专题10 直线与圆（讲义）-2026版重庆高职分类考试二轮复习《数学考纲专题练》

编写说明：2026版重庆高职分类考试二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标准》及重庆市历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版重庆高职分类考试二轮复习《数学考纲专题练》的第10个专题，内容为直线与圆。 2026版重庆高职分类考试 二轮复习《数学考纲专题练》 专题10 直线与圆 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 一、课标解读 (1)两点间距离公式和线段的中点坐标公式:掌握两点间的距离公式与线段的中点坐标公式。 (2)直线的倾斜角与斜率:理解直线的倾斜角与斜率的概念;掌握直线斜率的计算方法。 (3)直线的点斜式和斜截式方程:掌握直线的点斜式和斜截式方程。 (4)直线的一般式方程:了解直线方程的一般式形式:掌握直线的点斜式方程化为一般式方程的方法，掌握直线的斜截式方程与一般式方程之间的互化。 (5)两条相交直线的交点:掌握求两条相交直线的交点坐标的方法。 (6)两条直线平行的条件:理解两条直线平行的条件:掌握两条直线平行的判定方法。 (7)两条直线垂直的条件:理解两条直线垂直的条件:掌握两条直线垂直的判定方法。 (8)点到直线的距离公式:了解点到直线的距离公式 (9)圆的方程:了解圆的定义:掌握圆的标准方程;了解二元二次方程表示圆的条件和圆的一般方程。 (10)直线与圆的位置关系:理解直线与圆的位置关系及判定方法，初步掌握直线与圆相交时弦长的求法及圆的切线方程的求法。 (11)直线与圆的方程的应用:初步掌握用直线方程与圆的方程解决实际问题的方法。 二、考情聚焦 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2025 选择题 7 圆的一般方程求半径 6 重庆高职分类考试真题中，直线与圆的考查呈现以下特点： （1）题型：选择题 （2）分值：直线与圆每年都有涉及，主要考察等圆的方程、直线的位置关系，分值6分。 2024 选择题 7 圆的标准方程 6 2023 选择题 7 两直线垂直求斜率 6 三、考点预测 预估2026年重庆高职分类考试有1道选择题考查直线与圆，共6分。 具体考点： · 圆的方程 · 直线的位置关系 四、知识梳理 （一）直线的倾斜角及斜率 1．直线的倾斜角 (1)当直线与x轴相交时，直线向上的方向与x轴正方向所成的最小正角，叫作直线的倾斜角，用α表示． (2)当直线与x轴平行或重合时，直线的倾斜角为0°；当直线与x轴垂直时，直线的倾斜角为90°. (3)直线的倾斜角的范围是[0°，180°)。 2．直线的斜率 直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值，叫作直线的斜率，即斜率k＝tanα(α≠90°). 当α＝90°时 直线的斜率不存在 当α＝0°时 k＝0 当α∈(0°，90°) k>0 当α∈(90°，180°) k<0 3．斜率的三个计算公式 (1)若直线的倾斜角为α，则斜率k＝(α≠90°). 【识记】 (2)若直线经过两点，则斜率k＝ (3)若直线的一般式方程为Ax＋By＋C＝0(B≠0)，则斜率. 4．两点间的距离公式 已知两点，则 5．中点坐标公式 已知两点，则线段AB的中点坐标为. （二）直线的方程 1．直线在坐标轴上的截距 在平面直角坐标系中， 直线与轴交点的横坐标叫作直线在轴上的截距，用表示． 直线与轴交点的纵坐标叫作直线在轴上的截距，用表示． 【注】　截距是坐标而不是距离，所以，可正、可负、可为零 2．直线方程的主要形式 名称 直线方程 备注 点斜式 斜率为，且经过点 斜截式 斜率为k，且在轴上的截距为 截距式 直线在轴，轴上的截距分别为，，且a≠0，b≠0 一般式 A，B不同时为0 平行于轴的直线方程 直线经过点，且斜率为0 平行于轴的直线方程 直线经过点，且斜率不存在 轴所在的直线方程 斜率为0 轴所在的直线方程 斜率不存在 【注】　我们不论用哪种方法求出的直线方程都要化成一般式方程，且A，B，C无公因数，A>0. （三）两条直线的位置关系 直线的形式 关系 等价于 直线的斜截式： 直线， 直线 与重合 与相交 直线的一般式： 直线 直线 与重合 与相交 注：(1)．直线与直线是平行的；直线与直线是垂直的 点到直线的距离 点到直线的距离为 设方程 与直线平行的方程可设为 与直线垂直的方程可设为 两平行线的距离 直线与直线之间的距离为 两直线的交点 直线与直线联立解方程组得交点坐标 （四）圆的方程 圆的标准方程 设圆心为，半径为r的圆的标准方程为 圆心在坐标原点，半径为r的圆的标准方程为 圆的一般方程 形如，且满足时的方程叫作圆的一般方程． 将圆的一般方程配方得 圆心坐标为， 半径 （五）直线与圆的位置关系 设圆的标准方程为，其中圆心坐标为，半径为r. 【注】表示圆心到直线的距离，Δ为直线方程与圆的方程联立的方程组，消元后的一元二次方程的判别式． 直线与圆的位置关系 图形表示 与r的大小关系(几何法) 直线与圆的公共点个数(代数法) 判别式 相交 2 Δ>0 相切 1 Δ=0 相离 0 Δ<0 (1)圆的切线方程 图示 方法 经过圆上一点A的切线方程(如图所示)，通常利用CA与切线垂直，它们的斜率互为负倒数来求切线方程，此时的切线只有一条 经过圆外一点A的圆的切线方程(如图所示)，通常设切线的斜率为k(注意斜率不存在的情况)，并利用圆心到切线的距离d等于r来求切线方程，此时的切线有两条 圆的切线长(如图所示)： (其中|PC|为圆心C到点P的距离). (2)求直线与圆相交的弦长的方法 ①先联立直线方程和圆的方程求出交点坐标，再利用两点间的距离公式求出弦长． ②先利用弦心距、弦长的一半和半径组成直角三角形，再利用勾股定理求出弦长，即勾股定理关系式为 五、10分钟小测验 1. 已知经过点的直线的斜率为2，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 2.直线，，若，则的值为（   ） A．或 B． C． D． 3.若直线与直线平行，则（   ） A．2 B． C． D． 4.若直线与直线垂直，则（   ） A．8 B．8 C． D． 5.已知直线的方程为，则过点且与垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 6.圆的面积为（   ） A． B． C． D． 7.已知两直线和的交点为M，则以点M为圆心，半径长为1的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 8.已知直角梯形，且，，，，则过其中三点的圆的方程可以为（    ） A． B． C． D． 9.直线被圆：截得的弦长是（   ） A． B． C． D． 10.直线被圆所截得的弦长为，则（    ） A． B． C． D．2 答案解析 1【答案】D 【详解】因为经过点的直线的斜率为2， 所以，且，解得. 故选：D. 2【答案】B 【详解】由已知，则，解得或， 当时，，，与重合，不成立； 当时，，，，成立； 综上所述， 故选：B. 3【答案】A 【详解】直线与直线平行，所以. 故选：A 4【答案】A 【详解】因为直线与直线垂直， 所以，解得， 故选：A 5【答案】B 【详解】直线的方程为，则， 根据两直线垂直知所求直线的斜率为， 又直线过点，所以与直线垂直的线方程为，即. 故选：B. 6【答案】B 【详解】圆的标准方程为，该圆的半径为， 因此，该圆的面积为. 故选：B. 7【答案】B 【详解】，则，又半径长为1， 则圆M的方程为：. 故选：B 8【答案】C 【详解】对于A，，的坐标都不满足圆的方程， 即圆不可能过四个点中的三个点，故A不符合题意； 对于B，，的坐标都不满足圆的方程， 即圆不可能过四个点中的三个点，故B不符合题意； 对于C，，，的坐标都满足圆的方程， 的坐标不满足圆的方程， 即圆过四个点中的三个点，故C符合题意； 对于D，，的坐标都不满足圆的方程， 即圆不可能过四个点中的三个点，故D不符合题意. 故选：C. 9【答案】D 【详解】因为，圆心到直线的距离为， 所以，所截弦长为. 故选：D 10【答案】A 【详解】圆的圆心为，半径为， 由垂径定理，得点到直线距离为， 根据点到直线距离公式，知圆心到直线的距离， 化简可得，解得. 故选：A. 六、经典例题解析 （一）直线的方程 1．求过点，且斜率为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线的点斜式方程进行求解. 【详解】由题可得直线方程为，整理可得. 故选：C. 2．直线的倾斜角为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一般式直线方程求斜率，再根据斜率求倾斜角易得答案. 【详解】因为直线， 所以直线的斜率， 令直线倾斜角为 所以，因为， 所以. 故选：A. 3．以点，为端点的线段的垂直平分线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出的中点坐标，再利用垂直关系，求出的垂直平分线的斜率，再根据点斜式方程求解即可. 【详解】因为点，点， 所以的中点坐标为，直线的斜率， 所以的垂直平分线的斜率为， 根据点斜式方程可得线段的的垂直平分线的方程为， 即， 故选：A. （二）两条直线位置关系 1．点到直线的距离是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用点到直线的距离公式即可得出. 【详解】点，直线 由点到直线的距离公式可得. 故选：C. 2．已知到直线的距离为，则 （    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】根据点到直线的距离公式求解即可解得. 【详解】由题，点到直线的距离可以表示为： ， 则， 故选：C 3．若直线与直线平行，则m的值为（    ） A．2 B． C．2或 D．1 【答案】B 【分析】根据两直线平行且斜率存在时，斜率相等的条件可列出方程，求得的值，验证直线是否重合，即得答案. 【详解】直线的斜率， 直线的斜率， ∵两直线平行，∴，即， 解得或. 当时，直线与重合，故舍去. 另外当，直线的斜率不存在，与直线不平行. 综上，m的值为. 故选：B. 4．直线和直线的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据两直线垂直斜率之积为即可解得. 【详解】由题，当或时， 两条直线中有一条斜率为，另一条斜率不存在，则两条直线垂直， 若和都不为时，直线的斜率为，直线的斜率为， 则两直线斜率之积为， 故直线与直线位置关系为垂直， 故选：B （三）圆的方程 1．圆心是，半径是4的圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆心与半径求解圆的标准方程即可. 【详解】因为圆心为，半径为4， 所以圆的标准方程为，即. 故选：B. 2．已知圆的圆心为,且过点,则圆的方程为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由圆的标准方程即可得解. 【详解】因为圆的圆心为,且过点. 所以圆的半径为. 所以圆的方程为. 故选:. 3．若圆A与圆关于原点对称，则圆A的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先把圆方程化为标准方程，得出其圆心和半径，结合题目条件进而求得圆的圆心和半径，即可求得圆A的标准方程. 【详解】由圆可化为， 所以圆的圆心坐标为，半径为， 又因为圆和圆关于原点对称， 所以圆的圆心坐标为，半径为， 所以圆A的标准方程为. 故选：D. 4．圆的圆心坐标和半径分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将圆的方程化为标准方程后可求解. 【详解】将圆的方程化为标准方程，可得 ， 所以圆心坐标和半径分别是. 故选：B 七、专题归纳小结 （一）、专题核心内容总结 基础理论：理解直线的斜率和点斜式方程、斜截式方程、斜距式方程、一般式方程，能根据条件求出直线方程；理解两条直线的交点的求法；理解两条直线平行与垂直的条件；了解点到直线的距离公式；掌握圆的标准方程和一般方程；了解圆的参数方程；能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系。 （2） 、解题策略与技巧 1、处理直线与圆的问题时，优先用几何性质简化计算。比如判断两者的位置关系（相离、相切、相交），核心是比较圆心到直线的距离与圆的半径：距离大于半径则相离，等于半径则相切，小于半径则相交。 2、求直线被圆截得的弦长时，可利用几何关系：弦长的一半、圆的半径、圆心到直线的距离构成直角三角形，通过这个关系能快速算出弦长，比联立方程计算更简便。 3、解决切线问题时，若过圆外一点作切线，要考虑两种情况：一种是直线斜率存在，另一种是斜率不存在（比如垂直于 x 轴的直线），避免漏解。过圆上一点的切线，可结合圆心与该点的连线和切线垂直的性质来求。 4、遇到直线与圆的交点问题，若只需判断交点个数，用位置关系即可；若需求交点坐标，可联立方程，但优先用几何性质减少计算量。 （3） 、易错点总结 1、判断位置关系时，容易算错圆心到直线的距离，或记错圆的半径（比如混淆圆的标准方程中圆心坐标的符号，导致半径计算错误）。 2、求切线方程时，常忽略斜率不存在的情况，只考虑斜率存在的直线，导致漏解（比如过圆外一点且垂直于 x 轴的切线）。 （四）、复习建议 1、强化几何方法的应用：直线与圆的问题多与几何性质相关，熟练运用圆心到直线的距离、半径、弦长的几何关系，能大幅减少计算量，比纯代数联立更高效。 2、分类练习典型题型：针对位置关系判断、切线方程求解、弦长计算等常见题型，总结解题步骤（比如切线问题先检查斜率是否存在，弦长问题先算圆心到直线的距离），形成固定思路。 3、关注细节与特殊情况：刻意练习含斜率不存在的直线、参数范围等易错点，做题时先画图辅助分析，明确圆心、半径、直线位置等关键信息，避免因细节失误丢分。 4、结合真题演练：通过真题熟悉常考题型（如相切时的参数求解、相交时的弦长计算），复盘错题时重点关注距离计算、漏解等问题，强化对几何性质的理解和应用。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$