第二十五章概率初步 单元练习卷-2025-2026学年人教版数学九年级上册

第二十五章概率初步同步练习卷-2025-2026学年数学九年级上册人教版 一、单选题 1．下列说法正确的是（　　） A．检测“神舟十六号”载人飞船零件的质量，应采用抽样调查 B．任意画一个三角形，其外角和是是必然事件 C．概率很小的事件不可能发生 D．甲、乙两组数据的方差分别是 ，，则甲组数据比乙组数据稳定 2．小明有两根长度分别为和的木棒，他想钉一个三角形的木框．现在有5根木棒供他选择，其长度分别为，，，，．小明随手拿了一根，恰好能够组成一个三角形的概率为（　　） A． B． C． D．1 3．成飞公园门口有售卖歼击机卡片的盲盒，若其中有12个歼-5盲盒，6个歼-10盲盒，2个歼-20盲盒，则小华随机选择一个盲盒，选中的是歼-20盲盒的概率是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，是边上的中线，点E、F、M、N是上的四点，现向内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为（   ） A． B． C． D． 5．在一个神秘的探索之旅中，有个特殊的项目正在筹备，这个项目叫“秘境探寻者”，项目组共10人，分两批确定：第一批确定了7人，第二批确定了2名男生，1名女生，现从该项目组全体成员中随机抽取1人来担任极为重要的宣传联络任务，若抽中男生的概率为，则第一批次确定的人员中女生的人数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．如图①，工人师傅在地面上喷绘了一个不规则图案（图中画图部分），小颖想计算该图案的面积，她采取以下方法：用一个长，宽的矩形将不规则图案围起来，然后在适当位置随机向该矩形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（小球扔在界限上或矩形区域外不计入试验结果），她将若干次有效试验的结果绘制成如图②所示的折线统计图，由此可估计此不规则图案的面积约为（   ） A． B． C． D．无法确定 7．甲、乙、丙、丁四张卡片，正面分别写有，，，，四张卡片除正面的代数式不同外，其余均相同．现将四张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取两张，则两张卡片上代数式的和为整式的概率是（    ） A． B． C． D． 8．笑笑和妈妈买了包核桃牛奶和包红枣牛奶，这些牛奶外观除了包装袋上的字不同外，其他均相同，现将它们装在一个不透明的盒子里，笑笑每次从盒子中随机摸出一袋牛奶，记下口味后放回盒子中搅匀，通过大量重复试验后发现，摸到核桃牛奶的频率稳定于，则估计的值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．现有下列长度的四根木棒：3，6，9，11，从中任取三根，可以组成三角形的概率为 ． 10．为弘扬科学精神，提高学生的科学文化素养，某校开展黑板报评比活动，确定“机器人”，“”和“豆包”三个主题．若七年级1班和七年级2班两个班随机选择其中一个主题出黑板报，则这两个班选择同一主题的概率是 ． 11．一只蚂蚁在如图所示的七巧板上任意爬行，已知它停在这副七巧板上的任何一点的可能性都相同，那么它停在3号板上的概率是 ． 12．有4张形状、大小完全相同的卡片，正面分别写着，，，，背面朝上混合后随机抽取一张，取出的卡片正面式子的运算结果等于的概率是 ． 13．在围棋盒中有颗黑色棋子和颗白色棋子，从盒中随机地取出一个棋子，如果它是白色棋子的概率是．试写出与的函数关系式 ． 14．有“枇杷之乡”之称的书峰乡，枇杷种植面积高达近2万多亩，是省定的枇杷主要生产基地和第七批枇杷栽培标准化示范区．某校数学兴趣小组跟踪调查了书峰枇杷某次移栽的成活情况，得到如图所示的统计图，由此可估计书峰枇杷移栽成活的概率约为 ． 15．如图是用黑色棋子和白色棋子摆成的“小屋子”，则从第20个这样的“小屋子”随机摸出一枚棋子，是黑色棋子的概率是 ． 16．如图，在正方形中，是以为直径的半圆的切线，在正方形区域内任意取一点，则点落在阴影部分的概率是 ． 三、解答题 17．小明和小亮用如图所示的两个转盘（每个转盘被分成三个面积相等的扇形）做游戏，转动两个转盘各一次，若两次数字之和为奇数，则小明胜；若两次数字之和为偶数，则小亮胜．        A盘                B盘 (1)事件“盘转到数字4”是_______事件；（选填：必然，随机或不可能） (2)这个游戏对双方公平吗？通过画树状图或列表的方式说说你的理由． 18．某周末甲、乙两人外出参观游玩，各自随机选择到白城沙滩、厦门大学、山海步道、厦门方特四个地点中的一个地点参观游玩．假设这两人选择到哪个地点参观游玩不受任何因素影响，且上述四个地点中的每个被选到的可能性相同． (1)甲选择到厦门方特参观游玩的概率为_______． (2)用列表法或画树状图法，求甲、乙两人选择到同一个地点参观游玩的概率． 19．学校组织七，八年级学生参加了“国家安全知识”竞赛．已知七，八年级各有200人，现从两个年级分别随机抽取10名学生的比赛成绩x（单位：分）进行统计如下： 七年级86，94，79，84，71，90，76，83，90，87． 八年级88，76，90，78，87，93，75，87，87，79． 整理如下： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 84 a 90 44.4 八年级 84 87 b 36.6 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空： ， ； A同学说：“这次比赛我得了86分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是 年级的学生； (2)学校规定比赛成绩不低于85分为“优秀”，估计该校这两个年级比赛成绩达到“优秀”的学生总人数； (3)从八年级比赛成绩的前四名同学甲，乙，丙，丁中，随机抽取两名同学代表学校参加决赛，请用树状图或列表法求恰好抽中甲，乙两名同学一起代表学校参加决赛的概率． 20．某超市计划在春节期间举办购物抽奖活动，凡消费满100元的顾客可获得一次抽奖机会．盒子中有红、黄、蓝三种颜色的球，这些球除颜色不同外，其他均相同，其中红球的数量为个，黄球的数量为个，蓝球的数量为10个（为正整数）．顾客随机摸出一个球，根据颜色获得不同面值的代金券．设盒子中球的总数为． (1)直接写出关于的函数表达式； (2)若超市希望红球的数量不少于黄球的数量，请利用函数的性质，求出的最小值； (3)在（2）中取得最小值的情况下，某顾客获得一次抽奖机会，求该顾客摸到黄球的概率． 21．某中学持续开展了A：篮球；B：羽毛球；C：乒乓球；D：足球等一系列活动，学生可以任选一项参加．为了解学生参与情况，进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)在这次调查中，一共抽取了___________名学生； (2)补全条形统计图； (3)若该校共有学生1280名，请估计参加B项活动的学生数； (4)小杰和小慧参加了上述活动，请用列表或画树状图的方法，求他们参加同一项活动的概率． 22．为了贯彻落实健康第一的指导思想，促进学生全面发展，某校积极倡导人文运动观念，提高同学们的身体素质．现对该校七、八年级部分学生每周的锻炼时间（单位：）进行统计，按照每周锻炼时间分成四组：A：；B：；C：；D：，并绘制了如图①、②两幅不完整的统计图，请你根据图中所提供的信息，完成下列问题：    (1)该校此次调查共抽取了 名学生，扇形统计图中“C”组对应的扇形圆心角的度数为 度，并补全条形统计图； (2)若该校八年级共1000名学生，请估计八年级每周锻炼时间达到6小时及以上的学生人数； (3)若“D”组中七年级和八年级各有2名同学报名市区的运动比赛，学校打算从这4名同学中挑选2名参赛，请用列表法或树状图法求恰好选中同一年级两名同学的概率． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第二十五章概率初步同步练习卷-2025-2026学年数学九年级上册人教版》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A D A B B D B 1．D 【分析】此题考查了普查和抽样调查、事件的分类、方差的意义．根据普查和抽样调查、事件的分类、方差的意义分别进行判断即可 【详解】解：A、检测“神舟十六号”载人飞船零件的质量，应采用普查，原说法错误，本选项不符合题意； B、任意画一个三角形，其外角和是是不可能事件，原说法错误，本选项不符合题意； C、概率很小的事件不是不可能发生，而是发生的机会较小，原说法错误，本选项不符合题意； D、甲、乙两组数据的方差分别是，，则甲组数据比乙组数据稳定，说法正确，本选项符合题意； 故选：D． 2．A 【分析】本题考查概率公式，三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．先利用小明有两根长度分别为和的木棒确定第三边的长度取值范围，再判断可供选择的木棒中有几种满足，再利用概率公式计算即可． 【详解】解：∵小明有两根长度分别为和的木棒，他想钉一个三角形的木框， ∴三角形木框的第三边长的取值范围是，即， ∴，，，，共5种等可能情况，其中满足的有2种， ∴恰好能够组成一个三角形的概率为， 故选：A． 3．D 【分析】本题考查了简单的概率计算，概率的基本公式，关键在于明确有利事件与总事件的定义，避免遗漏或重复计数．根据概率等于有利事件数除以总事件数，首先需计算总盲盒数，再求出歼-20盲盒数与总盲盒数的比值，最后化简分数即可。 【详解】解：总盲盒数为： ， 歼-20盲盒有2个，因此选中的是歼-20盲盒的概率为：， 故选：D． 4．A 【分析】本题考查几何概率，涉及等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形中线性质，能得到各三角形面积之间的关系是解答的关键．由题意易得是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一可得，进而得到，进而得到，利用几何概率公式求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴是等腰三角形， ∵是边上的中线， ∴， ∴， ∴， ∴向内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为． 故选：A． 5．B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、概率的应用等知识点，根据概率列出方程是解题的关键． 设第一批确定的女生人数为，则男生人数为．结合第二批确定的2男1女，总男生数为，总人数为10．根据抽中男生的概率为列方程求解即可． 【详解】解：设第一批确定的女生人数为，则男生人数为．结合第二批确定的2男1女，总男生数为， 由题意可得： ，解得：． 故选B． 6．B 【分析】本题考查几何概率，涉及频率估计概率、折线图等知识，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．设不规则图案的面积大约为x，先计算长方形的面积，继而解得小球落在不规则图形的概率为，由折线图，得到小球落在不规则图形的概率为，据此解题． 【详解】解：设不规则图案的面积大约为x，则由题意得， 矩形的面积为 由几何概率公式得小球落在不规则图形的概率为， 当事件次数足够多即样本足够大时，其频率可作为概率估计值，则有折线图可知，小球落在不规则图形的概率为，即， ， 则此不规则图案的面积约为． 故选：B． 7．D 【分析】本题考查了分式的加法运算，整式和概率，求出两张卡片上代数式的和的所有结果，进而根据概率公式计算即可求解，掌握分式的加减运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 随机抽取两张卡片，两张卡片上代数式的和如下： ； ； ； ； ； ； 由上可知，共有种等结果，其中和为整式的结果有种， ∴两张卡片上代数式的和为整式的概率是， 故选：． 8．B 【分析】本题考查利用频率估计概率，在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率，关键是根据红球的频率得到相应的等量关系． 【详解】解：由题意可得：， 解得：， 经检验，为原方程的解且符合题意， ∴估计的值为． 故选：B． 9． 【分析】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率．根据三角形三边之间的关系与概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率． 【详解】解：有四根木棒，长度分别为3，6，9，11， 从中任取三根木棒，共有4种等可能出现的结果：3，6，9；3，6，11；6，9，11；3，9，11； 根据三角形两边之和大于第三边，能组成三角形的有6，9，11；3，9，11，共2种， 组成三角形的概率为， 故答案为：． 10． 【分析】本题考查用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件，解题的关键在于理解概率等于所求情况数与总情况数之比． 画树状图，共有9种等可能的结果，其中七年级1班和七年级2班恰好选择同一个主题的结果有3种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：把“机器人”，“”和“豆包”三个主题分别记为A、B、C， 画树状图如下：    共有9种等可能的结果，其中七年级1班和七年级2班恰好选择同一个主题的结果有3种， ∴七年级1班和七年级2班恰好选择同一个主题的概率为． 故答案为：． 11． 【分析】本题主要考查了几何概率，首先确定在图中3号板的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出蚂蚁停在3号板上的概率． 【详解】解：由七巧板的特点可知，3号板的面积是整个七巧板的面积的， ∴它停在3号板上的概率是， 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了概率公式，同底数幂的乘法、除法、幂的乘方与积的乘方．先根据整数的运算法则分别计算出结果，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：∵，，，， ∴背面朝上混合后随机抽取一张，取出的卡片正面式子的运算结果等于的情况有3个， ∴概率是． 故答案为：． 13． 【分析】本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握概率公式，即可完成. 由题意根据概率公式：概率=所求情况数与总情况数的比值，即可列方程求解. 【详解】解：由题意可得， ， 得到 故答案为： 14． 【分析】本题考查了利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．由图可知，书峰枇杷移栽成活的棵数占比稳定在0.9，故成活的概率估计值为0.9． 【详解】解：由题意得，随着移栽数量的增加，成活棵树的占比逐步稳定在附近， ∴可估计书峰枇杷移栽成活的概率约为， 故答案为：． 15． 【分析】本题考查了图形的变化类的规律，概率公式，找到规律是解题的关键．观察图形可得前几个图需要棋子的个数，发现规律即可得第个图需要棋子的个数，求出第20个这样的“小屋子”共有的棋子数，再根据概率公式计算即可． 【详解】∵第1个图形共有棋子个； 第2个图形共有棋子个； 第3个图形共有棋子个； 第4个图形共有棋子个； ； ∴第个图形共有棋子个， ∴第20个图形共有棋子个， ∵每个图形有5个黑色棋子， ∴从第20个这样的“小屋子”随机摸出一枚棋子，是黑色棋子的概率是． 故答案为：． 16． 【分析】取中点，设与以为直径的半圆的切点为，设正方形的边长为2，，结合题意易知切半圆于点，切半圆于点，切半圆于点，由切线长定理可知，，进而可得，，在中，利用勾股定理解得的值，再计算阴影部分的面积，然后结合简单概率计算公式求解即可． 【详解】解：如下图，取中点，设与以为直径的半圆的切点为， 设正方形的边长为2，， 则有，半圆的半径，， ∵为直径， ∴切半圆于点，切半圆于点， ∵切半圆于点， ∴，， ∴，， ∴在中，可有， 即，解得， ∴， ∵正方形的边长为2， ∴正方形的面积， 阴影部分的面积， ∴在正方形区域内任意取一点，则点落在阴影部分的概率． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了求不规则图形面积、勾股定理、切线长定理、简单概率计算等知识，正确求得阴影部分面积是解题关键． 17．(1)不可能 (2)这个游戏对双方不公平，理由见解析 【分析】本题考查事件判定、列表法求概率判断游戏的公平性等知识，读懂题意，熟记事件分类、列表法求概率的方法是解决问题的关键． （1）由事件的分类，结合题中盘没有数字4，即可得到答案； （2）由列表法得到全部结果，分别求出两次数字之和为奇数的概率及两次数字之和为偶数的概率，比较大小即可得到答案． 【详解】（1）解：由题可知，盘没有数字4，因此，事件“盘转到数字4”是不可能事件， 故答案为：不可能； （2）解：这个游戏对双方不公平， 理由如下：列表如下，           2 3 4 1 3 4 5 2 4 5 6 3 5 6 7 由表可知，共有9种等可能得结果，其中偶数有4种，奇数有5种， （小明胜）；（小亮胜）； ， 这个游戏对双方不公平． 18．(1)； (2) 【分析】本题主要考查了古典概型的概率计算，熟练掌握古典概型的概率公式是解题的关键． （1）根据古典概型的概率计算公式，即所求事件发生的结果数除以所有可能的结果数来计算甲选择到厦门方特参观游玩的概率． （2）通过列表法列出甲、乙两人选择地点的所有可能结果，再找出两人选择到同一个地点的结果数，最后根据概率公式计算概率． 【详解】（1）解：∵总共有四个地点，甲选择每个地点的可能性相同，厦门方特是其中一个地点 ∴甲选择到厦门方特参观游玩的概率为， 故答案为：； （2）解：将白城沙滩、厦门大学、山海步道、厦门方特四个地点分别记为、、、． 列表如下： 甲乙 ∵由列表可知，共有种等可能的结果，其中甲、乙两人选择到同一个地点参观游玩的结果有种 ∴甲、乙两人选择到同一个地点参观游玩的概率为 19．(1)；；七 (2)七八年级达到优秀等次的学生估计有人； (3)恰好选中甲、乙两名同学参加决赛的概率为：． 【分析】本题考查中位数、众数的意义和计算方法以及用样本估计总体，用列表法或画树状图法求概率，理解各个概念的内涵和计算方法是解题的关键． （1）根据中位数和众数的定义即可求出答案； （2）分别求出七、八年级优秀的比例，再乘以总人数即可； （3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好同时选中甲、乙两位同学的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】（1）解： 把七年级10名学生的测试成绩排好顺序为：71， 76， 79，83，84，86，87，90，90，94，根据中位数的定义可知中位数分； 八年级88，76，90，78，87，93，75，87，87，79． 其中87出现的次数最多， ∴众数为； 由于A同学得了86分大于85分，位于年级中等偏上水平，又因为七年级中位数为85分，八年级中位数为87分，由此可判断他是七年级的学生； （2）解：由题意可知，样本中七年级的优秀率是，八年级的优秀率是， 所以该校七八年级达到优秀等次的学生估计有（人）； （3）解：画树状图得： ∵共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲、乙两名同学的结果有2种， ∴恰好选中甲、乙两名同学参加决赛的概率为：． 20．(1)（为正整数） (2)18 (3) 【分析】本题考查了概率公式，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）直接根据红、黄、蓝三种球的数量之和，写出y关于x的函数表达式即可； （2）由题意可得，则，运用二次函数的图象性质分析吗，进而可知当时取得最小值，即可得出答案； （3）当y取得最小值时，黄球的数量为4个，盒子中球的总数为18个，结合概率公式可得答案． 【详解】（1）解：∵红球的数量为个，黄球的数量为个，蓝球的数量为10个，设盒子中球的总数为 ∴（为正整数） （2）解：∵超市希望红球的数量不少于黄球的数量 ∴， ∴ 则或（舍去） 则，开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， 则把代入，此时有最小值， 即， （3）解：依题意，在（2）中取得最小值的情况下，， ∴ 即黄球的数量为个， 此时盒子中球的总数为18个， ∴该顾客摸到黄球的概率． 21．(1) (2)见解析 (3)估计参加B项活动的学生为512名 (4) 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图，利用样本估计总体、列表或画树状图法求概率，掌握统计基础知识是解本题的关键． （1）由D的人数除以所占的百分比可得抽取学生总数； （2）求出C的人数，补全条形统计图即可； （3）由该校共有学生乘以参加B项活动的学生所占的比例即可； （4）画树状图，共有16种等可能的结果，其中小杰和小慧参加同一项活动的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：在这次调查中，一共抽取了学生（名） 故答案为：； （2）解：参加C项活动的人数为（名）， 补全条形统计图如下： （3）解： （名）， 答：估计参加B项活动的学生为512名； （4）解：画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中小杰和小慧参加同一项活动的结果有4种， ∴小杰和小慧参加同一项活动的概率为． 22．(1)80；72；见解析 (2)估计八年级每周锻炼时间达到6小时及以上的学生人数约350人 (3) 【分析】（1）根据样本容量=频数÷所占百分数，求得样本容量，求得对应的频数，补图即可；利用圆心角计算公式计算即可． （2）利用样本估计总体的思想计算即可． （3）根据列表或画树状图法，解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，得(人)， C组的人数为：(人)， 八年级人数为(人)， 故C组的圆心角为：， 补图如下：    故答案为：80,72． （2）解：（人）． 估计八年级每周锻炼时间达到6小时及以上的学生人数约350人． （3）解： 将七年级的2名同学分别记为甲、乙，八年级的2名同学分别记为丙、丁，列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁） 乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁） 丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁） 丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） 共有12种等可能的结果，其中恰好选中同一年级两名同学的情况有4种， （恰好选中同一年级两名同学的概率）． 【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图，样本容量，圆心角的计算，样本估计总体，列表或画树状图法求概率，熟练掌握统计图的意义，样本估计总体，概率计算，正确计算样本容量，计算概率是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$