2.4 单摆 导学案 -2025-2026学年高二上学期物理人教版选择性必修第一册

高二物理选择性必修一2.4《单摆》导学案 一、单摆 实验探究单摆的模型、讨论振动类型的证明。 细线悬挂着小球，在同一平面内摆动。阅读课本，理解并说明：该装置满足怎样的条件才可以称为单摆？有什么方法可以证明单摆的振动是否为简谐运动？ 讨论单摆的振动是简谐运动。 1、单摆：由小球和细线组成，细线的 与小球相比可以忽略，球的 和线的长度相比可以忽略，与小球受到的重力及绳的拉力相比，空气等对它的阻力可以忽略，这样的装置叫做单摆。单摆是实际摆的理想化模型。 2、单摆的回复力 （1）回复力的来源：摆球的重力沿 方向的分力。在一定范围内，单摆的运动是圆周运动，向心力来源于细线拉力和重力沿径向的分力的 。 （2）回复力的特点：在偏角很小时，摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的 大小成正比，方向总指向 ，若单摆摆长为l、摆球质量为m，则回复力F= ，因此单摆做 运动。 （3）振动图象是正弦（余弦）曲线。 例1：振动着的单摆摆球，通过平衡位置时，它受到的回复力（ ） A．指向地面 B．指向悬点 C．数值为零 D．垂直摆线，指向运动方向 例2：对于单摆振动，以下说法中正确的是( ) A.单摆振动时，摆球受到的向心力大小处处相等 B.单摆运动的回复力就是摆球受到的合力 C.摆球经过平衡位置时所受回复力为零 D.摆球经过平衡位置时所受合外力为零 二、单摆的周期 实验探究从单摆的模型出发，猜想：什么因素会影响单摆的周期？又怎样验证你的猜想？ 通过实验可知，单摆做简谐运动的周期由什么因素有关？ 单摆周期与摆长之间又有怎样的定量关系？ 1．伽利略发现了单摆运动的 ，惠更斯得出了单摆的 并发明了摆钟． 2．单摆的周期公式：T＝ . 3．对周期公式的理解 (1)单摆的周期公式在单摆偏角很小时成立(偏角为不大于 )． (2)公式中l是摆长，即悬点到摆球球心的距离l＝ ． (3)公式中g是单摆所在地的重力加速度，由单摆所在的空间位置决定． (4)周期T只与 和 有关，与摆球 及 无关，所以单摆的周期也叫固有周期． 例3：做简谐运动的单摆，其摆长不变，若摆球的质量增加为原来的:4/9倍，摆球经过平衡位置的速度减为原来的2/3，则单摆振动的（　　） A．周期不变，振幅不变 B．周期不变，振幅变小 C．周期改变，振幅不变 D．周期改变，振幅变大 例4：有两位同学利用假期分别去参观位于天津市的“南开大学”和上海市的“复旦大学”，他们各自利用那里的实验室中DIS系统探究了单摆周期和摆长的关系。然后通过互联网交流实验数据，并用计算机绘制了如图甲所示的t2-l图像。另外，去“复旦大学”做研究的同学还利用计算机绘制了他实验用的a、b两个摆球的振动图像，如图乙所示。下列说法正确的是( ) A. 甲图中“南开大学”的同学所测得的实验结果对应的图线是A B. 甲图中图线的斜率表示对应所在位置的重力加速度的倒数 C. 由乙图可知，a、b两摆球振动周期之比为3:2 D. 由乙图可知，t=1s时b球振动方向沿y轴负方向 课堂练习： 1、关于单摆，下列说法中正确的是( ) A.单摆振动的回复力是重力沿圆弧切线方向的分力mgsinɑ ，其中ɑ 是摆线与竖直方向之间的夹角 B.单摆的回复力是重力和摆线拉力的合力 C.单摆的摆球在平衡位置时（最低点）的加速度为零 D.单摆的振动周期在偏角很小的条件下跟振幅有关 2．下列关于单摆运动过程中的受力说法，正确的是（ ） A．单摆运动的回复力是重力和摆线拉力的合力 B．单摆运动的回复力是重力沿圆弧切线方向的一个分力 C．单摆过平衡位置时，所受的合力为零 D．单摆运动的回复力是摆线拉力的一个分力 3. 如图，竖直平面内有一半径为1.6 m、长为10 cm的光滑圆弧轨道，小球置于圆弧左端，t＝0时刻起由静止释放．g取10 m/s2，t＝3 s时小球正在(　　) A．向右加速运动　B．向右减速运动 C．向左加速运动　D．向左减速运动 4．如图是两个单摆的振动图像。 （1） 甲、乙两个摆的摆长之比是多少？ （2） 以向右的方向作为摆球偏离平衡位置的位移正方向，从t=0起，乙第一次到达右方最大位移时，甲摆动到了什么位置？向什么方向运动？ 课后巩固练习 1.以下各装置中，哪个作为单摆最合适（ ） A．1m长的橡皮绳上挂一个铁球 B．1m长的铁丝上挂一个乒乓球 C．0.3m长的细线下挂一个大钢球 D．1m长的细线下挂一个小钢球 2.如图所示，上端固定的细线下悬挂一个除去了柱塞的注射器，注射器向下喷出一细束墨水。沿着与摆动方向垂直的方向匀速拖动一张足够长的 白纸，白纸上的墨迹便画出振动图象（x-t 图象）。不计空气阻力，设注射器中水的质量远大于注射器的质量，随着水的流出，摆的周期将（　　） A．周期不变 B．先变大后变小 C．先变小后变大 D．逐渐变大 3. 如图，长为l的细绳下方悬挂一小球a．绳的另一端固定在天花板上O点处，在O点正下方3l/4的Oˊ处有一固定细铁钉．将小球向右拉开，使细绳与竖直方向成一小角度（约为2°）后由静止释放，并从释放时开始计时．当小球a摆至最低位置时，细绳会受到铁钉的阻挡．设小球相对于其平衡位置的水平位移为x，向右为正．下列图像中，能描述小球在开始一个周期内的x-t关系的是（ ） A． B． C． D． 4.将一个摆长为l 的单摆放在一个光滑的、倾角为ɑ 的斜面上，其摆角为θ ，如图所示，下列说法正确的是( ) A.摆球做简谐运动的回复力为F=mgsinɑsinθ B.摆球做简谐运动的回复力为F=mgsinɑ C.摆球经过平衡位置时合力为零 D.摆球在运动过程中，经过平衡位置时，线的拉力为F=mgsinɑ 5．两根等长的轻质细绳下方系两个完全相同的小球，让其中一个小球做圆锥摆运动，另一个小球做秋千摆运动，如图所示。圆锥摆过程中细绳与竖直方向夹角和秋千摆的最大摆角相等，不考虑空气阻力，轻绳不可伸长，则下列说法中正确的是（    ）    A．小球做圆锥摆时受到细绳拉力和做秋千摆时在最高点A处受到的拉力大小相等 B．小球做圆锥摆时，可以保证与竖直方向夹角不变的情况下，增大小球的角速度 C．小球做秋千摆时，在C点处于平衡状态 D．小球做秋千摆时，在B点处于超重状态 6．如图甲所示，一个单摆做小角度摆动，以向右的方向作为摆球偏离平衡位置的位移的正方向，得到摆球相对平衡位置的位移x随时间t变化的图像，如图乙所示，不计空气阻力。对于这个单摆的振动过程，下列说法正确的是（　　） A．t=0.5s时，摆球所受回复力最大，方向向右 B．t=1s时，摆球偏离平衡位置位移最大，方向向右 C．此单摆的周期是1s D．该单摆摆长约为2m 7．有一单摆，是摆球的平衡位置，分别是单摆摆动过程中的左、右两个位移最大的位置，如图1所示。当摆球从左向右经过点时开始计时，单摆的振动图像如图2所示，重力加速度，下列说法正确的是（　　） A．和时摆球的速度方向相同 B．时间内摆球的加速度越来越大 C．时摆球的位移为 D．该单摆的摆长约为 8．甲、乙两个单摆的振动图像如图所示。以向右的方向作为摆球偏离平衡位置位移的正方向。下列关于甲、乙这两个单摆的说法正确的是（　　） A．甲与乙的摆长之比是 B．甲与乙的频率之比是 C．在、两点对应的时刻，甲摆球的速度相同 D．从时刻起，乙第一次到达左侧最大位移时，甲摆动到了平衡位置 9．如图甲所示，单摆在竖直面内的A、C之间做简谐运动。小南同学利用传感器得到了单摆的摆球沿摆线方向的关系图（图乙）。为了进一步研究单摆的特性，小华继续实验。先使摆球（视为质点）带负电（摆线是绝缘的），然后分别将其放在垂直纸面向外的匀强磁场和竖直向上的匀强电场中。对于此次研究，小华的猜想正确的是（　　） A．由图像可得单摆摆动的周期为 B．摆球运动到最低点B时，回复力为零，所受合力为零 C．加上匀强磁场后，A与C不在同一水平面 D．加上匀强电场后，单摆周期变小 10．图甲中O点为单摆的固定悬点，现将摆球拉至A点，此时细线处于张紧状态。由静止释放摆球，则摆球将在竖直平面内的A、C之间来回摆动。小于5°且大小未知，同时由连接到计算机的力传感器得到了摆线对摆球的，如图乙所示（图中所标字母以及重力加速度g均为已知量）。不计空气阻力。根据题中（包括图中）所给的信息，求：拉力大小F随时间t变化的曲线 (1)该单摆的摆长； (2)摆球的质量？ 11．如图所示，一倾角为α（α很小）、斜面长度为2L的斜面体固定在水平地面上，光滑小球由斜面顶点 A 从静止开始下滑，重力加速度为g，试求： （1） 小球沿斜面下滑时的加速度大小a； （2） 小球经斜面滑到底端 B 点所用时间t1； （3） 如果过A、B两点将斜面剜成一个圆弧面，使圆弧面恰与底端B点相切，小球沿圆弧面滑到 B 点所用时间为t2，求 t1∶ t2的大小。 12．将一测力传感器连接到计算机上就可以测量快速变化的力，如图（a）所示点O为单摆的悬点，将传感器接在摆线与点O之间，现将小球（可视为质点）拉到点A，此时细线处于张紧状态，释放摆球，则摆球在竖直平面内的ABC之间来回摆动，其中点B为运动最低位置，，小于5°且是未知量。如图（b）所示是由计算得到细线对摆球的拉力大小F随时间变化的图像，且图中时刻为摆球从点A开始运动的时刻，据力学规律和题中信息（g取），求： （1）单摆的周期和摆长； （2）摆球的质量及摆动过程中的最大速度。 13．如图所示，单摆摆长为l，摆球质量为m，带正电q，悬挂在电场强度大小为E、方向竖直向下的匀强电场中，使摆球在偏离最低点、摆角很小的位置释放。（忽略空气阻力） （1）求摆角为时，摆球所受回复力的大小； （2）证明：在摆角很小时，摆球的运动是简谐运动。（很小时，） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 课后巩固练习参考答案 1．A 2．A 3．B 4．A 5．D 6．A 7．D 8．D 9．D 10.(1) (2) 【详解】（1）由拉力大小F随时间t变化的曲线可读出单摆的周期为 根据单摆的周期公式，可得该单摆的摆长为 （2）设摆角为，则在最高点时，速度为零，则向心力为零，有 在最低点时，有 其中 联立解得 11．（1）；（2）；（3） 【详解】（1）根据题意，小球光滑，沿斜面方向由牛顿第二定律有 解得 （2）由运动学公式有 解得 （3）由于倾角α较小，小球从圆弧面下滑可看成单摆运动，由几何关系可得，单摆的等效摆长为 则周期为 可得 则有 12．（1）；0.4m；（2）0.05kg； 【详解】（1）由图（b）可知，该单摆的周期为 根据单摆周期公式 代入数据可求得 （2）单摆在A、C点速度为零，由图（b）可知，此时摆线的拉力最小，则有 B点速度最大，摆线拉力最大，则有 其中， 从A点到B点，由动能定理有 联立以上式子，代入相关数据求得， 13．（1）；（2）见解析 【详解】（1）在摆球运动到圆弧上某一位置P点时，受力如图所示 摆球受到回复力，其大小 （2）证明：当摆角很小时，摆球运动的圆弧可以看成直线， 相对位置O的位移x大小与弧长相等，有 回复力大小 回复力方向，与位移x方向相反 又因为是一定的，可以用一个常量k表示，则回复力可表示为 证得摆球的运动是简谐运动。 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$