2.3二次根式◆基础过关2025-2026学年北师大版数学八年级上册

北师大版新初二数学衔接突围 2.3二次根式◆基础过关 一、单选题 1．（24-25八年级下·湖北黄石·阶段练习）二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·陕西铜川·阶段练习）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）下列二次根式是最简二次根式的是（  ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·安徽淮南·阶段练习）计算的结果是（   ） A． B．4 C．3 D． 5．（24-25八年级下·云南临沧·阶段练习）若是二次根式，则满足的条件是（   ） A．、均为非负数 B．且 C． D． 6．（24-25八年级下·四川绵阳·阶段练习）下列二次根式：①；②；③；④．其中与是同类二次根式的是（   ） A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 7．（25-26八年级上·全国·随堂练习）下列各数中，是无理数的是（   ） A． B．面积为36的正方形的边长 C．长、宽分别为12，5的长方形对角线的长 D．半径为3的圆的周长 8．（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知，化简二次根式的正确结果是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）设，，则用含a，b的式子表示，可得（   ） A． B． C． D． 10．（24-25七年级下·贵州铜仁·阶段练习）已知x，y为实数，且，则的值为（   ） A． B． C．或 D．1或 二、填空题 11．（24-25九年级下·江苏泰州·阶段练习）若有意义，则的取值范围是 ． 12．（24-25八年级下·吉林·阶段练习）计算： ． 13．（24-25七年级下·安徽淮南·阶段练习）计算： ． 14．（24-25八年级下·广东中山·阶段练习）与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 15．（24-25九年级下·山东聊城·阶段练习）将一组数，2，，，，，…，，…，按以下方式进行排列： 第一行                        第二行                 2                  第三行                                    ...                    ... 则第八行左起第1个数是 ． 三、解答题 16．（25-26八年级上·全国·单元测试）计算： (1)； (2)． 17．（24-25八年级下·江西南昌·阶段练习）下面是小琪在解答某个题目时的计算过程，请认真阅读并完成相应任务． 计算： ↓第①步 ↓第②步 ↓第③步 ↓第④步 任务一：左边步骤中，第_____步开始出现错误； 任务二：请写出正确的计算过程． 18．（25-26八年级上·全国·单元测试）规定新运算符号“☆”☆．例如☆． (1)求☆的值； (2)若，求的值． 19．（24-25八年级下·宁夏银川·阶段练习）图①图②图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作△ABC． (1)在图①中，是面积为的锐角三角形； (2)在图②中，是面积为5的直角三角形； (3)在图③中，是面积为的钝角三角形． 20．（24-25八年级下·甘肃临夏·阶段练习）我们可用“平方法”比较二次根式和的大小．先把和分别平方，得．因为，所以． 请结合上述材料解决下列问题． (1)比较，的大小； (2)比较 ， 的大小，则m___________n．（填“>”“<”或“=”） 21．（24-25七年级下·河北邯郸·阶段练习）团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均为．完成扇面后，需对扇面边缘用缎带进行包边处理（接口处长度忽略不计），如图所示． (1)圆形团扇的半径为________（结果保留），正方形团扇的边长为________； (2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短（取3）． 22．（24-25八年级下·江西赣州·阶段练习）已知，都是实数，为整数，若，则称与是关于的一组“平衡数”，例：，则称3与5是关于4的一组“平衡数”． (1)与________是关于2的一组“平衡数”； (2)若与是关于的一组“平衡数”，其中，，求实数； (3)若，，判断是否存在整数，使与为关于的一组“平衡数”，如果存在，求的值． 23．（24-25八年级下·河北廊坊·阶段练习）阅读下列材料，并回答问题 ； ； ； … (1)填空：__________； (2)观察上述算式，请写出算式（n是正整数）的结果； (3)试比较与的大小； (4)计算：（提示：）． 北师大版新初二数学衔接突围 2.3二次根式◆基础过关 解析版 一、单选题 1．（24-25八年级下·湖北黄石·阶段练习）二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的有意义的条件，根据被开方数大于或等于0列不等式求解即可． 【详解】解：二次根式在实数范围内有意义， ， ， 故选：B． 2．（24-25八年级下·陕西铜川·阶段练习）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的加减乘除的运算，根据相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、不是同类二次根式，不能进行减法运算，故该选项不符合题意； B、，故该选项符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：B 3．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）下列二次根式是最简二次根式的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查最简二次根式，掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 最简二次根式必须满足：①被开方数不含开得尽方的数或式；②根号里面没有分母，即为最简二次根式．据此即可解答． 【详解】解：A．不是是最简二次根式，不符合题意； B． ，故该选项不是最简二次根式，不符合题意； C． ，故该选项是最简二次根式，符合题意； D． ，该选项不是最简二次根式，不符合题意． 故选：C． 4．（24-25八年级下·安徽淮南·阶段练习）计算的结果是（   ） A． B．4 C．3 D． 【答案】A 【分析】此题考查了二次根式的除法法则，熟练掌握二次根式的除法法则是解题的关键． 根据二次根式的除法法则计算即可． 【详解】解：． 故选：A． 5．（24-25八年级下·云南临沧·阶段练习）若是二次根式，则满足的条件是（   ） A．、均为非负数 B．且 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的定义（二次根式要求被开方数 ），解题关键是准确把握二次根式被开方数的取值范围，对，需保证整体非负，要注意分式有意义（）且被开方数非负的综合要求，核心是理解二次根式被开方数的非负性本质．根据二次根式被开方数回答即可． 【详解】解：∵是二次根式， 且， （已隐含）． 故选：D． 6．（24-25八年级下·四川绵阳·阶段练习）下列二次根式：①；②；③；④．其中与是同类二次根式的是（   ） A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的化简、分母有理化、同类二次根式等知识．将题中四个数分别化成最简二次根式，再结合同类二次根式的定义解题即可． 【详解】解：①；②；③；④中，与是同类二次根式的是①④． 故选：C． 7．（25-26八年级上·全国·随堂练习）下列各数中，是无理数的是（   ） A． B．面积为36的正方形的边长 C．长、宽分别为12，5的长方形对角线的长 D．半径为3的圆的周长 【答案】D 【分析】本题主要考查了无理数的识别，实数的运算，勾股定理，求一个数的算术平方根，圆的周长计算，根据实数的计算法则求出的结果，即可判断A；根据正方形面积计算公式求出正方形的边长即可判断B；根据勾股定理求出对角线的长即可判断C；根据圆周长计算公式求出对应的圆的周长即可判断D． 【详解】解：A、，是有理数，不是无理数，不符合题意； B、面积为36的正方形的边长为，是有理数，不是无理数，不符合题意； C、长、宽分别为12，5的长方形对角线的长为，是有理数，不是无理数，不符合题意； D、半径为3的圆的周长为，是无理数，符合题意； 故选：D． 8．（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知，化简二次根式的正确结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的化简，解答此题的关键是判定字母的符号，注意题目中的隐含条件． 首先确定出的取值范围，再根据二次根式性质化简即可. 【详解】解：， ， 故选：D ． 9．（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）设，，则用含a，b的式子表示，可得（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的化简及二次根式的乘法计算．先将进行化简变形，然后把a，b的值代入计算即可．熟练掌握二次根式的化简及二次根式的乘法运算是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：C． 10．（24-25七年级下·贵州铜仁·阶段练习）已知x，y为实数，且，则的值为（   ） A． B． C．或 D．1或 【答案】A 【分析】此题考查了二次根式有意义的条件，代数式求值．根据二次根式有意义的条件求出，由此得到y的值，再进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 二、填空题 11．（24-25九年级下·江苏泰州·阶段练习）若有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件即可求出的范围，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（24-25八年级下·吉林·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法，平方差公式，根据二次根式的乘法和平方差公式运算法则即可求解，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 13．（24-25七年级下·安徽淮南·阶段练习）计算： ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了实数混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．根据负整数指数幂运算法则和立方根定义，进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：7． 14．（24-25八年级下·广东中山·阶段练习）与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 【答案】 【分析】先将化为最简二次根式，再依据同类二次根式的定义（被开方数相同）建立等式，求解的值．本题主要考查了同类二次根式的定义以及二次根式的化简，熟练掌握同类二次根式的概念（被开方数相同的最简二次根式）是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 15．（24-25九年级下·山东聊城·阶段练习）将一组数，2，，，，，…，，…，按以下方式进行排列： 第一行                        第二行                 2                  第三行                                    ...                    ... 则第八行左起第1个数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数列的排列规律及通项公式的推导，关键在于准确计算前七行的总项数，并定位目标项的位置．先找出数列排列规律，并确定第八行第一个数的位置对应的数值． 【详解】解：原数列为， 观察可发现： 第1项：， 第2项： ， 第3项： ， 第4项： ， 第5项：， 第6项： ， 数列的通项公式为（n为项数）， 第1行：1项 ， 第2行：2项 ， 第3行：3项 ， … 第7行：7项， 前七行总项数为： ， 第八行的第一个数是第29项（前28项之后）， 根据通项公式，第29项为： ， 因此，第八行左起第1个数是． 故答案为：． 三、解答题 16．（25-26八年级上·全国·单元测试）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，正确计算是解题的关键． （1）先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答； （2）先计算二次根式的乘除法，零指数幂和负整数指数幂，再算加减，即可解答． 【详解】（1）原式 ． （2）原式 ． 17．（24-25八年级下·江西南昌·阶段练习）下面是小琪在解答某个题目时的计算过程，请认真阅读并完成相应任务． 计算： ↓第①步 ↓第②步 ↓第③步 ↓第④步 任务一：左边步骤中，第_____步开始出现错误； 任务二：请写出正确的计算过程． 【答案】任务一：①；任务二：见解析 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，掌握运算法则是解本题的关键； 任务一：由于去括号没有改变相应的符号，从而可得第①步出现错误； 任务二：先利用二次根式的性质与除法运算化简二次根式，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：任务一：左边步骤中，第①步开始出现错误； 任务二： ． 18．（25-26八年级上·全国·单元测试）规定新运算符号“☆”☆．例如☆． (1)求☆的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了二次根式的化简求值以及新定义，根据已知定义正确将原式变形是解题关键． （1）根据新运算法则代数求解即可； （2）根据新运算法则代入列方程求解即可． 【详解】（1）☆ ． （2）由题意，得， 解得． 19．（24-25八年级下·宁夏银川·阶段练习）图①图②图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作△ABC． (1)在图①中，是面积为的锐角三角形； (2)在图②中，是面积为5的直角三角形； (3)在图③中，是面积为的钝角三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查网格作图，涉及勾股定理及其逆定理、二次根式的乘法，熟悉网格特点是解答的关键． （1）画底为3，高为3的锐角三角形即可； （2）结合勾股定理、勾股定理的逆定理画图即可； （3）利用割补法，结合钝角三角形的定义画图即可． 【详解】（1）解：如图①，锐角三角形即为所求（答案不唯一）， ； （2）解：如图②，直角三角形即为所求（答案不唯一）； 作图理由：，， ∴，则是直角三角形， ∴； （3）解：如图③，钝角三角形即为所求（答案不唯一）， ． 20．（24-25八年级下·甘肃临夏·阶段练习）我们可用“平方法”比较二次根式和的大小．先把和分别平方，得．因为，所以． 请结合上述材料解决下列问题． (1)比较，的大小； (2)比较 ， 的大小，则m___________n．（填“>”“<”或“=”） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的关键． （1）按照题目所提供的“平方法”进行计算即可； （2）按照题目所提供的“平方法”进行计算即可． 【详解】（1）解：，， ，， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 21．（24-25七年级下·河北邯郸·阶段练习）团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均为．完成扇面后，需对扇面边缘用缎带进行包边处理（接口处长度忽略不计），如图所示． (1)圆形团扇的半径为________（结果保留），正方形团扇的边长为________； (2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短（取3）． 【答案】(1)， (2)圆形团扇所用的包边长度更短 【分析】本题考查扇形面积的计算，掌握圆周长，面积的计算方法以及扇形面积的计算方法是正确解答的关键． （1）根据圆面积、正方形面积公式进行计算即可； （2）求出两种形状的扇子的周长即可． 【详解】（1）解：设圆形团扇的半径为，正方形的边长为， 由题意得，， ， 故答案为：，； （2）解：圆形团扇的周长为： ， 正方形团扇的周长为：， ， ∴圆形团扇所用的包边长度更短． 22．（24-25八年级下·江西赣州·阶段练习）已知，都是实数，为整数，若，则称与是关于的一组“平衡数”，例：，则称3与5是关于4的一组“平衡数”． (1)与________是关于2的一组“平衡数”； (2)若与是关于的一组“平衡数”，其中，，求实数； (3)若，，判断是否存在整数，使与为关于的一组“平衡数”，如果存在，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了新定义，二次根式的混合计算，正确理解新定义是解题的关键． （1）根据新定义计算出的结果即可得到答案； （2）根据题意可得，则，解之即可得到答案； （3）根据题意计算出的值，进而得到的值，据此可求出c的值． 【详解】（1）解：， ∴与是关于2的一组“平衡数”； （2）解：∵与是关于的一组“平衡数”， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴与为关于31的一组“平衡数”． 23．（24-25八年级下·河北廊坊·阶段练习）阅读下列材料，并回答问题 ； ； ； … (1)填空：__________； (2)观察上述算式，请写出算式（n是正整数）的结果； (3)试比较与的大小； (4)计算：（提示：）． 【答案】(1) (2) (3) (4)44 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、分母有理化等知识点，读懂阅读材料找到算式规律是解题的关键． （1）根据材料计算方法进行分母有理化即可解答； （2）仿照材料方法计算即可； （3）先根据材料计算方法进行化简，再进比较即可； （4）先仿照材料方法进行变形，然后进行计算即可． 【详解】（1）解：． 故答案为：． （2）解： ． （3）解：根据材料可知，，， ∵， ，即． （4）解： ． 第 2 页 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$