22.1.1 二次函数 课件 2025-2026学年人教版九年级数学上册

第22章 二次函数 22.1.1 二次函数 22.1 二次函数的图象和性质 函数的定义： 在变化过程中，有两个变量x和y，当x每确定一个值时，y都有唯一一个值与其对应，我们称x为自变量，y为x的函数 我们学习过哪些函数？ 回顾旧知 回顾旧知 (1) y = 2x+1 (3) y = -4x (4) y = ax+1 (2) y = 5x2 其中，y是x的一次函数有_________ 下列函数： y=kx+b（k≠0） (1)、 (3) 一次函数的一般形式是_____________ 问题3 某工厂一种产品现在的年产量是20t，计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y与x之间的关系怎样表示？ y=20(1+x)2 y=20x2+40x+20 观察以上问题中的函数关系式，它们是我们学过的一次函数吗？它们有什么共同特点？ y=6x2 y=20x2+40x+20 探究新知 共同点：它们都是用自变量的二次式表示的函数 形如y=kx+b(k,b 是常数，k≠0)的函数叫一次函数 一般地，形如y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。其中x是自变量，a，b，c分别是二次项系数、一次项系数和常数项. 二次函数概念 巩固新知 例1 下列函数中哪些是二次函数，那些不是？为什么？ ① y=ax2+bx+c（x是自变量） ② s=3-2t² ③y=x2 ④ ⑤y=x²+x³+25 ⑥ y=(x+3)²-x² 不是，缺少a≠0的条件. 不是，右边是分式. 不是，x的最高次数是3. y=6x+9 归纳：二次函数需满足的条件： （1）等号右边是整式（2）自变量的最高次数为 2 （3）二次项系数不为0，即a≠0; 例2（1）y=（k-4）x²+2x是二次函数，求k的取值范围 解：∵ k-4≠0 ∴ k≠4 （2）y=-3 解：∵ m-5=2 ∴ m=7 （3）y=（m-2） 解：根据题意得： m²-2=2 ① m-2≠0 ② 由①得，m=±2 由②得，m≠2 ∴m=-2 （4）y=（a-b）x³+2x²+2是y关于x的二次函数，求a，b的关系。 解：根据题意得： a-b=0 ∴a=b 此类型题考查二次函数的概念，要抓住自变量最高次数为2及二次项系数不为0这两个关键条件， 例3从地面向上抛一个小球，小球的飞行高度y(m)飞行时间t(s)之间的关系式为y=20t-5t² （3）小球的飞行高度能否达到25米？ （2）小球飞行多长时间后，飞行高度是15米？ （1）抛出小球2s后，小球的飞行高度是多少? 1、一般地，形如y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数. 课堂小结 ①等号右边是整式； ②自变量的最高次数为 2 ③二次项系数不为0，即a≠ 0; ①先化简成y=ax²+bx+c的形式; ②注意各项系数的符号. 二次函数须满足的条件： 2、确定二次函数的各项系数要注意: 1. 下列函数是二次函数的是（ ） A. y=（x+1）2 - x2 B. y=-2x+1 C. y=x2+2 D y= ax2-2 2. 二次函数y=3x2-2x-4的二次项系数，一次项系数与常数项的和是（ ） A. 1 B. -1 C. 7 D. -3 3.已知函数y=(a-1)x2+3x-1，若y是x的二次函数，则a的取值范围是 . C B a≠1 当堂检测 自学检测二（8分钟） 1.下列函数中,哪些是二次函数？ (1）y=3(x-1)²+1 (3) s=3-2t² (5)y=(x+3)²-x² (6) v=10πr² （是） （是） （不是） （是） （不是） （不是） （不是） （不是） 二次函数 y=ax²+bx+c ①整式 ②自变量的最高次数为2 ③二次项系数不为0（a≠ 0） 易错点：化简后判断! 13 2、m 取何值时，函数 y= (m+1)xm2-2m-1 +(m-3)x+m 是二次函数？ 解：由题意得： m2—2m-1=2 m+1 ≠0 ∴m=3 3. 如果函数y=(k-3) +kx+1是二次函数,则k的值一定是______ 0 （易错点： 忽略二次项的系数一定不为0） 4.y=m 是二次函数,则m的值一定是______ -2 课堂小结（3分钟） 1.二次函数 y=ax²+bx+c （a≠ 0） ①整式 ②自变量的最高次数为2 （化简后再判断!） ③二次项系数不为0 2.二次函数的一般形式： y=ax²+bx+c (a,b,c是常数,a≠0) 几种特殊形式: (1) y=ax² --------- (a≠0,b=0,c=0,). (2) y=ax²+c ------ (a≠0,b=0,c≠0). (3) y=ax²+bx ---- (a≠0,b≠0,c=0). 例4：扇形面积公式是 . （1）当 是常量时， 是 的什么函数？ 一次函数 （2）当 是常量时， 是 的什么函数？ 二次函数 ☆ 挑战自我 一次函数 一元一次方程 概念 图象 性质 解析式： 自变量取值范围：一切实数 实际应用 实际问题 二次函数 概念 实际问题 解析式： 自变量取值范围：一切实数 实际问题中，自变量取值范围一定是一切实数吗？ ☆ 感受生活，运用新知 例5：如图所示，一农民用 长的篱笆围成，一个一边靠墙(墙足够长)的长方形菜园，和墙垂直的一边长为 ,菜园的面积为 . （1）求 与 的函数关系式. （2）写出自变量 的取值范围. （3）当 时，求 的值. （4）当 时，求 的值. ☆ 感受生活，运用新知 紧扣定义中的两个特征：①a≠0；②自变量最高次数为2的二次三项式ax2＋bx＋c. 归纳 关于函数y＝(500﹣10x)(40+x)，下列说法不正确的是（　　） A．y是x的二次函数 B．二次项系数是﹣10 C．一次项是100 D．常数项是20000 题型三、 二次函数的一般形式 例3： C 二次函数的一般表达式为：y=ax2＋bx＋c(a≠0)，先把表达式化简成为一般形式，再判断其中二次项、一次项与常数项. 归纳 $$