高教版《一课一练》第18练-等差数列与等比数列的应用（2） 课后作业（原卷版+解析版）

编写说明：基于中职学生数学知识能力普遍薄弱的学情特点，我们始终坚持“以生为本”的教育理念，深度融合支架式教学理论，系统剖析近三年高考真题命题规律，匠心打造了契合福建中职数学命题特色的数学《一课一练》（高教版）系列专辑，每章均配有章节测验。 本卷为高教版《数学》拓展模块第18练，内容是第七章数列7.4 等差数列与等比数列的应用（2）。 高教版《数学》拓展模块下册 第18练 第7章 数列 7.4 等差数列与等比数列的应用（2） 一课一练 1、 单选题 1．部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形，一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统，分形几何学不仅让人们感悟到科学与艺术的融合，数学与艺术审美的统一，而且还有其深刻的科学方法论意义，如图，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出的谢尔宾斯基三角形就属于一种分形，具体作法是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线．将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形，若记图①三角形的面积为，则第n个图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 2．小李年初向银行贷款万元用于购房，购房贷款的年利率为，按复利计算，并从借款后次年年初开始归还，分10次等额还清，每年1次，问每年应还多少万元（   ） A． B． C． D． 3．有一个很神秘的地方，那里有很多的雕塑，每个雕塑都是由蝴蝶组成的．第一个雕塑有3只蝴蝶，第二个雕塑有5只蝴蝶，第三个雕塑有7只蝴蝶，第四个雕塑有9只蝴蝶，以后的雕塑按照这样的规律一直延伸到很远的地方，看不到这排雕塑的尽头在哪里，那么，第102个雕塑是由多少只蝴蝶组成的呢（   ） A．203 B．205 C．207 D．103 4．权，是中国传统度量衡器具，历史悠久，文化底蕴深厚，承载着中华民族在政治、经济、文化方面的大量信息．“环权”类似于砝码（如下图），用于测量物体质量．已知九枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，，，则数列的前8项和为（    ） A．191 B．192 C．193 D．194 5．朱世杰是元代著名数学家，他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作.《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题.现有132根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从最下面一层开始，每一层比上一层多1根，则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 6．如图是标准对数远视力表的一部分．最左边一列“五分记录”为标准对数视力记录，这组数据从上至下为等差数列，公差为0.1；最右边一列“小数记录”为国际标准视力记录的近似值，这组数据从上至下为等比数列，公比为．已知标准对数视力5.0对应的国际标准视力准确值为1.0，则标准对数视力4.8对应的国际标准视力精确到小数点后两位约为（    ）（参考数据：） A．0.57 B．0.59 C．0.61 D．0.63 7．某林场要占地2000亩的荒山上植树，若第1年植树200亩，以后每年比上一年多植树100亩，则将荒山全部绿化完毕需要（  ）年 A．5年 B．6年 C．7年 D．8年 8．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座层塔共挂了盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的倍，则塔的顶层共有灯（    ） A．盏 B．盏 C．盏 D．盏 2、 填空题 9．中国古代著作《张丘建算经》中载有下述问题：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了700里，那么这匹马在第七天行走的里程为 里. 10．2022年，第24届冬奥会在北京举办，已知冬奥会每4年举办一次，则第30届冬奥会举办的年份是 年. 3、 解答题 11．如图，在等腰直角三角形中，斜边，过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为，…，以此类推.设，，，，…    (1)求，，； (2)设数列：，，，，，求通项公式； (3)求的值. 12．某公司在一创业园投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年支出各种经费12万美元，以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入50万美元，设表示前年的纯收入．求从第几年开始获取纯利润？前年的总收入-前年的总支出-投资额） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：基于中职学生数学知识能力普遍薄弱的学情特点，我们始终坚持“以生为本”的教育理念，深度融合支架式教学理论，系统剖析近三年高考真题命题规律，匠心打造了契合福建中职数学命题特色的数学《一课一练》（高教版）系列专辑，每章均配有章节测验。 本卷为高教版《数学》拓展模块第18练，内容是第七章数列7.4 等差数列与等比数列的应用（2）。 高教版《数学》拓展模块下册 第18练 第7章 数列 7.4 等差数列与等比数列的应用（2） 一课一练 1、 单选题 1．部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形，一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统，分形几何学不仅让人们感悟到科学与艺术的融合，数学与艺术审美的统一，而且还有其深刻的科学方法论意义，如图，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出的谢尔宾斯基三角形就属于一种分形，具体作法是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线．将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形，若记图①三角形的面积为，则第n个图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】每一个图形的面积是前一个图形面积的，根据等比数列公式得到答案. 【详解】根据题意，每一个图形的面积是前一个图形面积的， 即面积为首项，公比的等比数列， 故第个图中阴影部分的面积为 ． 故选：D. 2．小李年初向银行贷款万元用于购房，购房贷款的年利率为，按复利计算，并从借款后次年年初开始归还，分10次等额还清，每年1次，问每年应还多少万元（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可知购房贷款还款构成等比数列，利用等比数列的前n项和公式即可得解. 【详解】设每年应还万元，由题意知购房贷款等额还款构成等比数列， 则， 即， 则． 故选：B. 3．有一个很神秘的地方，那里有很多的雕塑，每个雕塑都是由蝴蝶组成的．第一个雕塑有3只蝴蝶，第二个雕塑有5只蝴蝶，第三个雕塑有7只蝴蝶，第四个雕塑有9只蝴蝶，以后的雕塑按照这样的规律一直延伸到很远的地方，看不到这排雕塑的尽头在哪里，那么，第102个雕塑是由多少只蝴蝶组成的呢（   ） A．203 B．205 C．207 D．103 【答案】B 【分析】从第一个雕塑开始，每个雕塑的蝴蝶数组成一个等差数列，由题意求即可． 【详解】从第一个雕塑开始，每个雕塑的蝴蝶数组成一个等差数列， 首项，公差， 第102个雕塑的蝴蝶数即． 故选：B． 4．权，是中国传统度量衡器具，历史悠久，文化底蕴深厚，承载着中华民族在政治、经济、文化方面的大量信息．“环权”类似于砝码（如下图），用于测量物体质量．已知九枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，，，则数列的前8项和为（    ） A．191 B．192 C．193 D．194 【答案】B 【分析】根据等差数列和等比数列的通项公式、性质即可求解. 【详解】设后7项等比数列的公比为， 由题意可得：，， 解得：，所以， 所以数列的前8项和为 ， 故选：B. 5．朱世杰是元代著名数学家，他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作.《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题.现有132根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从最下面一层开始，每一层比上一层多1根，则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】根据题意，结合等差数列的前n项和公式，及，即可求解. 【详解】由题意，设最上面一层的铅笔数为， 则每层堆放的铅笔数构成等差数列，且， 所以， 所以，即， 因为， 所以必须是264的因数，且，是偶数， 当时，显然不是的因数，故A错误； 当时，不是偶数，不合题意，故B错误； 当时，显然不是的因数，故C错误； 当时，，符合题意，故D正确； 故选：D. 6．如图是标准对数远视力表的一部分．最左边一列“五分记录”为标准对数视力记录，这组数据从上至下为等差数列，公差为0.1；最右边一列“小数记录”为国际标准视力记录的近似值，这组数据从上至下为等比数列，公比为．已知标准对数视力5.0对应的国际标准视力准确值为1.0，则标准对数视力4.8对应的国际标准视力精确到小数点后两位约为（    ）（参考数据：） A．0.57 B．0.59 C．0.61 D．0.63 【答案】D 【分析】根据已知条件，结合等差数列与等比数列的通项公式，即可求解. 【详解】依题意，设左侧数据从上至下构成等差数列，且公差， 右侧数据从上至下构成等比数列，且公比， 设5.0为数列中的第项，则1.0为数列中的第项，即， 故，其中且， 故标准对数视力4.8对应的国际标准视力为数列中的第项，即， 所以． 故选：D． 7．某林场要占地2000亩的荒山上植树，若第1年植树200亩，以后每年比上一年多植树100亩，则将荒山全部绿化完毕需要（  ）年 A．5年 B．6年 C．7年 D．8年 【答案】A 【分析】根据等差数列的求和公式来计算将荒山全部绿化完毕所需的年数. 【详解】已知第1年植树200亩，以后每年比上一年多植树100亩， 根据等差数列的定义，可知每年植树的亩数构成了首项，公差的等差数列. 设将荒山全部绿化完毕需要年，根据等差数列的前项和公式, 可得年植树的总亩数为. 因为荒山占地2000亩，即年植树的总亩数为2000亩， 那么可得方程. 化简方程：, 因式分解可得，解得或. 由于年数为正整数，所以舍去，得到. 故选：A. 8．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座层塔共挂了盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的倍，则塔的顶层共有灯（    ） A．盏 B．盏 C．盏 D．盏 【答案】B 【分析】利用等比数列前项和公式可求. 【详解】由题可知此符合等比数列，设顶层为， 相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的倍，则， 一座层塔共挂了盏灯，则，， 则，，则， 则塔的顶层共有灯盏； 故选：B. 2、 填空题 9．中国古代著作《张丘建算经》中载有下述问题：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了700里，那么这匹马在第七天行走的里程为 里. 【答案】 【分析】将问题转化为一个等比数列求基本量即可求解. 【详解】设每天行走的里程数是等比数列，则公比， 则，解得， 所以. 故答案为：. 10．2022年，第24届冬奥会在北京举办，已知冬奥会每4年举办一次，则第30届冬奥会举办的年份是 年. 【答案】 【分析】根据等差数列的定义，结合等差数列的通项公式即可得解. 【详解】根据题意可知，冬奥会每年举办的年份构成等差数列记作， 则，公差， 所以. 故答案为：. 3、 解答题 11．如图，在等腰直角三角形中，斜边，过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为，…，以此类推.设，，，，…    (1)求，，； (2)设数列：，，，，，求通项公式； (3)求的值. 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】（1）根据题意，依次求得，从而得解； （2）根据题意，判断得为等比数列，从而得解； （3）利用等比数列的求和公式即可得解. 【详解】（1）因为在等腰直角三角形中，斜边， 所以， ， . （2）根据题意，可知数列的相邻两项分别为 同一个等腰直角三角形的底边和腰，即， 所以数列是首项，公比的等比数列， 则. （3）由（2）得 . 12．某公司在一创业园投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年支出各种经费12万美元，以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入50万美元，设表示前年的纯收入．求从第几年开始获取纯利润？前年的总收入-前年的总支出-投资额） 【答案】从第3年开始获利 【分析】根据题意，结合等差数列前n项和的应用，及二次不等式的解法，即可求解. 【详解】由题意知，每年的经费是以12为首项，4为公差的等差数列， 所以， 获取纯利润就是要求，故有，即， 解得．又， 所以从第3年开始获取纯利润． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$