与碰撞前的速度大小为 设两球碰撞后的速度分别为、，根据动量守恒 根据动能守恒 联立，解得 因为，所以小球的运动可看成单摆，则摆动周期为 有题意可知，小球a再次回到最低点，即小球运动时间为 所以，小球碰后运动的加速度大小为 根据牛顿第二定律可知 解得 故选C。 跟踪训练2（多选）如图所示，光滑弧形槽的弧长OP远小于半径R，使与竖直的夹角小于。将质量分别为2m和m的小球A、B从图示位置同时由静止释放，不计空气阻力，在两小球发生碰撞之前，则下列说法正确的是（　　） A．小球A、B运动过程中的回复力是重力和支持力的合力 B．小球A、B在运动过程中机械能都守恒 C．小球B比小球A先运动到O点 D．小球A、B同时到达O点 【答案】BD 【详解】A．小球A、B沿弧形槽做简谐运动，也是单摆模型，故小球所受重力在垂直摆线方向的分力提供回复力，重力的另一个分力与支持力的合力提供向心力，故A错误； B．以小球和地球组成的系统，只有重力做功，小球的机械能守恒，故B正确； CD．由单摆周期公式，可知小球A、B运动到O点的时间相等，均为，故C错误，D正确。 故选BD。 跟踪训练3正在修建的房顶上固定的一根不可伸长的细线垂到三楼窗沿下，某同学应用单摆原理测量窗的上沿到房顶的高度，先将线的下端系上一个小球，发现当小球静止时，细线恰好与窗子上沿接触且保持竖直，他打开窗子，让小球在垂直于墙的竖直平面内摆动，如图所示，从小球第1次通过图中的B点开始计时，第21次通过B点用时40s；球在最低点B时，球心到窗上沿的距离为1m，当地重力加速度g取π2（m/s2）；根据以上数据，求： (1)小球运动的周期T是多少？ (2)房顶到窗上沿的高度h是多少？ 【答案】（1）由题意小球全振动的次数为 小球运动的周期为 （2）设球心到窗上沿的距离为，小球在B、C间振动时的周期为 小球在B、A间振动时的周期为 故 联立可得h=8m 题型5 实验：用单摆测量重力加速度 1、实验目的：利用单摆测定当地的重力加速度。 2、实验原理：当单摆摆角很小(小于5°)时，可看做简谐运动，其固有周期为T＝2π，得g＝，则测出单摆的摆长l和周期T，即可求出当地的重力加速度。 3、实验器材：铁架台及铁夹，金属小球(有孔)、秒表、细线(1 m左右)、刻度尺、游标卡尺。 4、实验步骤 （1）让细线穿过小球上的小孔，在细线的穿出端打一个稍大一些的线结，制成一个单摆。 （2）将铁夹固定在铁架台上端，铁架台放在实验桌边，把单摆上端固定在铁夹上，使摆线自由下垂．在单摆平衡位置处做上标记。 （3）用刻度尺量出悬线长l′(准确到mm)，用游标卡尺测出摆球的直径d，则摆长为l＝l′＋。 （4）把单摆拉开一个角度，角度不大于5°，释放摆球．摆球经过最低位置时，用秒表开始计时，测出单摆完成30次(或50次)全振动的时间，求出一次全振动的时间，即为单摆的振动周期。 （5）改变摆长，反复测量几次，将数据填入表格。 5、数据处理 （1）公式法：每改变一次摆长，将相应的l和T代入公式g＝中求出g值，最后求出g的平均值． （2）图像法：由T＝2π得T2＝l，以T2为纵坐标，以l为横坐标作出T2－l图像(如图所示)．其斜率k＝，由图像的斜率即可求出重力加速度g. ★特别提醒 （1）选择细而不易伸长的线，长度一般不应短于1 m；摆球应选用密度较大、直径较小的金属球。 （2）摆动时摆线偏离竖直方向的角度应很小。 （3）摆球摆动时，要使之保持在同一竖直平面内，不要形成圆锥摆。 （4）计算单摆的全振动次数时，应从摆球通过最低位置时开始计时，要测n次全振动的时间。 6、误差分析 （1）系统误差：主要来自于单摆模型本身是否符合要求，即悬点是否固定，摆球和摆长是否符合要求，最大摆角是否不超过5°，是否在同一竖直平面内摆动等。 （2）偶然误差 ①主要来自于时间测量，测量时间时要求从摆球通过平衡位置开始计时，在记次数时不能漏记或多记。同时应多次测量，再对多次测量结果求平均值。 ②测长度和摆球直径时，读数也容易产生误差。秒表读数读到秒的十分位即可。 【归纳总结】该实验利用单摆小角度摆动时的简谐运动特性，由周期公式T＝2π得g＝；通过测摆长l（摆线长+球半径）、多次全振动计时求平均周期 T，计算当地重力加速度，减小误差。 【典例5-1】某实验小组用如图甲所示的装置做“用单摆测量重力加速度”的实验。 (1)关于实验操作，下列说法正确的是________ A．摆球的选择有钢质实心小球和玻璃实心小球两种，选用玻璃实心小球 B．图乙中摆线上端的三种悬挂方式，选C方式更好 C．当单摆的摆球经过最高点时开始计时，便于看清摆球的位置 (2)若游标卡尺测量摆球的直径d如图丙所示，读数为 mm。 (3)若某次实验中测出单摆做n次全振动所用时间为t、摆线长为l，则当地的重力加速度g= （用题中物理量的符号表示）。 (4)如果该同学测得的重力加速度的值偏大，可能的原因是 A．测摆线长时摆线拉得过紧 B．开始计时时，秒表按下稍早 C．实验中将51次全振动误记为50次 D．摆线上端未牢固地系于悬点，振动中出现松动，使摆线长度增加了 【答案】(1)B (2)10.60 (3) (4)A 【详解】（1）A．摆球应选择钢质实心小球，有利于减少空气阻力，故A错误； B．三种悬挂方式，C方式悬点确定，摆长不变，故B正确； C．当单摆经过平衡位置开始计时，更能减小误差，故C错误。 故选B。 （2）由图示游标卡尺可知，小球直径 （3）单摆摆长 单摆的周期 由单摆周期公式 解得 （4）A．由单摆周期公式 解得 测摆线长时摆线拉得过紧，使得摆长的测量值偏大，则测得的重力加速度偏大，故A正确； B．实验中开始计时，秒表按下稍早，则测得周期偏大，所以测得的重力加速度偏小，故B错误； C．实验中将51次全振动误记为50次，测得周期偏大，则测得的重力速度偏小，故C错误； D．摆动后出现松动，知摆长的测量值偏小，则测得的重力加速度偏小，故D错误。 故选A。 跟踪训练1某实验小组用下图的装置测量当地重力加速度大小。 (1)如图甲所示，实验小组将细绳悬挂点与竖直放置的毫米刻度尺“0”刻度线对齐，用直角三角板辅助测出小球最低点离悬点的距离 ； (2)该实验小组没有找到可以进一步测量小球直径的工具，实验小组进行实验时记录了不同距离L时单摆的周期T，进行数据处理，作出图像。该实验小组作出的图像可能是图乙中的 （选填“①”或“②”），根据题中数据可求出小球的半径为 ； (3)该实验小组根据作出的图像，求出重力加速度 （取3.14，结果保留三位有效数字）。 【答案】(1)0.9975（0.9973~0.9978均对） (2)② 0.52 (3)9.86 【详解】（1）由图可得，L的长度为； （2） [1]摆球的半径为r，摆长，由单摆周期公式，则有，图像②可能是该组作出的。 [2]由图可知。 （3）根据数学知识可知，对图象斜率，将图②数据代入可求出当地重力加速度。 题型6 受迫振动 共振 一、振动中的能量损失 1、固有振动和固有频率 （1）固有振动：振动系统在不受外力作用下的振动。 （2）固有频率：固有振动的频率。 2、阻尼振动 （1）阻尼：当振动系统受到阻力的作用时，振动受到了阻尼。 （2）阻尼振动：振幅逐渐减小的振动。 （3）振动系统能量衰减的两种方式 ①振动系统受到摩擦阻力作用，机械能逐渐转化为内能。 ②振动系统引起邻近介质中各质点的振动，能量向外辐射出去。 二、受迫振动 1、驱动力：周期性作用于振动系统的外力叫做驱动力。 2、受迫振动：系统在驱动力作用下的振动，叫做受迫振动。 3、受迫振动的特点：受迫振动的频率总等于驱动力的频率，与系统的固有频率无关。 4、三种振动的比较 振动类型 比较项目 简谐运动 阻尼振动 受迫振动 产生条件 不受阻力作用 受阻力作用 受阻力和驱动力作用 频率 有固有频率 频率不变 由驱动力的频率决定 振动图像 形状不确定 常见例子 弹簧振子或单摆 敲锣打鼓时发出的声音越来越弱 机器运转时底座发生的振动 三、共振现象及其应用 1、共振定义：驱动力的频率f 等于物体的固有频率f0时，受迫振动的振幅最大，这种现象叫做共振。 2、受迫振动的规律 f驱= f固时，振幅有最大值。 f驱与f固差别越大时，振幅越小。 【归纳总结】受迫振动是物体在驱动力作用下的振动，其频率等于驱动力频率；当驱动力频率等于物体固有频率时，振幅最大，即为共振，共振是受迫振动的特殊情况。 【典例6-1】某同学利用如图所示的装置做多单摆实验。在一根张紧的绳子上悬挂几个摆球，当驱动摆B摆动起来后，摆A、C、D、E也跟着摆动起来。已知摆长LB=LD>LA>LC>LE，在振动稳定后，下列说法正确的是（　　）    A．驱动摆B只是把振动形式传递给其他单摆，并不传递能量 B．单摆D、E的摆动振幅AD>AE C．单摆A摆动过程中多次通过同一位置时，速度和加速度都一定相同 D．单摆A、B、C、D、E的摆动周期满足TB=TD>TA>TC>TE 【答案】B 【详解】A．驱动摆B不仅把振动形式传递给其他单摆，同时也把能量传递给其他单摆，故A项错误； BD．如果驱动摆B的周期为T，其他单摆都做受迫振动，振动周期都等于驱动摆的周期，振动频率也都等于驱动摆的频率，当驱动力的周期和单摆自身的固有周期（其中g为重力加速度，L为摆长）相等时，振幅最大，单摆D的摆长与B相同，则单摆BD产生共振，则振幅AD>AE，故B项正确，D项错误； C．单摆A摆动过程中多次通过同一位置时，速度大小相等但方向可能不同，根据可得加速度 所以加速度一定相同，故C项错误。 故选B。 【典例6-2】（多选）如图所示为两个单摆的受迫振动的共振曲线，已知g取9.8m/s²，则下列说法正确的是（　　） A．若两个受迫振动分别在月球上和地球上进行，且摆长相同，则图线Ⅱ表示月球上单摆的共振曲线 B．若两个受迫振动是在地球上同一地点进行的，则两个摆长之比 C．图线Ⅱ若表示是在地面上完成的，则该单摆摆长约为1m D．将单摆放在近地卫星中，小球静止时给其一个很小的初速度，则它将做简谐运动 【答案】BC 【详解】A．若两次受迫振动分别在月球上和地球上进行，因为图线Ⅰ单摆的固有频率较小，则固有周期较大，根据 知周期大的重力加速度小，由于月球表面重力加速度小于地球表面的重力加速度，则图线Ⅰ是月球上单摆的共振曲线，故A错误； B．根据 可得 可知若两个受迫振动是在地球上同一地点进行的（g相同），摆长与成正比，图像可知I线、II线频率之比为2：5，则两个摆长之比 故B正确； C．图像可知图线II的单摆固有频率 则周期 图线Ⅱ若表示是在地面上完成的，则g取9.8m/s²，根据 联立解得 故C正确； D．近地卫星中处于完全失重状态，小球不可能在竖直平面内来回摆动，不会做简谐运动，故D错误。 故选BC。 跟踪训练1一个单摆在地面附近做受迫振动，其共振曲线（振幅A与驱动力频率f的关系）如图所示，下列说法正确的是（　　） A．此单摆的固有周期为0.5s B．此单摆的摆长约为0.2m C．若摆长增大，单摆的固有频率减小 D．若摆长增大，共振曲线的峰值将向右移动 【答案】C 【详解】A．由图像可知，此单摆的固有频率为1.0Hz，则固有周期为1.0s，选项A错误； B．根据 可得此单摆的摆长约为 选项B错误； C．根据 若摆长增大，单摆的固有周期变大，则固有频率减小，选项C正确； D．若摆长增大，固有频率减小，则共振曲线的峰值将向左移动，选项D错误。 故选C。 跟踪训练2（多选）如图是用来测量发动机转动频率的原理图。在同一铁支架MN上焊有固有频率依次为100Hz，80Hz，60Hz，40Hz的四个钢片a、b、c、d，将M端与正在转动的电动机接触，发现c钢片振幅很大，其余钢片振幅很小，则（　　） A．发动机转动频率为60Hz B．钢片d振动频率为60Hz C．钢片b振动频率为80Hz D．钢片a振动频率约为100Hz 【答案】AB 【详解】当驱动力的频率等于钢片的固有频率时，将发生共振，振片的振幅最大，由题意可知，c钢片振幅很大，其余钢片振幅很小，则驱动力的频率等于c的固有频率，约为60Hz，四个钢片a、b、c、d都是做受迫振动，其频率都等于驱动力频率，约为60Hz。 故选AB。 【能力培优练】 一、单选题 1．如图甲所示，把一个筛子用四根弹簧支撑起来，筛子上装一个电动偏心轮，它每转一周，给筛子一个驱动力，这就做成了一个共振筛，该共振筛的共振曲线如图乙所示。已知增大电压，可使偏心轮转速提高；增加筛子质量，可增大筛子的固有周期。现在，在某电压下偏心轮的转速是。下列说法正确的是（　　） A．共振筛现在的振动频率为0.8Hz B．仅增加筛子质量，可以使筛子的振幅增大 C．仅减小电压，可以使筛子的振幅增大 D．现在关闭电源直到共振筛静止前，共振筛振动的周期逐渐减小 【答案】C 【详解】A．某电压下偏心轮的转速是，则共振筛现在的振动频率为，故A错误； B．由图乙可知，筛子固有频率为0.8Hz；仅增加筛子质量，筛子的固有周期增大，固有频率减小，则固有频率和驱动力频率的差值变大，筛子的振幅减小，故B错误； C．仅减小电压，则偏心轮转速减小，共振筛的振动频率减小，可使固有频率和驱动力频率的差值变小，筛子的振幅增大，故C正确； D．关闭电源直到共振筛静止前，共振筛振动的周期不变，故D错误。 故选C。 2．单摆在振动过程中，对摆球的分析正确的是（　　） A．摆球在最低点加速度为零 B．回复力始终由线的拉力与重力的合力提供 C．摆球在任何位置加速度都不等于零 D．摆球在最低点回复力不为零 【答案】C 【详解】A．摆球在最低点时沿切线方向的加速度为0，但向心加速度不为0，故A错误； BD．回复力由重力沿切线方向的分力提供，摆球在最低点回复力为零，故BD错误； C．由于摆球做圆周运动，轨迹为曲线，摆球在最高点时沿切线方向的加速度不为0，在最低点时向心加速度不为0，所以摆球在任何位置加速度都不等于零，故C正确。 故选C。 3．如图甲所示，一轻弹簧竖直固定在水平地面上，弹簧上端连接物块，将物块缓慢向下压，松手后，物块在竖直方向上做简谐运动，其振动图像如图乙所示（取竖直向上为正方向），则（　　） A．时，物块的速度和加速度方向相反 B．物块振动周期为，振幅为 C．时间内，速度和加速度都减小 D．时，物块的位移为 【答案】A 【详解】A．由图像可知，时，物块的速度方向向上，加速度方向向下，即速度和加速度方向相反，选项A正确； B．由图像可知，物块振动周期为，振幅为，选项B错误； C．时间内，振子从平衡位置向最低点运动，可知速度减小，加速度增加，选项C错误； D．时，物块的位移为 选项D错误。 故选A。 4．如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动，以O点为坐标原点，取向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示，下列说法正确的是（　　） A．振子的振幅为4cm B．振子从1s至3s弹簧弹力一直做负功 C．3s至4s振子从A点向O振动，速度增大，加速度减小 D．2s至3s振子从O点向B振动，速度减小，加速度增大 【答案】D 【详解】A．由图乙可知，振子的振幅为，故A错误； B．振子在运动过程中，只有弹簧弹力做功，由图乙可知，从1s至3s振子的位移大小先减小后增大，则振子的速度先增大后减小，即振子的动能先增大后减小，所以弹簧弹力先做正功后做负功，故B错误； C．3s至4s振子位移为正且在减小，所以振子从B点向O振动，速度增大，加速度减小，故C错误； D．2s至3s振子位移为正且在增大，所以振子从O点向B振动，速度减小，加速度增大，故D正确。 故选D。 5．关于简谐运动，下列说法中正确的是（　　） A．频率是单位时间内完成全振动的次数 B．位移减小时，加速度减小，速度减小 C．简谐运动的轨迹一定是正弦或余弦曲线 D．位移的方向总跟加速度的方向相反，跟速度的方向相同 【答案】A 【详解】A．频率是单位时间内完成全振动的次数，选项A正确； B．位移减小时，回复力减小，则加速度减小，但是速度增加，选项B错误； C．简谐运动的轨迹是直线，其位移随时间变化图像一定是正弦或余弦曲线，选项C错误； D．位移的方向总跟加速度的方向相反，跟速度的方向可能相同，也可能相反，选项D错误。 故选A。 6．如图所示，质量为M的无下底的木箱放在水平地面上。箱子顶部用劲度系数为k的轻弹簧悬挂一个质量为m（M>m）的物体A，质量为2m的物体B用细线与A相连。平衡后剪断A、B间细线，此后A将做简谐振动，则（　　） A．细线剪断瞬间，弹簧弹力大小为2mg B．细线剪断瞬间，物体A的加速度大小为2g，方向竖直向下 C．A做简谐振动的振幅为 D．当A运动到最高点时，木箱对地面的压力大小为 【答案】D 【详解】A．平衡时，弹簧弹力F=3mg，细线剪断瞬间，弹簧形变量未发生变化，故弹力仍为3mg，故A错误； B．对物体A，根据牛顿第二定律，有，方向竖直向上，故B错误； C．物体A做简谐振动，剪断绳子瞬间有kx1=3mg 在平衡位置时有kx2=mg 振幅为，故C错误； D．物体A在最低点的回复力为2mg，方向竖直向上，根据简谐运动的对称性，到达最高点时回复力大小也为2mg，方向竖直向下，可知弹簧对A的弹力为mg，方向竖直向下，所以弹簧对木箱顶部的弹力也为F弹=mg，方向竖直向上，再以木箱为研究对象，有 由牛顿第三定律可知，木箱对地面的压力大小为（M−m）g，故D正确。 故选D。 7．如图甲所示，“弹簧公仔”是一款玩具，该玩具由头部、轻弹簧及底座组成，已知公仔头部的质量为。竖直向上拉伸公仔头部，然后由静止释放公仔头部，此后公仔头部在竖直方向上做简谐运动。以竖直向上为正方向，弹簧弹力与公仔头部运动时间的关系如图乙所示，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（　　） A．公仔头部有最大速度时，弹簧处于原长 B．t=0时刻和t0时刻，公仔头部的加速度相同 C．公仔头部做简谐运动的周期为2t0 D．公仔头部运动至最低点时，回复力的大小为4mg 【答案】C 【详解】A．公仔头部有最大速度时，公仔头部恰好处于平衡位置，弹簧弹力与重力平衡，此时弹簧处于压缩状态，故A错误； B．以竖直向上为正方向，t=0时刻弹簧弹力在负方向上达到最大，表明此时公仔头部恰好处于平衡位置的最上端，弹簧处于拉伸状态，t0时刻，弹簧弹力在正方向上达到最大，表明此时公仔头部恰好处于平衡位置的最下端，弹簧处于压缩状态，根据简谐运动的对称性可知，两时刻公仔头部位移大小相等，方向相反，则t=0时刻和t0时刻，公仔头部的加速度大小相等，方向相反，故B错误； C．结合上述可知，从t=0时刻到t0时刻经历时间为半个周期，则有 解得，故C正确； D．结合上述，公仔头部在平衡位置有 公仔头部在最高点时弹簧处于拉伸状态，则有 公仔头部在最低点时弹簧处于压缩状态，则有 根据简谐运动的对称性有 公仔头部运动至最低点时，回复力的大小 解得，故D错误。 故选C。 二、多选题 8．某汽车在平直路面上行驶，当发动机以30Hz的频率工作时，会引起车体共振而剧烈振动。关于车体，下列说法正确的是（　　） A．固有频率等于30Hz B．固有频率小于30Hz C．在该状态下的振动频率等于30Hz D．在该状态下的振动频率小于30Hz 【答案】AC 【详解】AB．当系统发生共振时，驱动力的频率（30Hz）等于系统的固有频率，故A正确，B错误； CD．受迫振动的频率由驱动力频率决定，与是否共振无关，因此振动频率为30Hz，故C正确，D错误。 故选AC。 9．如图甲所示的单摆（摆角θ很小），摆球在竖直面内的MON圆弧虚线上做简谐运动，以向右的方向作为摆球偏离平衡位置位移的正方向，摆球偏离平衡位置位移x与时间t的关系图像如图乙所示，下列说法正确的是（　　） A．摆球在运动过程中受到的合外力全部用来提供回复力 B．若当地的重力加速度为，则单摆的摆长约为1m C．t=1.2s时，摆球在M与O之间且速度即将减小 D．t=0.3s时，摆球在O与N之间且速度即将减小 【答案】BCD 【详解】A．摆球做变速圆周运动，合外力方向与半径方向之间存在一定的夹角，摆球在运动过程中由重力沿切线方向的分力提供回复力，并不是由受到的合外力全部用来提供回复力，故A错误； B．设摆长为L，根据图乙可知T=2s 根据周期公式有 解得L≈1m，故B正确； C．t=1.2s时，由于 根据图乙可知，此时摆球位移方向为负，且摆球远离平衡位置，可知，t=1.2s时，摆球在O与M之间且速度将减小，故C正确； D．t=0.3s时，由于 根据图乙可知，此时摆球位移方向为正，且摆球远离平衡位置，可知，t=0.3s时，摆球在O与N之间且速度将减小，故D正确。 故选BCD。 10．竖直轻弹簧下端固定在水平地面上，上端与质量为的物体a拴接。质量也为的物体b叠放在a上并处于静止状态。现在b上施加竖直向下的压力。使a、b两物体再次处于静止状态，如图所示。a、b均可看作质点，运动中不考虑空气阻力，重力加速度为。下列说法正确的是（　　） A．如果，撤去瞬间，物体a对物体b的支持力为 B．如果，撤去后，物体a、b能一起做简谐振动 C．如果，撤去后，b物体运动的最大加速度为 D．撤去后，a、b两物体与弹簧系统在之后的运动过程中机械能始终守恒 【答案】BCD 【详解】A．如果，撤去前，弹簧弹力为 撤去瞬间，弹簧弹力不变，整体分析有 对物体b有 解得，，故A错误； B．由A分析可知，如果，撤去后，物体a、b的加速度小于g，则a、b间弹力，物体a、b能一起做简谐振动，故B正确； C．如果，撤去前，弹簧弹力为 撤去瞬间，弹簧弹力不变，整体分析有 解得，则b物体运动的最大加速度为，故C正确； D．撤去后，a、b两物体与弹簧系统在之后的运动过程中只有系统内部弹力和重力做功，机械能始终守恒，故D正确； 故选BCD。 11．如图，假设从地球的北极沿直径贯通一条隧道，一小球从S点由静止释放，小球在隧道内的运动可视为简谐运动。已知地球半径为R，小球由球心O向S运动经过O时开始计时，经t0时间第1次经过P点（P点在OS之间，图中未标出），再经过4t0时间第2次经过P点，则（　　） A．小球振动的周期为10 t0 B．O到P的距离为 C．由S到O的运动过程中小球受力逐渐减小 D．小球从计时开始到第3次过P点所需时间为12t0 【答案】BC 【详解】A．小球振动的周期为 解得，A错误； B．小球的振动方程为 O到P的距离为，B正确； C．小球在S点受力最大，在O点受力最小，所以由S到O的运动过程中小球受力逐渐减小，C正确； D．小球从计时开始到第3次过P点所需时间为，D错误。 故选BC。 12．如图所示，把能在绝缘光滑水平面上做简谐运动的弹簧振子放在水平向右的匀强电场中，小球在O点时，弹簧处于原长，A、B为关于O对称的两个位置，现在使小球带上负电并让小球从B点静止释放，则下列说法正确的是（　　） A．小球仍然能在A、B间做简谐运动，O点是其平衡位置 B．小球从B运动到A的过程中动能一定先增大后减小 C．小球仍然能做简谐运动，但其平衡位置不在O点 D．小球从B运动到O的时间大于O运动到A的时间 【答案】CD 【详解】AC．小球在匀强电场中受到水平向左的电场力，设电场力大小为，小球合力为零的位置应该在O点左侧，设为O1，假设O1、O之间的距离为，弹簧的劲度系数为k，则有 取水平向右为正方向，当小球从O1向右运动x时，回复力为 所以小球会以O1点为平衡位置做简谐运动，由于小球的振幅增大，将不在A、B间做简谐运动，故A错误，C正确； B．由于电场强度的大小未知，不能确定小球的平衡位置，即不能确定O1在A点的左侧还是右侧，所以小球从B运动到A的过程中动能不一定先增大后减小，也可能是一直增大，故B错误； D．由于小球的平衡位置O1点在O点左侧，且离平衡位置越近，小球的速度越大，所以小球从B运动到O的时间大于O运动到A的时间，故D正确。 故选CD。 三、实验题 13．某同学用单摆测量当地重力加速度时发现，单摆的运动轨迹不严格在同一竖直面内。为提高测量精度，他使用图1所示的双线摆重新实验。两根等长的细线下端悬挂小球，上端分别固定在两点，继续完成实验： (1)除图1中的装置外，实验中还需要用到的器材有______（填选项标号）。 A．秒表 B．刻度尺 C．天平 D．打点计时器 (2)实验时，将摆球拉离平衡位置，使两细线所在平面与竖直方向间的夹角成，由静止释放摆球，让双线摆开始摆动。为减小计时误差，应该在摆球摆至 （填“最低点”或“最高点”）时开始计时。 (3)测量得到两点间的距离为，两摆线的长度均为，摆球的周期为T，忽略小球的半径，则重力加速度 （用含、、的式子表示）。 (4)改变两点间的距离x，多次实验，测出不同x时摆球的周期T；用图像法处理数据时，以 （用，x表示）为纵轴，以为横轴，可得到斜率为重力加速度g的图像，如图2所示；用图像法处理数据可以消除因忽略小球半径带来的误差，原因是： 。 【答案】(1)AB (2)最低点 (3) (4) 无论是否考虑小球半径，图像的斜率均为重力加速度g。 【详解】（1）由单摆周期公式可知，若要测量重力加速度，需要测周期和摆长，故需要秒表和刻度尺。 故选 AB。 （2）为减小计时误差，应该在摆球摆至最低点时开始计时。 （3）双线摆的等效摆长为 由单摆周期公式可知，重力加速度 （4）[1]双线摆的等效摆长为 则由单摆周期公式可得 则以为纵轴，以为横轴，可得到斜率为重力加速度g的图像。 [2]若小球半径为，则修正为 化简为 由数学知识可知：无论是否考虑小球半径，图像的斜率均为重力加速度g。 14．某学生小组用以下器材测量了校园附近的重力加速度。为了便于携带，该组同学将一单摆固定于某一开口向下的透明塑料杯顶端（单摆的下半部分露于杯外），塑料杯的深度h，如图甲所示。每次实验前，组内同学测出杯子的下端口到小球球心的距离L，并通过改变L而测出对应的摆动周期T。实验开始时，将悬线拉离平衡位置一个小角度后由静止释放，且单摆在摆动过程中悬线不会碰到杯巷，最后利用测得的数据，以T2为纵轴、L为横轴作出函数关系图像，如图乙所示。 (1)实验时用10分度的游标卡尺测量摆球直径，示数如图所示，该摆球的直径d= mm。 (2)测量单摆的周期时，某同学在摆球某次（记为第一次）通过最低点时按下停表开始计时，同时数0，当摆球第二次通过最低点时数1，依此法往下数，当他数到60时，按下停表停止计时，读出这段时间t，则该单摆的周期为______。 A． B． C． D． (3)在正确操作且不考虑偶然误差的情况下，实验所得到的 关系图线应是图乙中的 （选填a、b、c），由此可得当地的重力加速度g= m/s2（π取3.14，结果保留小数点后两位） 【答案】(1)12.0 (2)C (3)a 9.86 【详解】（1）由游标卡尺读数规律可知，。 （2）从小球通过最低点时数0开始，每2次经过最低点为一个单摆的周期，一共计时60次，共有30个周期，故周期的大小为。 故ABD错误，C正确。 （3）[1][2]摆线在杯内的长度为h，由单摆周期公式 可得 其关系图像应为a 斜率 计算可得 四、解答题 15．如图甲，O点为单摆的固定悬点，将力传感器接在摆球与O点之间。现将摆球拉到A点，释放摆球，摆球将在竖直面内的A、C之间来回摆动，其中B点为运动中的最低位置，摆角为θ（θ<5°）。图乙表示细线对摆球的拉力大小F随时间t变化的曲线，最小值为F1、最大值为F2，表图中t=0为摆球从A点开始运动的时刻，重力加速度为g。 (1)求单摆的振动周期T和摆长L（用π、g、t0表示）； (2)求摆球的质量m（用F1、F2、g表示）。 【答案】（1）根据图甲、图乙可知，从A位置开始，经过到达C，再经过回到A，完成一次周期性振动，故周期 根据单摆的周期公式 解得摆长 （2）当摆球在A点或者C点时，根据平衡条件 当摆球在B点时，根据牛顿第二定律 摆球从A点到B点，根据动能定理 解得 【链接高考】 1．（2024·福建·高考真题）如图（a），装有砂粒的试管竖直静浮于水中，将其提起一小段距离后释放，一段时间内试管在竖直方向的振动可视为简谐运动。取竖直向上为正方向，以某时刻作为计时起点，试管振动图像如图（b）所示，则试管（　　） A．振幅为 B．振动频率为 C．在时速度为零 D．在时加速度方向竖直向下 【答案】B 【详解】AB．根据图像(b)可知，振幅为；周期为 则频率为 故A错误，B正确； C．根据图像可知，时质点处于平衡位置，此时速度最大，故C错误； D．根据图像可知，时质点处于负向最大位置处，则此时加速度方向竖直向上，故D错误。 故选B。 2．（2025·甘肃白银·模拟预测）如图甲所示，水平放置在光滑地面上的弹簧振子在A、B之间做简谐运动，O点为平衡位置，规定向右为正方向，其自由振动图像如图乙所示。将小球Q用轻质细绳悬挂在O点正上方的O1点，小球Q静止时恰好未与地面接触，将小球P从A点由静止释放，运动到O点时与完全相同的、静止的小球Q发生弹性碰撞，碰撞时间极短，碰后小球P从A点至再次回到A点的时间间隔为6s。小球P、Q始终在同一竖直面内运动，小球Q的摆角始终小于5°，空气阻力不计，当地重力加速度g=9.87m/s2，π2≈9.87，则轻绳与小球Q组成的单摆的（　　） A．周期为2s B．周期为8s C．摆长为1m D．摆长为4m 【答案】D 【详解】根据图乙可知，小球P的振动周期T1=8s，碰后小球P从A点至再次回到A点的时间为6s，因为小球P、Q完全相同且发生弹性碰撞，故小球P、Q碰后速度发生交换，小球Q在相邻两次碰撞之间的时间间隔为2s，恰好为单摆的半个周期，即单摆的周期为T=4s，根据单摆的周期公式 解得单摆的摆长L=4m 故选D。 二、多选题 3．（2023·河北·高考真题）如图，质量为m的小球穿在固定光滑杆上，与两个完全相同的轻质弹相连。开始时将小球控制在杆上的A点，弹簧1竖直且处于原长，弹簧2处于水平伸长状态，两弹簧可绕各自转轴，无摩擦转动。B为杆上的另一个点，与、A、构成矩形，。现将小球从A点释放，两弹簧始终处于弹性限度内。下列说法正确的是（　　） A．小球沿杆在AB之间做往复运动 B．与没有弹簧时相比，小球从A点运动到B点所用的时间更短 C．小球从A点运动到B点的过程中，两个弹簧对小球做的总功为零 D．小球从A点运动到B点的过程中，弹簧2的弹性势能先减小后增大 【答案】BC 【详解】AC．根据对称性可知，小球从A点运动到B点的过程中，两个弹簧对小球做的总功为零，则此过程合力做功等于重力对小球做的功，根据动能定理可知，小球在B点的速度大于0，所以小球到达B点后继续向下运动，小球不会在AB之间做简谐运动，故A错误，C正确； D．小球从A点运动到B点的过程中，弹簧2先从伸长状态变为原长，再从原长变为压缩状态，最后再恢复原长，故弹簧2的弹性势能先减小后增大再减小，故D错误； B．小球从A点运动到B点过程，由于两个弹簧对小球做的总功为零，与没有弹簧时相比，小球运动到B点的速度相等；没有弹簧时，小球运动的加速度为 有弹簧时，加速度先大于，然后加速度逐渐减小，到AB中点时，加速度为，之后加速度小于，则两种情况的图像如图所示 两种情况的图像与横轴围成的面积相等，由图可知与没有弹簧时相比，小球从A点运动到B点所用的时间更短，故B正确。 故选BC。 三、实验题 4．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）如图甲所示，某实验小组利用单摆测量当地的重力加速度，所用实验器材有摆球、长度可调的轻质摆线、刻度尺、速度传感器、计算机等。实验操作步骤如下： A．取一根细线，下端系住一个金属小球，上端固定在铁架台上； B．用米尺（分度值为1mm）测得摆线长为； C．在摆线偏离竖直方向较小夹角的位置由静止释放小球； D．速度传感器连接计算机，记录了摆球摆动过程中速度随时间变化的关系，如图乙所示； E.改变摆线长度，重复B、C、D的操作； F.根据实验数据，利用计算机作出图像，并根据图像得到方程，由此可以得出当地的重力加速度。 回答以下问题： (1)摆线长为时，单摆的周期 。 (2)实验小组测得当地的重力加速度 。（取3.14，结果保留3位有效数字） (3)实验时没有测量摆球直径，为摆线长而不是摆长，你认为这种做法会不会引起实验的系统误差 （填“会”或“不会”）；为了使测量误差尽量小，下列说法正确的是 。 A．组装单摆须选用质量和直径都较大的摆球 B．当摆球经过最高点时开始计时 C．实验时须使摆球在同一竖直面内摆动 D．单摆偏离平衡位置的角度尽可能大 【答案】(1)2.0 (2)9.74 (3)不会 C 【详解】（1）图乙可知摆线长为时，该单摆周期 （2）设摆球半径为r，根据单摆周期公式有 整理得 结合题中根据图像得到的方程为 可知 解得 （3）[1]根据 可知实验时没有测量摆球直径，L为摆线长度时得到的图像斜率仍不变，在用斜率计算重力加速度时不会引起实验的系统误差。 [2]A．为了减小空气阻力引起的误差，应选用密度大、体积小的摆球，故A错误； B．为准确测量单摆周期，应在摆球经过平衡位置时开始计时，故B错误； C．实验时须使摆球在 同一竖直面内摆动，否则会形成圆锥摆，故C正确； D．为使单摆做简谐运动，单摆偏离平衡位置的角度 应小于，故D错误。 故选C。 四、解答题 5．（2025·辽宁鞍山·三模）如图所示，A、B两小球由绕过轻质定滑轮的细线相连，A放在固定的光滑斜面上，斜面倾角为，B、C两小球通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，放在倾角为带有挡板的固定光滑斜面上。现用手控制住A，并使细线刚刚拉直但无拉力作用，保证滑轮两侧细线均与斜面平行，且C球与挡板接触。已知A的质量为2m，B的质量为m，C的质量为4m，重力加速度为g，细线与滑轮之间的摩擦不计，开始时整个系统处于静止状态。现释放A球，求： (1)初始时，弹簧形变量的大小； (2)A沿斜面下滑的最大速度； (3)A沿斜面下滑至位移最大时，C对挡板的压力大小。 【答案】（1）对小球B受力分析可知，小球B仅受重力和斜面的支持力无法平衡，则弹簧对小球B有沿斜面向上的支持力，则初始时弹簧处于压缩状态，设压缩量为，由B沿斜面方向受力平衡可得 解得 （2）A沿斜面下滑至速度最大时，加速度为0，由牛顿第二定律可知绳上的拉力为 此时对B沿斜面方向的受力，由牛顿第二定律有 联立解得 因为，一开始释放的位置弹簧的弹性势能与速度最大位置时弹簧的弹性势能相等，由系统机械能守恒得 联立解得 （3）根据简谐运动知识可以判定A、B两个小球一起做简谐振动，二者的振幅为 当小球A运动到最低点时，则B向上运动的最大距离为 此时弹簧的伸长量为 此时对C做受力分析由平衡方程有 联立解得 由牛顿第三定律可知，C对挡板的压力大小为 / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 机械振动 【题型导航】 【重难题型讲解】 1 题型1 简谐运动 1 题型2 简谐运动的描述 3 题型3 简谐运动的回复力和能量 6 题型4 单摆 9 题型5 实验：用单摆测量重力加速度 13 题型6 受迫振动 共振 15 【能力培优练】 18 【链接高考】 24 【重难题型讲解】 题型1 简谐运动 一、弹簧振子 1、机械振动：我们把物体或物体的一部分在一个位置附近的往复运动称为机械振动，简称振动。 2、弹簧振子：我们把小球和弹簧组成的系统称为弹簧振子，有时也简称为振子。 3、平衡位置：振子原来静止时的位置。 （1）位于平衡位置时，小球所受合力为0。 （2）经过平衡位置时，小球速度最快。 二、弹簧振子的位移—时间图像 1、用横坐标表示振子运动的时间(t)，纵坐标表示振子离开平衡位置的位移(x)，描绘出的图像就是位移随时间变化的图像，即x－t图像，如图所示。 2、振子的位移：振子相对平衡位置的位移。 3、图像的物理意义：反映了振子位置随时间变化的规律，它不是振子的运动轨迹。 三、简谐运动 1、定义：如果物体的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图像（x−t 图像）是一条正弦曲线，这样的振动是一种简谐运动。 2、特点：简谐运动是最简单、最基本的振动，弹簧振子的运动就是简谐运动。 3、简谐运动的图像：表示一个振子不同时刻所在的位置或者一个振子位移随时间的变化规律。 （1）描述振动物体的位移随时间的变化规律。 （2）简谐运动的图像是正弦曲线，从图像上可直接看出不同时刻振动质点的位移大小和方向、速度方向以及速度大小的变化趋势。 【探究归纳】简谐运动是回复力与位移成正比且反向（F=-kx）的周期性运动，如弹簧振子、小角度单摆，其位移、速度等物理量随时间呈周期性变化，具有对称性，是最简单的机械振动形式。 【典例1-1】简谐运动属于下列哪种运动（　　） A．匀速直线运动 B．匀加速直线运动 C．匀变速运动 D．非匀变速运动 【典例1-2】（多选）下列运动属于机械振动的是(　　) A．说话时声带的运动 B．弹簧振子在竖直方向的上下运动 C．体育课上同学进行25米折返跑 D．竖直向上抛出的物体的运动 跟踪训练1弹簧上端固定在O点，下端连接一小球，组成一个振动系统，如图所示，用手向下拉一小段距离后释放小球，小球便上下振动起来，关于小球的平衡位置，下列说法正确的是（　　） A．在小球运动的最低点 B．在弹簧处于原长时的位置 C．在小球位移最大时的位置 D．在小球原来静止时的位置 跟踪训练2（多选）如图是一弹簧振子，O为平衡位置，则振子从a→O运动的过程中，下列说法正确的是 A．位移不断减小 B．速度不断减小 C．加速度不断减小 D．弹簧的弹性势能不断增大 题型2 简谐运动的描述 一、振幅 1、定义：振动物体离开平衡位置的最大距离，叫做振动的振幅。 2、振幅和位移的区别 （1）振子的位移大小等于其偏离平衡位置的距离，时刻在变化；但振幅是不变的。 （2）位移是矢量，振幅是标量，它等于最大位移的数值。 二、周期和频率 1、全振动：一个完整的振动过程称为一次全振动，弹簧振子完成一次全振动的时间总是相同的。 2、周期：做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间，叫作振动的周期，用T表示．在国际单位制中，周期的单位是秒(s)。 3、频率：周期的倒数叫作振动的频率，数值等于单位时间内完成全振动的次数，用f表示．在国际单位制中，频率的单位是赫兹，简称赫，符号是Hz。 4、周期和频率的关系：f＝。周期和频率都是表示物体振动快慢的物理量，周期越小，频率越大，表示振动越快。 5、圆频率ω：表示简谐运动的快慢，其与周期T、频率f间的关系式为ω＝，ω＝2πf. 三、相位 1、简谐运动的表达式：x＝Asin (ωt＋φ0)＝Asin (t＋φ0)，其中：A为振幅，ω为圆频率，T为简谐运动的周期，φ0叫初相位。 2、相位概念：描述周期性运动在一个运动周期中的状态。 3、相位表示：相位的大小为ωt＋φ，其中φ是t＝0时的相位，叫初相位，或初相。 3．相位差：两个相同频率的简谐运动的相位的差值，Δφ＝φ1－φ2。 【探究归纳】简谐运动的描述常用位移公式 x=A sin (ωt+φ)：A 为振幅（最大位移），T 为周期（完成 一次全振动的时间），f 为频率（f=1/T），ω=2π/T 为角频率，(ωt+φ) 为相位（描述振动状态），φ 为初相位，这些量共同表征其振动特征。 【典例2-1】如图所示为某弹簧振子做简谐运动的图像，下列描述正确的是（　　） A．该振子的周期为2s B．在1.5~2s时间内，振子的加速度不断增大 C．在2.5~3.5s时间内，振子位移为零 D．在3.5s时，振子的速度沿轴负方向，加速度沿轴正方向 【典例2-2】（多选）如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动，取向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示，下列说法正确的是（　　） A．t=0.2s时，振子在O点右侧6 cm处 B．t=0.6s和t=1.4s时，振子的速度完全相同 C．t=0.8s时，振子的速度方向向左 D．t=0.4s到t=0.8s的时间内，振子的动能逐渐增大 【典例2-3】如图所示，一轻质弹簧的上端固定在光滑斜面顶部，下端栓接小球A，A通过一段细线与小球B相连，两球均静止。某时刻，将细线烧断。已知斜面的倾角为θ=30°且固定在水面上，A、B的质量分别为m、2m，弹簧的劲度系数为k，弹簧振子简谐运动的周期为，重力加速度为g，空气阻力可忽略不计。 (1)A运动的振幅； (2)A运动时的最大速度。 (3)从细线烧断到弹簧第一次恢复原长经历的时间。 跟踪训练1如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在光滑水平地面上A、B两点之间做简谐运动。取水平向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化关系如图乙所示，下列正确的是（　　） A．t=0.8s时，振子受到的回复力最大 B．t=0.2s和t=0.6s时，振子的速度相同 C．1.2s-1.6s时间内，振子的速度逐渐减小 D．t=1.3s时振子正在向右做加速度减小的加速运动 跟踪训练2（多选）一个质点做简谐运动的振动图像如图所示，下列说法正确的是 （　　） A．在任意4s的时间内，质点经过的路程都是8cm B．t=2s前后，质点加速度方向改变 C．在 t=2s到t=3s时间内，质点的位移大小在减小 D．t=0.5s和t=1.5s两个时刻， 质点的速度大小相等，方向相同 跟踪训练3如图甲，方形木块A、B叠放在光滑水平地面上，在水平轻质弹簧的作用下一起做简谐运动，以运动过程中的某时刻开始计时，以其平衡位置为位移零点，其位移时间图像如图乙所示，已知A的质量，B的质量，弹簧的劲度系数，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度。求： (1)A的位移随时间变化的方程； (2)A、B间的动摩擦因数需要满足什么条件？ 题型3 简谐运动的回复力和能量 一、简谐运动的回复力 1、回复力定义：使振子回到平衡位置的力。回复力是根据力的效果命名的，可能由合力、某个力或某个力的分力提供．它一定等于振动物体在振动方向上所受的合力。回复力方向总是指向平衡位置。 2、回复力公式：F＝－kx。 （1）k是比例系数，不一定是弹簧的劲度系数．其值由振动系统决定，与振幅无关。 （2）“－”号表示回复力的方向与偏离平衡位置的位移的方向相反。 3、简谐运动的加速度：a＝－x，加速度a与位移x的大小成正比，方向与位移方向相反。 4、物体做简谐运动的判断方法 （1）简谐运动的回复力满足F＝－kx。 （2）简谐运动的振动图像是正弦曲线。 二、简谐运动的能量 1、简谐运动的能量由振动系统和振幅决定，对同一个振动系统，振幅越大，能量越大。 2、在简谐运动中，振动的能量保持不变，所以振幅保持不变，只要没有能量损耗，它将永不停息地振动下去。 3、在振动的一个周期内，动能和势能完成两次周期性变化．物体的位移减小，势能转化为动能，位移增大，动能转化为势能。 4、能量特点：在简谐运动中，振动系统的机械能守恒，而在实际运动中都有一定的能量损耗，因此简谐运动是一种理想化的模型。 三、简谐运动中各个物理量的变化规律 1、每次经过同一位置处，x、F、a、势能、动能均相同，v大小相等，方向不一定。若连续两次经过同一点，v反向。 2、简谐运动的加速度大小和方向都随时间做周期性的变化，所以简谐运动是变加速运动。 3、当物体从最大位移处向平衡位置运动时，由于v与a的方向一致，物体做加速度越来越小的加速运动。 4、当物体从平衡位置向最大位移处运动时，由于v与a的方向相反，物体做加速度越来越大的减速运动。 【归纳总结】简谐运动的回复力与位移成正比且反向（F=-kx），由弹力等提供；能量在动能与势能间转化，机械能守恒，平衡位置动能最大，最大位移处势能最大。 【典例3-1】如图，水平弹簧振子沿x轴在M、N间做简谐运动，坐标原点O为振子的平衡位置，其振动方程为，下列说法正确的是（　　） A．振子的运动周期是0.2s B．时，振子位于M点 C．时，振子具有最小速度 D．从运动过程中，振子的加速度减小，振子的动能减小 【典例3-2】（多选）某鱼漂的示意图如图甲，、、为鱼漂上的三个点。当鱼漂静止时，水面恰好过点。用手将鱼漂向下压，使点到达水面，松手后，不考虑阻力的影响，鱼漂会上下做简谐运动，上升到最高处时，点到达水面。以点为坐标原点，竖直向上为正方向，并取经过点向下运动时为计时零点，描绘出鱼漂所受浮力与时间的变化图像、速度与时间的变化图像，下列图像正确的是（   ） A． B． C． D． 【典例3-3】弹簧振子以O点为平衡位置在B、C两点之间做简谐运动，B、C相距。某时刻振子处于B点，经过，振子首次到达C点，求： (1)该弹簧振子振动的振幅和频率； (2)振子在内通过的路程和位移的大小； (3)振子在B点的加速度大小与在距O点处P点的加速度大小的比值；由B到P的最短时间。 跟踪训练1如图所示，小物块拴在轻弹簧上，并和弹簧竖直悬挂处于静止状态。此时小物块所处位置为原点O，以竖直向下为正方向建立x轴。将小物块竖直向上托起使弹簧处于原长，后将小物块由静止释放并开始计时，小物块在竖直方向振动方程为，忽略小物块受到的阻力，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（　　） A．小物块第一次到达最低点时间为0.8s B．小物块出发点到最低点的距离为0.16m C．小物块在最低点时加速度大小为g，方向向上 D．小物块下降到最低点过程中重力势能在减小动能在增加 跟踪训练2（多选）如图（a）所示，两组同学在光滑水平面上做弹簧振子实验，以水平向右为正方向，得到甲、乙两弹簧振子的x-t图像如图（b），下列说法正确的是（　　） A．甲、乙的频率之比为1：2 B．t =3s时甲的振动方向向右 C．甲的位移-时间函数为 D．在任意相同的时间内，甲、乙振子的路程相等 跟踪训练3如图所示，在倾角θ=37°的光滑斜面顶端固定一轻弹簧，弹簧下端连接着小球甲，小球甲与小球乙通过轻绳连接。已知小球甲的质量m甲=200g，小球乙的质量m乙=400g，静止时弹簧的伸长量x=18cm（未超出弹性限度）。现烧断甲、乙之间的轻绳，则甲沿斜面做简谐运动。已知重力加速度g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，求： (1)小球甲做简谐运动的振幅A； (2)小球甲运动过程中的最大加速度a； (3)小球甲运动过程中弹簧的最大压缩量Δx。 题型4 单摆 一、单摆 1、单摆的定义：细线一端固定在悬点，另一端系一个小球，如果细线的质量与小球相比可以忽略；球的直径与线的长度相比也可以忽略，这样的装置就叫做单摆。 (1)悬点：固定。 (2)摆球：体积小、质量大。 (3)摆线：细而长、不可伸长。 2、理想化模型：单摆是实际摆的理想化模型。 (1)摆线质量m远小于摆球质量 M，即m << M 。 (2)摆球的直径d远小于单摆的摆长Ｌ，即 d <<Ｌ。 (3)摆球所受空气阻力远小于摆球重力及绳的拉力，可忽略。 (4)摆线的伸长量很小，可以忽略。 二、单摆的回复力 1、回复力的来源：摆球的重力沿圆弧切线方向的分力。 2、回复力的特点：在摆角很小时（θ＜50），摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总指向平衡位置，即F＝－x。从回复力特点可以判断单摆做简谐运动。 推导：F回=mgsinθ，θ角很小时，用弧度制表示的θ与它的正弦值近似相等即sinθ ≈ θ≈。 则：F = mgsinθ≈ mgθ≈。 位移方向与回复力方向相反F = −。 可以写成：F = −k x 三、简谐运动中各个物理量的变化规律 1、单摆振动的周期与摆球质量无关，在振幅较小时与振幅无关，但与摆长有关，摆长越长，周期越大。 2、周期公式 （1）提出：周期公式是荷兰物理学家惠更斯首先提出的。 （2）公式：T＝2π，即周期T与摆长l的二次方根成正比，与重力加速度g的二次方根成反比，而与振幅、摆球质量无关。 【归纳总结】单摆由不可伸长的轻质细线悬挂小球组成，小角度（≤5°）摆动时近似简谐运动，回复力为重力切向分力，周期公式T＝2π（l为摆长，g 为重力加速度），周期与摆球质量、振幅无关，仅由摆长和重力加速度决定。 【典例4-1】如图，长度轻质细线的一端固定在O点，另一端栓接小球A，小球的直径远小于绳长；另有半径的光滑圆弧轨道固定在O点右下方，轨道下端在O点正下方，且轨道下端的切线水平，在轨道下端放置与A完全相同的小球B。现将小球A拉离竖直位置一个很小角度，并由静止释放，小球A与小球B发生对心弹性碰撞。计算中可以认为重力加速度，小球可视为质点，下列说法正确的是（　　） A．小球A从释放到再次摆到最高点经历的时间为 B．释放小球A后，每经过0.5s时间两小球发生一次碰撞 C．若仅将小球B的质量减半，则两球发生第一次碰撞后两球速度会同时减为0 D．若仅将小球A的质量减半，则第一次碰撞后两球仍会在轨道的最低点发生碰撞 【典例4-2】（多选）如图甲所示，O点为单摆的固定悬点，将力传感器接在摆球与O点之间。将摆球拉到A点从静止释放，摆球将在竖直面内的A、C之间做简谐运动，其中B点为运动中的最低位置。乙表示细线对摆球的拉力大小F随时间t变化的曲线，图中t=0为摆球从A点开始运动时的（g取10m/s2）。下列说法中正确的是（　　） A．在小于的情况下，θ越大，周期不变 B．小球的质量为0.10kg C．小球在最低点的速度大约为0.283m/s D．摆球所受重力和摆线对摆球拉力的合力充当单摆的回复力 【典例4-3】如图所示，一单摆在竖直面内做最大摆角为θ的小角度摆动，摆长为L，A、C点分别是左、右两端点，B点是最低点，小球的质量为m，重力加速度大小为g，求： (1)单摆的周期T； (2)小球回到B点时对细线的拉力大小F。 跟踪训练1如图所示，一质量为2m的小球a用轻质细线悬挂于O点，构成一个单摆，当小球a运动到最低点时与地面恰好不接触。O点正下方的地面上放置一质量为m的物块b，初始时，将小球a拉至与竖直方向成θ角的位置由静止释放，运动到最低点时与物块b发生弹性碰撞，碰撞时间极短，当物块b停止运动时，小球a恰好再次回到最低点。小球和物块均可视为质点，则物块b与地面间的动摩擦因数为（　　） A． B． C． D． 跟踪训练2（多选）如图所示，光滑弧形槽的弧长OP远小于半径R，使与竖直的夹角小于。将质量分别为2m和m的小球A、B从图示位置同时由静止释放，不计空气阻力，在两小球发生碰撞之前，则下列说法正确的是（　　） A．小球A、B运动过程中的回复力是重力和支持力的合力 B．小球A、B在运动过程中机械能都守恒 C．小球B比小球A先运动到O点 D．小球A、B同时到达O点 跟踪训练3正在修建的房顶上固定的一根不可伸长的细线垂到三楼窗沿下，某同学应用单摆原理测量窗的上沿到房顶的高度，先将线的下端系上一个小球，发现当小球静止时，细线恰好与窗子上沿接触且保持竖直，他打开窗子，让小球在垂直于墙的竖直平面内摆动，如图所示，从小球第1次通过图中的B点开始计时，第21次通过B点用时40s；球在最低点B时，球心到窗上沿的距离为1m，当地重力加速度g取π2（m/s2）；根据以上数据，求： (1)小球运动的周期T是多少？ (2)房顶到窗上沿的高度h是多少？ 题型5 实验：用单摆测量重力加速度 1、实验目的：利用单摆测定当地的重力加速度。 2、实验原理：当单摆摆角很小(小于5°)时，可看做简谐运动，其固有周期为T＝2π，得g＝，则测出单摆的摆长l和周期T，即可求出当地的重力加速度。 3、实验器材：铁架台及铁夹，金属小球(有孔)、秒表、细线(1 m左右)、刻度尺、游标卡尺。 4、实验步骤 （1）让细线穿过小球上的小孔，在细线的穿出端打一个稍大一些的线结，制成一个单摆。 （2）将铁夹固定在铁架台上端，铁架台放在实验桌边，把单摆上端固定在铁夹上，使摆线自由下垂．在单摆平衡位置处做上标记。 （3）用刻度尺量出悬线长l′(准确到mm)，用游标卡尺测出摆球的直径d，则摆长为l＝l′＋。 （4）把单摆拉开一个角度，角度不大于5°，释放摆球．摆球经过最低位置时，用秒表开始计时，测出单摆完成30次(或50次)全振动的时间，求出一次全振动的时间，即为单摆的振动周期。 （5）改变摆长，反复测量几次，将数据填入表格。 5、数据处理 （1）公式法：每改变一次摆长，将相应的l和T代入公式g＝中求出g值，最后求出g的平均值． （2）图像法：由T＝2π得T2＝l，以T2为纵坐标，以l为横坐标作出T2－l图像(如图所示)．其斜率k＝，由图像的斜率即可求出重力加速度g. ★特别提醒 （1）选择细而不易伸长的线，长度一般不应短于1 m；摆球应选用密度较大、直径较小的金属球。 （2）摆动时摆线偏离竖直方向的角度应很小。 （3）摆球摆动时，要使之保持在同一竖直平面内，不要形成圆锥摆。 （4）计算单摆的全振动次数时，应从摆球通过最低位置时开始计时，要测n次全振动的时间。 6、误差分析 （1）系统误差：主要来自于单摆模型本身是否符合要求，即悬点是否固定，摆球和摆长是否符合要求，最大摆角是否不超过5°，是否在同一竖直平面内摆动等。 （2）偶然误差 ①主要来自于时间测量，测量时间时要求从摆球通过平衡位置开始计时，在记次数时不能漏记或多记。同时应多次测量，再对多次测量结果求平均值。 ②测长度和摆球直径时，读数也容易产生误差。秒表读数读到秒的十分位即可。 【归纳总结】该实验利用单摆小角度摆动时的简谐运动特性，由周期公式T＝2π得g＝；通过测摆长l（摆线长+球半径）、多次全振动计时求平均周期 T，计算当地重力加速度，减小误差。 【典例5-1】某实验小组用如图甲所示的装置做“用单摆测量重力加速度”的实验。 (1)关于实验操作，下列说法正确的是________ A．摆球的选择有钢质实心小球和玻璃实心小球两种，选用玻璃实心小球 B．图乙中摆线上端的三种悬挂方式，选C方式更好 C．当单摆的摆球经过最高点时开始计时，便于看清摆球的位置 (2)若游标卡尺测量摆球的直径d如图丙所示，读数为 mm。 (3)若某次实验中测出单摆做n次全振动所用时间为t、摆线长为l，则当地的重力加速度g= （用题中物理量的符号表示）。 (4)如果该同学测得的重力加速度的值偏大，可能的原因是 A．测摆线长时摆线拉得过紧 B．开始计时时，秒表按下稍早 C．实验中将51次全振动误记为50次 D．摆线上端未牢固地系于悬点，振动中出现松动，使摆线长度增加了 跟踪训练1某实验小组用下图的装置测量当地重力加速度大小。 (1)如图甲所示，实验小组将细绳悬挂点与竖直放置的毫米刻度尺“0”刻度线对齐，用直角三角板辅助测出小球最低点离悬点的距离 ； (2)该实验小组没有找到可以进一步测量小球直径的工具，实验小组进行实验时记录了不同距离L时单摆的周期T，进行数据处理，作出图像。该实验小组作出的图像可能是图乙中的 （选填“①”或“②”），根据题中数据可求出小球的半径为 ； (3)该实验小组根据作出的图像，求出重力加速度 （取3.14，结果保留三位有效数字）。 题型6 受迫振动 共振 一、振动中的能量损失 1、固有振动和固有频率 （1）固有振动：振动系统在不受外力作用下的振动。 （2）固有频率：固有振动的频率。 2、阻尼振动 （1）阻尼：当振动系统受到阻力的作用时，振动受到了阻尼。 （2）阻尼振动：振幅逐渐减小的振动。 （3）振动系统能量衰减的两种方式 ①振动系统受到摩擦阻力作用，机械能逐渐转化为内能。 ②振动系统引起邻近介质中各质点的振动，能量向外辐射出去。 二、受迫振动 1、驱动力：周期性作用于振动系统的外力叫做驱动力。 2、受迫振动：系统在驱动力作用下的振动，叫做受迫振动。 3、受迫振动的特点：受迫振动的频率总等于驱动力的频率，与系统的固有频率无关。 4、三种振动的比较 振动类型 比较项目 简谐运动 阻尼振动 受迫振动 产生条件 不受阻力作用 受阻力作用 受阻力和驱动力作用 频率 有固有频率 频率不变 由驱动力的频率决定 振动图像 形状不确定 常见例子 弹簧振子或单摆 敲锣打鼓时发出的声音越来越弱 机器运转时底座发生的振动 三、共振现象及其应用 1、共振定义：驱动力的频率f 等于物体的固有频率f0时，受迫振动的振幅最大，这种现象叫做共振。 2、受迫振动的规律 f驱= f固时，振幅有最大值。 f驱与f固差别越大时，振幅越小。 【归纳总结】受迫振动是物体在驱动力作用下的振动，其频率等于驱动力频率；当驱动力频率等于物体固有频率时，振幅最大，即为共振，共振是受迫振动的特殊情况。 【典例6-1】某同学利用如图所示的装置做多单摆实验。在一根张紧的绳子上悬挂几个摆球，当驱动摆B摆动起来后，摆A、C、D、E也跟着摆动起来。已知摆长LB=LD>LA>LC>LE，在振动稳定后，下列说法正确的是（　　）    A．驱动摆B只是把振动形式传递给其他单摆，并不传递能量 B．单摆D、E的摆动振幅AD>AE C．单摆A摆动过程中多次通过同一位置时，速度和加速度都一定相同 D．单摆A、B、C、D、E的摆动周期满足TB=TD>TA>TC>TE 【典例6-2】（多选）如图所示为两个单摆的受迫振动的共振曲线，已知g取9.8m/s²，则下列说法正确的是（　　） A．若两个受迫振动分别在月球上和地球上进行，且摆长相同，则图线Ⅱ表示月球上单摆的共振曲线 B．若两个受迫振动是在地球上同一地点进行的，则两个摆长之比 C．图线Ⅱ若表示是在地面上完成的，则该单摆摆长约为1m D．将单摆放在近地卫星中，小球静止时给其一个很小的初速度，则它将做简谐运动 跟踪训练1一个单摆在地面附近做受迫振动，其共振曲线（振幅A与驱动力频率f的关系）如图所示，下列说法正确的是（　　） A．此单摆的固有周期为0.5s B．此单摆的摆长约为0.2m C．若摆长增大，单摆的固有频率减小 D．若摆长增大，共振曲线的峰值将向右移动 跟踪训练2（多选）如图是用来测量发动机转动频率的原理图。在同一铁支架MN上焊有固有频率依次为100Hz，80Hz，60Hz，40Hz的四个钢片a、b、c、d，将M端与正在转动的电动机接触，发现c钢片振幅很大，其余钢片振幅很小，则（　　） A．发动机转动频率为60Hz B．钢片d振动频率为60Hz C．钢片b振动频率为80Hz D．钢片a振动频率约为100Hz 【能力培优练】 一、单选题 1．如图甲所示，把一个筛子用四根弹簧支撑起来，筛子上装一个电动偏心轮，它每转一周，给筛子一个驱动力，这就做成了一个共振筛，该共振筛的共振曲线如图乙所示。已知增大电压，可使偏心轮转速提高；增加筛子质量，可增大筛子的固有周期。现在，在某电压下偏心轮的转速是。下列说法正确的是（　　） A．共振筛现在的振动频率为0.8Hz B．仅增加筛子质量，可以使筛子的振幅增大 C．仅减小电压，可以使筛子的振幅增大 D．现在关闭电源直到共振筛静止前，共振筛振动的周期逐渐减小 2．单摆在振动过程中，对摆球的分析正确的是（　　） A．摆球在最低点加速度为零 B．回复力始终由线的拉力与重力的合力提供 C．摆球在任何位置加速度都不等于零 D．摆球在最低点回复力不为零 3．如图甲所示，一轻弹簧竖直固定在水平地面上，弹簧上端连接物块，将物块缓慢向下压，松手后，物块在竖直方向上做简谐运动，其振动图像如图乙所示（取竖直向上为正方向），则（　　） A．时，物块的速度和加速度方向相反 B．物块振动周期为，振幅为 C．时间内，速度和加速度都减小 D．时，物块的位移为 4．如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动，以O点为坐标原点，取向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示，下列说法正确的是（　　） A．振子的振幅为4cm B．振子从1s至3s弹簧弹力一直做负功 C．3s至4s振子从A点向O振动，速度增大，加速度减小 D．2s至3s振子从O点向B振动，速度减小，加速度增大 5．关于简谐运动，下列说法中正确的是（　　） A．频率是单位时间内完成全振动的次数 B．位移减小时，加速度减小，速度减小 C．简谐运动的轨迹一定是正弦或余弦曲线 D．位移的方向总跟加速度的方向相反，跟速度的方向相同 6．如图所示，质量为M的无下底的木箱放在水平地面上。箱子顶部用劲度系数为k的轻弹簧悬挂一个质量为m（M>m）的物体A，质量为2m的物体B用细线与A相连。平衡后剪断A、B间细线，此后A将做简谐振动，则（　　） A．细线剪断瞬间，弹簧弹力大小为2mg B．细线剪断瞬间，物体A的加速度大小为2g，方向竖直向下 C．A做简谐振动的振幅为 D．当A运动到最高点时，木箱对地面的压力大小为 7．如图甲所示，“弹簧公仔”是一款玩具，该玩具由头部、轻弹簧及底座组成，已知公仔头部的质量为。竖直向上拉伸公仔头部，然后由静止释放公仔头部，此后公仔头部在竖直方向上做简谐运动。以竖直向上为正方向，弹簧弹力与公仔头部运动时间的关系如图乙所示，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（　　） A．公仔头部有最大速度时，弹簧处于原长 B．t=0时刻和t0时刻，公仔头部的加速度相同 C．公仔头部做简谐运动的周期为2t0 D．公仔头部运动至最低点时，回复力的大小为4mg 二、多选题 8．某汽车在平直路面上行驶，当发动机以30Hz的频率工作时，会引起车体共振而剧烈振动。关于车体，下列说法正确的是（　　） A．固有频率等于30Hz B．固有频率小于30Hz C．在该状态下的振动频率等于30Hz D．在该状态下的振动频率小于30Hz 9．如图甲所示的单摆（摆角θ很小），摆球在竖直面内的MON圆弧虚线上做简谐运动，以向右的方向作为摆球偏离平衡位置位移的正方向，摆球偏离平衡位置位移x与时间t的关系图像如图乙所示，下列说法正确的是（　　） A．摆球在运动过程中受到的合外力全部用来提供回复力 B．若当地的重力加速度为，则单摆的摆长约为1m C．t=1.2s时，摆球在M与O之间且速度即将减小 D．t=0.3s时，摆球在O与N之间且速度即将减小 10．竖直轻弹簧下端固定在水平地面上，上端与质量为的物体a拴接。质量也为的物体b叠放在a上并处于静止状态。现在b上施加竖直向下的压力。使a、b两物体再次处于静止状态，如图所示。a、b均可看作质点，运动中不考虑空气阻力，重力加速度为。下列说法正确的是（　　） A．如果，撤去瞬间，物体a对物体b的支持力为 B．如果，撤去后，物体a、b能一起做简谐振动 C．如果，撤去后，b物体运动的最大加速度为 D．撤去后，a、b两物体与弹簧系统在之后的运动过程中机械能始终守恒 11．如图，假设从地球的北极沿直径贯通一条隧道，一小球从S点由静止释放，小球在隧道内的运动可视为简谐运动。已知地球半径为R，小球由球心O向S运动经过O时开始计时，经t0时间第1次经过P点（P点在OS之间，图中未标出），再经过4t0时间第2次经过P点，则（　　） A．小球振动的周期为10 t0 B．O到P的距离为 C．由S到O的运动过程中小球受力逐渐减小 D．小球从计时开始到第3次过P点所需时间为12t0 12．如图所示，把能在绝缘光滑水平面上做简谐运动的弹簧振子放在水平向右的匀强电场中，小球在O点时，弹簧处于原长，A、B为关于O对称的两个位置，现在使小球带上负电并让小球从B点静止释放，则下列说法正确的是（　　） A．小球仍然能在A、B间做简谐运动，O点是其平衡位置 B．小球从B运动到A的过程中动能一定先增大后减小 C．小球仍然能做简谐运动，但其平衡位置不在O点 D．小球从B运动到O的时间大于O运动到A的时间 三、实验题 13．某同学用单摆测量当地重力加速度时发现，单摆的运动轨迹不严格在同一竖直面内。为提高测量精度，他使用图1所示的双线摆重新实验。两根等长的细线下端悬挂小球，上端分别固定在两点，继续完成实验： (1)除图1中的装置外，实验中还需要用到的器材有______（填选项标号）。 A．秒表 B．刻度尺 C．天平 D．打点计时器 (2)实验时，将摆球拉离平衡位置，使两细线所在平面与竖直方向间的夹角成，由静止释放摆球，让双线摆开始摆动。为减小计时误差，应该在摆球摆至 （填“最低点”或“最高点”）时开始计时。 (3)测量得到两点间的距离为，两摆线的长度均为，摆球的周期为T，忽略小球的半径，则重力加速度 （用含、、的式子表示）。 (4)改变两点间的距离x，多次实验，测出不同x时摆球的周期T；用图像法处理数据时，以 （用，x表示）为纵轴，以为横轴，可得到斜率为重力加速度g的图像，如图2所示；用图像法处理数据可以消除因忽略小球半径带来的误差，原因是： 。 14．某学生小组用以下器材测量了校园附近的重力加速度。为了便于携带，该组同学将一单摆固定于某一开口向下的透明塑料杯顶端（单摆的下半部分露于杯外），塑料杯的深度h，如图甲所示。每次实验前，组内同学测出杯子的下端口到小球球心的距离L，并通过改变L而测出对应的摆动周期T。实验开始时，将悬线拉离平衡位置一个小角度后由静止释放，且单摆在摆动过程中悬线不会碰到杯巷，最后利用测得的数据，以T2为纵轴、L为横轴作出函数关系图像，如图乙所示。 (1)实验时用10分度的游标卡尺测量摆球直径，示数如图所示，该摆球的直径d= mm。 (2)测量单摆的周期时，某同学在摆球某次（记为第一次）通过最低点时按下停表开始计时，同时数0，当摆球第二次通过最低点时数1，依此法往下数，当他数到60时，按下停表停止计时，读出这段时间t，则该单摆的周期为______。 A． B． C． D． (3)在正确操作且不考虑偶然误差的情况下，实验所得到的 关系图线应是图乙中的 （选填a、b、c），由此可得当地的重力加速度g= m/s2（π取3.14，结果保留小数点后两位） 四、解答题 15．如图甲，O点为单摆的固定悬点，将力传感器接在摆球与O点之间。现将摆球拉到A点，释放摆球，摆球将在竖直面内的A、C之间来回摆动，其中B点为运动中的最低位置，摆角为θ（θ<5°）。图乙表示细线对摆球的拉力大小F随时间t变化的曲线，最小值为F1、最大值为F2，表图中t=0为摆球从A点开始运动的时刻，重力加速度为g。 (1)求单摆的振动周期T和摆长L（用π、g、t0表示）； (2)求摆球的质量m（用F1、F2、g表示）。 【链接高考】 1．（2024·福建·高考真题）如图（a），装有砂粒的试管竖直静浮于水中，将其提起一小段距离后释放，一段时间内试管在竖直方向的振动可视为简谐运动。取竖直向上为正方向，以某时刻作为计时起点，试管振动图像如图（b）所示，则试管（　　） A．振幅为 B．振动频率为 C．在时速度为零 D．在时加速度方向竖直向下 2．（2025·甘肃白银·模拟预测）如图甲所示，水平放置在光滑地面上的弹簧振子在A、B之间做简谐运动，O点为平衡位置，规定向右为正方向，其自由振动图像如图乙所示。将小球Q用轻质细绳悬挂在O点正上方的O1点，小球Q静止时恰好未与地面接触，将小球P从A点由静止释放，运动到O点时与完全相同的、静止的小球Q发生弹性碰撞，碰撞时间极短，碰后小球P从A点至再次回到A点的时间间隔为6s。小球P、Q始终在同一竖直面内运动，小球Q的摆角始终小于5°，空气阻力不计，当地重力加速度g=9.87m/s2，π2≈9.87，则轻绳与小球Q组成的单摆的（　　） A．周期为2s B．周期为8s C．摆长为1m D．摆长为4m 二、多选题 3．（2023·河北·高考真题）如图，质量为m的小球穿在固定光滑杆上，与两个完全相同的轻质弹相连。开始时将小球控制在杆上的A点，弹簧1竖直且处于原长，弹簧2处于水平伸长状态，两弹簧可绕各自转轴，无摩擦转动。B为杆上的另一个点，与、A、构成矩形，。现将小球从A点释放，两弹簧始终处于弹性限度内。下列说法正确的是（　　） A．小球沿杆在AB之间做往复运动 B．与没有弹簧时相比，小球从A点运动到B点所用的时间更短 C．小球从A点运动到B点的过程中，两个弹簧对小球做的总功为零 D．小球从A点运动到B点的过程中，弹簧2的弹性势能先减小后增大 三、实验题 4．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）如图甲所示，某实验小组利用单摆测量当地的重力加速度，所用实验器材有摆球、长度可调的轻质摆线、刻度尺、速度传感器、计算机等。实验操作步骤如下： A．取一根细线，下端系住一个金属小球，上端固定在铁架台上； B．用米尺（分度值为1mm）测得摆线长为； C．在摆线偏离竖直方向较小夹角的位置由静止释放小球； D．速度传感器连接计算机，记录了摆球摆动过程中速度随时间变化的关系，如图乙所示； E.改变摆线长度，重复B、C、D的操作； F.根据实验数据，利用计算机作出图像，并根据图像得到方程，由此可以得出当地的重力加速度。 回答以下问题： (1)摆线长为时，单摆的周期 。 (2)实验小组测得当地的重力加速度 。（取3.14，结果保留3位有效数字） (3)实验时没有测量摆球直径，为摆线长而不是摆长，你认为这种做法会不会引起实验的系统误差 （填“会”或“不会”）；为了使测量误差尽量小，下列说法正确的是 。 A．组装单摆须选用质量和直径都较大的摆球 B．当摆球经过最高点时开始计时 C．实验时须使摆球在同一竖直面内摆动 D．单摆偏离平衡位置的角度尽可能大 四、解答题 5．（2025·辽宁鞍山·三模）如图所示，A、B两小球由绕过轻质定滑轮的细线相连，A放在固定的光滑斜面上，斜面倾角为，B、C两小球通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，放在倾角为带有挡板的固定光滑斜面上。现用手控制住A，并使细线刚刚拉直但无拉力作用，保证滑轮两侧细线均与斜面平行，且C球与挡板接触。已知A的质量为2m，B的质量为m，C的质量为4m，重力加速度为g，细线与滑轮之间的摩擦不计，开始时整个系统处于静止状态。现释放A球，求： (1)初始时，弹簧形变量的大小； (2)A沿斜面下滑的最大速度； (3)A沿斜面下滑至位移最大时，C对挡板的压力大小。 / 学科网（北京）股份有限公司 $$