单元复习讲义：专题08 数学广角——数与形（考点梳理+例题讲解+考点练习）-2025-2026学年六年级上册数学人教版

2025-2026学年六年级上册数学人教版单元复习讲义 专题08 数学广角——数与形 （考点梳理+例题讲解+考点练习） 专题预览 考点梳理 1 考点一、核心思想：数形结合 1 考点二、观察图形，发现规律并解决问题 (以形助数) 1 考点三、观察数列或算式，发现规律并用图形解释或验证 (以数解形) 2 考点四、利用数形结合思想解决实际问题 3 考点五、解题方法与策略 4 考点六、易错点提示 4 例题讲解 4 一、数列中的规律 4 二、算式的规律 4 三、用图像表示变化关系 5 四、数形结合规律 6 考点练习 7 一、数列中的规律 7 二、算式的规律 8 三、用图像表示变化关系 9 四、数形结合规律 10 考点梳理 考点一、核心思想：数形结合 1.定义： 指通过数（数量关系）与形（空间形式）的相互转化、相互利用来解决数学问题的一种思想方法。 2.作用： （1）以形助数： 利用图形的直观性帮助理解和解决与数、算式相关的问题，使抽象的数或数量关系具体化、形象化。 （2）以数解形： 利用数的精确性和规律性来描述、分析和解决与图形相关的问题，使图形的性质量化、精确化。 考点二、观察图形，发现规律并解决问题 (以形助数) 1.这类题目通常给出一组按一定规律排列的图形，要求： （1）找出图形的变化规律： 如图形的个数、形状、颜色、方向、组成部分等的变化。 （2）根据规律用数或算式表示： 用数表示第n个图形的某种数量（如小棒根数、小正方形个数、圆圈个数等）。 （3）预测后续图形的数量或画出后续图形。 2.用小棒摆正方形 摆1个正方形需要4根小棒 摆2个正方形需要7根小棒 摆3个正方形需要10根小棒 ...... 每个正方形共用一条边 第1个：4根 (3×1 + 1) 第2个：4 + 3 = 7根 (3×2 + 1) 第3个：7 + 3 = 10根 (3×3 + 1) ...... 规律分析： 除了第一个正方形用4根，以后每增加一个正方形就增加3根小棒。图形的规律可以用代数式3n+1来表示。 3.点阵中的规律 (如从1开始的连续奇数之和) ....... 第1个图形（点）：1点 → 1 = 1² 第2个图形（点阵）：1 + 3 = 4点 → 4 = 2² 第3个图形（点阵）：1 + 3 + 5 = 9点 → 9 = 3² 第n个图形：1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) = n² 规律分析： 从1开始的n个连续奇数相加的和等于n的平方。图形（正方形点阵）的点数之和与平方数紧密相关。 考点三、观察数列或算式，发现规律并用图形解释或验证 (以数解形) 1.这类题目通常给出一组有规律的数或算式，要求： （1）找出数或算式的排列规律。 （2）用图形直观地表示出这些数或算式的意义和规律。 （3）利用规律进行计算或预测。 2.分数加法的规律 + = → 可以用一个正方形先涂，再涂剩下的（即），合起来是。 + + = → 继续用正方形涂色，发现和越来越接近1。 + + + ... + = 1 - 规律分析： 通过观察图形（如正方形或圆形的涂色部分），可以直观地理解当分数单位越来越小时，它们的和趋近于1的规律。 3.平方差公式的初步感知 (a² - b² = (a-b)(a+b)) 例如：5² - 3² = (5-3)×(5+3) = 16。 可以用边长为5的大正方形面积减去边长为3的小正方形面积，剩余部分通过割补可以转化为一个长方形，其长为(5+3)，宽为(5-3)，面积即为(5-3)×(5+3)。 规律分析： 利用图形的面积关系来解释抽象的代数恒等式，体现了以形助数的思想。 考点四、利用数形结合思想解决实际问题 1.在解决一些复杂的数学问题时，特别是涉及到数量关系比较抽象时，可以通过画线段图、示意图、列表格等方式（形），将抽象的数量关系直观化，从而找到解题思路。 2.典型例题：行程问题、工程问题、分数应用题等，通过画线段图帮助分析数量关系。 3.规律分析： 虽然不是本单元的重点，但体现了数形结合思想的广泛应用。本单元更侧重于探索规律本身。 考点五、解题方法与策略 1.仔细观察： 认真观察图形或数列的特点，包括数量、大小、方向、颜色、位置等的变化。 2.寻找共性与差异： 比较相邻图形或数之间的异同，找出重复出现的模式或变化趋势。 3.动手操作与尝试： 对于图形类问题，可以动手画一画、摆一摆，亲身体验变化过程。 4.归纳与猜想： 根据观察到的部分现象，大胆猜想一般性的规律，并用代数式或文字描述出来。 5.验证规律： 用发现的规律去检验前面已知的图形或数据是否符合，或预测后面的图形或数据，并进行验证。如果不符合，及时调整猜想。 6.从简单入手： 如果规律不明显，可以从最简单的情况开始分析，逐步递推，发现规律。 考点六、易错点提示 1.规律找不准或不全面： 容易被局部现象迷惑，未能发现图形或数字变化的本质规律。 2.用字母表示规律困难： 难以将观察到的规律用含n的代数式准确表示出来。 3.数形脱节： 不能将数的规律与图形的变化有机结合起来，理解停留在表面。 4.对“无限”思想的理解困难： 如在分数求和“ + + + ...”中，难以理解其结果趋近于1。 5.计算错误： 在根据规律进行计算时，特别是涉及到分数或较大数字时，容易出现计算失误。 6.忽略起始项： 在寻找第n个图形的数量时，容易忽略第一个图形的特殊性（如小棒摆正方形，第一个用4根，后续每个加3根）。 例题讲解 一、数列中的规律 【例题1】1，，，……这一列数中，第6个数应该是（　　）。 A． B． C． D． 【例题2】找规律填数： （1）1、3、6、10、15、　 　。 （2）1、3、8、22、60、　 　、448。‌ 二、算式的规律 【例题1】与1+3+5+7+9+5+3+1表示相同结果的算式是（　　）。 A．42 B．32 C．52+32 D．52﹣32 【例题2】已知：2+ =22×，3+ =32×，4+ =42×，5+ =52×，按照这个规律，下一个式子是　 　。 【例题3】观察下面几个算式的规律，然后填空。 32﹣22＝（3+2）×（3﹣2）＝5 42﹣32＝（4+3）×（4﹣3）＝7 52﹣42＝（5+4）×（5﹣4）＝9 62﹣52＝（6+5）×（6﹣5）＝11 20232﹣20222＝　 　×　 　＝　 　 【例题4】请先阅读下列一段内容，然后解答后面问题： =1- ， = - ， = - ，…… （1）把 写成分子都是1的两个分数的差的形式； （2）根据你发现的规律计算： + + +……+ 三、用图像表示变化关系 【例题1】周日早晨，龙龙到离家800 m的体育馆练习打羽毛球，走路用了10分钟，然后用20分钟时间练习打羽毛球，练完球后跑步回家，用了5分钟。下面的统计图中，能正确表示龙龙离家时间和离家距离关系的是（　　）。 A． B． C． D． 【例题2】小红从家里出门散步，下图描述了她散步过程中离家的距离与散步所用时间之间的关系。据图判断，下面的描述符合小红散步情况的是（　　）。 A．从家出发，到一个公共阅报亭看了一会儿报纸就回家了。 B．从家出发，到一个公共阅报亭看了一会儿报纸后，继续向前走了一段，然后回家了。 C．从家出发， 一直散步(没有停留)，然后回家了。 D．从家出发，突然发现忘带手机了，就回家了。 四、数形结合规律 【例题1】如图，按照这样的规律，第10个图形需要（　　）个小正方形。 A．10 B．55 C．54 D．46 【例题2】下面各图是由棱长1dm的小正方体拼成的，根据前4个图形表面积的排列规律，第6个图形的表面积是（　　）dm2。 A．26 B．28 C．32 D．36 【例题3】照这样的规律，第20个图形有　 　个黑色小正方形。 【例题4】观察下面的图形，想一想，按这样的规律，第7个方框里有　 　个点，第n个方框里有　 　个点，第　 　个方框里有201个点。 【例题5】用小棒按照如下方式摆图形(每边摆1根小棒)： （1）摆第5个图形需用　 　根小棒； （2）摆第n个图形需用　 　根小棒。 【例题6】按下图的方式摆放餐桌和椅子，8张这样的餐桌拼成一排可以坐多少人？ 52人用餐，需要多少张这样的餐桌拼成一排？ 考点练习 一、数列中的规律 1．小红设计了一个计算程序，当输入数据为7时，则输出的数据是（　　）。 输入 …… 1 2 3 4 5 …… 输出 …… …… A． B． C． D． 2．进入迷宫后，已知地图藏在下图数字中最右边的位置，若地图代表的数字是2632，那么地图在第（　　）行。 A．876 B．878 C．879 D．880 3．根据规律填空： ， ，　 　， ， ，　 　。 4． ， ， ……按这组数的规律，第五个数应该是　 　；如果这样一直写下去，那么这个数会越来越接近　 　。 5．找规律填空。 （1）1，，，　 　，　 　，。 （2），1，，，　 　。 二、算式的规律 1．根据 - = ， - = ， - = ，那么 - =（　　）。 A． B． C． D． 2． + + + + + +…=　 　。 3．1=12 1+3=22 1+3+5=32 1+3+5+7=42 1+3+5+7+9=52。从1开始，　 　个连续奇数相加的和是202。 4．观察右边四题的算式，你一定发现了一个规律，运用你发现的规律，直接写出下面两题的得数。 1＋3＝4＝22 1＋3＋5＝9＝32 1＋3＋5＋7＝16＝42 1＋3＋5＋7＋9＝25＝52 1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＝　 　 1＋3＋5＋7＋……＋49＝　 　 5．观察下列各式： ， ， （1）照上面的规律再写出两个不同的算式。 （2）根据你发现的规律填一填，。 （3）计算：。 6．先观察下面的算式，再回答问题。 我们知道： (100+98)×(100-98)=1002-982。 （1）请你根据上面的发现并填空： (x+y)×(x-y)=(　　) （2）请应用上面的发现简算 2001×1999。(写出计算过程) （3）计算： (写出计算过程) 三、用图像表示变化关系 1．明明坚持锻炼身体，星期天跑步到江滨公园，在江滨公园休息了一会后走回家。能比较准确描述明明行为的是（　　）。 A． B． C． D． 2．下图表示的是淘气乘车去图书馆看书，然后返回家的过程。下面说法不正确的是（　　）。 A．淘气从家出发到图书馆用了0.5时 B．淘气在图书馆停留了1.5时 C．淘气的家与图书馆之间的距离是5千米 D．图中E点处速度是5千米/时 3．小明从家去图书馆看书，如图是他与家距离变化的情况。小明家到图书馆的距离是　 　千米，小明在图书馆停留了　 　分，返回时每分行　 　千米。 四、数形结合规律 1．如图是由大小相同的棋子按照一定规律排列组成的图形，摆第1个图需要6枚棋子，摆第2个图需要9枚棋子，摆第3个图需要12枚棋子，……按此规律，摆第32个图需要（　　）枚棋子。 A．93 B．96 C．99 D．102 2．如图，首先将平行四边形纸片剪成2个完全一样的等边三角形，然后将其中一个等边三角形剪成4个完全相同的小等边三角形，再把小等边三角形剪成4个完全相同的等边三角形，如此循环下去。剪4次后剪出（　　）个三角形。 A．11 B．13 C．15 D．17 3．请找到如下图中图形与数的规律，第10个图形中有（　　）个白色小正方形。 A．10 B．20 C．22 D．26 4．按下图三幅图的样子继续画，第10幅图中阴影面积可以表示为（　　）（图中每个圆的半径为r）。 A． B． C． D． 5．如图用小棒摆三角形，1个三角形　 　根小棒，2个三角形　 　根小棒，照这样摆10个三角形要　 　根小棒， 61根小棒可以摆　 　个连续三角形。 6．小芳用小棒摆了一组有规律的图形，按照这样的规律，第5个图形需要　 　根小棒，第n个图形需要　 　根小棒。 7．古希腊著名的毕达哥拉斯学派经常把“形”与“数”联系在一起。下图是用“形”来表示“数”，请你认真观察：第1幅图的点数为1，第2幅图的点数为5，第3幅图的点数为9……依次排下去，第10幅图的点数为　 　，第n 幅图的点数为　 　。 8．如下图，画2个正方形能得到4个直角三角形，画3个正方形能得到8个直角三角形，画4个正方形能得到　 　个直角三角形，画n个正方形能得到　 　个直角三角形。 9．聪聪用小棒摆了4个树状图，以下是树状图变化的规律： （1）按此规律继续摆下去，第5个树状图要用　 　根小棒。 （2）按此规律继续摆下去，第　 　个树状图要用1023根小棒。 10．观察下列图形（每个小正方形的边长为1），找规律，并填空。 图① 图② 图③ （注：尝试将图中的涂色部分转化成长方形进行计算） 42-32=　 　×　 　。 根据上面的规律，第ⓝ张图涂色部分的面积可以列式为：　 　。 11．在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为b(b<a)的小正方形，可以怎样求剩余部分的面积呢? 东东想出了两种不同的方法： 由此可得 根据以上结论计算： 第 1 页 共 24 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年六年级上册数学人教版单元复习讲义 专题08 数学广角——数与形 （考点梳理+例题讲解+考点练习） 专题预览 考点梳理 1 考点一、核心思想：数形结合 1 考点二、观察图形，发现规律并解决问题 (以形助数) 1 考点三、观察数列或算式，发现规律并用图形解释或验证 (以数解形) 2 考点四、利用数形结合思想解决实际问题 3 考点五、解题方法与策略 4 考点六、易错点提示 4 例题讲解 4 一、数列中的规律 4 二、算式的规律 5 三、用图像表示变化关系 7 四、数形结合规律 8 考点练习 11 一、数列中的规律 11 二、算式的规律 13 三、用图像表示变化关系 17 四、数形结合规律 18 考点梳理 考点一、核心思想：数形结合 1.定义： 指通过数（数量关系）与形（空间形式）的相互转化、相互利用来解决数学问题的一种思想方法。 2.作用： （1）以形助数： 利用图形的直观性帮助理解和解决与数、算式相关的问题，使抽象的数或数量关系具体化、形象化。 （2）以数解形： 利用数的精确性和规律性来描述、分析和解决与图形相关的问题，使图形的性质量化、精确化。 考点二、观察图形，发现规律并解决问题 (以形助数) 1.这类题目通常给出一组按一定规律排列的图形，要求： （1）找出图形的变化规律： 如图形的个数、形状、颜色、方向、组成部分等的变化。 （2）根据规律用数或算式表示： 用数表示第n个图形的某种数量（如小棒根数、小正方形个数、圆圈个数等）。 （3）预测后续图形的数量或画出后续图形。 2.用小棒摆正方形 摆1个正方形需要4根小棒 摆2个正方形需要7根小棒 摆3个正方形需要10根小棒 ...... 每个正方形共用一条边 第1个：4根 (3×1 + 1) 第2个：4 + 3 = 7根 (3×2 + 1) 第3个：7 + 3 = 10根 (3×3 + 1) ...... 规律分析： 除了第一个正方形用4根，以后每增加一个正方形就增加3根小棒。图形的规律可以用代数式3n+1来表示。 3.点阵中的规律 (如从1开始的连续奇数之和) ....... 第1个图形（点）：1点 → 1 = 1² 第2个图形（点阵）：1 + 3 = 4点 → 4 = 2² 第3个图形（点阵）：1 + 3 + 5 = 9点 → 9 = 3² 第n个图形：1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) = n² 规律分析： 从1开始的n个连续奇数相加的和等于n的平方。图形（正方形点阵）的点数之和与平方数紧密相关。 考点三、观察数列或算式，发现规律并用图形解释或验证 (以数解形) 1.这类题目通常给出一组有规律的数或算式，要求： （1）找出数或算式的排列规律。 （2）用图形直观地表示出这些数或算式的意义和规律。 （3）利用规律进行计算或预测。 2.分数加法的规律 + = → 可以用一个正方形先涂，再涂剩下的（即），合起来是。 + + = → 继续用正方形涂色，发现和越来越接近1。 + + + ... + = 1 - 规律分析： 通过观察图形（如正方形或圆形的涂色部分），可以直观地理解当分数单位越来越小时，它们的和趋近于1的规律。 3.平方差公式的初步感知 (a² - b² = (a-b)(a+b)) 例如：5² - 3² = (5-3)×(5+3) = 16。 可以用边长为5的大正方形面积减去边长为3的小正方形面积，剩余部分通过割补可以转化为一个长方形，其长为(5+3)，宽为(5-3)，面积即为(5-3)×(5+3)。 规律分析： 利用图形的面积关系来解释抽象的代数恒等式，体现了以形助数的思想。 考点四、利用数形结合思想解决实际问题 1.在解决一些复杂的数学问题时，特别是涉及到数量关系比较抽象时，可以通过画线段图、示意图、列表格等方式（形），将抽象的数量关系直观化，从而找到解题思路。 2.典型例题：行程问题、工程问题、分数应用题等，通过画线段图帮助分析数量关系。 3.规律分析： 虽然不是本单元的重点，但体现了数形结合思想的广泛应用。本单元更侧重于探索规律本身。 考点五、解题方法与策略 1.仔细观察： 认真观察图形或数列的特点，包括数量、大小、方向、颜色、位置等的变化。 2.寻找共性与差异： 比较相邻图形或数之间的异同，找出重复出现的模式或变化趋势。 3.动手操作与尝试： 对于图形类问题，可以动手画一画、摆一摆，亲身体验变化过程。 4.归纳与猜想： 根据观察到的部分现象，大胆猜想一般性的规律，并用代数式或文字描述出来。 5.验证规律： 用发现的规律去检验前面已知的图形或数据是否符合，或预测后面的图形或数据，并进行验证。如果不符合，及时调整猜想。 6.从简单入手： 如果规律不明显，可以从最简单的情况开始分析，逐步递推，发现规律。 考点六、易错点提示 1.规律找不准或不全面： 容易被局部现象迷惑，未能发现图形或数字变化的本质规律。 2.用字母表示规律困难： 难以将观察到的规律用含n的代数式准确表示出来。 3.数形脱节： 不能将数的规律与图形的变化有机结合起来，理解停留在表面。 4.对“无限”思想的理解困难： 如在分数求和“ + + + ...”中，难以理解其结果趋近于1。 5.计算错误： 在根据规律进行计算时，特别是涉及到分数或较大数字时，容易出现计算失误。 6.忽略起始项： 在寻找第n个图形的数量时，容易忽略第一个图形的特殊性（如小棒摆正方形，第一个用4根，后续每个加3根）。 例题讲解 一、数列中的规律 【例题1】1，，，……这一列数中，第6个数应该是（　　）。 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：分子不变，只有分母发生变化 第五个数的分母为：48×8=384； 第六个数的分母为：384×10=3840。 故答案为：D。 【分析】这列数的分子均为1，第n个分数的分母=前一个分数的分母×(2n-2)。 【例题2】找规律填数： （1）1、3、6、10、15、　 　。 （2）1、3、8、22、60、　 　、448。 【答案】（1）21 （2）164 【解析】【解答】（1）1=1； 3=1+2； 6=1+2+3； 10=1+2+3+4； 15=1+2+3+4+5； 1+2+3+4+5+6=21。 （2）第一个数：1 第二个数：3 第三个数：8 = (1 + 3) × 2 第四个数：22 = (3 + 8) × 2 第五个数：60 = (8 + 22) × 2 第六个数：164 = (22 + 60) × 2 第七个数：448 = (60 + 164) × 2 故答案为：（1）21；（2）164 【分析】(1)1，3，6，10，15，21，28，36的规律是第n个数等于从1加到n，即n(n+1)/2； （2）‌数列1，3，8，22，60，（　　），448的规律是：每个数都是前两个数的和的二倍。‌ 二、算式的规律 【例题1】与1+3+5+7+9+5+3+1表示相同结果的算式是（　　）。 A．42 B．32 C．52+32 D．52﹣32 【答案】C 【解析】【解答】解：1+3+5+7+9+5+3+1 ＝（1+9）+（3+7）+5+（5+1）+3 ＝（2×5+2×5+1×5）+（2×3+1×3） ＝5×5+3×3 ＝52+32 故答案为：C。 【分析】利用乘法的意义，根据其中相等的数量关系进行转化。 【例题2】已知：2+ =22×，3+ =32×，4+ =42×，5+ =52×，按照这个规律，下一个式子是　 　。 【答案】6＋=62× 【解析】【解答】解：下一个式子是：6＋=62×。 故答案为：6＋=62×。 【分析】规律是：整数依次加1，分数的分子依次加1，分母比分子的平方少1。 【例题3】观察下面几个算式的规律，然后填空。 32﹣22＝（3+2）×（3﹣2）＝5 42﹣32＝（4+3）×（4﹣3）＝7 52﹣42＝（5+4）×（5﹣4）＝9 62﹣52＝（6+5）×（6﹣5）＝11 20232﹣20222＝　 　×　 　＝　 　 【答案】（2023+2022）；（2023-2022）；4045 【解析】【解答】解：20232-20222 ＝（2023+2022）×（2023-2022） =4045×1 =4045。 故答案为：（2023+2022）；（2023-2022）；4045。 【分析】规律是：两个相邻自然数平方的差=这两个相邻自然数的和×这两个相邻自然数的差。 【例题4】请先阅读下列一段内容，然后解答后面问题： =1- ， = - ， = - ，…… （1）把 写成分子都是1的两个分数的差的形式； （2）根据你发现的规律计算： + + +……+ 【答案】（1）=- （2）解： + + +……+ = - + - +-+……+- =- = 【解析】【分析】（1）观察算式可得规律：分母是相邻的两个自然数，分子是1，可以写成两个分数差的形式，两个分母是相邻的两个自然数，分子都是1，据此规律解答； （2）根据规律，将分数写成两个分数的差的形式，然后进行计算即可。 三、用图像表示变化关系 【例题1】周日早晨，龙龙到离家800 m的体育馆练习打羽毛球，走路用了10分钟，然后用20分钟时间练习打羽毛球，练完球后跑步回家，用了5分钟。下面的统计图中，能正确表示龙龙离家时间和离家距离关系的是（　　）。 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：能正确表示龙龙离家时间和离家距离关系的是C项中的图。 故答案为：C。 【分析】10+20+5=35（分钟），所以最后到家的时间应该是35分钟，据此作答即可。 【例题2】小红从家里出门散步，下图描述了她散步过程中离家的距离与散步所用时间之间的关系。据图判断，下面的描述符合小红散步情况的是（　　）。 A．从家出发，到一个公共阅报亭看了一会儿报纸就回家了。 B．从家出发，到一个公共阅报亭看了一会儿报纸后，继续向前走了一段，然后回家了。 C．从家出发， 一直散步(没有停留)，然后回家了。 D．从家出发，突然发现忘带手机了，就回家了。 【答案】B 【解析】【解答】解：A项：描述的是一种小红从家出发，到一个公共阅报亭停留后直接回家的情况。然而，图像显示小红在停留后继续前行了一段距离，原题干说法错误； B项：描述小红从家出发，到一个公共阅报亭停留后，继续前行一段距离，然后回家。这与图像描述的行为完全一致，原题干说法正确； C项：描述小红从家出发，一直散步，没有停留，然后回家。然而，图像清楚地显示了小红在散步过程中有过停留，原题干说法错误； D项：描述小红从家出发后，因为发现忘带手机而立即回家。这种情景在图像中并未得到体现，小红在散步过程中有停留和继续前行的行为，原题干说法错误。 故答案为：B。 【分析】通过细致观察图像的每个阶段，我们可以明确判断出小红的散步模式与选项B描述的场景相匹配，描述了小红散步过程中的所有关键阶段，包括停留、继续前行和最终返回家中的行为，这与图像信息完全一致，所以此选项正确。 四、数形结合规律 【例题1】如图，按照这样的规律，第10个图形需要（　　）个小正方形。 A．10 B．55 C．54 D．46 【答案】B 【解析】【解答】解： 10×（10+1）÷2=55（个） 故答案为：B。 【分析】根据图示，第n个图形需要小正方形的个数为：1+2+3+…+n=n(n+1)÷2。 【例题2】下面各图是由棱长1dm的小正方体拼成的，根据前4个图形表面积的排列规律，第6个图形的表面积是（　　）dm2。 A．26 B．28 C．32 D．36 【答案】A 【解析】【解答】解：第6个图形由6个小正方体拼成， 表面积是：1×1×6×6-1×1×5×2 =36-10 =26（dm2） 故答案为：A。 【分析】观察图可得规律：第n个图形就有n个小正方体拼成，先求出n个小正方体的表面积总和，然后n个小正方体排成一行，则会减少（n-1）×2个面，用减法求出组合图形的表面积。 【例题3】照这样的规律，第20个图形有　 　个黑色小正方形。 【答案】41 【解析】【解答】解：- =441-400 =41 第20个图形有41个黑色小正方形。 故答案为：41。 【分析】规律： 第1个图形黑色小正方形的个数是：- 第2个图形黑色小正方形的个数是：- 第3个图形黑色小正方形的个数是：- ...... 第20个图形黑色小正方形的个数是：- ...... 第n个图形黑色小正方形的个数是：- 【例题4】观察下面的图形，想一想，按这样的规律，第7个方框里有　 　个点，第n个方框里有　 　个点，第　 　个方框里有201个点。 【答案】25；4n-3；51 【解析】【解答】第1个方框里有：4×1-3=1个点； 第2个方框里有：4×2-3=5个点； 第3个方框里有：4×3-3=9个点； 第4个方框里有：4×4-3=13个点； 第7个方框里有：4×7-3=25个点； 第n个方框里有：4n-3个点； 4n-3=201 解：4n-3+3=201+3 4n=204 4n÷4=204÷4 n=51 故答案为：25；4n-3；51。 【分析】 观察图形可得规律：第n个方框里面有1+4×（n-1）=4n-3个点，据此规律解答。 【例题5】用小棒按照如下方式摆图形(每边摆1根小棒)： （1）摆第5个图形需用　 　根小棒； （2）摆第n个图形需用　 　根小棒。 【答案】（1）36 （2）7n＋1 【解析】【解答】解：（1）摆第5个图形需用36根小棒； （2）摆第n个图形需用7n+1根小棒。 故答案为：（1）36；（2）7n+1。 【分析】（1）摆第1个图形需用小棒的根数：8=7×1+1； 摆第2个图形需用小棒的根数：15=7×2+1； 摆第3个图形需用小棒的根数：22=7×3+1； …… 摆第n个图形需用小棒的根数：7n+1。 【例题6】按下图的方式摆放餐桌和椅子，8张这样的餐桌拼成一排可以坐多少人？ 52人用餐，需要多少张这样的餐桌拼成一排？ 【答案】解：4+4×8=36(人) (52-4)÷4=12(张) 答：需要12张这样的餐桌拼成一排。 【解析】【分析】观察发现，一张餐桌可以坐8人，每多一张餐桌就可以多坐4人。n张餐桌拼成一排，可以坐8+4(n--1)=(4n+4)人。要求8张这样的餐桌拼在一起可以坐多少人，即当n=8时，4×8+4=36(人)；要求 52人用餐需要多少张这样的餐桌拼在一起，即4n+4=52，由此求出n的值即可。 考点练习 一、数列中的规律 1．小红设计了一个计算程序，当输入数据为7时，则输出的数据是（　　）。 输入 …… 1 2 3 4 5 …… 输出 …… …… A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：26＋11＋13 =37＋13 =50，输出的数据是。 故答案为：C。 【分析】规律是：分子依次是1、2、3、4、5、6、7······的自然数，分母依次加上3、5、7、9、11、13······。 2．进入迷宫后，已知地图藏在下图数字中最右边的位置，若地图代表的数字是2632，那么地图在第（　　）行。 A．876 B．878 C．879 D．880 【答案】B 【解析】【解答】解：因为每一行的最后一个数分别是1、4、7、10，分析可知，1=3x1-2，4=3x2-2，7=3x3-2，10=3x4-2，……，所以第n行的最后一个数字是3n-2，地图藏在题图中最右边的位置，且代表的数字是2632，即3n-2=2632，n=878。 故答案为：B 【分析】因为每一行的最后一个数分别是1、4、7、10，分析可知，1=3x1-2，4=3x2-2，7=3x3-2，10=3x4-2，……，所以第n行的最后一个数字是3n-2，即可得出答案。 3．根据规律填空： ， ，　 　， ， ，　 　。 【答案】； 【解析】【解答】解：，。 故答案为：；。 【分析】观察已知数字可知，后面的数字是相邻前一个数字的3倍，所以用前一个数字乘3即可求出相邻的后一个数字。 4． ， ， ……按这组数的规律，第五个数应该是　 　；如果这样一直写下去，那么这个数会越来越接近　 　。 【答案】；0 【解析】【解答】解：27×3×3 =81×3 =243， 第五个数是：，如果这样一直写下去，那么这个数会越来越小，越来越接近0。 故答案为：；0。 【分析】这组数的规律是：分子是1不变，后面一个分数的分母是前面一个分数分母的3倍；因为分子是1不变，分母越来越小，那么这个数会越来越小，越来越接近0。 5．找规律填空。 （1）1，，，　 　，　 　，。 （2），1，，，　 　。 【答案】（1）；​​​​​​​ （2） 【解析】【解答】解：(1)=，=； (2)×=。 故答案为：(1)；；(2)。 【分析】(1)已知的几个数可以写成：，，，___，___，，可以发现规律是：分子都是1，分母依次是12，22，32……，据此填空； (2)观察可以发现，每一项乘都等于它的后一项，据此填空。 二、算式的规律 1．根据 - = ， - = ， - = ，那么 - =（　　）。 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：- = =。 故答案为：C。 【分析】分子是1，分母是相邻的自然数（0除外），它们的差的分子是1，差的分母是这两个分数分母的积。 2． + + + + + +…=　 　。 【答案】1 【解析】【解答】解： + + + + + +… = + + + + +… = + + + +… = + + +… = + +… = +… =1 故答案为：1。 【分析】从左向右依次相加后发现，和越来越接近1，因为是无数个，所以和等于1。 3．1=12 1+3=22 1+3+5=32 1+3+5+7=42 1+3+5+7+9=52。从1开始，　 　个连续奇数相加的和是202。 【答案】20 【解析】【解答】解：从1开始，20个连续奇数相加的和是202。 故答案为：20。 【分析】从1开始：1个奇数是12； 2个连续奇数的和是22； 3个连续奇数的和是32； 4个连续奇数的和是42； 5个连续奇数的和是52； …… n个连续奇数的和是n2。 4．观察右边四题的算式，你一定发现了一个规律，运用你发现的规律，直接写出下面两题的得数。 1＋3＝4＝22 1＋3＋5＝9＝32 1＋3＋5＋7＝16＝42 1＋3＋5＋7＋9＝25＝52 1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＝　 　 1＋3＋5＋7＋……＋49＝　 　 【答案】49；625 【解析】【解答】解：1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＝72=49； 1＋3＋5＋7＋……＋49＝[（1+49）÷2]2=252=625。 故答案为：49；625。 【分析】这些算式都是从1开始加起，每个数都是连续增大的奇数，而且每个算式中加数的个数都是奇数，所以算式的结果=[（第一个加数+最后一个加数）÷2]2。 5．观察下列各式： ， ， （1）照上面的规律再写出两个不同的算式。 （2）根据你发现的规律填一填，。 （3）计算：。 【答案】（1）解：(答案不唯一) （2） （3）解： 【解析】【分析】依据规律计算时，把各个分数写成展开的形式，然后应用乘法分配律再计算。 6．先观察下面的算式，再回答问题。 我们知道： (100+98)×(100-98)=1002-982。 （1）请你根据上面的发现并填空： (x+y)×(x-y)=(　　) （2）请应用上面的发现简算 2001×1999。(写出计算过程) （3）计算： (写出计算过程) 【答案】（1）解：根据运算规律，可知 (x+y)×(x-y) =​​​​​​​ （2）解：2001×1999 =(2000+1)×(2000-1) =20002-1 =4000000-1 =3999999 （3）解： 【解析】【分析】（1）根据题干给出的算式运算法则，直接代入即可 （2）将2001和1999进行拆解成：（2000+1）和（2000-1），然后再根据题干的运算法则进行运算即可 （3）先对括号里面的分式进行运算：，然后再根据题干中的运算法则进行运算即可 三、用图像表示变化关系 1．明明坚持锻炼身体，星期天跑步到江滨公园，在江滨公园休息了一会后走回家。能比较准确描述明明行为的是（　　）。 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：根据分析可知，时间不断增加，路程随着时间先增加，再不变，最后再减少。 故答案为：C。 【分析】明明的行为可以分为三段，第一段：明明从家到公园，随着时间增加路程不断增加，到达公园后，路程停止；第二段：明明在公园休息，时间增加，路程不再增加；第三段：明明回家，随着时间增加路程不断减少，到家时，路程为0；据此解答。 2．下图表示的是淘气乘车去图书馆看书，然后返回家的过程。下面说法不正确的是（　　）。 A．淘气从家出发到图书馆用了0.5时 B．淘气在图书馆停留了1.5时 C．淘气的家与图书馆之间的距离是5千米 D．图中E点处速度是5千米/时 【答案】D 【解析】【解答】解：A项：淘气从家出发到达图书馆的时间的间隔，如图形显示这一段时间确实为0.5小时，原题干说法正确； B项：2-0.5=1.5（小时），原题干说法正确； C项：淘气从家出发到达图书馆的直线段长度来判断，这一距离正好是5千米，原题干说法正确； D项：E点淘气在图书馆看书，没有速度，原题干说法错误。 故答案为：D。 【分析】A项：观察图像淘气从家出发到达图书馆的时间为0.5小时； B项：淘气在图书馆停留的时间=离开的时刻-出发的时刻=2-0.5=1.5小时； C项：淘气从家出发到达图书馆的直线段长度来判断，这一距离正好是5千米； D项：E点淘气在图书馆看书，没有速度。 3．小明从家去图书馆看书，如图是他与家距离变化的情况。小明家到图书馆的距离是　 　千米，小明在图书馆停留了　 　分，返回时每分行　 　千米。 【答案】4；70；0.2 【解析】【解答】解：观察图可知，小明30分钟后到达图书馆，小明家到图书馆的距离是4千米， 100-30=70（分） 4÷（120-100） =4÷20 =0.2（千米） 故答案为：4；70；0.2。 【分析】此题主要考查了用图像表示变化情况，根据图像可知，从小明家出发到学校走了30分钟，走了4千米，图中与时间轴平行的部分表示路程没有增加，也就是小明在图书馆的时间段，用减法计算；返回的路程÷返回的时间=返回的速度。 四、数形结合规律 1．如图是由大小相同的棋子按照一定规律排列组成的图形，摆第1个图需要6枚棋子，摆第2个图需要9枚棋子，摆第3个图需要12枚棋子，……按此规律，摆第32个图需要（　　）枚棋子。 A．93 B．96 C．99 D．102 【答案】C 【解析】【解答】解：（32＋1）×3 =33×3 =99（枚） 故答案为：C。 【分析】看图可知：每一个图中棋子枚数都是3的倍数。第1个图6=2×3，第2个图9=3×3，第3个图12=4×3，通过观察3组式子不难发现前一个因数都比图形个数多1，因此本题规律为：（图形个数＋1）×3=棋子枚数。 2．如图，首先将平行四边形纸片剪成2个完全一样的等边三角形，然后将其中一个等边三角形剪成4个完全相同的小等边三角形，再把小等边三角形剪成4个完全相同的等边三角形，如此循环下去。剪4次后剪出（　　）个三角形。 A．11 B．13 C．15 D．17 【答案】A 【解析】【解答】解：如图： 1+3+3+4 =4+3+4 =7+4 =11（个） 故答案为：A。 【分析】根据题意可知，第1次剪出2个大三角形，第2次将其中的一个等边三角形剪成4个完全相同的小等边三角形，第3次将其中的1个小等边三角形再剪成4个完全相同的等边三角形，第4次将其中的1个小等边三角形剪成4个完全相同的等边三角形，然后相加即可。 3．请找到如下图中图形与数的规律，第10个图形中有（　　）个白色小正方形。 A．10 B．20 C．22 D．26 【答案】D 【解析】【解答】解：第n个图形小正方形的总个数：3×(n+2)=3n+6 第n个图形黑色小正方形的个数：n 第n个图形白色小正方形的个数：3n+6-n=2n+6 当n=10时 黑色小正方形的个数：n=10(个) 白色小正方形的个数：2n+6=2×10+6=26(个) 故答案为：D。 【分析】分析题意，找出图形变化的规律，用含有字母的式子表示出第n个图形小正方形的总个数和黑色小正方形的个数；白色小正方形的个数=小正方形的总个数-黑色小正方形的个数，据此解答。 4．按下图三幅图的样子继续画，第10幅图中阴影面积可以表示为（　　）（图中每个圆的半径为r）。 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：第n幅图阴影部分面积为：n×（4－π）r2； 10×（4－π）r2。 故答案为：D。 【分析】第n幅图阴影部分面积为：n×（4－π）r2；然后代入计算。 5．如图用小棒摆三角形，1个三角形　 　根小棒，2个三角形　 　根小棒，照这样摆10个三角形要　 　根小棒， 61根小棒可以摆　 　个连续三角形。 【答案】3；5；21；30 【解析】【解答】解：1个三角形3根小棒； 2个三角形需要：2×2＋1=5（根）； 10个三角形需要：10×2＋1=21（根）； （61-1）÷2 =60÷2 =30（个）。 故答案为：3；5；21；30。 【分析】照这样摆n个三角形需要小棒的根数=（2n＋1） 根；61根小棒可以摆这样连续三角形的个数=（小棒的根数-1根）÷2。 6．小芳用小棒摆了一组有规律的图形，按照这样的规律，第5个图形需要　 　根小棒，第n个图形需要　 　根小棒。 【答案】26；（1+5n） 【解析】【解答】解：第5个图形需要：1+5×5=1+25=26（根） 第n个图形需要：（1+5n）根小棒。 故答案为：26；（1+5n）。 【分析】规律： 第1个图形需要（1+5）根小棒， 第2个图形需要（1+5×2）根小棒， 第3个图形需要（1+5×3）根小棒， 第4个图形需要（1+5×4）根小棒， ... ... 第n个图形需要（1+5n）根小棒。 7．古希腊著名的毕达哥拉斯学派经常把“形”与“数”联系在一起。下图是用“形”来表示“数”，请你认真观察：第1幅图的点数为1，第2幅图的点数为5，第3幅图的点数为9……依次排下去，第10幅图的点数为　 　，第n 幅图的点数为　 　。 【答案】37；4n-3 【解析】【解答】解：第1幅图的点数为1+4×0=0， 第2幅图的点数为1+4×1=5， 第3幅图的点数为1+4×2=9， 第4 幅图的点数为1+4×3=13，…… 第n幅图的点数为1+4(n-1)=4n-3； 当n=10时，4n-3=4×10-3=37，所以第10幅图的点数为37。 故答案为：37；4n-3。 【分析】此题主要考查了数形结合的规律，观察图可得规律：第n幅图的点数为1+4(n-1)=4n-3；据此规律解答。 8．如下图，画2个正方形能得到4个直角三角形，画3个正方形能得到8个直角三角形，画4个正方形能得到　 　个直角三角形，画n个正方形能得到　 　个直角三角形。 【答案】12；（4n-4） 【解析】【解答】解：（4-1）×4 =3×4 =12（个） （n-1）×4=（4n-4）（个）。 故答案为：12；（4n-4）。 【分析】画n个正方形能得到直角三角形的个数=（n-1）×4=（4n-4）个。 9．聪聪用小棒摆了4个树状图，以下是树状图变化的规律： （1）按此规律继续摆下去，第5个树状图要用　 　根小棒。 （2）按此规律继续摆下去，第　 　个树状图要用1023根小棒。 【答案】（1）31 （2）10 【解析】【解答】解：（1）2×2×2×2×2－1 ＝32－1 ＝31（根）； （2）2n－1＝1023，那么2n＝1024。 210＝1024，那么n＝10。 故答案为：（1）31；（2）10。 【分析】（1）观察图形：第1个图用（2－1）根小棒，第2个图用（2×2－1）根小棒，第3个图用（2×2×2－1）根小棒，第4个图用（2×2×2×2－1）根小棒，那么第5个图需要用（2×2×2×2×2－1）根小棒······； （2）第n个图需要（2n－1）根小棒。当2n－1＝1023时求出n的值。 10．观察下列图形（每个小正方形的边长为1），找规律，并填空。 图① 图② 图③ （注：尝试将图中的涂色部分转化成长方形进行计算） 42-32=　 　×　 　。 根据上面的规律，第ⓝ张图涂色部分的面积可以列式为：　 　。 【答案】4+3；4-3；(n+1)2-n2=(n+1+n)x(n+1-n) 【解析】【解答】 解：根据题中所给算式： 表示大正方形面积-小正方形面积=将上方单位正方形移到下方拼成长方形面积。 进行推测 42-32= （4+3）×（4-3）； 进而推测其通项式：(n+1)2-n2=(n+1+n)x(n+1-n)。 故答案为：4+3；4-3；(n+1)2-n2=(n+1+n)x(n+1-n) 【分析】根据题目所给式子进行推测，再从题目中所给图片进行验证。从而验证其正确性以及所代表含义。 11．在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为b(b<a)的小正方形，可以怎样求剩余部分的面积呢? 东东想出了两种不同的方法： 由此可得 根据以上结论计算： 【答案】解： 原式 【解析】【分析】原式展开= ，发现第二项开始，每两项想乘得到1，最后只剩余，进而得到结果为。 第 1 页 共 24 页 学科网（北京）股份有限公司 $$