2.3二次根式◆培优检测2025-2026学年北师大版数学八年级上册

北师大版新初二数学衔接突围 2.3二次根式◆培优检测 一、单选题 1．（24-25八年级下·广西河池·阶段练习）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·贵州贵阳·阶段练习）下列各三角形中，面积为无理数的是（   ） A．B． C． D． 3．（24-25八年级下·内蒙古赤峰·阶段练习）下列各式中，一定能成立的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级下·广东东莞·自主招生）已知：，且，则与x最接近的整数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 5．（24-25八年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，在长方形中不重叠无缝隙地放入面积分别为12和18的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（   ）    A．6 B． C． D． 6．（24-25八年级下·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）实数，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（   ） A．1 B． C． D． 7．（24-25八年级下·福建龙岩·阶段练习）把分式，根号外的字母a移进根号内的结果是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级下·湖北宜昌·期中）下列各式从左到右的变形正确的有（　　） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（24-25八年级下·四川泸州·期末）用表示不超过的最大整数，例如：．已知，，则（　　） A．4 B．2 C．-4 D．2 10．（24-25八年级下·云南楚雄·期末）观察下列各式： ； ； ； …… 根据你的观察，计算的值是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，有一个高为，底面周长为的圆柱形容器，在外壁距下沿的点A处有一只蚂蚁，与蚂蚁相对的内壁距上沿的点B处有一滴蜂蜜，则蚂蚁从A处到蜂蜜B处所走的最短路径长为 ． 12．（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）二次根式是一个整数，那么正整数a的最小值是 ． 13．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）已知，， ． 14．（24-25八年级下·山东日照·阶段练习）对于任意的正数、定义运算，，计算的结果为 ． 15．（2025·辽宁锦州·模拟预测）已知且，我们定义，记为；，记为；……；，记为．若将数组中的各数分别作的变换，得到的数组记为；将作的变换，得到的数组记为；…….则的值为 ． 三、解答题 16．（24-25八年级下·河北廊坊·阶段练习）计算 (1) (2) (3) 17．（24-25八年级下·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）已知，，求代数式的值． 18．（24-25七年级下·西藏昌都·期末）如图，数轴上点表示的数是，是数轴上一动点． (1)在数轴上，把点向左平移4个单位长度得到点，求点表示的数； (2)若点表示的数是所表示数的相反数，求点表示的数； (3)若点从点向点以每秒3个单位长度运动，到达点后又向运动，到达后再向运动，如此往复运动．问当点运动2026秒时，点与点的位置有什么关系？请说明理由． 19．（24-25八年级下·辽宁大连·阶段练习）数学活动课上，老师要求同学们制作一个长方体礼品盒，盒子的下底面的面积为，长、宽、高的比为． (1)计算出这个长方体的长、宽、高分别是多少？ (2)把这个长方体的高的值在数轴上表示出来； (3)连接，则的长度是 ．（提示：长方体的高垂直于底面的任何一条直线） 20．（25-26八年级上·全国·单元测试）定义：一般地，如果，那么叫作以为底的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：，理由如下： 设，则， ． 由对数的定义，得． 又， ． 根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题： (1)填空：①______，②______，③______； (2)求证：； (3)拓展运用：计算：． 21．（25-26八年级上·全国·课后作业）小丽根据学习“二次根式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是小丽的探求过程，请补充完整． （1）具体运算，发现规律： 【特例1】； 【特例2】； 【特例3】； 【特例4】________（填写一个符合上述运算特征的例子）； 【猜想】 （2）用含n的式子表示上述运算规律为________（n为正整数）； 【应用】 （3）化简：． 22．（24-25八年级下·吉林白城·阶段练习）在进行二次根式运算时，我们有时会碰上这样的式子，其实我们可以将其进一步化简． 方法一：． 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 方法二：还可以用以下方法化简：． (1)请用不同的方法化简． ①参照方法一，化简； ②参照方法二，化简． (2)化简：；（保留过程） (3)猜想：的值．（直接写出结果） 23．（24-25七年级下·福建厦门·期中）阅读下面一段材料，并解答材料后的问题： 我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，为表示出其小数部分，可以这样考虑： ，的整数部分为，小数部分为． 再如：，即，的整数部分为，小数部分为． (1)若的整数部分为，小数部分为，则______，______； (2)已知． ①若是整数，且，求的值； ②若一张长方形信封的长和宽分别是，；如图，准备一个与此信封相同尺寸的纸片，将该纸片按如图方式先折一下，然后剪开，可以得到一个正方形和一个长方形，已知小明制作了一张边长为的正方形贺卡想寄给朋友，你认为小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算说明理由． 北师大版新初二数学衔接突围 2.3二次根式◆培优检测 一、单选题 1．（24-25八年级下·广西河池·阶段练习）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算、乘除运算等知识点，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．根据二次根式的运算法则逐项判定即可解答． 【详解】解：A． ，故该选项错误，不符合题意；     B． ，故该选项正确，符合题意；     C． 与不是同类二次根式，不能相加减，故该选项错误，不符合题意；     D． ，故该选项错误，不符合题意． 故选B． 2．（24-25八年级下·贵州贵阳·阶段练习）下列各三角形中，面积为无理数的是（   ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三线合一，勾股定理及其逆定理，二次根式的乘法，根据三线合一，结合勾股定理和逆定理，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、设底边上的高为，由三线合一和勾股定理，得：， 故三角形的面积为：为有理数；不符合题意； B、∵， ∴三角形为直角三角形， ∴三角形的面积为：为有理数；不符合题意； C、同A法可得，三角形的高为， ∴三角形的面积为：为无理数，符合题意； D、∵， ∴三角形为直角三角形， ∴三角形的面积为：为有理数；不符合题意； 故选C． 3．（24-25八年级下·内蒙古赤峰·阶段练习）下列各式中，一定能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次根式的化简，二次根式的乘法法则，利用完全平方公式因式分解，正确理解二次根式的性质是解题的关键．需注意二次根式的双重非负性，，．分别利用二次根式的乘法法则，二次根式的性质化简判断即可． 【详解】解：A、只有当且时，即时，才能成立，故选项不一定成立，不符合题意； B、只有当时， 才能成立，故选项不一定成立，不符合题意； C、，只有当时，才能成立，故选项不一定成立，不符合题意； D、，故选项成立，符合题意， 故选：D． 4．（24-25九年级下·广东东莞·自主招生）已知：，且，则与x最接近的整数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，无理数的估算．先将方程两边同乘可得，从而得到，进而得到，再由解答即可． 【详解】解：将方程两边同乘得， ， ∴， ∵， ∴， ∴（负值已舍）， ∵， ∴， ∴与x最接近的整数是4， 故选：A． 5．（24-25八年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，在长方形中不重叠无缝隙地放入面积分别为12和18的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（   ）    A．6 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的面积与边长的关系、二次根式的运算及长方形面积的计算，解题的关键是根据正方形面积求出边长，结合摆放方式确定长方形的长和宽，进而通过面积差求出空白部分面积． 先由正方形面积求出边长（分别为和）；根据“尽量撑满长方形”可知长方形的长为两正方形边长之和，宽为较大正方形的边长；计算长方形面积与两正方形面积和的差，得到空白部分面积． 【详解】解：两张正方形纸片的面积分别为12和18， ∴它们的边长分别为和． ∵要将两张正方形不重叠无缝隙地放入长方形且尽量撑满， ∴长方形的长为两个正方形边长之和，即，宽为较大正方形的边长． ∴长方形的面积为 ． ∵两张正方形纸片的面积和为， ∴空白部分的面积为． 故选：D． 6．（24-25八年级下·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）实数，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了实数与数轴，二次根式的化简．先根据数轴推出，进而得到，，据此化简，再合并同类项即可得到答案． 【详解】解：由数轴可知，，且， ∴，， ∴ ， 故选：A． 7．（24-25八年级下·福建龙岩·阶段练习）把分式，根号外的字母a移进根号内的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】主要考查了二次根式的意义．解题的关键是能正确的把根号外的代数式或数字移到根号内部，它是开方的逆运算，从根号外移到根号内要平方，并且移到根号内与原来根号内的式子是乘积的关系．注意根号外的数字或式子是负数时，代表整个式子是负值，要把负号留到根号外再平方后移到根号内． 如果根号外的数字或式子是负数时，代表整个式子是负值，要把负号留到根号外再平方后移到根号内，然后化简即可． 【详解】解：由二次根式的意义可知， ∴，故D正确． 故选：D． 8．（24-25八年级下·湖北宜昌·期中）下列各式从左到右的变形正确的有（　　） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据二次根式的性质，逐一分析各式的成立条件解答即可． 本题考查了二次根式的公式计算的使用条件，熟练掌握条件是解题的关键． 【详解】解：① ：当且时成立， 故①错误； ② ：当且时成立， 故②错误； ③ ：当左边有意义时（即，），右边必然有意义且等式成立；故③正确； ④ ：当左边有意义时（即，），右边必然有意义且等式成立， 故④正确． 综上，正确的有③和④，共2个． 故选：B． 9．（24-25八年级下·四川泸州·期末）用表示不超过的最大整数，例如：．已知，，则（　　） A．4 B．2 C．-4 D．2 【答案】A 【分析】本题考查新定义、无理数的估算，二次根式的混合运算，先估算出，根据题中新定义规定可求得和，进而求出的值，然后代入计算可得答案． 【详解】解：∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故选：A． 10．（24-25八年级下·云南楚雄·期末）观察下列各式： ； ； ； …… 根据你的观察，计算的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二次根式运算规律问题的解决能力，关键是能准确理解题意，并进行规律的归纳、应用． 根据题意进行猜想、归纳出这种式子的规律，将式子算：改写为，运用规律进行求解． 【详解】∵， ， ， …… ， ， 故选：C． 二、填空题 11．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，有一个高为，底面周长为的圆柱形容器，在外壁距下沿的点A处有一只蚂蚁，与蚂蚁相对的内壁距上沿的点B处有一滴蜂蜜，则蚂蚁从A处到蜂蜜B处所走的最短路径长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了最短路径问题，勾股定理的应用，熟练掌握相关知识点，并作出适当的辅助线是解题的关键； 将杯子侧面展开，作点A关于的对称点，根据两点之间线段最短，可知的长度即为所求． 【详解】如图：将杯子侧面展开，作点A关于的对称点，过点B作于点F， 连接，则即为蚂蚁从A处到蜂蜜B处所走的最短路径， 由题易得，，，， 由对称可知，， ， 由勾股定理得，． 蚂蚁从A处到蜂蜜B处所走的最短路径长为． 故答案为：． 12．（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）二次根式是一个整数，那么正整数a的最小值是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查二次根式的性质、二次根式的定义等知识点，掌握二次根式的性质成为解题的关键． 利用二次根式的性质可得，则是一个平方数，然后确定a的最小正整数即可． 【详解】解：∵是一个正整数， ∴是一个平方数， ∴正整数a的最小值是2． 故答案为：2． 13．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）已知，， ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，先求出，，再把所求式子通分变形为，据此代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ 故答案为：． 14．（24-25八年级下·山东日照·阶段练习）对于任意的正数、定义运算，，计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据定义新运算可得：，然后利用二次根式的乘法法则，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ， 故答案为：． 15．（2025·辽宁锦州·模拟预测）已知且，我们定义，记为；，记为；……；，记为．若将数组中的各数分别作的变换，得到的数组记为；将作的变换，得到的数组记为；…….则的值为 ． 【答案】 【分析】要先根据题意找到规律，多算几组，发现每三次变换为一个循环，进而可得到结果． 本题考查了数字类规律探索，准确计算、发现规律是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得，，，故数组， ，，， 故数组， ，，， 故数组， ，，， 故数组， 故每3次变换一个循环， 且，，， ， 由， 故的值为． 故答案为：． 三、解答题 16．（24-25八年级下·河北廊坊·阶段练习）计算 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． （1）先化简，再合并同类二次根式即可求解； （2）利用完全平方公式和平方差公式计算后，去括号后合并即可求解； （3）根据二次根式的乘除运算法则运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 17．（24-25八年级下·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）已知，，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了求代数式的值，二次根式混合运算，先求出、，将代数式化为，整体代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ． 18．（24-25七年级下·西藏昌都·期末）如图，数轴上点表示的数是，是数轴上一动点． (1)在数轴上，把点向左平移4个单位长度得到点，求点表示的数； (2)若点表示的数是所表示数的相反数，求点表示的数； (3)若点从点向点以每秒3个单位长度运动，到达点后又向运动，到达后再向运动，如此往复运动．问当点运动2026秒时，点与点的位置有什么关系？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)在点的左侧，理由见解析 【分析】本题考查了实数与数轴，实数的大小比较，实数的加减运算，数形结合是解题的关键． （1）根据数轴上两点距离即可求解； （2）根据相反数的定义即可求解； （3）根据题意，得出运动 2026秒时，在点左侧 2 个单位长度，即表示的数为，进而判断所表示的数的大小，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵数轴上点表示的数是，把点向左平移 4 个单位长度得到点， ∴B点表示的数为； （2）解：∵C点表示的数是所表示数的相反数， ∴C点表示的数为； （3）解：， ， ∴P运动 2026秒时，在点左侧个单位长度，即表示的数为． 因为表示的数是， ， ， ，即， ∴ P在点的左侧． 19．（24-25八年级下·辽宁大连·阶段练习）数学活动课上，老师要求同学们制作一个长方体礼品盒，盒子的下底面的面积为，长、宽、高的比为． (1)计算出这个长方体的长、宽、高分别是多少？ (2)把这个长方体的高的值在数轴上表示出来； (3)连接，则的长度是 ．（提示：长方体的高垂直于底面的任何一条直线） 【答案】(1)这个长方体的长、宽、高分别、、 (2)见解析 (3) 【分析】（1）设长方体的长、宽、高分别为、、x，根据底面积为列方程即可； （2）过数轴上1这点作垂线，然后再以1这个点为圆心，1个单位长度为半径画弧，交这个垂线与点A，连接，以点O为圆心，为半径画弧，与数轴的正半轴交于点B，该点表示的数为；过数轴上点B作垂线，然后再以B这个点为圆心，1个单位长度为半径画弧，交这个垂线与点C，连接，以点O为圆心，为半径画弧，与数轴的正半轴交于一点，该点表示的数为； （3）根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：设长方体的长、宽、高分别为、、x， 根据题意得：， 解得：或（舍去）， 答：这个长方体的长、宽、高分别、、． （2）解：如图所示， ∵， ∴点即为所求； （3）解：． 【点睛】本题主要考查了列方程解应用题，在数轴上表示无理数，二次根式的化简，求长方体的对角线，设出长方体的长、宽、高，根据底面积列出方程，是解题的关键． 20．（25-26八年级上·全国·单元测试）定义：一般地，如果，那么叫作以为底的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：，理由如下： 设，则， ． 由对数的定义，得． 又， ． 根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题： (1)填空：①______，②______，③______； (2)求证：； (3)拓展运用：计算：． 【答案】(1)①，②，③ (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查幂的乘方，对数的定义和运算性质． （1）根据所给的式子的形式进行求解即可； （2）根据对数的定义进行求解即可； （3）利用（2）进行求解即可． 【详解】（1）解：①； ②； ③． 故答案为：①，②，③； （2）证明：设，则， ， 由对数的定义，得， 又， ； （3）解：． 21．（25-26八年级上·全国·课后作业）小丽根据学习“二次根式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是小丽的探求过程，请补充完整． （1）具体运算，发现规律： 【特例1】； 【特例2】； 【特例3】； 【特例4】________（填写一个符合上述运算特征的例子）； 【猜想】 （2）用含n的式子表示上述运算规律为________（n为正整数）； 【应用】 （3）化简：． 【答案】（1）（答案不唯一）；（2）；（3） 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，数字类规律探究，正确得出规律，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据所给的特例的形式进行求解即可； （2）分析所给的等式的形式进行总结即可； （3）利用（2）中的规律进行求解即可． 【详解】解：（1）由题意可得：（答案不唯一） （2）∵特例1：； 特例2：； 特例3：， …， ∴ （3）． 22．（24-25八年级下·吉林白城·阶段练习）在进行二次根式运算时，我们有时会碰上这样的式子，其实我们可以将其进一步化简． 方法一：． 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 方法二：还可以用以下方法化简：． (1)请用不同的方法化简． ①参照方法一，化简； ②参照方法二，化简． (2)化简：；（保留过程） (3)猜想：的值．（直接写出结果） 【答案】(1)①见详解；②见详解 (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的分母有理化、平方差公式的应用、二次根式的加减以及裂项相消法求和．熟练掌握分母有理化的方法（利用平方差公式将分母中的根式转化为有理数），以及识别式子的规律用裂项相消简化计算是解题的关键． （1）①参照方法一利用平方差公式，给分子分母同乘，实现分母有理化即可．②参照方法二，将分子变形为，再利用平方差公式因式分解，然后约分化简． （2）先分别用分母有理化的方法化简每一项，再去括号进行加减运算． （3）先将每一项进行分母有理化，然后观察式子规律，通过裂项相消法计算． 【详解】（1）解：① ； （1）② ； （2）解： ； （3）解： ． 23．（24-25七年级下·福建厦门·期中）阅读下面一段材料，并解答材料后的问题： 我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，为表示出其小数部分，可以这样考虑： ，的整数部分为，小数部分为． 再如：，即，的整数部分为，小数部分为． (1)若的整数部分为，小数部分为，则______，______； (2)已知． ①若是整数，且，求的值； ②若一张长方形信封的长和宽分别是，；如图，准备一个与此信封相同尺寸的纸片，将该纸片按如图方式先折一下，然后剪开，可以得到一个正方形和一个长方形，已知小明制作了一张边长为的正方形贺卡想寄给朋友，你认为小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算说明理由． 【答案】(1)，； (2)①；②不能，理由见解析． 【分析】（1）根据，得出，的值即可； （2）①根据，是整数，且，得出，的值，即可得答案；②由，得到，则，解方程组求出y的值，再估算出y的取值范围即可得到答案． 本题考查剪纸问题，估算无理数的大小，实数的运算，会估算无理数的整数部分和小数部分是解题关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， 的整数部分为，小数部分为， 故答案为：，； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∴的整数部分为11，小数部分为， ∵，是整数，且， ∴， ； ， ，即， 联立， 解得， ， ， ， 小明不能将这张贺卡不折叠就放入此信封． 第 2 页 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$