6.11.角度中的动态模型　　专题训练　　2025-2026学年浙教版数学七年级上册

2025-2026学年浙教版初中数学七年级上册导学精练专题6.11.角度中的动态模型 一、旋转中的求值模型 1．如图1，已知，，在内，在内，绕点O旋转，在旋转过程中始终有，．（本题中所有角均大于且小于等于） （1）从图1中的位置绕点O逆时针旋转到与重合时，如图2，则　 　°； （2）从图2中的位置绕点O顺时针旋转，求、的度数．（用 n的代数式表示）； （3）从图2的位置绕点 O逆时针旋转（且），求的度数． 2．如图1，为直线上一点，过点作射线，，将一直角三角板（）的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边与都在直线的上方．（注：本题旋转角度最多．） （1）将图1中的三角板绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转．如图2，经过秒后，　 　度（用含的式子表示），若恰好平分，则　 　秒（直接写结果）． （2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线也绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转，如图3，经过秒后， ▲ 度（用含的式子表示）若平分，求为多少秒？ （3）若（2）问的条件不变，那么经过秒平分？（直接写结果） 二、旋转中的定值模型 3．如图，，角的顶点互相重合，将绕点旋转． （1）当射线，重合时，　 　， （2）在绕点旋转的过程中，若射线，与中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线，则的度数为　 　； （3）在绕点旋转的过程中，若射线始终在的内部． ①普于思考的小明发现，在旋转过程中，的值为定值，请你求出这个定值； ②作和的平分线，，在旋转过程中的值是否发生变化？若不变，请求出这个定值，若变化，请求出变化的范围． 4．将一副三角尺如图①摆放，，，现将绕点C以/秒的速度逆时针方向旋转，旋转时间为秒． （1）如图②，当　 　时，恰好平分； （2）如图③，当　 　时，恰好平分； （3）如图④，当　 　时，恰好平分； （4）绕点C旋转到如图⑤的位置，平分，平分，求的度数； （5）若旋转到如图⑥的位置，（4）中结论是否发生变化？请说明理由． 5．已知，为内部的一条射线，． （1）如图1，若平分，为内部的一条射线，，则　 　； （2）如图2，若射线绕着O点从开始以每秒的速度顺时针旋转至结束、绕着O点从开始以每秒的速度逆时针旋转至结束，当一条射线到达终点时另一条射线也停止运动．若运动时间为t秒，当时，求t的值； （3）如图3，若射线绕着O点从开始以每秒的速度逆时针旋转至结束，在旋转过程中，平分，试问：在某时间段内是否为定值？若不是，请画出图形，并说明理由；若是，请画出图形，并直接写出这个定值以及t相应所在的时间段．（题中的角均为大于且小于的角） 三、旋转中的探究类模型（判断角的数量之间的关系） 6．已知，射线在的内部，射线，分别是和的角平分线． （1）如图1，若，求的度数； （2）请从下面，两题中任选一题作答，我选择 ▲ 题． ．如图2，若射线在的内部绕点旋转，则的度数为 ▲ ． ．若射线在的外部绕点旋转（旋转中、均是指小于的角），其余条件不变，请借助图3探究的大小，直接写出的度数． 7．点O为直线上一点，过点O作射线，使，平分（如图1）． 将一直角三角板的直角顶点放在点O处，设直角三角板两直角边分别为、（，）． 边在射线上． （1）在图1中，　 　； （2）如图2所示，将直角三角板绕点O按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当与垂直时，则旋转时间t的值为多少秒？ （3）将直角三角板绕点O顺时针旋转，当在内部运动时，请直接写出此时与的数量关系． 8． （1）特例感知：如图，线段，，线段在线段上运动（点不超过点，点不超过点），分别是的中点．在线段运动的过程中，线段的长度是否发生变化？如果不变，求出的长度；如果变化，请说明理由； （2）知识迁移：我们发现角的很多规律和线段一样，如图，在内部转动，射线和射线分别平分和．①若，，则 ▲ ； ②请你猜想，和三个角具有怎样的数量关系，并说明理由； （3）类比探究：如图，在内部转动，若，，，，直接写出用含有的式子表示的度数． 四、旋转中的分类讨论模型 9．数学活动课上同学们对所学知识深入思考，如图1，点C在线段上，图1中共有三条线段，，，若其中有两条线段长度比为，则命名点C为线段的“幸福点”；此模型下，如图2射线在的内部，图2中共有三个角，，，若其中有两个角的度数比为，则命名射线为的“幸福线”． （1）线段的中点是否为这条线段的“幸福点”，说明理由； （2）若，点C为线段的“幸福点”，求线段的长度； （3）如图3，已知，射线从出发，以的速度顺时针方向旋转，射线从出发，以的速度逆时针方向旋转，两条射线同时旋转，当射线与射线重合时，运动停止，设旋转运动的时间为，当t为何值时，射线是以射线、为边构成角的“幸福线”，并说明理由． 10．如图1，某校七年级数学学习小组在课后综合实践活动中，把一个直角三角尺的直角顶点O放在互相垂直的两条直线、的垂足O处，并使两条直角边落在直线、上，将绕着点O顺时针旋转． （1）如图2，若，则______，______； （2）若射线是的角平分线，且． ①旋转到图3的位置，的度数是多少？（用含的代数式表示） ②在旋转过程中，若，则此时的值． 答案解析部分 1．【答案】（1）100 （2）解：如图， ∵，，， ∴，， ∵，， ∴，； （3）解：①当时，如图， ∵， ∴，， ∵，， ∴； ②当时，如图， ∵， ∴，， ∴． 综上所述：的度数为． 2．【答案】（1）；5 （2）45°； 解：∵三角板绕点O以每秒3°的速度，射线OC也绕O点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转一周， ∴设∠AON=3t，∠AOC=30+6t， ∵∠AOC-∠AON=∠CON， ∴30+6t-3t=45， 解得t=5， ∴经过5秒OC平分∠MON． （3）解：如图： ∵， 由题可设为，为 ∴ ∵ 解得：秒 答：经过秒平分． 3．【答案】（1）50 （2）或或 （3）接：（3）①如图4： ∵∠AOE＝∠AOB−∠BOE，∠BOD＝∠DOE−∠BOE， ∴∠AOE−∠BOD＝∠AOB−∠DOE． ∵∠AOB＝90°，∠DOE＝40°， ∴∠AOE−∠BOD＝50°； ②如图5： ∵OM平分∠BOD，ON平分∠AOE， ∴∠BOM=∠BOD，∠NOE=∠AOE． ∵∠MON＝∠NOE＋∠BOE＋∠BOM， ∴∠MON=（∠BOD＋∠AOE＋2∠BOE） =（∠AOB＋∠DOE） =（90°＋40°） ＝65°． ∴在旋转过程中∠MON的值不变化，∠MON＝65°． 4．【答案】（1）4 （2）7 （3）10 （4）解：如图， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴. （5）解：如图， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 5．【答案】（1） （2）解：， ， 由题意知，当转到时，两条射线均停止运动， 此时（秒）则停止转动时， 即从开始旋转至停止运动，始终在OC的右侧， 分以下2种情况： ①当在左侧时， 则由得，解得 ②当在右侧时， 则由得， 解得： ， 综上，t的值为3或7.5； （3）解：射线从开始转动至结束时，转动时间为（秒） 根据题意，分与在一条直线上（）、与在一条直线上（）、与在一条直线上（）三个临界位置 ①当时，如图1所示： 此时， 则为定值； ②当时，如图2所示： 此时， 则不为定值； ③当时，如图3所示： 此时， 则为定值； ④当时，如图4所示： 此时， 则不为定值； 综上，当或时，为定值． 6．【答案】（1）解：，， ， ，分别是和的角平分线， ，， （2）解：选择A：；选择B：∠EOF的度数是或. 7．【答案】（1） （2）解：由题意可得， ①当在之内时，由（1）得，， ∵， ∴，即：， 解得：， ②当旋转超过时，如图， ， ∵， ∴，即：， 解得：， 综上所述：或时与垂直； （3）． 8．【答案】解：线段的长度不会发生变化，∵、分别是的中点，，，， ，，， ，. （）知识迁移我们发现角的很多规律和线段一样，如图，在内部转动，射线和射线分别平分和．①若，，则 ▲ ；②请你猜想，和三个角具有怎样的数量关系，并说明理由；【答案】解：；②，理由：和分别平分和，，，∴，∵，∴，∴，，，即（）类比探究如图，在内部转动，若，，，，直接写出用含有的式子表示的度数．【答案】解：． （1）解：线段的长度不会发生变化，∵、分别是的中点， ，， ， ，， ， ， . （2）解：；②， 理由：和分别平分和，，， ∴， ∵，∴， ∴，，， 即 （3）解：． 9．【答案】（1）解：是，理由如下： ∵点C为线段的中点， ∴， ∴， 则线段的中点是这条线段的“幸福点”； （2）解：∵点C为线段的“幸福点”，， ∴，或，或； 当，则； 当，则，解得； 当，则，解得，那么； 综上所述，线段的长度9或6或12； （3）解：根据题意得，，则，， 当重合时，，解得， ∴射线与射线运动时间为， ∵射线是以射线、为边构成角的“幸福线”， ∴，或，或， 当时，则，解得； 当时，则，解得； 当时，则，解得； 综上所述，t为或或时，射线是以射线、为边构成角的“幸福线”． 10．【答案】（1）； （2）解：①∵，，∴， ∵射线是的角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； ②当旋转到左侧时，如图所示： ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 当旋转到右侧时，如图所示： 设， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴； 综上可知，的值为：或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$