高教版《一课一练》第31练-立体几何测验 课后作业（原卷版+解析版）

编写说明：基于中职学生数学知识能力普遍薄弱的学情特点，我们始终坚持“以生为本”的教育理念，深度融合支架式教学理论，系统剖析近三年高考真题命题规律，匠心打造了契合福建中职数学命题特色的数学《一课一练》（高教版）系列专辑，每章均配有章节测验。 本卷为高教版《数学》拓展模块第31练，内容是第四章立体几何测验。 高教版《数学》拓展模块上册 第31练 第四章 立体几何 立体几何测验 一课一练 1、 单选题 1．直线平面，直线，则的位置关系是（   ） A．相交 B．异面 C．平行 D．垂直 【答案】D 【分析】根据题意，结合线面垂直的性质定理，即可求解. 【详解】因为直线平面， 由线面垂直的性质定理可知， 又直线，所以. 故选：D. 2．从圆柱的一个底面上任取一点（该点不在底圆周上），过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是（   ） A．相交 B．平行 C．异面 D．相交或平行 【答案】B 【分析】利用圆柱结构特征，结合直线与平面垂直性质得到答案. 【详解】因为圆柱的母线与底面垂直，且所作直线与圆柱底面垂直， 所以，由直线与平面垂直的性质定理可知， 这条垂线与圆柱的母线所在直线平行， 故选：B. 3．在二面角的一个平面内有一点，它到另一个平面的距离是10，则它到棱的距离是（   ） A． B． C． D．20 【答案】A 【分析】画出简图，结合三角函数关系即可求解. 【详解】如下图所示： 二面角为，点，点在平面内的射影点为， 过点在平面内作，垂足为点，连接， 因为，，则， 因为，，、平面，所以平面， 因为平面，则， 所以，二面角的平面角为，故. 因此，这个点到二面角的棱的距离为. 故选:A. 4．下列命题中，正确的是（   ） A．空间任意三点确定一个平面 B．两条垂直直线确定一个平面 C．一条直线和一点确定一个平面 D．两条平行直线确定一个平面 【答案】D 【分析】根据平面的性质逐项判断即可得解. 【详解】同一条直线上的三点不能确定一个平面，A项错误； 空间两条垂直直线可能异面，它们不能确定一个平面，B项错误； 直线和直线上一点不能确定一个平面，C项错误； 两条平行直线可以确定一个平面，D项正确． 故选：. 5．如图，在四面体中，若是的中点，则下列结论正确的是（   ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面，且平面平面 D．平面平面，且平面平面 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质，线面垂直，面面垂直的判定即可求解. 【详解】对C，因为，又是的中点，所以， 因为，又是的中点，所以， 因为，平面，平面， 所以平面． 因为平面，所以平面平面； 因为平面，所以平面平面；故C正确. 对A，因为由已知条件不可得到平面， 又由选项C可得，平面平面，平面平面， 所以由两个平面垂直的性质可得，平面不一定垂直平面，故A错误. 对B，当长度趋近于时，点D趋近于中点，则三棱锥趋近于平面图形， 所以平面平面结论不一定正确，故B错误. 对D，因为，又是的中点，所以， 因为，又是的中点，所以，又因为平面平面， 平面，平面，所以为平面的二面角， 因为条件有限，所以不一定为，则平面平面结论不一定正确，故D错误. 故选：C. 6．下列说法正确的是（   ） A．过空间两条直线有且只有一个平面 B．过空间三点有且只有一个平面 C．空间三个平面相交，三条交线只有一个公共点 D．过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面 【答案】D 【分析】根据平面的性质逐项判断即可得解. 【详解】过空间两条相交或平行直线有且只有一个平面，故选项错误； 过空间不共线的三点有且只有一个平面，故错误； 空间三个平面相交，三条交线可能互相平行，此时交线没有交点，故错误； 过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面，故正确， 故选：. 7．已知直线平面，直线平面，有下列四个命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则，其中，正确命题的序号是（   ） A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 【答案】C 【分析】根据题意，结合空间中线面关系、面面关系的判定定理和性质定理，即可判断求解. 【详解】因为直线平面，直线平面， [对于①中，若，则直线平面，所以，故①正确； 对于②中，若，直线l在内或者，则l与m的位置关系不确定，故②不正确； 对于③中，若，则直线，由面面垂直的判定定理，可得，故③正确； 对于④中，若，则或直线m在平面内，故与可能相交或平行，所以④不正确； 故命题①③正确. 故选：C. 8．已知在正四面体中，为的中点，则直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设正四面体的棱长为，取的中点，连结，，则，是与所成的角，由此能求出直线与所成角的余弦值. 【详解】如图，设正四面体的棱长为，取的中点，连接， 是的中点，，， 是直线与所成的角（或其补角）， 设的中点为，则， 在中，， ， 直线与所成角的余弦值为. 故选：C. 9．垂直于以为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B两点的任一点，则下列关系不正确的是（    ） A． B．平面 C． D． 【答案】C 【分析】根据线面垂直的性质和线面垂直的判定依次分析即可求解. 【详解】如图所示， 对于A选项，因为平面，平面，所以，故A选项正确； 对于B选项，因为，，，平面， 所以平面，故B选项正确； 对于C选项，若，又，，平面， 所以平面，又平面，得到， 这与直角三角形中，是锐角矛盾，故C选项错误； 对于D选项，因为平面，平面，所以，故D选项正确. 故选：C. 10．如图，在三棱锥中，平面，，，为的中点，则下列判断不正确的是（    ） A．平面 B． C．平面 D．平面 【答案】D 【分析】根据线面垂直的判定定理和性质即可求解. 【详解】对A：因为平面，平面，所以， 又因为，，平面， 所以平面，故A正确； 对C：由平面，由平面，则， 又因为，为的中点，所以， 因为，平面，从而平面，故C正确； 对B：因为平面，平面，所以，故B正确； 对D：在平面中，，所以与不垂直， 所以不垂直于平面，故D不正确. 故选：D. 2、 填空题 11．如图所示，平面，，图中有 个直角三角形，互相垂直的平面共有 对. 【答案】 4 3 【分析】根据线面垂直的性质以及面面垂直的判定定理求解即可. 【详解】因为平面，平面， 所以，所以，是直角三角形. 因为，是直角三角形. 因为平面，所以. 又因为平面，不属于平面，所以平面， 进而，即是直角三角形. 所以共4个直角三角形. 因为平面，平面，所以平面平面. 因为平面，平面，所以平面平面. 因为平面，平面，所以平面平面， 所以图中互相垂直的平面共有3对. 故答案为：4；3. 12．下列命题：①若直线a与平面有公共点，则称；②若，由；③若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则点A、B、C、D、E共面.其中正确的命题是 .（填写所有正确命题的序号） 【答案】② 【分析】根据平面的基本性质判断. 【详解】①错误，若直线a与平面有公共点，则a与相交或； ②正确，由公理3知，若，由，该命题正确； ③如图，两个相交平面有三个公共点A、B、C，但A、B、C、D、E不共面，故③错误. 故答案为：②. 13．给出下列说法：①不共面的四点中，任意三点不共线；②和同一条直线相交的两条直线在同一平面内；③三条两两相交的直线在同一平面内；④有三个不同公共点的两个平面重合；⑤依次首尾相接的四条线段不一定共面.其中正确的个数是 . 【答案】2 【分析】根据根据空间点、线、面的位置关系，逐一分析即可. 【详解】①不共面的四点中，任意三点不共线，正确； ②错误，因为在空间中，这两条直线可能是异面直线； ③错误，如正方体中，具有同一顶点的三条棱不在同一平面内； ④错误，三个不同的公共点可在两平面的交线上； ⑤如空间四边形的四条边，依次首尾相接的四条线段不一定共面，正确. 所以正确命题的个数为2. 故答案为：2. 14．如图，在正方体中， （1）AC和所成的角是 ；（2）AC和所成的角是 【答案】 【分析】（1）根据线面垂直的性质求解即可. （2）找到AC和D1C1所成的平面角，再求解即可. 【详解】（1）根据正方体的性质，平面. 因为平面，所以. 故AC和DD1所成的角是90°. （2）根据正方体的性质，， 所以是AC和所成的角（或其补角）. 根据正方形的性质，，即AC和所成的角. 故答案为：；. 3、 解答题 15．如图所示，点是直角梯形所在平面外一点，平面，，，，，与底面成角，，求直线与平面所成的角. 【答案】 【分析】先证明平面，可得是与平面所成的角，根据条件解直角三角形，求得的大小. 【详解】平面，平面， 是与平面所成的角，， ，， 平面， 平面，是在平面上的投影， 是与平面所成的角， 平面，， ，，平面，平面， 平面，， 在中，，， ，， 所以直线与平面所成角为. 16．如图，已知在正四棱柱中，，E为的中点，求直线到平面的距离. 【答案】1 【分析】根据题意，连接交于点，连接作于点，交于点，结合三角形中位线定理和线面垂直的判定定理及性质定理，易得为的中点，且平面，结合解直角三角形，即可求得的长度，即可求解. 【详解】如图，连接交于点，连接 在正四棱柱中，四边形为正方形， 因为，所以， 又，所以， 作于点，交于点， 由为的中位线知，，且为的中点， 因为平面，平面，所以, 因为在正方形中，，又， 所以平面， 因为平面，所以 ， 因为平面，平面， 所以平面， 所以为直线到平面的距离， 又为等腰直角三角形， ， ， 即直线到平面的距离为1. 17．如图所示，正三棱柱底面边长是2，侧棱长是，是的中点. (1)求证：平面； (2)求二面角的大小； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). (3). 【分析】（1）根据线面平行判定定理求证. （2）先根据已知找到二面角的平面角，再求值. （3）先根据已知条件，找到线面所成角，再求值. 【详解】（1） 证明：如图所示，设与相交于点，连接，则为的中点， 因为为的中点，所以， 又因为平面，平面， 所以平面. （2）因为正三棱柱，所以平面， ∵平面， ∴， 又因为是正三角形，是中点， ∴， 又∵，平面， ∴平面， ∵平面， ∴， 所以就是二面角的平面角， 因为，， 所以，且， 则， 即二面角的大小是. （3）由（2）可知平面， ∵平面， 所以平面平面， 作于， ∵，平面 ∴， ∵，且平面， ∴平面， 连接，则就是直线与平面所成的角， 在中，，， 所以， 在矩形中，， 所以. 即直线与平面所成角的正弦值为. 18．已知，，，在，所在的平面内有一点，. (1)直线和直线，直线和直线所成的角各为多少度？ (2)的长度是多少？ 【答案】(1)均为. (2) 【分析】（1）根据线线垂直证明线面垂直，再根据线面垂直证明线线垂直. （2）在直角三角形中应用勾股定理求解. 【详解】（1）因为，，，，平面， 所以平面， 又平面，所以， 因为在平面内，所以， 所以直线和直线，直线和直线所成的角均为. （2）因为，，，所以在直角三角形中， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：基于中职学生数学知识能力普遍薄弱的学情特点，我们始终坚持“以生为本”的教育理念，深度融合支架式教学理论，系统剖析近三年高考真题命题规律，匠心打造了契合福建中职数学命题特色的数学《一课一练》（高教版）系列专辑，每章均配有章节测验。 本卷为高教版《数学》拓展模块第31练，内容是第四章立体几何测验。 高教版《数学》拓展模块上册 第31练 第四章 立体几何 立体几何测验 一课一练 1、 单选题 1．直线平面，直线，则的位置关系是（   ） A．相交 B．异面 C．平行 D．垂直 2．从圆柱的一个底面上任取一点（该点不在底圆周上），过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是（   ） A．相交 B．平行 C．异面 D．相交或平行 3．在二面角的一个平面内有一点，它到另一个平面的距离是10，则它到棱的距离是（   ） A． B． C． D．20 4．下列命题中，正确的是（   ） A．空间任意三点确定一个平面 B．两条垂直直线确定一个平面 C．一条直线和一点确定一个平面 D．两条平行直线确定一个平面 5．如图，在四面体中，若是的中点，则下列结论正确的是（   ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面，且平面平面 D．平面平面，且平面平面 6．下列说法正确的是（   ） A．过空间两条直线有且只有一个平面 B．过空间三点有且只有一个平面 C．空间三个平面相交，三条交线只有一个公共点 D．过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面 7．已知直线平面，直线平面，有下列四个命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则，其中，正确命题的序号是（   ） A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 8．已知在正四面体中，为的中点，则直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 9．垂直于以为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B两点的任一点，则下列关系不正确的是（    ） A． B．平面 C． D． 10．如图，在三棱锥中，平面，，，为的中点，则下列判断不正确的是（    ） A．平面 B． C．平面 D．平面 2、 填空题 11．如图所示，平面，，图中有 个直角三角形，互相垂直的平面共有 对. 12．下列命题：①若直线a与平面有公共点，则称；②若，由；③若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则点A、B、C、D、E共面.其中正确的命题是 .（填写所有正确命题的序号） 13．给出下列说法：①不共面的四点中，任意三点不共线；②和同一条直线相交的两条直线在同一平面内；③三条两两相交的直线在同一平面内；④有三个不同公共点的两个平面重合；⑤依次首尾相接的四条线段不一定共面.其中正确的个数是 . 14．如图，在正方体中， （1）AC和所成的角是 ；（2）AC和所成的角是 3、 解答题 15．如图所示，点是直角梯形所在平面外一点，平面，，，，，与底面成角，，求直线与平面所成的角. 16．如图，已知在正四棱柱中，，E为的中点，求直线到平面的距离. 17．如图所示，正三棱柱底面边长是2，侧棱长是，是的中点. (1)求证：平面； (2)求二面角的大小； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 18．已知，，，在，所在的平面内有一点，. (1)直线和直线，直线和直线所成的角各为多少度？ (2)的长度是多少？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$