3.3探索与表达规律（第2课时）（导学案）数学北师大版2024七年级上册

3.3探索与表达规律（第2课时）（导学案）（原卷版） 1.教学目标 （1）经历由特殊到一般和由一般到特殊的思考过程，体会代数推理的特点和作用，发展代数推理能力。 （2）能用代数式表示并借助运算解释、论证某些一般规律或现象。 （3）能设计一些蕴含规律的游戏或问题。 重点：能用代数式表示并借助代数式运算解释某些一般规律或现象。 难点：对解决问题的思路和方法的分析与选择，设计数字游戏。 第一环节 自主学习 温故知新： ①解决规律问题的一般思维路径：“ — — — ”。 ②通常用 表示规律，并借助 一些数量关系的正确性。 新知自研：自研课本第96--97页的内容 【学法指导】 自研课本P96-97页内容，思考： (一)数字游戏的规律表达 玩数字游戏 老师：你在心里想好一个两位数，将这个两位数的十位数字乘 2，然后加3，再将所得的和乘5，最后将得到的数加你想的那个两位数的个位数字。把你的结果告诉我，我就知道你心里想的两位数。 （1）你发现游戏中有什么规律?你能用语言描述发现的规律吗? （2）这个规律对于任何一个两位数都成立吗? （3）如果请你解释这个规律，你会借助什么方法?哪种方法更好? （4）请用适当的方法完成对上述规律的解释。 （二）设计数字游戏 设计一个类似上面的数字游戏，解释其中的道理，并与同伴进行交流。 ①请你设计一个含有一定规律的数字游戏。②设计好后，与同伴做游戏。③请同伴说出你设计的游戏中的规律，并解释其中的道理。④跟同伴说一说你是怎样设计的。⑤与同伴互换角色，继续进行活动。 （三）数字整除规律表达 问题1：一个三位数能否被3整除，只要看这个数的各数位上的数字之和能否被3整除。你能说明其中的道理吗? 问题2：一个四位数能否被3整除是否也有这样的规律?请说明理由。 （四）回顾反思 回顾反思　　回顾本章的学习，在用字母表达数量关系和运算方面你积累了哪些经验? 【自研自探】 自研课本96-97页例题内容，回答问题： 例1．小明，小刚，小颖三人玩游戏，每人一张写有已化为最简代数式的卡片，游戏规则为选择两位同学的代数式相减等于第三位同学的代数式，则游戏成功．小明，小刚，小颖的卡片如下，其中小颖的卡片有一部分看不见了． (1)小颖建议选取小明卡片上的代数式减去小刚卡片上的代数式，请你判断此操作能否使游戏成功； (2)小颖发现用她卡片上的代数式减去小明卡片上的代数式可以使游戏成功，你能否帮小颖求出她的代数式． 例2．将10枚硬币背面朝上放在桌子上，依次编号为①，②，③…⑩，记正面朝上为“+”，背面朝上为“-”，某兴趣小组同学依次按照如下规则进行翻硬币游戏：第1次把所有编号能被1整除的硬币翻一次，第2次把所有编号能被2整除的硬币翻一次，第3次把所有编号能被3整除的硬币翻一次……第次把所有编号能被整除的硬币翻一次，游戏结束． (1)将下列表格补充完整： 编号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ 翻次 1 2 2 3 2 4 4 4 结果 + - - + - - - - (2)若有20枚硬币，在游戏结束时，所有正面朝上的硬币的编号为__________； (3)按照上述规则，若共有枚硬币在游戏结束时朝上，则硬币数量最多为_________枚（用含有的式子表示）． 例3．如果把一个正整数各数位上数字从最高位到个位依次排出一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的正整数叫做“完美数”．例如：自然数64746从最高位到个位排出的一中数字是：6、4、7、4、6，从个位到最高位排出的一串数字也是：6、4、7、4、6，所以64746是“完美数”．再如：33，181，212，4664，…，都是“完美数”． (1)若由a、b(a、b均为1-9的正整数)组成的两位数、，与的和一定能被一个常数n整除(n为大于1的正整数)，则常数______； (2)现有一个四位数，若它是“完美数”，这个“完美数”一定能被一个常数m整除(m为大于1的正整数)，则常数______；请说明理由． 例4．综合与实践． 在一个创新教育中心，学生们正在参与一个名为“火柴棍工程”的综合实践活动．这个活动旨在通过动手实践来培养学生的空间想象力、逻辑思维和数学计算能力．如图所示，学生们需要使用火柴棍来构建一系列由三角形组成的图形，并探索这些图形的数学规律． (1)实践操作：如果图形中含有4个三角形，那么拼成这个图形需要 根火柴棍． (2)数学探究：如果图形中含有n个三角形，那么拼成这个图形需要 根火柴棍． (3)应用数学：若图形中含有2024个三角形，并且每根火柴棍的长度为，则图形中所有火柴棍的长度和为多少？ 第二环节 合作探究 1.讨论游戏中有什么规律?你能用语言描述发现的规律吗?这个规律对于任何一个两位数都成立吗? 如果请你解释这个规律，你会借助什么方法?哪种方法更好？请用适当的方法完成对上述规律的解释。 2.讨论设计一个类似上面的数字游戏，解释其中的道理，并与同伴进行交流。 3.讨论一个三位数能否被3整除，只要看这个数的各数位上的数字之和能否被3整除。你能说明其中的道理吗?一个四位数能否被3整除是否也有这样的规律?请说明理由。 4.讨论回顾本章的学习，在用字母表达数量关系和运算方面你积累了哪些经验? 5.拓展提升：1．若一个两位数十位、个位上的数字分别为m，n，我们可将这个两位数记为，易知；同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如． (1)①若，则 ； ②若，则 ； (2)交换任意一个两位数的个位数字与十位数字，可得到一个新数，则一定是9的倍数吗？试着利用整式的运算说明你的结论； (3)北京时间2019年4月10日21时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚．数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数，再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”． ①该“卡普雷卡尔黑洞数”为 ； ②设任选的三位数为（不妨设），试说明其均可产生该黑洞数． 课本课堂练习：1.有三堆棋子，数目相等，每堆至少有4枚。从左堆中取出3枚放入中堆，从右堆中取出4枚放入中堆，再从中堆中取出与左堆剩余棋子数相同的棋子数放入左堆，这时中堆的棋子数是多少?请做一做，并解释其中的道理。 1．（2025.六安金安期中）课堂上，老师设计了一个数学游戏，给甲、乙、丙三名同学各一张写有代数式（已化简）的卡片，若两位同学的代数式相减等于第三位同学的代数式，则游戏成功．甲、乙、丙的卡片如图所示，其中丙的卡片有一部分看不清楚了（图中阴影所示）． 甲            乙                 丙 (1)计算甲的代数式减乙的代数式的结果，并判断该运算能否使游戏成功； (2)小明发现丙的代数式减甲的代数式可以使游戏成功，请求出丙的代数式． 2.（2025.安徽）对于正整数n，根据n除以3的余数，分以下三种情况得到另一个正整数m；若余数为0，则m；若余数为1，则m＝2n；若余数为2，则m＝n+1．这种得到m的过程称为对n进行一次“变换”．对所得的数m再进行一次变换称为对n进行二次变换，依此类推．例如，正整数n＝4，根据4除以3的余数为1，由4×2＝8知，对4进行一次变换得到的数为8，根据8除以3的余数为2，由8+1＝9知，对4进行二次变换得到的数为9；根据9除以3的余数为0，由9÷3＝3知，对4进行三次变换得到的数为3． （1）对正整数15进行三次变换，得到的数为　　　　　 ； （2）若对正整数n进行二次变换得到的数为1，则所有满足条件的n的值之和为　　　　　 ． 按照由 和由 的思考过程，通过“ — — — ”的一般思维路径，用 表达数量关系及规律，并通过 的合理性。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.3探索与表达规律（第2课时）（导学案）（解析版） 1.教学目标 （1）经历由特殊到一般和由一般到特殊的思考过程，体会代数推理的特点和作用，发展代数推理能力。 （2）能用代数式表示并借助运算解释、论证某些一般规律或现象。 （3）能设计一些蕴含规律的游戏或问题。 重点：能用代数式表示并借助代数式运算解释某些一般规律或现象。 难点：对解决问题的思路和方法的分析与选择，设计数字游戏。 第一环节 自主学习 温故知新： ①解决规律问题的一般思维路径：“观察—分析—归纳—论证”。 ②通常用代数式表示规律，并借助运算论证一些数量关系的正确性。 新知自研：自研课本第96--97页的内容 【学法指导】 自研课本P96-97页内容，思考： (一)数字游戏的规律表达 玩数字游戏 老师：你在心里想好一个两位数，将这个两位数的十位数字乘 2，然后加3，再将所得的和乘5，最后将得到的数加你想的那个两位数的个位数字。把你的结果告诉我，我就知道你心里想的两位数。 （1）你发现游戏中有什么规律?你能用语言描述发现的规律吗? 结果减去15就是心里想的两位数。 （2）这个规律对于任何一个两位数都成立吗? 都成立。 （3）如果请你解释这个规律，你会借助什么方法?哪种方法更好? 可以用字母表示数，通过计算来寻找规律方法最好。 （4）请用适当的方法完成对上述规律的解释。 设心里想的这个两位数的十位数字为，个位数字为，这个两位数为，根据游戏规则，，说明结果减去15就是心里想的两位数。 （二）设计数字游戏 设计一个类似上面的数字游戏，解释其中的道理，并与同伴进行交流。 ①请你设计一个含有一定规律的数字游戏。②设计好后，与同伴做游戏。③请同伴说出你设计的游戏中的规律，并解释其中的道理。④跟同伴说一说你是怎样设计的。⑤与同伴互换角色，继续进行活动。 （三）数字整除规律表达 问题1：一个三位数能否被3整除，只要看这个数的各数位上的数字之和能否被3整除。你能说明其中的道理吗? 如：一个三位数，因为能被3整除，所以当能被3整除时，能被3整除。 问题2：一个四位数能否被3整除是否也有这样的规律?请说明理由。 具有这样的规律，理由类似（1）。 （四）回顾反思 回顾反思　　回顾本章的学习，在用字母表达数量关系和运算方面你积累了哪些经验? 结合回顾，进一步提出以下一些问题: (1)本节课我们理解、表达、解释的规律有怎样的共同特点? (2)本节课是如何推理论证一些结论的?请举例说明。 (3)回顾本章章首页中的两个可持续思考的问题，你能用自己的语言表达你对这两个问题的思考吗? 【自研自探】 自研课本96-97页例题内容，回答问题： 例1．小明，小刚，小颖三人玩游戏，每人一张写有已化为最简代数式的卡片，游戏规则为选择两位同学的代数式相减等于第三位同学的代数式，则游戏成功．小明，小刚，小颖的卡片如下，其中小颖的卡片有一部分看不见了． (1)小颖建议选取小明卡片上的代数式减去小刚卡片上的代数式，请你判断此操作能否使游戏成功； (2)小颖发现用她卡片上的代数式减去小明卡片上的代数式可以使游戏成功，你能否帮小颖求出她的代数式． 【分析】本题考查了整式的加减运算，注意计算的准确性即可； （1）计算即可判断； （2）计算即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得： ； ∵的常数项为8，而小颖卡片上代数式中的常数项为， ∴小明卡片上的代数式减去小刚卡片上的代数式不等于小颖卡片上的代数式． ∴游戏不成功． （2）解：根据题意得，小颖卡片上的代数式为： ． ∴小颖卡片上的代数式为． 例2．将10枚硬币背面朝上放在桌子上，依次编号为①，②，③…⑩，记正面朝上为“+”，背面朝上为“-”，某兴趣小组同学依次按照如下规则进行翻硬币游戏：第1次把所有编号能被1整除的硬币翻一次，第2次把所有编号能被2整除的硬币翻一次，第3次把所有编号能被3整除的硬币翻一次……第次把所有编号能被整除的硬币翻一次，游戏结束． (1)将下列表格补充完整： 编号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ 翻次 1 2 2 3 2 4 4 4 结果 + - - + - - - - (2)若有20枚硬币，在游戏结束时，所有正面朝上的硬币的编号为__________； (3)按照上述规则，若共有枚硬币在游戏结束时朝上，则硬币数量最多为_________枚（用含有的式子表示）． 【分析】本题主要考查了数字变化规律，用代数式表示， （1）编号⑦能被1和7整数，所以翻次为2，结果为“”，编号⑨能被1，3和9整除，所以翻次为3，结果为“”，填表即可； （2）列出所有游戏结果，可得答案； （3）根据前20枚硬币的结果，得出前4次硬币数量最多的枚数，即可得出答案． 【详解】（1）解：编号⑦能被1和7整数，所以翻次为2，结果为“”，编号⑨能被1，3和9整除，所以翻次为3，结果为“”，填表即可； 编号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ 翻次 1 2 2 3 2 4 2 4 3 4 结果 （2）解：结合（1），可知有20枚硬币，在游戏结束时，所有正面朝上的硬币的编号为①④⑨⑯． 故答案为：①④⑨⑯； 编号 ⑪ ⑫ ⑬ ⑭ ⑮ ⑯ ⑰ ⑱ ⑲ ⑳ 翻次 2 6 2 4 4 5 2 6 2 6 结果 （3）解：当有1枚硬币正面朝上，最多可以有枚硬币； 当有2枚硬币正面朝上，最多可以有枚硬币； 当有3枚硬币正面朝上，最多可以有枚硬币； 当有4枚硬币正面朝上，最多可以有枚硬币， ， 当有n枚硬币正面朝上，最多可以有枚硬币． 故答案为：． 例3．如果把一个正整数各数位上数字从最高位到个位依次排出一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的正整数叫做“完美数”．例如：自然数64746从最高位到个位排出的一中数字是：6、4、7、4、6，从个位到最高位排出的一串数字也是：6、4、7、4、6，所以64746是“完美数”．再如：33，181，212，4664，…，都是“完美数”． (1)若由a、b(a、b均为1-9的正整数)组成的两位数、，与的和一定能被一个常数n整除(n为大于1的正整数)，则常数______； (2)现有一个四位数，若它是“完美数”，这个“完美数”一定能被一个常数m整除(m为大于1的正整数)，则常数______；请说明理由． 【分析】本题考查的是新定义运算，数的整除，有理数的乘法分配律的逆应用，整式的加减运算的应用，理解题意，列出正确的运算式是解本题的关键． （1）先分别表示，，再求和，结合乘法的分配律变形可得答案； （2）由题意可得这个四位的完美数为，其中a，b为一位正整数，再表示这个完美数即可得到答案． 【详解】（1）解：∵a、b（a、b均为1～9的正整数）组成的两位数，， ∴，， ∴， ∴与的和一定能被11整除， ∴， 故答案为：11； （2）解：． 理由：∵一个四位数，它是“完美数”， ∴这个四位数为，其中a，b为一位正整数， ∴这个四位数为：， ∴这个“完美数”一定能被11整除， ∴． 例4．综合与实践． 在一个创新教育中心，学生们正在参与一个名为“火柴棍工程”的综合实践活动．这个活动旨在通过动手实践来培养学生的空间想象力、逻辑思维和数学计算能力．如图所示，学生们需要使用火柴棍来构建一系列由三角形组成的图形，并探索这些图形的数学规律． (1)实践操作：如果图形中含有4个三角形，那么拼成这个图形需要 根火柴棍． (2)数学探究：如果图形中含有n个三角形，那么拼成这个图形需要 根火柴棍． (3)应用数学：若图形中含有2024个三角形，并且每根火柴棍的长度为，则图形中所有火柴棍的长度和为多少？ 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键． （1）根据题意数出图形中含有4个三角形时需要的火柴棒数量即可； （2）观察图形可知，每多一个三角形，则要多两根火柴棒，据此规律求解即可； （3）根据（2）所求求出所需要的火柴棒数量即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，如果图形中含有4个三角形，那么拼成这个图形需要9根火柴棒； （2）解：图形中含有1个三角形，需要3根火柴棒， 图形中含有2个三角形，需要根火柴棒， 图形中含有3个三角形，需要根火柴棒， 图形中含有4个三角形，需要根火柴棒， ……， 以此类推，可知，图形中含有n个三角形，需要根火柴棒， （3）解：当图形中含有2024个三角形时，火柴棍的根数为（根）， ∴图形中所有火柴棍的长度和为． 第二环节 合作探究 1.讨论游戏中有什么规律?你能用语言描述发现的规律吗?这个规律对于任何一个两位数都成立吗? 如果请你解释这个规律，你会借助什么方法?哪种方法更好？请用适当的方法完成对上述规律的解释。 2.讨论设计一个类似上面的数字游戏，解释其中的道理，并与同伴进行交流。 3.讨论一个三位数能否被3整除，只要看这个数的各数位上的数字之和能否被3整除。你能说明其中的道理吗?一个四位数能否被3整除是否也有这样的规律?请说明理由。 4.讨论回顾本章的学习，在用字母表达数量关系和运算方面你积累了哪些经验? 5.拓展提升：1．若一个两位数十位、个位上的数字分别为m，n，我们可将这个两位数记为，易知；同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如． (1)①若，则 ； ②若，则 ； (2)交换任意一个两位数的个位数字与十位数字，可得到一个新数，则一定是9的倍数吗？试着利用整式的运算说明你的结论； (3)北京时间2019年4月10日21时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚．数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数，再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”． ①该“卡普雷卡尔黑洞数”为 ； ②设任选的三位数为（不妨设），试说明其均可产生该黑洞数． 【分析】本题考查了新定义，整式的加减，有理数的减法，理解新定义是解答本题的关键． （1）①②按定义列式求解即可； （2）按定义式子展开化简即可； （3）①任选一个三位数，然后根据题中所给的规则继续计算即可求得答案；； ②按定义式子化简，注意条件的应用，化简到出现循环数495即可． 【详解】（1）①∵， ∴ ； 故答案为：； ②∵， ∴ ． 故答案为：297； （2）∵， ∴一定能被9整除； （3）①若选的数为325，则用，以下按照上述规则继续计算， ， ， ， ， 故答案为495； ②当任选的三位数为时，第一次运算后得： ， 结果为99的倍数，由于，故， ∴，又， ∴， ∴，3，4，5，6，7，8，9， ∴第一次运算后可能得到：198，297，396，495，594，693，792，891， 再让这些数字经过运算，分别可以得到： ，，，， 故都可以得到该黑洞数495． 课本课堂练习：1.有三堆棋子，数目相等，每堆至少有4枚。从左堆中取出3枚放入中堆，从右堆中取出4枚放入中堆，再从中堆中取出与左堆剩余棋子数相同的棋子数放入左堆，这时中堆的棋子数是多少?请做一做，并解释其中的道理。 答案：10 1．（2025.六安金安期中）课堂上，老师设计了一个数学游戏，给甲、乙、丙三名同学各一张写有代数式（已化简）的卡片，若两位同学的代数式相减等于第三位同学的代数式，则游戏成功．甲、乙、丙的卡片如图所示，其中丙的卡片有一部分看不清楚了（图中阴影所示）． 甲            乙                 丙 (1)计算甲的代数式减乙的代数式的结果，并判断该运算能否使游戏成功； (2)小明发现丙的代数式减甲的代数式可以使游戏成功，请求出丙的代数式． 【分析】本题主要考查了整式的加减计算： （1）根据整式的加减计算法则求出甲的代数式减乙的代数式的结果，再根据结果的常数项与丙的代数式的常数项不同可得答案； （2）由题意得丙的代数式等于甲的代数式加上乙的代数式，据此求出甲的代数式加上乙的代数式的结果即可得到答案． 【详解】（1）解： ， ∵甲的代数式减去乙的代数式的结果的常数项为，而丙的代数式的常数项的结果数为12， ∴甲的代数式减去乙的代数式的结果不等于丙的代数式， ∴该运算不能使游戏成功； （2）解：由题意得丙的代数式等于甲的代数式加上乙的代数式， ， ∴丙的代数式为． 2.（2025.安徽）对于正整数n，根据n除以3的余数，分以下三种情况得到另一个正整数m；若余数为0，则m；若余数为1，则m＝2n；若余数为2，则m＝n+1．这种得到m的过程称为对n进行一次“变换”．对所得的数m再进行一次变换称为对n进行二次变换，依此类推．例如，正整数n＝4，根据4除以3的余数为1，由4×2＝8知，对4进行一次变换得到的数为8，根据8除以3的余数为2，由8+1＝9知，对4进行二次变换得到的数为9；根据9除以3的余数为0，由9÷3＝3知，对4进行三次变换得到的数为3． （1）对正整数15进行三次变换，得到的数为　　　　　 ； （2）若对正整数n进行二次变换得到的数为1，则所有满足条件的n的值之和为　　　　　 ． 【解答】解：（1）∵15÷3＝5...0， ∴15进行一次变换后得到的数为； ∵5÷3＝1…2， ∴15进行二次变换后得到的数为5+1＝6； ∵6÷3＝2…0， ∴15进行三次变换后得到的数为2， 故答案为：2； （2）当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为0时，则第一次变换后的数为1×3＝3，此时符合题意； 当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为1时，则第一次变换后的数为，此时不符合题意； 当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为2时，则第一次变换后的数为1﹣1＝0，此时不符合题意； 综上所述，第一次变换后所得的数为3， 当n除以3的余数为0时，则n＝3×3＝9，符合题意； 当n除以3的余数为1时，则，不符合题意； 当n除以3的余数为2时，则n＝3﹣1＝2，符合题意； ∴符合题意的n的值是9或2， ∴所有满足条件的n的值之和为2+9＝11， 故答案为：11． 按照由特殊到一般和由一般到特殊的思考过程，通过“观察—分析—归纳—论证”的一般思维路径，用代数式表达数量关系及规律，并通过代数运算进行推理判断结论的合理性。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$