精品解析：2025年广西壮族自治区 贵港市港北区第二初级中学中考模拟预测数学试题

2025年春季学期6月份初中学业水平适应性检测 九年级数学 一．选择题（共12小题，每小题3分，共36分） 1. 若气温为零上记作，则表示气温为（ ） A. 零下 B. 零下 C. 零下 D. 零上 2. 下列几何图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 2025年3月18日，从山西大学光电研究所获悉，山西大学与多家单位合作，将DNA折纸二维晶格与二维范德华材料结合，构建出独特的二维软-硬物质界面．研究团队通过优化DNA折纸结构的设计参数，成功构建了尺寸达到级别的高质量DNA折纸二维晶格．数据用科学记数法表示为（ ） A B. C. D. 4. 如图是某几何体的表面展开后得到的平面图形，则该几何体是（ ） A. 三棱锥 B. 圆锥 C. 三棱柱 D. 长方体 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图是一个盛有水的倾斜水杯的截面图（矩形），杯中水面与桌面平行．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 一沙滩球网支架示意图如图所示，米，，则最高点A离地面的高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 8. 若点都在二次函数的图象上，则（ ） A B. C. D. 9. 如图，与是以点O为位似中心的位似图形，若，则与的面积比是（ ） A. B. C. D. 10. “绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则下面所列方程中正确的是（　　） A. B. C. D. 11. 如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于，两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，厘米．若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为（　　） A 1.0厘米/分 B. 0.8厘米/分 C. 1.2厘米/分 D. 1.4厘米/分 12. 如图，中，，，在x轴上，，点A在函数的图象上，将沿翻折，点B恰好落在此函数图象上的点D处，则k的值为（ ） A. B. C. D. 二．选择题（共4小题，每小题3分，共12分） 13. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是_________． 14. 已知甲、乙两名运动员10次标枪的平均成绩相同，标枪落点如图所示，则方差______（填“”“”或“”）． 15. 如图，在菱形中，按如下步骤作图：①以点为圆心，长为半径画弧，交边于点；②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点；③作射线交于点，连接．若，则的度数为__________． 16. 如图，矩形ABCD中，AD＝6，∠CAB＝30°，点P是线段AC上的动点，点Q是线段CD上的动点，则AQ+QP的最小值是_____． 三．解答题（本大题共7小题，共72分） 17. （1）计算：； （2）化简： 18. 如图，在平行四边形中，，垂足为点． （1）过点作，垂足为点，连接和．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）猜想与之间的数量关系，并说明理由． 19. 2025年是“十四五”规划收官之年，鄂尔多斯市某校对七、八年级的学生进行了党史学习宣传教育，其中七、八年级的学生各有500人．为了解该校七、八年级学生对党史知识的掌握情况，从七、八年级学生中各随机抽取15人进行党史知识测试，统计这部分学生的测试成绩（成绩均为整数，满分10分，8分及8分以上为优秀），相关数据统计，如图，整理如下： 七年级抽取学生的成绩：6，6，6，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10． 七、八年级抽取学生的测试成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 8 8 众数 a 7 中位数 8 b 八年级抽取学生的测试成绩条形统计图 （1）填空： __________， __________；请估计七、八年级学生对党史知识掌握能够达到优秀的总人数__________； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中，哪个年级学生党史知识掌握得较好？请说明理由（写出一条即可）； （3）现从七、八年级获得10分的4名学生中随机抽取2人参加党史知识竞赛，请用列表法或画树状图法，求出被选中的2人恰好是七、八年级各1人的概率． 20. 电子体重秤读数直观又便于携带，为人们带来了方便．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻，与踏板上人的质量m之间的函数关系式为（其中k，b为常数，），其图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为8伏，定值电阻的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的读数为，该读数可以换算为人的质量m．温馨提示：①导体两端的电压U，导体的电阻R，通过导体的电流I，满足关系式②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压． （1）求关于的函数解析式； （2）用含U0的代数式表示m； （3）若电压表量程为伏，为保护电压表，请确定该电子体重秤可称的最大质量． 21. 如图，在的边上取一点O，以O为圆心，为半径画，与边相切于点C，连接，平分． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 22. 综合与实践 【问题情境】 某数学兴趣小组开展数学活动，探索绳子垂下时形状的变化．如图1是一个伸缩扣，通过它可自由调节绳子的长度．如图2是一个单杠的示意图，，，单杠的高度，单杠的长为， 将一条带有伸缩扣的绳子两端系于单杠上的点E，F处 ，，绳子自然下垂时近似成抛物线形，此时绳子的最低点到地面的距离为， 抛物线记为． 兴趣小组以A点为原点建立如图3所示的平面直角坐标系．    （1）求抛物线 的函数表达式． （2）小明站在单杠下竖直向上伸手，手到地面的距离为， 此时刚好接触到绳子，求小明到立柱的距离． 【拓展探究】 兴趣小组将绳子两端E，F分别向A，D滑动，每次滑动距离均为， 直至绳子两端分别到达点A，D 处停止，滑动过程中通过调节绳子的长度保持抛物线的形状一致，依次得到抛物 线… … （3）当滑动第n次时，绳子的最低点与单杠的距离是多少？用含n 的代数式表示． （4）兴趣小组探究之间的特殊位置关系时，发现直线 与三条抛物线组成的图形只有三个交点，直接写出m的值． 23. 综合与实践 问题情境：在综合实践课上，老师要求同学们利用一副直角三角板和一张边长为10的正方形纸片，以“探究图形的性质”为主题开展数学活动，下面是同学们对相关问题的研究． 操作发现：如图1，点O为正方形内边的垂直平分线上一点，巧手小组将含有的直角三角板中角的顶点与O重合，角的两边与边交于M，N两点，调整三角板使得． （1）①判断的形状，并说明理由； ②如图2，善思小组将图1的三角板沿方向平移，点M，N，O的对应点分别为，，．当点与B重合时，若，直接写出平移的距离； 类比探究： （2）缜密小组将等腰直角三角板如图3放置，其中斜边的中点与正方形的顶点B重合，点F，G分别在边，上，点E在边的延长线上．将正方形纸片从图3的位置开始，绕点B逆时针方向旋转角度． ①在旋转过程中，当点F在正方形内部时，如图4，请判断线段，的数量关系和位置关系，并说明理由； ②已知，在旋转过程中，当时，过点A作的高交所在直线于点Q，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年春季学期6月份初中学业水平适应性检测 九年级数学 一．选择题（共12小题，每小题3分，共36分） 1. 若气温为零上记作，则表示气温为（ ） A. 零下 B. 零下 C. 零下 D. 零上 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查正数和负数，理解正负数是具有相反意义的量成为解题的关键． 根据正负数表示两种具有相反意义的量求解即可． 【详解】解：气温为零上记作，则表示气温为零下。 故选：B． 2. 下列几何图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意； C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； 故选：C． 3. 2025年3月18日，从山西大学光电研究所获悉，山西大学与多家单位合作，将DNA折纸二维晶格与二维范德华材料结合，构建出独特的二维软-硬物质界面．研究团队通过优化DNA折纸结构的设计参数，成功构建了尺寸达到级别的高质量DNA折纸二维晶格．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】解：数据用科学记数法表示为． 故选：C． 4. 如图是某几何体的表面展开后得到的平面图形，则该几何体是（ ） A. 三棱锥 B. 圆锥 C. 三棱柱 D. 长方体 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了常见几何体的展开图，掌握常见几何体展开图的特点是解题的关键． 根据平面图形的特点，结合立体图形的特点即可求解． 【详解】解：根据图示，上下是两个三角形，中间是长方形， ∴该几何体是三棱柱，   故选：C ． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了单项式乘以单项式、合并同类项、同底数幂的除法、负整数指数幂的性质，关键是熟练掌握整式的各种运算法则．利用合并同类项法则、单项式乘以单项式计算法则、同底数幂的除法计算法则、负整数指数幂的性质进行计算即可． 【详解】解：A、和不是同类项，不能合并，故此原题计算错误； B、，故此原题计算错误； C、，故此原题计算错误； D、，故此原题计算正确； 故选：D． 6. 如图是一个盛有水的倾斜水杯的截面图（矩形），杯中水面与桌面平行．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据平行线的性质可得到，结合和即可求得． 【详解】解：如图所示， 水杯的截面图为矩形， ，， ， ， ， ，， ． 故选：B． 7. 一沙滩球网支架示意图如图所示，米，，则最高点A离地面的高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的定义即可得到结论． 【详解】∵米，， ∴在中，，， 故选∶D 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，利用直角三角形的边角关系定理求得的长是解题的关键． 8. 若点都在二次函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识点，根据二次函数的解析式得出函数图象的对称轴是y轴（直线），图象的开口向上，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，再比较即可． 【详解】解∶ 二次函数的对称轴为y轴，开口向上， ∴当时， y随x的增大而增大， ∵点都在二次函数的图象上，且， ∴， 故选∶A． 9. 如图，与是以点O为位似中心的位似图形，若，则与的面积比是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查位似三角形，利用相似三角形的性质求解，根据两个位似三角形的相似比等于位似比，面积比等于相似比的平方，即可得出结果． 【详解】解：∵与是以点O为位似中心的位似图形，， ∴与的相似比为， ∴与的面积比为； 故选：D． 10. “绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则下面所列方程中正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合提前 30 天完成任务，即可得出关于x的分式方程． 【详解】解：设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则原来每天绿化的面积为万平方米， 依题意得：， 即． 故选C． 【点睛】考查了由实际问题抽象出分式方程．找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 11. 如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于，两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，厘米．若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为（　　） A. 1.0厘米/分 B. 0.8厘米/分 C. 1.2厘米/分 D. 1.4厘米/分 【答案】A 【解析】 【分析】设“图上”圆的圆心为，连接，过点作于，由垂径定理，即可求得的长，继而由勾股定理求得的长，又由太阳从所处位置到完全跳出海平面的时间为16分钟，即可求得“图上”太阳升起的速度． 【详解】解：设“图上”圆的圆心为，连接，过点作于，如图所示： 厘米， （厘米）， 厘米， （厘米）， 海平线以下部分的高度（厘米）， 太阳从所处位置到完全跳出海平面的时间为16分钟， “图上”太阳升起的速度（厘米/分）， 故选：A． 【点睛】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 12. 如图，中，，，在x轴上，，点A在函数的图象上，将沿翻折，点B恰好落在此函数图象上的点D处，则k的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点作轴于点，根据折叠的性质可得，，根据含角的直角三角形的性质可得和的长，设，则点，，根据点和点在同一个反比例函数的图象上，列方程，即可求解． 【详解】解：过点作轴于点，如图所示： ，， 根据折叠，可得，， ， ， ， 根据勾股定理，可得， ∵中，，，， ∴， 设， 则点，， 点和点在同一个反比例函数的图象上， ， 解得， ∴， ∴， 故选：C． 二．选择题（共4小题，每小题3分，共12分） 13. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解不等式，理解二次根式有意义的条件是关键． 根据二次根式有意义的条件列式，求不等式的解集即可． 【详解】解：式子在实数范围内有意义， ∴， 解得，， 故答案为： ． 14. 已知甲、乙两名运动员10次标枪的平均成绩相同，标枪落点如图所示，则方差______（填“”“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】根据方差的意义，通过观察甲、乙标枪落点的离散程度来判断方差大小．本题主要考查了方差的意义，熟练掌握方差反映数据离散程度，离散程度越大方差越大是解题的关键． 【详解】解：∵ 方差反映一组数据的离散程度，数据越离散，方差越大；甲的标枪落点更分散，乙的标枪落点更集中， ∴． 故答案为： ． 15. 如图，在菱形中，按如下步骤作图：①以点为圆心，的长为半径画弧，交边于点；②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点；③作射线交于点，连接．若，则的度数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是菱形的性质，作垂线，先证明，，可得，再结合，从而可得答案． 【详解】解：∵菱形， ∴，， ∵， ∴， 由作图可得：， ∴， 故答案为： 16. 如图，矩形ABCD中，AD＝6，∠CAB＝30°，点P是线段AC上的动点，点Q是线段CD上的动点，则AQ+QP的最小值是_____． 【答案】6 【解析】 【分析】首先根据题意作A关于直线CD的对称点E，作EP⊥AC于P，交CD于点Q，再根据三角函数计算即可. 【详解】 解：作点A关于直线CD的对称点E，作EP⊥AC于P，交CD于点Q． ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC＝90°， ∴DQ⊥AE， ∵DE＝AD， ∴QE＝QA， ∴QA+QP＝QE+QP＝EP， ∴此时QA+QP最短（垂线段最短）， ∵∠CAB＝30°， ∴∠DAC＝60°， 在RT△APE中，∵∠APE＝90°，AE＝2AD＝12， ∴EP＝AE•sin60°＝12× ＝6 ． 故答案为6． 【点睛】本题主要考查最短线段问题和三角函数的计算，关键在于做辅助线,构造直角三角形. 三．解答题（本大题共7小题，共72分） 17. （1）计算：； （2）化简： 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算、分式的混合运算等知识点，灵活运用相关知识点成为解题的关键． （1）先算乘方，然后再运用有理数四则混合运算法则计算即可； （2）直接运用分式的混合运算法则计算即可． 【详解】解：（1） ． （2） ． 18. 如图，在平行四边形中，，垂足为点． （1）过点作，垂足为点，连接和．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见详解 （2），理由见详解 【解析】 【分析】本题考查了作垂线；平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等知识，解题的关键是利用全等三角形解决问题． （1）根据题意，过点作，垂足为点，连接和； （2）根据平行四边形的性质得到，证明，，即可得到四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质，即可得证． 【小问1详解】 解：如图，，，为所求； 【小问2详解】 ； 理由：，， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， 四边形是平行四边形， ． 19. 2025年是“十四五”规划收官之年，鄂尔多斯市某校对七、八年级的学生进行了党史学习宣传教育，其中七、八年级的学生各有500人．为了解该校七、八年级学生对党史知识的掌握情况，从七、八年级学生中各随机抽取15人进行党史知识测试，统计这部分学生的测试成绩（成绩均为整数，满分10分，8分及8分以上为优秀），相关数据统计，如图，整理如下： 七年级抽取学生的成绩：6，6，6，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10． 七、八年级抽取学生的测试成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 8 8 众数 a 7 中位数 8 b 八年级抽取学生的测试成绩条形统计图 （1）填空： __________， __________；请估计七、八年级学生对党史知识掌握能够达到优秀总人数__________； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中，哪个年级的学生党史知识掌握得较好？请说明理由（写出一条即可）； （3）现从七、八年级获得10分的4名学生中随机抽取2人参加党史知识竞赛，请用列表法或画树状图法，求出被选中的2人恰好是七、八年级各1人的概率． 【答案】（1）8，7，700 （2）七年级学生的党史掌握较好，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法、条形统计图、统计表、中位数、众数等知识． （1）由众数和中位数的定义求解即可；由七、八年级的总人数乘以两个年级优秀人数所占的百分比，即可求解； （2）七、八年级的平均数和中位数相同，七年级的优秀率大于八年级的优秀率，即可求解； （3）画树状图，共有12种等可能的结果，被选中的2人恰好是七、八年级各1人的结果有6种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：七年级学生有6人得8分，出现人数最多， ∴； 八年级学生的测试成绩位于第8位的是8， ∴； 人， 即估计七、八年级学生对党史知识掌握能够达到优秀的总人数为700人； 故答案为：8，7，700； 【小问2详解】 解：通过数据对比发现，平均数和中位数两个年级相同， 方法一：因为七年级的众数8大于八年级的众数7，所以七年级学生党史知识掌握较好； 方法二：从优秀率来看，七年级的优秀率占，八年级的优秀率占，所以七年级学生的党史掌握较好； 【小问3详解】 解：由统计图表可知：七年级获得10分的有1人，八年级获得10分的有3人，画树状图如下： 一共有12种等可能的结果，其中被选中的2人恰好是七、八年级各1人的结果有6种可能， ∴被选中的2人恰好是七、八年级各1人的概率为． 20. 电子体重秤读数直观又便于携带，为人们带来了方便．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻，与踏板上人的质量m之间的函数关系式为（其中k，b为常数，），其图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为8伏，定值电阻的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的读数为，该读数可以换算为人的质量m．温馨提示：①导体两端的电压U，导体的电阻R，通过导体的电流I，满足关系式②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压． （1）求关于的函数解析式； （2）用含U0的代数式表示m； （3）若电压表量程为伏，为保护电压表，请确定该电子体重秤可称的最大质量． 【答案】（1） （2） （3）115千克 【解析】 【分析】本题以物理中的电路问题为背景，考查了学生对于求解一次函数和反比例函数关系式的掌握情况，解题的关键是先要求找出两个要求量之间的等量关系，然后化简为要求的表达式，转化过程中需要注意无关量的消去，一般情况下都是用代入法消元来解决这一问题的．第（4）问除应用反比例函数的增减性解题外，也可以将与的关系式转化为关于的不等式，再代入中，求出电子体重秤可称的最大质量． （1）通过串联电路中电流处处相等和可以列出等量关系，然后再化简为关于的函数解析式； （2）先利用待定系数法求出，，把第（1）问求出的与的函数解析式代入第（2）中的与的关系式中消去，然后变形； （3）利用第（3）问中与的关系式，结合和关于的增减性，得出电子体重秤可称的最大质量． 【小问1详解】 解：由题意得：可变电阻两端的电压电源电压电表电压， 即：可变电阻电压， ，可变电阻和定值电阻的电流大小相等， ． 化简得：， ， ． 【小问2详解】 解：将，代入， 得：， 解得：． ， 将代入， 得：， 化简得：； 【小问3详解】 解：中，且， 随的增大而增大， 取最大值6的时候，（千克）． 21. 如图，在的边上取一点O，以O为圆心，为半径画，与边相切于点C，连接，平分． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）过点O作于点D，，由切线性质可得，由证得，可得，由切线的判定可得结论； （2）由锐角三角函数可得，由勾股定理可求，设的半径为r，再由勾股定理列方程可求解． 【小问1详解】 证明：过点O作于点D， 则， ∵与边相切于点C， ∴，即， ∵平分， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵是半径， ∴是半径， ∵， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：中，， ∵ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设的半径为r，则 在中，， ∵， ∴， ∴ ∴的半径为 【点睛】本题是考查了切线的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，熟记切线的判定定理及锐角三角函数是解本题的关键． 22. 综合与实践 【问题情境】 某数学兴趣小组开展数学活动，探索绳子垂下时形状的变化．如图1是一个伸缩扣，通过它可自由调节绳子的长度．如图2是一个单杠的示意图，，，单杠的高度，单杠的长为， 将一条带有伸缩扣的绳子两端系于单杠上的点E，F处 ，，绳子自然下垂时近似成抛物线形，此时绳子的最低点到地面的距离为， 抛物线记为． 兴趣小组以A点为原点建立如图3所示的平面直角坐标系．    （1）求抛物线 的函数表达式． （2）小明站在单杠下竖直向上伸手，手到地面的距离为， 此时刚好接触到绳子，求小明到立柱的距离． 【拓展探究】 兴趣小组将绳子两端E，F分别向A，D滑动，每次滑动距离均为， 直至绳子两端分别到达点A，D 处停止，滑动过程中通过调节绳子的长度保持抛物线的形状一致，依次得到抛物 线… … （3）当滑动第n次时，绳子的最低点与单杠的距离是多少？用含n 的代数式表示． （4）兴趣小组探究之间的特殊位置关系时，发现直线 与三条抛物线组成的图形只有三个交点，直接写出m的值． 【答案】（1）；（2）或（3）；（4） 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质． （1）根据待定系数法求解即可； （2）将代入求解即可； （3）根据题意设抛物线的解析式为，再代入求解即可． （4）首先求出，然后分别转化成顶点式求出顶点坐标，进而求解即可． 【详解】解：（1）根据题意可得，即，， 抛物线的顶点坐标为， ∴可设抛物线的解析式为， 将点代入可得，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）将代入可得，， 解得：， 故小明到立柱的距离是或． （3）根据题意设抛物线的解析式为 ∴当时，， ∴绳子的最低点与单杠的距离为． （4）根据题意可得直线 与三条抛物线组成的图形只有三个交点， ，， ∴的顶点为， ∴直线与只有三个交点． ∴． 23. 综合与实践 问题情境：在综合实践课上，老师要求同学们利用一副直角三角板和一张边长为10的正方形纸片，以“探究图形的性质”为主题开展数学活动，下面是同学们对相关问题的研究． 操作发现：如图1，点O为正方形内边的垂直平分线上一点，巧手小组将含有的直角三角板中角的顶点与O重合，角的两边与边交于M，N两点，调整三角板使得． （1）①判断的形状，并说明理由； ②如图2，善思小组将图1的三角板沿方向平移，点M，N，O的对应点分别为，，．当点与B重合时，若，直接写出平移的距离； 类比探究： （2）缜密小组将等腰直角三角板如图3放置，其中斜边的中点与正方形的顶点B重合，点F，G分别在边，上，点E在边的延长线上．将正方形纸片从图3的位置开始，绕点B逆时针方向旋转角度． ①在旋转过程中，当点F在正方形内部时，如图4，请判断线段，的数量关系和位置关系，并说明理由； ②已知，在旋转过程中，当时，过点A作的高交所在直线于点Q，请直接写出的长． 【答案】（1）①等边三角形，见解析；②4；（2）①线段，的数量关系和位置关系分为，；②2或10 【解析】 【分析】（1）①连接，，得到，结合，判定是等边三角形． ②根据，，计算得到，结合是等边三角形，得到，从而得到，故平移的距离为4． （2）①延长交于点Q，交于点M，证明，再利用垂直的定义证明，即可得到． ②过点F作于点Q，根据题意，得四边形是矩形，过点F作于点T，根据题意，得四边形是矩形，分两种情况，利用勾股定理建立方程解答即可． 【详解】（1）①解：是等边三角形，理由如下： 连接， ∵点O为正方形内边的垂直平分线上一点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形． ②解：∵，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 故平移的距离为4． （2）①解：线段，的数量关系和位置关系分为，．理由如下： 延长交于点Q，交于点M， ∵四边形正方形， ∴，， ∵等腰直角三角板，其中斜边中点与正方形的顶点B重合，点F，G分别在边，上，点E在边的延长线上． ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴；， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ②解：过点F作于点Q，根据题意，得四边形是矩形， ∴，； ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵，， ∴，， ∴， 解得， ∴， ∴； 过点F作于点T，根据题意，得四边形是矩形， ∴，； ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵，， ∴，， ∴， 解得， ∴， ∴； 综上所述，的长为2或10． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，平移与旋转，等腰直角三角形的性质，熟练掌握这些性质和定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$