高教版《一课一练》第27练-直线与平面的位置关系-直线与平面所成的角 课后作业（原卷版+解析版）

编写说明：基于中职学生数学知识能力普遍薄弱的学情特点，我们始终坚持“以生为本”的教育理念，深度融合支架式教学理论，系统剖析近三年高考真题命题规律，匠心打造了契合湖北中职数学命题特色的数学《一课一练》（高教版）系列专辑，每章均配有章节测验。 本卷为高教版《数学》拓展模块第27练，内容是第四章立体几何4.3 直线与平面的位置关系-直线与平面所成的角。 高教版《数学》拓展模块上册 第27练 第四章 立体几何 4.3 直线与平面的位置关系-直线与平面所成的角 一课一练 1、 单选题 1．在正三棱锥中，已知，，则直线与平面所成角的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正三棱锥的顶点在底面的投影，找到线面角，然后利用三角函数定义求解即可. 【详解】在正三棱锥中，在底面等边中的投影为，且为等边的中心，如图：   平面，即直线与平面所成角为，， 由，所以在等边三角形中，， 所以，所以. 故选：B 2．在正方体中，对角线与平面所成角的正弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先找到对角线在平面内的射影，即可找到所求的线面角，再由边的关系求解即可. 【详解】连接的中点与的中点，连接， 在正方体中， 为正方体中心，为点在左侧面上的射影， 所以平面，因为平面，即， 又，，，平面， 所以平面，即在平面上的射影， 所以即与平面的夹角， 设正方体边长为， 在中， ，， 所以， 所以对角线与平面所成角的正弦值是. 故选：A. 3．在长方体中，与平面所成的角是，则长方体体积（   ） A．8 B． C． D． 【答案】C 【分析】这道题主要运用长方体的性质、线面角的定义及相关几何知识求解. 【详解】如图所示，连接平面， 为直角三角形， 又， 又， .    故选：C. 4．仓库的屋顶呈正四棱锥型，底面边长为 6，侧棱与底面所成角为，则该正四棱锥的高为（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定侧棱与底面所成的角，结合底面边长即可求出高. 【详解】如图，正四棱锥，为底面中心， 由题意知底面， 所以为侧棱与底面所成的角，即， 又底面边长为6，所以， 所以该正四棱锥的高， 故选：A． 5．若一个棱锥的各侧棱与底面所成的角都相等，那么这个棱锥一定是（   ）. A．正棱锥 B．各侧面都是等腰三角形的棱锥 C．顶点在底面射影是底面多边形内心的棱锥 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据正棱锥的概念与结构特征判断. 【详解】设棱锥的高为，一条侧棱为，其在底面的射影长为， 此侧棱与底面所成的角为，则． ∵各侧棱与底面所成的角相等，棱锥的高为定值， ∴可得所有侧棱长度相等，顶点在底面的射影到底面各顶点距离相等． A．正棱锥要求底面是正多边形且顶点在底面的射影是底面中心，但本题中底面多边形不一定是正多边形（例如底面可以是矩形但不是正方形）， 因此不一定是正棱锥，因此A不正确． B．如上所述，所有侧棱长度相等，则各侧面都是等腰三角形，因此B正确． C．内心是底面多边形内切圆的圆心（到各边距离相等）．但本题中顶点在底面的射影点是到底面各顶点距离相等的点（即外心），不一定是内心（除非底面是正多边形），因此C不正确． D．根据推理，可以确定棱锥满足选项B的特征，因此D不正确． 故选：B． 6．在三棱锥中，已知平面，若，则直线与平面所成的角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由图形找出直线与平面所成的角，再在直角三角形中利用三角函数求出角度即可. 【详解】 如图，因为平面，所以为直线与平面所成的角． 因为，所以， 平面，平面，则， 在中，， 因为，所以． 故选：D. 2、 多选题 7．已知正方体的棱长为2，、分别为棱和棱的中点，则下列四个结论正确的是（    ） A．直线与为异面直线 B．直线与所成的角为 C．直线与面所成的角为 D．到面的距离为 【答案】ACD 【分析】证明平面，即可判断A，连接、，则即为直线与所成的角，即可判断B，证明平面，又，所以即为直线与面所成的角，即可判断C，利用等体积法判断D. 【详解】对于A： 因为且，所以四边形为平行四边形， 所以，平面，平面，所以平面， 又，平面，所以直线与为异面直线，故A正确； 对于B：因为、分别为棱和棱的中点，连接、，则， 所以即为直线与所成的角，显然为等边三角形， 所以，即直线与所成的角为，故B错误； 对于C：连接、交于点，连接，由正方体的性质可得， 平面，平面，， 又，平面，所以平面， 又，所以即为直线与面所成的角， 在中，所以， 即直线与面所成的角为，故C正确； 对于D：设点到面的距离为，因为， 又，所以， 因为，所以，解得， 即点到面的距离为，故D正确； 故选：ACD. 8．如图，在棱长为2的正方体中，，，分别为，，的中点，则（    ）． A．直线与直线垂直 B．直线与平面平行 C．直线和夹角的余弦值为 D．点到平面的距离为 【答案】BCD 【分析】由与不垂直，所以直线与直线不垂直，可判定A不正确；取的中点，分别连接，根据面面平行的判定定理，得到平面平面，进而判定B正确；连接，把直线和所成的角即为直线和所成的角，在等边中，可判定C正确；根据等体积法，可判定D正确. 【详解】在棱长为2的正方体中，可得， 又由与不垂直，所以直线与直线不垂直，所以A不正确； 取的中点，分别连接， 可得，进而可得平面，平面， 根据面面平行的判定定理，可得平面平面， 又由平面，所以平面，所以B正确； 连接，可得，所以直线和所成的角即为直线和所成的角， 即，在等边中，可得， 即直线和所成的角的余弦值为，所以C正确； 设点到平面的距离为， 由， 在直角中，， 在直角中，， 在中，， 又在中，由余弦定理可得， 则， 所以的面积为， 因为，可得，可得， 即点到平面的距离为，所以D正确. 故选：BCD 3、 填空题 9．如图，已知，为在平面内的射影，在平面内，且，为直角三角形，，，则与平面所成的角的大小为 . 【答案】/ 【分析】首先找出线面角，再分析该角所在的三角形进行计算求解. 【详解】因为，为在平面内的射影，所以与平面所成的角为. 设，在中，，所以，. 又因为，平面，所以. 又，，且两直线在平面内，所以平面，又平面，所以. 在中，，，所以. 在中，，所以. 故答案为：. 10．矩形中，，，平面，且，那么点到的距离是 【答案】 【分析】根据题意作出图像，根据三垂线定理得出，结合勾股定理及三角形面积公式即可得解. 【详解】 根据题意作出图像，过点作交于点，连接， 因为平面，平面，所以，所以为在平面上的射影， 由三垂线定理可知，， 因为矩形中，，，， 因为，解得， 在中，， 故答案为：. 4、 解答题 11．如图，在正方体中， (1)求与平面所成的角； (2)求与平面所成的角． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据线面角的定义可知，是与平面所成的角，由正方体边的性质 可求解； （2）根据线面角的定义可知，连接交于点，连接，则是与平 面所成的角，再根据直角三角形的边长求解即可． 【详解】（1）在正方体中， 平面，则为在平面的射影， 就是与平面所成的角， 在中，， ， 与平面所成的角是． （2）连接交于点，连接． 在正方体中， 平面，平面， ， ， 平面， 平面， 就是与平面所成的角． 设正方体的棱长为1，则． 又， ， 又， ， 与平面所成的角是． 12．在正方体中，是棱的中点，求直线与平面所成的角的正弦值. 【答案】 【分析】取的中点，连接，，推理可得即为直线与平面所成的角，计算即可. 【详解】取的中点，连接，.因为是的中点，四边形为正方形， 所以.又在正方体中，平面， 所以平面，从而为直线在平面内的射影， 所以即为直线与平面所成的角. 设正方体的棱长为2，则，. 在中，， 即直线与平面所成的角的正弦值为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：基于中职学生数学知识能力普遍薄弱的学情特点，我们始终坚持“以生为本”的教育理念，深度融合支架式教学理论，系统剖析近三年高考真题命题规律，匠心打造了契合湖北中职数学命题特色的数学《一课一练》（高教版）系列专辑，每章均配有章节测验。 本卷为高教版《数学》拓展模块第27练，内容是第四章立体几何4.3 直线与平面的位置关系-直线与平面所成的角。 高教版《数学》拓展模块上册 第27练 第四章 立体几何 4.3 直线与平面的位置关系-直线与平面所成的角 一课一练 1、 单选题 1．在正三棱锥中，已知，，则直线与平面所成角的大小为（   ） A． B． C． D． 2．在正方体中，对角线与平面所成角的正弦值是（   ） A． B． C． D． 3．在长方体中，与平面所成的角是，则长方体体积（   ） A．8 B． C． D． 4．仓库的屋顶呈正四棱锥型，底面边长为 6，侧棱与底面所成角为，则该正四棱锥的高为（   ）. A． B． C． D． 5．若一个棱锥的各侧棱与底面所成的角都相等，那么这个棱锥一定是（   ）. A．正棱锥 B．各侧面都是等腰三角形的棱锥 C．顶点在底面射影是底面多边形内心的棱锥 D．无法确定 6．在三棱锥中，已知平面，若，则直线与平面所成的角为（   ） A． B． C． D． 2、 多选题 7．已知正方体的棱长为2，、分别为棱和棱的中点，则下列四个结论正确的是（    ） A．直线与为异面直线 B．直线与所成的角为 C．直线与面所成的角为 D．到面的距离为 8．如图，在棱长为2的正方体中，，，分别为，，的中点，则（    ）． A．直线与直线垂直 B．直线与平面平行 C．直线和夹角的余弦值为 D．点到平面的距离为 3、 填空题 9．如图，已知，为在平面内的射影，在平面内，且，为直角三角形，，，则与平面所成的角的大小为 . 10．矩形中，，，平面，且，那么点到的距离是 4、 解答题 11．如图，在正方体中， (1)求与平面所成的角； (2)求与平面所成的角． 12．在正方体中，是棱的中点，求直线与平面所成的角的正弦值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$