高教版《一课一练》第31练-立体几何测验 课后作业（原卷版+解析版）

编写说明：基于中职学生数学知识能力普遍薄弱的学情特点，我们始终坚持“以生为本”的教育理念，深度融合支架式教学理论，系统剖析近三年高考真题命题规律，匠心打造了契合湖北中职数学命题特色的数学《一课一练》（高教版）系列专辑，每章均配有章节测验。 本卷为高教版《数学》拓展模块第31练，内容是第四章立体几何测验。 高教版《数学》拓展模块上册 第31练 第四章 立体几何 立体几何测验 一课一练 1、 单选题 1．已知 是两条不重合的直线， 是两个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 2．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的为（   ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 3．下列四个命题中，正确的个数是（    ） ①若两条直线都垂直于同一个平面，则这两条直线平行； ②若两条直线都垂直于同一条直线，则这两条直线平行； ③若一条直线和一个平面平行，则这条直线平行于这个平面内的任何一条直线； ④若一条直线和两个平面都平行，则这两个平面互相平行. A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图所示，四边形中，，，，.将沿折起，使平面平面，构成三棱锥，则在三棱锥中，下列命题正确的是（    ） A．平面 B．平面 C．平面平面 D．平面平面 5．已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，且，则 C．若，且，，则 D．若直线，与平面所成的角相等，则 6．已知直线a，b与平面，，，下列能使成立的条件是（   ） A．， B．，， C．， D．， 7．如图所示，在正方体ABCD中，是AB上一点，是的中点，平面，则MN与的位置关系是（   ） A．平行 B．相交 C．异面 D．垂直 8．如图，PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为矩形，AC与BD相交于点，下列结论中不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 2、 多选题 9．过平面外的两个点并且与这个平面垂直的平面（    ） A．有两个 B．有无数个 C．有唯一的一个 D．0个 10．已知正方体中，M为的中点，则下列直线中与直线BM是异面直线的有（    ）    A． B． C． D． 3、 填空题 11．如图所示，已知正方体，，分别是，上不重合的两个动点，给出下列四个结论：    ①；②平面平面； ③；④平面平面. 其中，正确结论的序号是 . 12．如图，矩形 ，，， 分别是 ， 的中点，将平面 沿 折起，使得二面角 的大小为 ．在折起后形成的空间图形中，有如下 个结论：    ①平面平面； ②四边形是正方形； ③直线和所成角的正切值是． 其中所有正确结论的序号是 ． 13．已知二面角的平面角是，在面内，于，，在面内，于，，，是棱上的一个动点，则的最小值是 ． 14．如图所示，检查工件的相邻两个面是否垂直时，只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动，观察尺边是否和这个面密合就可以了，其原理是 . 4、 解答题 15．如图所示，点是直角梯形所在平面外一点，平面，，，，，与底面成角，，求直线与平面所成的角. 16．如图，已知在正四棱柱中，，E为的中点，求直线到平面的距离. 17．如图所示，正三棱柱底面边长是2，侧棱长是，是的中点. (1)求证：平面； (2)求二面角的大小； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 18．已知，，，在，所在的平面内有一点，. (1)直线和直线，直线和直线所成的角各为多少度？ (2)的长度是多少？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：基于中职学生数学知识能力普遍薄弱的学情特点，我们始终坚持“以生为本”的教育理念，深度融合支架式教学理论，系统剖析近三年高考真题命题规律，匠心打造了契合湖北中职数学命题特色的数学《一课一练》（高教版）系列专辑，每章均配有章节测验。 本卷为高教版《数学》拓展模块第31练，内容是第四章立体几何测验。 高教版《数学》拓展模块上册 第31练 第四章 立体几何 立体几何测验 一课一练 1、 单选题 1．已知 是两条不重合的直线， 是两个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 【答案】D 【分析】根据线面的位置关系进行判断即可. 【详解】对于A，若 ，则 或或相交; 对于B，如图所示， ，但；   对于C，如下图，满足 ，但 不平行；   对于D，若 ，则由线面平行的性质定理可知 ，正确. 故选：D. 2．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的为（   ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】C 【分析】根据题意，结合空间内的线线关系、线面关系、面面关系的判定定理及性质定理，即可判断求解. 【详解】若，，则或，故选项A错误； 若，，，则或，故，或相交都有可能，故选项B错误； 若，，则，又，故一定成立，故选项C正确； 若，，，则，或斜交都有可能，故选项D错误； 故选：C. 3．下列四个命题中，正确的个数是（    ） ①若两条直线都垂直于同一个平面，则这两条直线平行； ②若两条直线都垂直于同一条直线，则这两条直线平行； ③若一条直线和一个平面平行，则这条直线平行于这个平面内的任何一条直线； ④若一条直线和两个平面都平行，则这两个平面互相平行. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据直线与平面，平面与平面的位置关系逐项判断即可得解. 【详解】若两条直线都垂直于同一个平面，则这两条直线平行，故①正确 若两条直线都垂直于同一条直线，则这两条直线平行，异面或相交，故②错误； 若一条直线和一个平面平行，则这条直线与这个平面内的直线平行或异面，故③错误； 若一条直线和两个平面都平行，则这两个平面平行或相交，故④错误， 所以正确的个数为个， 故选：. 4．如图所示，四边形中，，，，.将沿折起，使平面平面，构成三棱锥，则在三棱锥中，下列命题正确的是（    ） A．平面 B．平面 C．平面平面 D．平面平面 【答案】D 【分析】假设A、B选项成立，利用线面垂直的性质，可得，，从而产生矛盾，可排除；假设C选项成立，取的中点，连接，利用面面垂直的性质、线面垂直的判定和性质，可得平面，故排除；对D选项，利用面面垂直的性质、线面垂直的判定和性质，可证明平面，据此可判断结论正确. 【详解】对A选项，假设平面，由于平面，则. 在中，因为，，所以，这与相矛盾，即与平面不垂直，故错误； 对B选项，同理可判断与平面不垂直，故错误； 对C选项，如图，取的中点，连接， 在四边形中，，，，， 所以，所以为等腰直角三角形， 即在三棱锥，中， 假设平面平面，且平面平面，平面， 所以平面； 因为平面，所以. 又平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，都在平面内， 所以平面， 同上，产生矛盾，即平面与平面不垂直，故错误； 对D选项，在四边形中，，，，. 所以； 又平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以. 又，，都在平面内， 故平面，又平面，所以平面平面，故D正确. 故选：D 5．已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，且，则 C．若，且，，则 D．若直线，与平面所成的角相等，则 【答案】B 【分析】根据题意，结合空间内的线面关系、面面关系的判定定理和性质定理，即可判断求解. 【详解】对于A，若，，则，的位置关系可能是或，故A错误； 对于B，则，，得，结合，则，故B正确； 对于C，根据面面平行的判定定理知，若有，且，，需当，为相交直线时，才有，故C错误； 对于D，若，为圆锥的两条母线，平面为圆锥的底面所在平面，此时直线，与平面所成的角相等，但此时，为相交直线，故D错误. 故选：B. 6．已知直线a，b与平面，，，下列能使成立的条件是（   ） A．， B．，， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据题意结合平面与平面垂直的判定及平面与平面的位置关系即可得解. 【详解】当，时，平面的位置关系为平行或相交，故错误； 当，，时，平面相交但不一定垂直，故错误； 当，时，平面的位置关系为平行或相交，故错误， 当，时，过直线作平面与α相交于直线，因为，得， 又因为，所以 ，而，得到，故正确， 故选：. 7．如图所示，在正方体ABCD中，是AB上一点，是的中点，平面，则MN与的位置关系是（   ） A．平行 B．相交 C．异面 D．垂直 【答案】A 【分析】根据线面垂直的判定定理以及线面垂直的性质求解即可. 【详解】因为四边形为正方形，所以. 又因为平面，所以. 因为平面，所以平面. 又因为平面，所以. 故选：A. 8．如图，PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为矩形，AC与BD相交于点，下列结论中不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由线面垂直性质推导出线线垂直，逐个判断得到答案. 【详解】因为平面，、、都在平面内， 所以，，， 又因为四边形是矩形，所以，. 选项A中，因为，，，平面，所以平面， 又因为平面，所以； 选项B中，因为，，，平面，所以平面， 又因为平面，所以； 选项C中，未说明四边形是菱形，不能得出，进而不能推出； 选项D中，由平面已经得出， 故选：C. 2、 多选题 9．过平面外的两个点并且与这个平面垂直的平面（    ） A．有两个 B．有无数个 C．有唯一的一个 D．0个 【答案】BC 【分析】根据题意，结合空间内的面面关系，及面面垂直的概念，即可判断求解. 【详解】若平面外的两个点的连线垂直于这个平面，则过平面外的这两个点并且与这个平面垂直的平面有无数个，如下图所示： 若平面外的两个点的连线不垂直于这个平面，则过平面外的这两个点并且与这个平面垂直的平面有唯一一个，如下图所示： 故过平面外的两个点并且与这个平面垂直的平面有无数个或有唯一一个. 故选：. 10．已知正方体中，M为的中点，则下列直线中与直线BM是异面直线的有（    ）    A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】观察图形根据异面直线和相交直线判断即可. 【详解】观察图形，显然，，不是异面直线，BD错误； 与与直线BM既不平行，也不相交，是异面直线，AC正确. 故选：AC. 3、 填空题 11．如图所示，已知正方体，，分别是，上不重合的两个动点，给出下列四个结论：    ①；②平面平面； ③；④平面平面. 其中，正确结论的序号是 . 【答案】③④ 【分析】根据取特殊点，即取点为点，点为点，可判断①和②；再根据线面垂直的判定与性质以及面面垂直的判定即可判断③和④，由此判断即可. 【详解】①当点运动到点，点运动到点时， 则有为，为， 此时，不平行，故①错误； ②当点运动到点，点运动到点时， 则有平面为平面，平面为平面， 此时平面与平面不平行，故②错误；    ③∵在正方体中， ∵平面，平面， ∴， 又∵， 且，平面， ∴平面， 又∵，分别是，上不重合的两个动点， 则有平面， ∴，故③正确；    ④在正方体中， ∴平面， 又∵平面， ∴平面平面，故④正确. ∴正确结论的序号是③④ 故答案为：③④. 12．如图，矩形 ，，， 分别是 ， 的中点，将平面 沿 折起，使得二面角 的大小为 ．在折起后形成的空间图形中，有如下 个结论：    ①平面平面； ②四边形是正方形； ③直线和所成角的正切值是． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②③ 【分析】根据面面垂直的判定定理、余弦定理以及二面角的概念求解即可. 【详解】    如图，设，则. 因为平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面，故①正确； 因为平面平面， 所以为二面角的平面角，即. 所以. 因为，所以平面，则. 又，且 ，所以四边形是正方形，故②正确； 连接，则. 又，因为，所以即直线与所成的角. 所以，故， 所以，即直线与所成角的正切值为，故③正确． 故答案为：①②③. 13．已知二面角的平面角是，在面内，于，，在面内，于，，，是棱上的一个动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】首先将空间问题转化为平面问题，得出当在一条直线时，有最小值，从而求出对角线的长即可. 【详解】将二面角平摊开来，如图，    则当在一条直线时，有最小值， 最小值为对角线的长， 而，，则， 且，则， 所以， 故答案为：. 14．如图所示，检查工件的相邻两个面是否垂直时，只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动，观察尺边是否和这个面密合就可以了，其原理是 . 【答案】面面垂直的判定定理 【分析】利用面面垂直的判定定理即可说明理由. 【详解】如图，设曲尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上由转动到，尺边和这个面密合, 因为，，，且， 根据线面垂直的判定定理，可得. 又，根据面面垂直的判定定理，可得. 所以原理是：面面垂直的判定定理. 故答案为：面面垂直的判定定理. 4、 解答题 15．如图所示，点是直角梯形所在平面外一点，平面，，，，，与底面成角，，求直线与平面所成的角. 【答案】 【分析】先证明平面，可得是与平面所成的角，根据条件解直角三角形，求得的大小. 【详解】平面，平面， 是与平面所成的角，， ，， 平面， 平面，是在平面上的投影， 是与平面所成的角， 平面，， ，，平面，平面， 平面，， 在中，，， ，， 所以直线与平面所成角为. 16．如图，已知在正四棱柱中，，E为的中点，求直线到平面的距离. 【答案】1 【分析】根据题意，连接交于点，连接作于点，交于点，结合三角形中位线定理和线面垂直的判定定理及性质定理，易得为的中点，且平面，结合解直角三角形，即可求得的长度，即可求解. 【详解】如图，连接交于点，连接 在正四棱柱中，四边形为正方形， 因为，所以， 又，所以， 作于点，交于点， 由为的中位线知，，且为的中点， 因为平面，平面，所以, 因为在正方形中，，又， 所以平面， 因为平面，所以 ， 因为平面，平面， 所以平面， 所以为直线到平面的距离， 又为等腰直角三角形， ， ， 即直线到平面的距离为1. 17．如图所示，正三棱柱底面边长是2，侧棱长是，是的中点. (1)求证：平面； (2)求二面角的大小； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). (3). 【分析】（1）根据线面平行判定定理求证. （2）先根据已知找到二面角的平面角，再求值. （3）先根据已知条件，找到线面所成角，再求值. 【详解】（1） 证明：如图所示，设与相交于点，连接，则为的中点， 因为为的中点，所以， 又因为平面，平面， 所以平面. （2）因为正三棱柱，所以平面， ∵平面， ∴， 又因为是正三角形，是中点， ∴， 又∵，平面， ∴平面， ∵平面， ∴， 所以就是二面角的平面角， 因为，， 所以，且， 则， 即二面角的大小是. （3）由（2）可知平面， ∵平面， 所以平面平面， 作于， ∵，平面 ∴， ∵，且平面， ∴平面， 连接，则就是直线与平面所成的角， 在中，，， 所以， 在矩形中，， 所以. 即直线与平面所成角的正弦值为. 18．已知，，，在，所在的平面内有一点，. (1)直线和直线，直线和直线所成的角各为多少度？ (2)的长度是多少？ 【答案】(1)均为. (2) 【分析】（1）根据线线垂直证明线面垂直，再根据线面垂直证明线线垂直. （2）在直角三角形中应用勾股定理求解. 【详解】（1）因为，，，，平面， 所以平面， 又平面，所以， 因为在平面内，所以， 所以直线和直线，直线和直线所成的角均为. （2）因为，，，所以在直角三角形中， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$