精品解析：2025年山西省怀仁市第四中学九年级数学中考模拟试卷

2025年山西省中考信息冲刺卷·压轴与预测（二） 数学 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确答案的序号在答题卡上涂黑） 1. 山西省2025年初中学业水平体育考试所用排球为室内排球5号球（质量260g至280g）．如图，以270g为标准质量，检测了四个排球的质量，超过标准质量的克数记作正数，不足标准质量的克数记作负数．其中最接近标准质量的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的实际意义，掌握绝对值的意义解题的关键．根据绝对值的意义，即可解题． 【详解】解：，，，， ， 的排球最接近质量标准． 故选：A． 2. 如图所示是文档编辑时，“自选图形”中常用的四种箭头样式，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、该图形轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意； C、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：B． 3. 计算的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查分式的约分化简，将分子分解因式，约去相同因式即可化简，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：， 故选：B． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，单项式乘以单项式，积的乘方等，由单项式乘以多项式法则，单项式乘以单项式法则，积的乘方公式进行运算，逐一判断，即可求解． 【详解】解：A. ，选项原计算错误，故不符合题意； B.，选项原计算错误，故不符合题意； C.，选项原计算错误，故不符合题意； D.，选项原计算正确，故符合题意； 故选：D． 5. 将一束平行光射向凸透镜，得到如图所示的光路图．已知，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．如图，连接，求出可得结论． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 6. 执行“国补”政策以来，家电销售市场回暖，某品牌一级能效空调进价为每台元，标价为每台元．五一期间，商场为了答谢顾客，进行打折促销活动，但是要保证利润率不低于，则最多可打（ ） A. 六折 B. 七折 C. 八折 D. 九折 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用一元一次不等式解决打折销售问题，解题关键是准确列出不等式． 设最多可打折，列出一元一次不等式求解． 【详解】解：设最多可打折， 则， 解得：， 所以最多可打八折， 故选：C． 7. 如图所示是中国邮政于2025年3月14日发行的《数学之美》的邮票，主题包括圆周率、勾股定理、欧拉公式和莫比乌斯带，邮票除图案外其他均相同．将这4张邮票背面朝上，洗匀后放在桌面上．从中随机抽出2张邮票（不放回），抽到的邮票主题是圆周率和勾股定理的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查的是用树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 画树状图，共有12种等可能的结果，其中抽到的两枚邮票恰好是“圆周率”和“勾股定理”的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：把邮票图案分别为“圆周率”“勾股定理”“欧拉公式”“莫比乌斯带”的4张邮票分别记为A、B、C、D， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中抽到的两枚邮票恰好是“圆周率”和“勾股定理”的结果有2种，即， 抽到的邮票主题是“圆周率”和“勾股定理”的概率为， 故选：D． 8. 某学校组织了“学宪法，用宪法”知识竞赛，在必答题环节，共设10道选择题，各题分值相同．下表记录了3名参赛者该环节的得分情况： 参赛者 答对题数 答错题数 得分 甲 4 6 10 乙 10 0 100 丙 5 5 25 已知参赛者丁得了70分，则他答对题数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据乙、丙的答题及得分情况，可求出答对一题得10分，答错一题倒扣5分，设参赛者丁答对x道题，则答错道题，利用得分情况可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：∵ ， ∴答对一题得10分，答错一题倒扣5分． 设参赛者丁答对x道题，则答错道题， 根据题意得， 解得， ∴参赛者丁答对8道题． 故选：C． 9. 如图，函数与的图象相交于两点，当时，x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合；把代入中，求出，再结合图象，找出一次函数图象在反比例函数图象上的x的取值范围即可求出． 【详解】解：根据题意，把代入中， 得， 解得：， 当时，结合图象得到， 故选：A． 10. 如图，在中，，点O在上，以点O为圆心，长为半径的与相切于点A，与相交于点D，则的长为（ ） A. 6 B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了切线的性质、勾股定理、圆周角定理、含角的直角三角形的性质等知识，证明是解题的关键．连接，求出,得到，由，解得（负值已舍去），即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵以点O为圆心，长为半径的与相切于点A， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴， ∴ ∴, ∴， ∵， ∴ 解得（负值已舍去） ∴， ∴ 故选：B 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确运用乘法公式是解题关键．先提取公因式，再利用平方差公式计算得出答案． 【详解】解： 故答案为：． 12. 如图，在边长均为1的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的三个顶点均在格点（网格线的交点）上，点A的坐标为．以原点O为位似中心，在第四象限画，使它与的相似比为2，则点B的对应点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与位似，根据以原点为位似中心的对应点的坐标特点，两个坐标的横坐标的比值的绝对值，以及纵坐标的比值的绝对值均为位似比，进行求解即可． 【详解】解：由图可知：， ∵以原点O为位似中心，在第四象限画，使它与的相似比为2， ∴两个三角形的位似比为2， ∴，即：； 故答案为：． 13. 如图所示是由一些火柴摆成的图案：摆第1个图案用了15根火柴，摆第2个图案用了22根火柴，摆第3个图案用了29根火柴……按照这种方式摆下去，摆第n（n为正整数）个图案需要用的火柴是______根． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了图形的变化规律，解决本题的关键是观察图形的变化寻找规律．根据图形的变化情况写出每个图形需要的火柴棒数，从而得出规律，写出一般式即可求解． 【详解】解：观察图形，得 摆第1个图案用了15根火柴，即， 摆第2个图案用了22根火柴，即， 摆第3个图案用了29根火柴，即， 则摆第n个图案需要用根火柴． 故答案为：． 14. 某校根据实际需要购置一批光学显微镜，已知在实体店购买这种显微镜比网上购买每台价格多81元，用21900元在网上购买的数量比在实体店购买的数量多27台．设在网上购买这种显微镜的价格为每台x元，则可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的应用，由解题的关键读懂题意列出分式方程，设在网上购买这种显微镜的价格为每台x元，则在实体店购买这种显微镜的价格为元，根据用21900元在网上购买的数量比在实体店购买的数量多27台列出方程即可． 【详解】解：设在网上购买这种显微镜的价格为每台x元，则在实体店购买这种显微镜的价格为元， 由题意得：， 故答案为：． 15. 如图，在中，，，点D，E分别在，上，且，若，，则的长度是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形．过点C作交的延长线于F，判定是等腰直角三角形，得到，判定，推出，求出，判定，得到，即可求出的长． 【详解】解：过点C作交的延长线于F， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】此题考查实数的混合运算，解一元二次方程： （1）先计算乘方，负整数指数幂，再计算乘法，最后计算减法； （2）利用公式法解方程． 【详解】（1）解：原式． （2）解：． ． ． ． 17. 如图，E为的边上一点，，的延长线和的延长线相交于点． （1）实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法） ①作的垂直平分线分别交，于点，； ②连接． （2）求证：． 【答案】（1）①见解析；②见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图—复杂作图，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定，平行四边形的性质，解题的关键是掌握作图方法解决问题． （1）根据要求作出图形即可； （2）通过平行四边形的性质，以及垂直平分线的性质进行倒角，利用证明三角形全等即可． 【小问1详解】 解：①如图所示，即为所求． ②如图所示，连接，． 【小问2详解】 证明：如图，是的垂直平分线， ． ． 四边形平行四边形， ． ，． ， ． ，即． ，， ． ． 18. 每年年终，居民个人需要汇总上年度本人全年应纳税所得额，进行综合年度汇算，依法纳税．下表是2025年我国现行个人所得税税率表（1至4级部分） 个人所得税税率表（综合所得适用） 级数 全年应纳税所得额 税率 速算扣除数 1 不超过36000元的 3 0 2 超过36000元至144000元的 10 2520 3 超过144000元至300000元的 20 16920 4 超过300000元至420000元的 25 31920 计算公式：应纳税额全年应纳税所得额×适用税率速算扣除数． 设个人全年应纳税所得额为x元，应缴纳税款为y元． （1）若张师傅纳税适用级数为2级，请写出y关于x的函数表达式； （2）已知李师傅纳税2575.71元，他全年应纳税所得额是多少元？ 【答案】（1） （2）50957.1元 【解析】 【分析】此题考查一次函数的应用，理解题意并根据计算公式写出函数关系式是解题的关键： （1）根据计算公式计算即可； （2）先判断李师傅纳税使用级数，再根据对应级数y关于x的函数表达式，当时，求出对应的x的值即可 【小问1详解】 解：， ∴y关于x的函数表达式为． 【小问2详解】 解：因为根据李师傅纳税2575.71元，， 所以李师傅纳税适用级数为2级，关于的函数表达式为． 当时，． 解得． 答：李师傅全年应纳税所得额是50957.1元． 19. 年月日，以“培育读书风尚建设文化强国”为主题的第四届全民阅读大会在山西太原启动．大会以后，某校举办了“让快乐与阅读同行，让智慧伴科技共生”整本书阅读知识竞赛．该校运用智能平台完成全员线上初赛后，最终选拔七年级名学生和八年级名学生进行决赛．现从七、八年级参赛学生中各随机抽取名学生的初赛成绩整理分析如下：（单位：分） 信息，七年级学生成绩为：； 信息，八年级学生成绩用表示，共分成四组：．，．，．，．．抽取学生初赛成绩扇形统计图如图所示； 信息，八年级名学生成绩在组的数据是：； 信息，七、八年级抽取的学生成绩统计表如下． 年级 平均数 中位数 众数 七年级 八年级 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中______，最小值为______，______， （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级随机抽取的名学生的初赛成绩中，哪个年级更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若学生成绩为优秀，根据以上信息，估计最终选拔的七、八年级进行决赛的学生中，初赛优秀人数共有______人． 【答案】（1），， （2）八年级成绩更好，理由见解析（答案不唯一，合理即可） （3） 【解析】 【分析】（）根据扇形统计图可求出的值，进而根据中位数和众数的定义可求出和的值； （）根据平均数和中位数的意义判断即可； （）用样本估计总体的方法，分别求出七、八年级初赛优秀人数，再相加即可求解； 本题考查了扇形统计图，平均数、中位数和众数，样本估计总体，看懂题意是解题的关键． 【小问1详解】 解：由扇形统计图可得，， ∴， ∴八年级名学生成绩在组的人数有（人）， ∵八年级名学生成绩在组的数据是：， ∴八年级名学生成绩由高到低排列，第名学生的成绩为，第名学生的成绩在组， 当第名学生的成绩取分时，中位数取最小值为， ∵， ∵八年级名学生成绩在组和组的人数各为人， ∴众数， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：八年级成绩更好，理由如下： 因为平均数相同的情况下，八年级的中位数较高，所以八年级成绩更好； 【小问3详解】 解：∵， ∴估计最终选拔的七、八年级进行决赛的学生中，初赛优秀人数共有人， 故答案为：． 20. 某科学实验小组用如图1所示的装置做小球摆动实验，进行如下操作： ①用一条不可伸长的细线固定一个金属小球，将细线的上端固定于点O； ②测出悬点O到水平地面l的距离为； ③打开光源，测出小球静止时在竖直墙面上的投影中心到地面的高度为； ④将小球拉开一个角度，然后由静止释放． 实验说明：如图2所示，于点A，点B在上，，，将小球拉开一个角度，然后由静止释放后，小球可摆动到点C处，于点D（点O，A，B，C，D在同一平面内）． 问题解决：当时，求点C到水平地面l的距离．（结果精确到．参考数据：，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，矩形的判定与性质，利用辅助线构建直角三角形是解题的关键．先求解，过点作，垂足为，然后在中，根据，求得，从而得到，易证四边形为矩形，即可求解． 【详解】解：根据题意可知，， ∵，， ∴． 如图，过点作，垂足为， ． 在中，． ． ， ． 四边形为矩形， ． 答：点到水平地面的距离约为． 21. 阅读与思考 下面是小宇的一篇数学日记（部分），请仔细阅读，并完成相应的任务． 2025年5月4日 星期日 中线定理 今天，我在浏览网页时，发现了一个重要词条——中线定理．该词条由《中国科技信息》杂志社参与编辑并审核，经科普中国·科学百科认证． 阅读该词条后，将理解内容记录如下： 中线定理可理解为：三角形两边的平方和等于第三边的一半与第三边上的中线的平方和的两倍． 如图1，在中，D为的中点，可得． 下面是该定理的证明过程： 证明：如图1，过点A作于点E． 在中，， 同理可得，，． 为证明方便，不妨设，， =…… 我有如下思考：将图1中的以点D为旋转中心旋转，可得到一个平行四边形，通过探究，得出一个猜想“平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和”…… 任务： （1）阅读材料中给出的证明过程依据的定理是______； （2）如图2，在中，和相交于点O，求证：； （3）如图3，已知内接于，P为内一点，若，，请直接写出的值． 【答案】（1）勾股定理 （2）见解析 （3）65 【解析】 【分析】（1）根据题意填空结论； （2）根据平行四边形的性质和中线定理即可得到结论； （3）根据平行四边形的性质得到，根据圆内接四边形的性质得到，求得，根据矩形的判定定理得到四边形ABCD是矩形，推出AC，BD是直径，连接AC，BD交于O，连接根据矩形的性质和中线定理得到结论． 【小问1详解】 解：阅读材料中给出的证明过程依据的定理是勾股定理， 故答案为：勾股定理； 【小问2详解】 证明：四边形是平行四边形， ，， ∵在中，是中线， ∴由中线定理得，， ∵在中，是中线， 由中线定理得，， ； 【小问3详解】 解：四边形是平行四边形， ， ∵内接于， ， ， 是矩形， 连接，交于O，连接 是矩形， ，，， 根据中线定理，得， 【点睛】本题是圆的综合题，考查了平行四边形的性质，勾股定理，圆内接四边形的性质，平行四边形的性质，矩形的判定和性质，熟练掌握中线定理是解题的关键． 22. 综合与实践 问题情境： 某布艺玩具厂生产一批玩具时，剩下一批直角三角形废料，为了废料再利用，需将这些废料剪成矩形布料，综合实践活动小组的同学对布料的一种剪法进行了探究． 剪法：三角形废料如图1所示，，用这块废料剪出一个矩形，其中点D，E，F分别在上，使能够剪出的矩形的面积最大． 特例探究： 博学小组：如图1所示，．设，矩形的面积为y（单位：）．剪切并得出以下数据： x/cm … 1 2 3 4 … y/ … 4 6 6 4 … 数据分析： 小组同学根据表中数据，建立平面直角坐标系，画图分析（如图2），得出了一些结论…… 问题解决： （1）博学小组剪布料问题中，当______cm时，能够使剪出的矩形的面积最大，y关于x的函数表达式为______（不要求写x的取值范围）； （2）选择一块特殊废料如图3所示，．当______cm时，能够使剪出的矩形的面积最大； 建模分析： （3）如图4所示，若（其中a，b，c为常数），． 设，当矩形的面积y取最大值时，求的长（用含常数的代数式表示）． 【答案】（1）； ；（2）；（3）矩形面积取最大值时，的长为 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，判断出用自变量表示的 的长度是解决本题的关键． (1)根据表格中的数据可得抛物线的对称轴，根据函数图象可得抛物线的开口方向，那么可得当长为多少时，矩形的面积最大，长，根据等腰直角三角形和矩形的性质得到 的长度，即可得到y与x的关系式； (2)设，则， 得到用k表示的矩形的面积，进而根据二次函数的性质可得当k的值为多少时，矩形的面积最大，即可得到此时的值； (3)用含x的代数式表示出的长，进而可得长，那么可得用x表示的矩形的面积，进而根据二次函数的性质可得当x的值为多少时，矩形的面积最大，即可得到此时的值． 【详解】解：（1） 由题意得y是x的二次函数，二次函数的开口向下， ∵二次函数过， ∴当时，y最大， 当时，能够使剪出的矩形的面积最大， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为； (2)∵， ∴， 设，则， ∴， ∴ ， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，矩形的面积最大， ∴， 故答案为； (3)∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，矩形的面积y取最大值， ∴． 故答案为：． 23. 综合与探究 问题情境： 如图，在矩形中，，，是边上的一个动点（不与点，重合），把沿着折叠后，点落在点处． 操作发现： （1）如图，当时，试判断的形状，并说明理由； （2）如图，当时，求BP的长； 深入探究： （3）如图，过点作直线，垂足为，连接，在点运动的过程中，若，请探究，并直接写出所有符合题意的的长度． 【答案】 （1）当时，是等腰直角三角形，见解析； （2）的长为； （3）的长度为或4cm． 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质，可得，，可得，，即可得的形状； （2）证明，由相似三角形的性质，可得的长； （3）分两种情况讨论，先证由点，点，点，点所构成的四边形是平行四边形，由勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：当时，是等腰直角三角形． 理由如下： ∵，， ∴． ∵四边形是矩形， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵沿着折叠， ∴， ∴， ∴，， ∴． ∴是等腰直角三角形． （2）解：由折叠可得， ∵， ∴． ∴，，三点在同一条直线上， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， 解得，． ∴的长为． （3）解：∵沿着折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴四边形是平行四边形， 分两种情况： 情况，如图，当点在的延长线上时，连接交的延长线于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴ 在中，， ∴， ∴， 情况，如图，当点在上时，连接交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵，， ∴ ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴，即点与点重合（如图）， 答：的长度为或4cm． 【点睛】本题考查折叠的性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用分类讨论思想解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年山西省中考信息冲刺卷·压轴与预测（二） 数学 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确答案的序号在答题卡上涂黑） 1. 山西省2025年初中学业水平体育考试所用排球为室内排球5号球（质量260g至280g）．如图，以270g为标准质量，检测了四个排球的质量，超过标准质量的克数记作正数，不足标准质量的克数记作负数．其中最接近标准质量的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示是文档编辑时，“自选图形”中常用的四种箭头样式，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 计算的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 将一束平行光射向凸透镜，得到如图所示的光路图．已知，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 执行“国补”政策以来，家电销售市场回暖，某品牌一级能效空调进价为每台元，标价为每台元．五一期间，商场为了答谢顾客，进行打折促销活动，但要保证利润率不低于，则最多可打（ ） A. 六折 B. 七折 C. 八折 D. 九折 7. 如图所示是中国邮政于2025年3月14日发行的《数学之美》的邮票，主题包括圆周率、勾股定理、欧拉公式和莫比乌斯带，邮票除图案外其他均相同．将这4张邮票背面朝上，洗匀后放在桌面上．从中随机抽出2张邮票（不放回），抽到的邮票主题是圆周率和勾股定理的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 某学校组织了“学宪法，用宪法”知识竞赛，在必答题环节，共设10道选择题，各题分值相同．下表记录了3名参赛者该环节的得分情况： 参赛者 答对题数 答错题数 得分 甲 4 6 10 乙 10 0 100 丙 5 5 25 已知参赛者丁得了70分，则他答对的题数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 9. 如图，函数与的图象相交于两点，当时，x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，点O在上，以点O为圆心，长为半径的与相切于点A，与相交于点D，则的长为（ ） A. 6 B. 4 C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：______． 12. 如图，在边长均为1的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的三个顶点均在格点（网格线的交点）上，点A的坐标为．以原点O为位似中心，在第四象限画，使它与的相似比为2，则点B的对应点的坐标是______． 13. 如图所示是由一些火柴摆成的图案：摆第1个图案用了15根火柴，摆第2个图案用了22根火柴，摆第3个图案用了29根火柴……按照这种方式摆下去，摆第n（n为正整数）个图案需要用的火柴是______根． 14. 某校根据实际需要购置一批光学显微镜，已知在实体店购买这种显微镜比网上购买每台价格多81元，用21900元在网上购买数量比在实体店购买的数量多27台．设在网上购买这种显微镜的价格为每台x元，则可列方程为______． 15. 如图，在中，，，点D，E分别在，上，且，若，，则长度是______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：； （2）解方程：． 17. 如图，E为的边上一点，，的延长线和的延长线相交于点． （1）实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法） ①作的垂直平分线分别交，于点，； ②连接． （2）求证：． 18. 每年年终，居民个人需要汇总上年度本人全年应纳税所得额，进行综合年度汇算，依法纳税．下表是2025年我国现行个人所得税税率表（1至4级部分） 个人所得税税率表（综合所得适用） 级数 全年应纳税所得额 税率 速算扣除数 1 不超过36000元的 3 0 2 超过36000元至144000元的 10 2520 3 超过144000元至300000元的 20 16920 4 超过300000元至420000元的 25 31920 计算公式：应纳税额全年应纳税所得额×适用税率速算扣除数． 设个人全年应纳税所得额为x元，应缴纳税款为y元． （1）若张师傅纳税适用级数为2级，请写出y关于x的函数表达式； （2）已知李师傅纳税2575.71元，他全年应纳税所得额是多少元？ 19. 年月日，以“培育读书风尚建设文化强国”为主题的第四届全民阅读大会在山西太原启动．大会以后，某校举办了“让快乐与阅读同行，让智慧伴科技共生”整本书阅读知识竞赛．该校运用智能平台完成全员线上初赛后，最终选拔七年级名学生和八年级名学生进行决赛．现从七、八年级参赛学生中各随机抽取名学生的初赛成绩整理分析如下：（单位：分） 信息，七年级学生成绩为：； 信息，八年级学生成绩用表示，共分成四组：．，．，．，．．抽取学生初赛成绩扇形统计图如图所示； 信息，八年级名学生成绩在组的数据是：； 信息，七、八年级抽取的学生成绩统计表如下． 年级 平均数 中位数 众数 七年级 八年级 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中______，的最小值为______，______， （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级随机抽取的名学生的初赛成绩中，哪个年级更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若学生成绩为优秀，根据以上信息，估计最终选拔的七、八年级进行决赛的学生中，初赛优秀人数共有______人． 20. 某科学实验小组用如图1所示的装置做小球摆动实验，进行如下操作： ①用一条不可伸长的细线固定一个金属小球，将细线的上端固定于点O； ②测出悬点O到水平地面l的距离为； ③打开光源，测出小球静止时在竖直墙面上的投影中心到地面的高度为； ④将小球拉开一个角度，然后由静止释放． 实验说明：如图2所示，于点A，点B在上，，，将小球拉开一个角度，然后由静止释放后，小球可摆动到点C处，于点D（点O，A，B，C，D在同一平面内）． 问题解决：当时，求点C到水平地面l的距离．（结果精确到．参考数据：，） 21. 阅读与思考 下面是小宇的一篇数学日记（部分），请仔细阅读，并完成相应的任务． 2025年5月4日 星期日 中线定理 今天，我在浏览网页时，发现了一个重要词条——中线定理．该词条由《中国科技信息》杂志社参与编辑并审核，经科普中国·科学百科认证． 阅读该词条后，将理解内容记录如下： 中线定理可理解为：三角形两边的平方和等于第三边的一半与第三边上的中线的平方和的两倍． 如图1，在中，D为的中点，可得． 下面是该定理的证明过程： 证明：如图1，过点A作于点E． 在中，， 同理可得，，． 为证明方便，不妨设，， =…… 我有如下思考：将图1中的以点D为旋转中心旋转，可得到一个平行四边形，通过探究，得出一个猜想“平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和”…… 任务： （1）阅读材料中给出的证明过程依据的定理是______； （2）如图2，在中，和相交于点O，求证：； （3）如图3，已知内接于，P为内一点，若，，请直接写出的值． 22. 综合与实践 问题情境： 某布艺玩具厂生产一批玩具时，剩下一批直角三角形废料，为了废料再利用，需将这些废料剪成矩形布料，综合实践活动小组的同学对布料的一种剪法进行了探究． 剪法：三角形废料如图1所示，，用这块废料剪出一个矩形，其中点D，E，F分别在上，使能够剪出的矩形的面积最大． 特例探究： 博学小组：如图1所示，．设，矩形的面积为y（单位：）．剪切并得出以下数据： x/cm … 1 2 3 4 … y/ … 4 6 6 4 … 数据分析： 小组同学根据表中数据，建立平面直角坐标系，画图分析（如图2），得出了一些结论…… 问题解决： （1）博学小组剪布料问题中，当______cm时，能够使剪出的矩形的面积最大，y关于x的函数表达式为______（不要求写x的取值范围）； （2）选择一块特殊废料如图3所示，．当______cm时，能够使剪出的矩形的面积最大； 建模分析： （3）如图4所示，若（其中a，b，c为常数），． 设，当矩形的面积y取最大值时，求的长（用含常数的代数式表示）． 23. 综合与探究 问题情境： 如图，在矩形中，，，是边上的一个动点（不与点，重合），把沿着折叠后，点落在点处． 操作发现： （1）如图，当时，试判断的形状，并说明理由； （2）如图，当时，求BP长； 深入探究： （3）如图，过点作直线，垂足为，连接，在点运动过程中，若，请探究，并直接写出所有符合题意的的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $