学易金卷：九年级数学上学期第一次月考（江苏苏州专用，苏科版：一元二次方程+二次函数）

11 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂)一、选择题（每小题3分，共24分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 第Ⅱ卷二、填空题（每小题3分，共24分） 9．_________________ 10．___________________ 11．__________________ 12．__________________ 13．___________________ 14．__________________ 15．___________________ 16．__________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（本大题共11小题，满分82分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分） 18. （5分） 19. （5分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20. （8分） （1） 　 ； 　 ； （2） 　 ； （3） 　 ； （4） 　 ； 21. （8分） （1） 　 ； 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.（8分） 23.（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24. （8分） （2） 　 ； （3） 　 ； 25. （12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26. （8分） 27. （10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：130分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏科版（2024）九年级数学上册第一章&九年级数学下册第五章（一元二次方程+二次函数）。 第一部分（选择题 共24分） 一．选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列函数中，一定是二次函数的是（　　） A．（其中m是常数） B．y＝ax2+bx+c（其中a、b、c是常数） C．y＝（2x﹣1）x D．y＝（x+4）2﹣x2 2．对于二次函数y＝（x﹣2）2的图象，下列说法不正确的是（　　） A．开口向上 B．对称轴是直线x＝2 C．顶点坐标为（﹣2，0） D．当x＜2时，y随x的增大而减小 3．某县推行“5+2”课后服务以后，教师的工作时间持续增加，已知第一周平均工作时长为40小时，到第三周时，平均工作时长为48.4小时，设这两周工作时长的平均增长率为x，则可列方程为（　　） A．40（1+2x）＝48.4 B．40（1+x）2＝48.4 C．48.4（1﹣x）2＝40 D．48.4（1﹣2x）＝40 4．若点A（﹣3，y1），B（﹣2，y2），C（2，y3）在二次函数y＝a（x+1）2（a＜0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y3＜y1＜y2 5．二次函数y＝ax2+bx的图象所示，则一次函数y＝ax+b的图象一定不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．如图，一次函数y1＝kx+n（k≠0）与二次函数y2＝ax2+bx+c（a≠0）的图象相交于A（﹣1，4），B（6，2）两点，则关于x的不等式kx+n≥ax2+bx+c的解集为（　　） A．﹣1≤x≤6 B．﹣1＜x＜6 C．x＜﹣1或x＞6 D．x≤﹣1或x≥6 7．观察下表，一元二次方程x2﹣x＝1.1的一个近似解是（　　） x 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 x2﹣x 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 A．0.11 B．1.19 C．1.67 D．1.73 8．如图，分别过点P（i，0）（i＝1，2，…，2024）作x轴的垂线，交y＝2x2（x＞0）的图象于点Ai，交直线y＝﹣2x于点Bi，则的值为（　　） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共106分） 二．填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 9．方程x（x+2）﹣（x+2）＝0的解是 　 　 ． 10．将抛物线y＝﹣2x2+4x﹣2向右平移2个单位后，再向上平移3个单位，得到新的抛物线的顶点坐标为 　 　 ． 11．如果一条抛物线的形状与的形状相同，且顶点坐标是（﹣4，2），那么它的函数解析式为 　 　 ． 12．若一元二次方程2x2﹣6x﹣1＝0的两根为α，β，则2α2﹣3α+3β的值为　 　 ． 13．二次函数y＝ax2+c的图象与y＝3x2的图象形状相同，开口方向相反，且经过点（1，1），则该二次函数的解析式为　 　 ． 14．已知a是方程x2+2x＝3的一个根，则代数式a2+2a+2025的值为 　 　 ． 15．已知关于x的二次函数y＝﹣x2+2mx+n（m，n为常数）．若m﹣1≤x≤m+k（k＞0）时，函数的最大值为p，最小值为q，且p﹣q＝3k，则k的值为　 　 ． 16．一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮框内．已知篮圈中心距离地面高度为3.05m，在如图所示的平面直角坐标系中，则此抛物线的解析式为 　 　 ． 17．已知关于x的一元二次方程（k﹣3）x2+2kx+k﹣2＝0有解，则k的取值范围是 　 　 ． 18．在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为完美点．若抛物线y＝ax2+5x+c有且只有一个完美点（2，2），且当0≤x≤m时，二次函数的最小值为，最大值为1，则m的取值范围是 　 　 ． 三．解答题（本大题共11小题，满分82分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（8分）解方程： （1）x2+6x﹣7＝0； （2）4x（2x+1）＝3（2x+1）． 20．（8分）已知某个函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 … y … 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 … （1）根据上面表格的数据，在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象； （2）请根据已学知识判断此图象是什么函数的图象，并求出这个函数的解析式． 21．（8分）已知关于x的方程k2x2﹣2（k﹣2）x+1＝0有两个实数根． （1）求k的取值范围； （2）当k＝﹣2时，设所给方程的两个根分别为x1、x2，求的值． 22．（8分）如图，将二次函数y＝x2﹣4位于x轴下方的图象沿x轴翻折，再得到一个新函数的图象（图中的实线）． （1）当x＝﹣3时，新函数值为 　 　 ，当x＝1时，新函数值为 　 　 ； （2）当x＝ 　 　 时，新函数有最小值； （3）当新函数中函数y随x的增大而增大时，自变量x的范围是 　 　 ； （4）直线y＝a与新函数图象有4个公共点时，a的取值范围是 　 　 ． 23．（8分）已知抛物线y＝ax2+2ax﹣1． （1）该抛物线的对称轴为 　 　 ； （2）若该抛物线的顶点在x轴上，求抛物线的解析式； （3）设点M（m，y1），N（2，y2）在该抛物线上，若y1＞y2，求m的取值范围． 24．（8分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）． （1）求这条抛物线所对应的函数的表达式； （2）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为1：5两部分，求点P的坐标． 25．（8分）“早黑宝”葡萄品种是我省农科院研制的优质新品种，在我省被广泛种植，邓州市某葡萄种植基地2017年种植“早黑宝”100亩，到2019年“早黑宝”的种植面积达到196亩． （1）求该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率； （2）市场调查发现，当“早黑宝”的售价为20元/千克时，每天能售出200千克，售价每降价1元，每天可多售出50千克，为了推广宣传，基地决定降价促销，同时减少库存，已知该基地“早黑宝”的平均成本价为12元/千克，若使销售“早黑宝”每天获利1750元，则售价应降低多少元？ 26．（8分）如图1，灌溉车为公路绿化带草坪浇水，图2是灌溉车浇水操作时的截面图．现将灌溉车喷出水的上、下边缘线近似地看作平面直角坐标系xOy中两条抛物线的部分图象．已知喷水口H离地竖直高度OH为1.2m，草坪水平宽度DE＝3m，竖直高度忽略不计．上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.4m，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m得到的，设灌溉车到草坪的距离OD为d（单位：m）． （1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC的长； （2）下边缘抛物线落地点B的坐标为 　 　 ； （3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个草坪，d的取值范围为 　 　 ． 27．（12分）如图所示，抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C．点M为抛物线的顶点． （1）求抛物线的表达式及顶点M的坐标； （2）若点N是第四象限内抛物线上的一个动点，连接BN、CN，求△BCN面积的最大值及此时点N的坐标； （3）若点D是抛物线对称轴上的动点，点G是抛物线上的动点，是否存在以点B、C、D、G为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，试说明理由． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：130分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏科版（2024）九年级数学上册第一章&九年级数学下册第五章（一元二次方程+二次函数）。 第一部分（选择题 共24分） 一．选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列函数中，一定是二次函数的是（　　） A．（其中m是常数） B．y＝ax2+bx+c（其中a、b、c是常数） C．y＝（2x﹣1）x D．y＝（x+4）2﹣x2 2．对于二次函数y＝（x﹣2）2的图象，下列说法不正确的是（　　） A．开口向上 B．对称轴是直线x＝2 C．顶点坐标为（﹣2，0） D．当x＜2时，y随x的增大而减小 3．某县推行“5+2”课后服务以后，教师的工作时间持续增加，已知第一周平均工作时长为40小时，到第三周时，平均工作时长为48.4小时，设这两周工作时长的平均增长率为x，则可列方程为（　　） A．40（1+2x）＝48.4 B．40（1+x）2＝48.4 C．48.4（1﹣x）2＝40 D．48.4（1﹣2x）＝40 4．若点A（﹣3，y1），B（﹣2，y2），C（2，y3）在二次函数y＝a（x+1）2（a＜0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y3＜y1＜y2 5．二次函数y＝ax2+bx的图象所示，则一次函数y＝ax+b的图象一定不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．如图，一次函数y1＝kx+n（k≠0）与二次函数y2＝ax2+bx+c（a≠0）的图象相交于A（﹣1，4），B（6，2）两点，则关于x的不等式kx+n≥ax2+bx+c的解集为（　　） A．﹣1≤x≤6 B．﹣1＜x＜6 C．x＜﹣1或x＞6 D．x≤﹣1或x≥6 7．观察下表，一元二次方程x2﹣x＝1.1的一个近似解是（　　） x 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 x2﹣x 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 A．0.11 B．1.19 C．1.67 D．1.73 8．如图，分别过点P（i，0）（i＝1，2，…，2024）作x轴的垂线，交y＝2x2（x＞0）的图象于点Ai，交直线y＝﹣2x于点Bi，则的值为（　　） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共106分） 二．填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 9．方程x（x+2）﹣（x+2）＝0的解是 　 　 ． 10．将抛物线y＝﹣2x2+4x﹣2向右平移2个单位后，再向上平移3个单位，得到新的抛物线的顶点坐标为 　 　 ． 11．如果一条抛物线的形状与的形状相同，且顶点坐标是（﹣4，2），那么它的函数解析式为 　 　 ． 12．若一元二次方程2x2﹣6x﹣1＝0的两根为α，β，则2α2﹣3α+3β的值为　 　 ． 13．二次函数y＝ax2+c的图象与y＝3x2的图象形状相同，开口方向相反，且经过点（1，1），则该二次函数的解析式为　 　 ． 14．已知a是方程x2+2x＝3的一个根，则代数式a2+2a+2025的值为 　 　 ． 15．已知关于x的二次函数y＝﹣x2+2mx+n（m，n为常数）．若m﹣1≤x≤m+k（k＞0）时，函数的最大值为p，最小值为q，且p﹣q＝3k，则k的值为　 　 ． 16．一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮框内．已知篮圈中心距离地面高度为3.05m，在如图所示的平面直角坐标系中，则此抛物线的解析式为 　 　 ． 17．已知关于x的一元二次方程（k﹣3）x2+2kx+k﹣2＝0有解，则k的取值范围是 　 　 ． 18．在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为完美点．若抛物线y＝ax2+5x+c有且只有一个完美点（2，2），且当0≤x≤m时，二次函数的最小值为，最大值为1，则m的取值范围是 　 　 ． 三．解答题（本大题共11小题，满分82分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（8分）解方程： （1）x2+6x﹣7＝0； （2）4x（2x+1）＝3（2x+1）． 20．（8分）已知某个函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 … y … 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 … （1）根据上面表格的数据，在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象； （2）请根据已学知识判断此图象是什么函数的图象，并求出这个函数的解析式． 21．（8分）已知关于x的方程k2x2﹣2（k﹣2）x+1＝0有两个实数根． （1）求k的取值范围； （2）当k＝﹣2时，设所给方程的两个根分别为x1、x2，求的值． 22．（8分）如图，将二次函数y＝x2﹣4位于x轴下方的图象沿x轴翻折，再得到一个新函数的图象（图中的实线）． （1）当x＝﹣3时，新函数值为 　 　 ，当x＝1时，新函数值为 　 　 ； （2）当x＝ 　 　 时，新函数有最小值； （3）当新函数中函数y随x的增大而增大时，自变量x的范围是 　 　 ； （4）直线y＝a与新函数图象有4个公共点时，a的取值范围是 　 　 ． 23．（8分）已知抛物线y＝ax2+2ax﹣1． （1）该抛物线的对称轴为 　 　 ； （2）若该抛物线的顶点在x轴上，求抛物线的解析式； （3）设点M（m，y1），N（2，y2）在该抛物线上，若y1＞y2，求m的取值范围． 24．（8分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）． （1）求这条抛物线所对应的函数的表达式； （2）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为1：5两部分，求点P的坐标． 25．（8分）“早黑宝”葡萄品种是我省农科院研制的优质新品种，在我省被广泛种植，邓州市某葡萄种植基地2017年种植“早黑宝”100亩，到2019年“早黑宝”的种植面积达到196亩． （1）求该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率； （2）市场调查发现，当“早黑宝”的售价为20元/千克时，每天能售出200千克，售价每降价1元，每天可多售出50千克，为了推广宣传，基地决定降价促销，同时减少库存，已知该基地“早黑宝”的平均成本价为12元/千克，若使销售“早黑宝”每天获利1750元，则售价应降低多少元？ 26．（8分）如图1，灌溉车为公路绿化带草坪浇水，图2是灌溉车浇水操作时的截面图．现将灌溉车喷出水的上、下边缘线近似地看作平面直角坐标系xOy中两条抛物线的部分图象．已知喷水口H离地竖直高度OH为1.2m，草坪水平宽度DE＝3m，竖直高度忽略不计．上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.4m，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m得到的，设灌溉车到草坪的距离OD为d（单位：m）． （1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC的长； （2）下边缘抛物线落地点B的坐标为 　 　 ； （3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个草坪，d的取值范围为 　 　 ． 27．（12分）如图所示，抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C．点M为抛物线的顶点． （1）求抛物线的表达式及顶点M的坐标； （2）若点N是第四象限内抛物线上的一个动点，连接BN、CN，求△BCN面积的最大值及此时点N的坐标； （3）若点D是抛物线对称轴上的动点，点G是抛物线上的动点，是否存在以点B、C、D、G为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，试说明理由． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：130分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏科版（2024）九年级数学上册第一章&九年级数学下册第五章（一元二次方程+二次函数）。 第一部分（选择题 共24分） 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1．下列函数中，一定是二次函数的是（　　） A．（其中m是常数） B．y＝ax2+bx+c（其中a、b、c是常数） C．y＝（2x﹣1）x D．y＝（x+4）2﹣x2 【分析】根据二次函数的定义逐一判断即可解答． 【解答】解：A、yx+m2（其中m是常数），是一次函数，故不符合题意； B、y＝ax2+bx+c（其中a、b、c是常数），当a≠0时是二次函数，故B不符合题意； C、y＝（2x﹣1）x＝2x2﹣x，是二次函数，故C符合题意； D、y＝（x+4）2﹣x2＝8x+16，是一次函数，故D不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x．y是变量，a，b，c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 2．对于二次函数y＝（x﹣2）2的图象，下列说法不正确的是（　　） A．开口向上 B．对称轴是直线x＝2 C．顶点坐标为（﹣2，0） D．当x＜2时，y随x的增大而减小 【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【解答】解：∵二次函数y＝（x﹣2）2， ∴该函数图象开口向上，故选项A正确，不符合题意； 对称轴是直线x＝2，故选项B正确，不符合题意； 顶点坐标为（2，0），故选项C错误，符合题意； 当x＜2时，y随x的增大而减小，故选项D正确，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 3．某县推行“5+2”课后服务以后，教师的工作时间持续增加，已知第一周平均工作时长为40小时，到第三周时，平均工作时长为48.4小时，设这两周工作时长的平均增长率为x，则可列方程为（　　） A．40（1+2x）＝48.4 B．40（1+x）2＝48.4 C．48.4（1﹣x）2＝40 D．48.4（1﹣2x）＝40 【分析】利用第三周的平均工作时长＝第一周的平均工作时长×（1+这两周工作时长的平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得40（1+x）2＝48.4， 故选：B． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 4．若点A（﹣3，y1），B（﹣2，y2），C（2，y3）在二次函数y＝a（x+1）2（a＜0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y3＜y1＜y2 【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线x＝1，然后利用抛物线的对称性和增减性即可得出答案． 【解答】解：∵y＝a（x+1）2（a＜0）， ∴图象的开口向下，对称轴是直线x＝﹣1， ∴在对称轴的右侧y随x的增大而增大． ∴C（2，y3）关于直线x＝﹣1的对称点是（﹣4，y3）， ∵﹣4＜﹣3＜﹣2＜﹣1， ∴y2＞y1＞y3， 故选：D． 【点评】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键． 5．二次函数y＝ax2+bx的图象所示，则一次函数y＝ax+b的图象一定不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】由二次函数的图象得出a＜0，b＞0，从而即可判断一次函数y＝ax+b的图象经过一、二、四象限，得到答案． 【解答】解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵抛物线对称轴在y轴右边， ∴， ∴b＞0， ∴一次函数y＝ax+b的图象经过一、二、四象限，不经过第三象限， 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，二次函数的图象，根据二次函数的图象得出a＜0，b＞0，采用数形结合的方法是解此题的关键． 6．如图，一次函数y1＝kx+n（k≠0）与二次函数y2＝ax2+bx+c（a≠0）的图象相交于A（﹣1，4），B（6，2）两点，则关于x的不等式kx+n≥ax2+bx+c的解集为（　　） A．﹣1≤x≤6 B．﹣1＜x＜6 C．x＜﹣1或x＞6 D．x≤﹣1或x≥6 【分析】根据图象关于x的不等式kx+n≥ax2+bx+c的解集就是两个函数的交点的横坐标，以及一次函数的图象在二次函数的图象的上边部分对应的自变量的取值范围． 【解答】解：∵一次函数y1＝kx+n（k≠0）与二次函数y2＝ax2+bx+c（a≠0）的图象相交于A（﹣1，4），B（6，2）两点， 根据图象可得关于x的不等式kx+n≥ax2+bx+c的解集是：﹣1≤x≤6． 故选：A． 【点评】本题考查了二次函数与不等式的关系，理解不等式的解集就是对应的自变量的取值范围是关键． 7．观察下表，一元二次方程x2﹣x＝1.1的一个近似解是（　　） x 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 x2﹣x 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 A．0.11 B．1.19 C．1.67 D．1.73 【分析】根据表格中的数据，可以估算一元二次方程x2﹣x＝1.1的一个近似解x的范围． 【解答】解：由表格可得， 当x＝1.6时，y＝0.96；当x＝1.7时，y＝1.19； ∴x2﹣x＝1.1的一个近似解是为x＝1.67， 故选：C． 【点评】本题考查图象法求一元二次方程的近似根，解答本题的明确题意，求出x的取值范围． 8．如图，分别过点P（i，0）（i＝1，2，…，2024）作x轴的垂线，交y＝2x2（x＞0）的图象于点Ai，交直线y＝﹣2x于点Bi，则的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意，依次求出线段AnBn的长度，发现规律即可解决问题． 【解答】解：由题知， 当i＝1时， 将x＝1代入y＝2x2得， y＝2， 则点A1的坐标为（1，2）； 将x＝1代入y＝﹣2x得， y＝﹣2， 则点B1的坐标为（1，﹣2）， 所以A1B1＝2﹣（﹣2）＝4＝2×1×2． 同理可得， A2B2＝12＝2×2×3， A3B3＝24＝2×3×4， …， 所以AnBn＝2n（n+1）（n为正整数）， 当n＝2024时， A2024B2024＝2×2024×2025， 所以 ． 故选：D． 【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、点的坐标变化规律及一次函数图象上点的坐标特征，能通过计算发现AnBn＝2n（n+1）（n为正整数）是解题的关键． 第二部分（非选择题 共106分） 二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分） 9．方程x（x+2）﹣（x+2）＝0的解是 　x1＝1，x2＝﹣2　 ． 【分析】把原方程左边因式分解得到（x+2）（x﹣1）＝0，则x﹣1＝0或x+2＝0，即可得到答案． 【解答】解：∵x（x+2）﹣（x+2）＝0， ∴（x+2）（x﹣1）＝0， 则x﹣1＝0或x+2＝0， 解得x1＝1，x2＝﹣2； 故答案为：x1＝1，x2＝﹣2． 【点评】此题考查了因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解是关键． 10．将抛物线y＝﹣2x2+4x﹣2向右平移2个单位后，再向上平移3个单位，得到新的抛物线的顶点坐标为 　（3，3）　 ． 【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解． 【解答】解：抛物线y＝﹣2x2+4x﹣2＝﹣2（x﹣1）2，则它的顶点坐标为（1，0）， 将抛物线y＝﹣2x2+4x﹣2向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，得到的抛物线y＝﹣2（x﹣3）2+3． 此时抛物线顶点坐标是（3，3）． 故答案为：（3，3）． 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式． 11．如果一条抛物线的形状与的形状相同，且顶点坐标是（﹣4，2），那么它的函数解析式为 　或y（x+4）2+2　 ． 【分析】先把解析式设为顶点式，再根据抛物线形状相同，则二次项系数相同，据此可得答案． 【解答】解：设该抛物线解析式为y＝a（x+4）2+2， ∵抛物线y＝a（x+4）2+2的形状与的形状相同， ∴或a， ∴该抛物线解析式为或y（x+4）2+2， 故答案为：或y（x+4）2+2． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键在于熟知抛物线形状与二次项系数的关系． 12．若一元二次方程2x2﹣6x﹣1＝0的两根为α，β，则2α2﹣3α+3β的值为　10　 ． 【分析】将x＝α代入原方程，可得出2α2﹣6α＝1，利用根与系数的关系，可得出α+β＝3，再将其代入原式＝（2α2﹣6α）+3（α+β）中，即可求出结论． 【解答】解：将x＝α代入原方程得：2α2﹣6α﹣1＝0， ∴2α2﹣6α＝1． ∵一元二次方程2x2﹣6x﹣1＝0的两根为α，β， ∴α+β＝3， ∴2α2﹣3α+3β＝（2α2﹣6α）+3（α+β）＝1+3×3＝10． 故答案为：10． 【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，利用一元二次方程的解及根与系数的关系，找出2α2﹣6α＝1及α+β＝3是解题的关键． 13．已知a是方程x2+2x＝3的一个根，则代数式a2+2a+2025的值为 　2028　 ． 【分析】将x＝a代入方程，再结合整体思想即可解决问题． 【解答】解：因为a是方程x2+2x＝3的一个根， 所以a2+2a＝3， 则a2+2a+2025＝3+2025＝2028． 故答案为：2028． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的解，巧用整体思想是解题的关键． 14．已知关于x的二次函数y＝﹣x2+2mx+n（m，n为常数）．若m﹣1≤x≤m+k（k＞0）时，函数的最大值为p，最小值为q，且p﹣q＝3k，则k的值为　3或　 ． 【分析】确定抛物线的对称轴为直线x＝m，开口向下，最大值为m2+n，再分两种情况：当0＜k＜1时，当k≥1时，求出k的值． 【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+2mx+n（m、n为常数）， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， 把x＝m代入y＝﹣x2+2mx+n， 得y＝﹣m2+2m2+n＝m2+n， ∴抛物线的顶点坐标为（m，m2+n）， ∴当m﹣1≤x≤m+k（k＞0）时，函数的最大值为p＝m2+n， 若0＜k＜1，则x＝m﹣1时函数有最小值， 且函数最小值q＝﹣（m﹣1）2+2m（m﹣1）+n＝m2+n﹣1， ∴p﹣q＝m2+n﹣（m2+n﹣1）＝1＝3k， 解得， 若k≥1，则x＝m+k时函数有最小值， 且函数最小值q＝﹣（m+k）2+2m（m+k）+n＝m2﹣k2+n， ∴p﹣q＝m2+n﹣（m2﹣k2+n）＝k2＝3k， 解得，k＝0（舍去）或k＝3， 综上所述，或k＝3． 故答案为：3或． 【点评】此题是二次函数的综合题，考查二次函数图象，二次函数的最值问题，正确掌握二次函数的知识是解题的关键． 15．已知关于x的一元二次方程（k﹣3）x2+2kx+k﹣2＝0有解，则k的取值范围是 　且k≠3　 ． 【分析】对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），若Δ＝b2﹣4ac＞0，则方程有两个不相等的实数根，若Δ＝b2﹣4ac＝0，则方程有两个相等的实数根，若Δ＝b2﹣4ac＜0，则方程没有实数根，据此可得Δ＝（2k）2﹣4（k﹣3）（k﹣2）≥0，解得，再由二次项系数不能为0求出k≠3，据此可得答案． 【解答】解：根据题意得k﹣3≠0且Δ＝（2k）2﹣4（k﹣3）（k﹣2）≥0， 解得k≠3且； 故答案为：且k≠3． 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义，熟记以上知识点是解题的关键． 16．在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为完美点．若抛物线y＝ax2+5x+c有且只有一个完美点（2，2），且当0≤x≤m时，二次函数的最小值为，最大值为1，则m的取值范围是 　m≤5　 ． 【分析】由完美点的概念可得：ax2+5x+c＝x，即ax2+4x+c＝0，由只有一个完美点可得判别式Δ＝16﹣4ac＝0，得方程根为2，从而求得a＝﹣1，c＝﹣4，所以函数y＝ax2+5x+cx2+5x，由此解析式可求得此抛物线的顶点坐标以及与坐标轴的交点坐标，根据函数值，可求得x的取值范围． 【解答】解：ax2+5x+c＝x，即ax2+4x+c＝0， ∵图象上有且只有一个完美点， ∴Δ＝16﹣4ac＝0， 则4ac＝16， ∴方程根为x2， ∴a＝﹣1，c＝﹣4． ∴函数y＝ax2+5x+cx2+5x，该二次函数顶点坐标为（，1）， 与y轴交点为（0，）， ∴点（5，）也是该二次函数图象上的点． 在x左侧，y随x的增大而增大； 在x右侧，y随x的增大而减小；且当0≤x≤m 时，函数y＝﹣x2+5x的最小值为，最大值为1， 则m≤5． 故答案为：m≤5． 【点评】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征，二次函数的性质以及根的判别式的知识，利用数形结合和分类讨论是解题关键． 三．解答题（共11小题，满分82分） 17．（6分）解方程： （1）x2+6x﹣7＝0； （2）4x（2x+1）＝3（2x+1）． 【分析】（1）利用因式分解法（十字相乘）求解比较简便； （2）把2x+1看成一个整体，运用因式分解法（提公因式）求解比较简便． 【解答】解：（1）x2+6x﹣7＝0， （x+7）（x﹣1）＝0， ∴x+7＝0或x﹣1＝0． ∴x1＝﹣7，x2＝1； （2）4x（2x+1）＝3（2x+1）， 移项，得4x（2x+1）﹣3（2x+1）＝0， ∴（2x+1）（4x﹣3）＝0． ∴2x+1＝0或4x﹣3＝0． ∴x1，x2． 【点评】本题考查了一元二次方程，掌握一元二次方程的因式分解法是解决本题的关键． 18．（5分）已知某个函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 … y … 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 … （1）根据上面表格的数据，在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象； （2）请根据已学知识判断此图象是什么函数的图象，并求出这个函数的解析式． 【分析】（1）利用描点法画出函数图象； （2）先判断函数图象为二次函数图象，再设交点式为y＝a（x+3）（x﹣1），然后把（0，﹣3）代入求出a即可． 【解答】解：（1）如图， （2）此图象是二次函数的图象． 设二次函数图象的解析式为y＝a（x+3）（x﹣1）， 把（0，﹣3）代入得﹣3＝a×3×（﹣1）， 解得a＝1， ∴二次函数图象的解析式为y＝（x+3）（x﹣1）， 即y＝x2+2x﹣3． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的图象与性质． 19．（5分）已知关于x的方程k2x2﹣2（k﹣2）x+1＝0有两个实数根． （1）求k的取值范围； （2）当k＝﹣2时，设所给方程的两个根分别为x1、x2，求的值． 【分析】（1）方程有两个实数根，则二次项的系数k2≠0且△≥0． （2）x1+x2，x1•x2，题中a＝4，b＝8，c＝1，代入数据求解即可． 【解答】解：（1）因为方程k2x2﹣2（k﹣2）x+1＝0有两个实数根， 根据题意得k2≠0且Δ＝4（k﹣2）2﹣4k2≥0， 解得k≤1且k≠0； （2）由题意可知原方程为：4x2+8x+1＝0， 则x1+x2＝2，x1•x2， ∴ ＝14． 【点评】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，正确记忆一元二次方程根的判别式是解题关键． 20．（8分）如图，将二次函数y＝x2﹣4位于x轴下方的图象沿x轴翻折，再得到一个新函数的图象（图中的实线）． （1）当x＝﹣3时，新函数值为 　5　 ，当x＝1时，新函数值为 　3　 ； （2）当x＝ 　﹣2或2　 时，新函数有最小值； （3）当新函数中函数y随x的增大而增大时，自变量x的范围是 　﹣2＜x＜0或x＞2　 ； （4）直线y＝a与新函数图象有4个公共点时，a的取值范围是 　0＜a＜4　 ． 【分析】（1）把x＝﹣3和x＝1分别代入y＝x2﹣4求得函数值，根据图象即可求得结论； （2）根据图象即可求得； （3）观察图象即可求得； （4）根据图象求得即可． 【解答】解：（1）把x＝﹣3代入y＝x2﹣4得y＝9﹣4＝5； 把x＝1代入y＝x2﹣4＝﹣3， ∴当x＝﹣3时，新函数值为5，当x＝1时，新函数值为3， 故答案为：5，3； （2）观察图象，当x＝﹣2或2时，新函数有最小值为0， 故答案为：﹣2或2； （3）观察图象，当新函数中函数y随x的增大而增大时，自变量x的范围是﹣2＜x＜0或x＞2； 故答案为：﹣2＜x＜0或x＞2； （4）直线y＝a与新函数图象有4个公共点时，a的取值范围0＜a＜4， 故答案为：0＜a＜4． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，二次函数的最值，数形结合是解题的关键． 21．（8分）已知抛物线y＝ax2+2ax﹣1． （1）该抛物线的对称轴为 　x＝﹣1　 ； （2）若该抛物线的顶点在x轴上，求抛物线的解析式； （3）设点M（m，y1），N（2，y2）在该抛物线上，若y1＞y2，求m的取值范围． 【分析】（1）把二次函数解析式化为顶点式，即可求出抛物线对称轴； （2）由（1）可知抛物线的顶点为（﹣1，a+1），根据抛物线的顶点在x轴上，得出a+1＝0，解方程求出a即可； （3）根据抛物线的对称轴，求出点N关于对称轴直线的对称点，再分a＞0，a＜0两种情况讨论即可． 【解答】解：（1）y＝ax2+2ax﹣1＝a（x2+2x）﹣1＝a（x+1）2﹣（a+1）， ∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1， 故答案为：x＝﹣1； （2）由（1）知，抛物线的顶点为（﹣1，a+1）， ∵抛物线的顶点在x轴上， ∴a+1＝0， 解得a＝﹣1， ∴抛物线的解析式y＝﹣x2﹣2x﹣1； （3）∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1， ∴N （2，y2）关于直线x＝﹣1的对称点为N'（﹣4，y2）， ①当a＞0时，若y1＞y2，则m＞2或m＜﹣4； ②当a＜0时，若y1＞y2，则﹣4＜m＜2． 综上，当a＞0时，m＞2或m＜﹣4；当a＜0时，﹣4＜m＜2． 【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，关键是掌握二次函数的性质． 22．（8分）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长． （1）如果x＝1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 【分析】（1）把x＝1代入方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0得ca+c﹣2b+a﹣c＝0，整理后根据等腰三角形的判定判断即可； （2）根据等边三角形的性质得出a＝b＝c，代入方程，即可得出x2﹣x＝0，再解方程即可． 【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形， 理由是：∵把x＝1代入方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0得：a+c﹣2b+a﹣c＝0， ∴2a＝2b， ∴a＝b， ∴△ABC的形状是等腰三角形； （2）∵△ABC是等边三角形， ∴a＝b＝c， ∵（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0， ∴（a+a）x2﹣2ax+a﹣a＝0， 即x2﹣x＝0， 解得：x1＝0，x2＝1， 即这个一元二次方程的根是x1＝0，x2＝1． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，等腰三角形的判定，等边三角形的性质等知识点，能理解一元二方程的解的定义是解（1）的关键，能根据等边三角形的性质得出a＝b＝c是解（2）的关键． 23．（8分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）． （1）求这条抛物线所对应的函数的表达式； （2）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为1：5两部分，求点P的坐标． 【分析】（1）运用待定系数法即可解决问题； （2）根据S△PCB：S△PCAEB×（yC﹣yP）：AE×（yC﹣yP）＝BE：AE，即可求解． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）． ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为yx2x+2； （2）如图，设直线CP交x轴于点E， 直线CP把四边形CBPA的面积分为1：5两部分， 又∵S△PCB：S△PCAEB×（yC﹣yP）：AE×（yC﹣yP）＝BE：AE， 则BE：AE＝1：5或5：1， 则AE＝5或1， 即点E的坐标为（1，0）或（﹣3，0）， 将点E的坐标代入直线CP的表达式：y＝nx+2， 解得：n＝﹣2或， 故直线CP的表达式为：y＝﹣2x+2或yx+2， 联立方程组或， 解得：x＝6或， 故点P的坐标为：（6，﹣10）或（，）． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，锐角三角函数、图象面积计算等，解决问题的关键是将面积比转化为线段比． 24．（8分）如图1，灌溉车为公路绿化带草坪浇水，图2是灌溉车浇水操作时的截面图．现将灌溉车喷出水的上、下边缘线近似地看作平面直角坐标系xOy中两条抛物线的部分图象．已知喷水口H离地竖直高度OH为1.2m，草坪水平宽度DE＝3m，竖直高度忽略不计．上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.4m，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m得到的，设灌溉车到草坪的距离OD为d（单位：m）． （1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC的长； （2）下边缘抛物线落地点B的坐标为 　（2，0）　 ； （3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个草坪，d的取值范围为 　2≤d≤3　 ． 【分析】（1）由顶点A（2，1.6）得，设y＝a（x﹣2）2+1.6，再根据抛物线过点（0，1.2），可得a的值，从而解决问题； （2）由对称轴知点（0，1.2）的对称点为（4，1.4），则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4cm得到的，可得点B的坐标； （3）根据点B，C坐标以及草坪宽度可得结论． 【解答】解：（1）由题意得A（2，1.6）是上边缘抛物线的顶点， 设y＝a（x﹣2）2+1.6， 又∵抛物线过点（0，1.2）， ∴1.2＝4a+1.6， ∴a， ∴上边缘抛物线的函数解析式为y（x﹣2）2+1.6， 当y＝0时，0（x﹣2）2+1.6， 解得x1＝6，x2＝﹣2（舍去）， ∴喷出水的最大射程OC为6m； （2）∵对称轴为直线x＝2， ∴点（0，1.4）的对称点为（4，1.4）， ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m得到的， ∴点B的坐标为（2，0）， 故答案为：（2，0）； （3）∵OB＝2，OC＝6，DE＝3， ∴要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个草坪，d的取值范围为2≤d≤3， 故答案为：2≤d≤3． 【点评】本题是二次函数的实际应用，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与方程的关系等知识，读懂题意，建立二次函数模型是解题的关键． 25．（8分）“早黑宝”葡萄品种是我省农科院研制的优质新品种，在我省被广泛种植，邓州市某葡萄种植基地2017年种植“早黑宝”100亩，到2019年“早黑宝”的种植面积达到196亩． （1）求该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率； （2）市场调查发现，当“早黑宝”的售价为20元/千克时，每天能售出200千克，售价每降价1元，每天可多售出50千克，为了推广宣传，基地决定降价促销，同时减少库存，已知该基地“早黑宝”的平均成本价为12元/千克，若使销售“早黑宝”每天获利1750元，则售价应降低多少元？ 【分析】（1）设该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率为x，根据题意得关于x的一元二次方程，解方程，然后根据问题的实际意义作出取舍即可； （2）设售价应降低y元，根据每千克的利润乘以销售量，等于1750，列方程并求解，再结合问题的实际意义作出取舍即可． 【解答】（1）设该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率为x，根据题意得 100（1+x）2＝196 解得x1＝0.4＝40%，x2＝﹣2.4（不合题意，舍去） 答：该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率为40%． （2）设售价应降低y元，则每天可售出（200+50y）千克 根据题意，得（20﹣12﹣y）（200+50y）＝1750 整理得，y2﹣4y+3＝0， 解得y1＝1，y2＝3 ∵要减少库存 ∴y1＝1不合题意，舍去， ∴y＝3 答：售价应降低3元． 【点评】本题考查了一元二次方程在增长率问题和销售问题中的应用，根据题目正确列出方程，是解题的关键． 26．（8分）阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值． 解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0 ∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）已知a2+6ab+10b2+2b+1＝0，求a﹣b的值； （2）已知等腰△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a2+b2﹣4a﹣6b+11＝0，求△ABC的周长； （3）已知x+y＝2，xy﹣z2﹣4z＝5，求xyz的值． 【分析】（1）利用配方法把原式变形，根据非负数的性质解答即可； （2）利用配方法把原式变形，根据非负数的性质和三角形三边关系解答即可； （3）利用配方法把原式变形，根据非负数的性质解答即可． 【解答】解：（1）∵a2+6ab+10b2+2b+1＝0， ∴a2+6ab+9b2+b2+2b+1＝0， ∴（a+3b）2+（b+1）2＝0， ∴a+3b＝0，b+1＝0， 解得b＝﹣1，a＝3， 则a﹣b＝4； （2）∵2a2+b2﹣4a﹣6b+11＝0， ∴2a2﹣4a+2+b2﹣6b+9＝0， ∴2（a﹣1）2+（b﹣3）2＝0， 则a﹣1＝0，b﹣3＝0， 解得，a＝1，b＝3， 由三角形三边关系可知，三角形三边分别为1、3、3， ∴△ABC的周长为1+3+3＝7； （3）∵x+y＝2， ∴y＝2﹣x， 则x（2﹣x）﹣z2﹣4z＝5， ∴x2﹣2x+1+z2+4z+4＝0， ∴（x﹣1）2+（z+2）2＝0， 则x﹣1＝0，z+2＝0， 解得x＝1，y＝1，z＝﹣2， ∴xyz＝﹣2． 【点评】本题考查的是配方法的应用和三角形三边关系，灵活运用完全平方公式、掌握三角形三边关系是解题的关键． 27．（10分）如图所示，抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C．点M为抛物线的顶点． （1）求抛物线的表达式及顶点M的坐标； （2）若点N是第四象限内抛物线上的一个动点，连接BN、CN，求△BCN面积的最大值及此时点N的坐标； （3）若点D是抛物线对称轴上的动点，点G是抛物线上的动点，是否存在以点B、C、D、G为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，试说明理由． 【分析】（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝x2+bx+c，即可求解； （2）过N点作x轴的垂线交直线BC于Q点，用待定系数法得直线BC的解析式为：y＝x﹣3，设N点坐标为（n，n2﹣2n﹣3），则Q点坐标为（n，n﹣3），其中0＜n＜3，NQ＝n﹣3﹣（n2﹣2n﹣3）＝﹣n2+3n，可得S△BCNNQ•|xB﹣xC|（﹣n2+3n）×3（n）2，由二次函数性质可得答案； （3）分三种情况讨论，列出方程组，求解即可． 【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝x2+bx+c， ∴， 解得 ∴y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4； 顶点坐标为：（1，﹣4）． （2）过N点作x轴的垂线交直线BC于Q点，如图： 在y＝x2﹣2x﹣3中，令x＝0得y＝﹣3， ∴C（0，﹣3）， 设直线BC解析式为y＝kx+m， ∴， 解得， ∴直线BC的解析式为：y＝x﹣3， 设N点坐标为（n，n2﹣2n﹣3），则Q点坐标为（n，n﹣3），其中0＜n＜3， ∴NQ＝n﹣3﹣（n2﹣2n﹣3）＝﹣n2+3n， ∴S△BCNNQ•|xB﹣xC|（﹣n2+3n）×3n2n（n）2， ∵0， ∴当n时，S△BCN有最大值为， 此时n2﹣2n﹣3＝（）2﹣23， ∴N的坐标为（）； （3）设D点坐标为（1，t ），G点坐标为（ m，m2﹣2m﹣3），且B（3，0），C（0，﹣3）． 分情况讨论： ①当DG为对角线时，则另一对角线是BC，由对角线互相平分及中点坐标公式可知， 解得， 经检验此时四边形 DCGB 为平行四边形，此时点G的坐标为（2，﹣3）． ②当 DB 为对角线时，则另一对角线是GC，由对角线互相平分及中点坐标公式可知， ， 解得， 经检验此时四边形 DCBG 为平行四边形，此时点G的坐标为（4，5）． ③当 DC 为对角线时，则另一对角线是 GB，由对角线互相平分及中点坐标公式可知， ， 解得， 经检验此时四边形 DGCB 为平行四边形，此时点G的坐标为（﹣2，5）． 综上所述，G点坐标存在，为（2，﹣3）或（4，5）或（﹣2，5）． 【点评】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质，分类讨论是解题的关键． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ) ( ) 2025-2026学年上学期第一次月考卷 九年级数学·答题卡 ( 姓 名： __________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) ( 一、 单项 选择题（每小题 3 分，共 24 分） 1 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二 、 填空 题（每小题 3 分，共 24 分） 9 ． ____________ 10 ． ____________ 1 1 ． ____________ 12 ． ____________ 13 ． ____________ 14 ． ____________ 15 ． ____________ 16 ． ____________ 三、解答题 （ 本大题共 11 小题，满分 82 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ） 1 7 ．（ 6 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18 ．（ 5 分） 19 ．（ 5 分） 2 0 ． （ 8 分） （1） 　 ； 　 ； （2） 　 ； （3） 　 ； （4） 　 . ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 1 ．（8分） （1） 　 ； 2 2 ．（8分） 2 3 ．（8分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 4 ． （ 8 分 ） （2） 　 ； （3） 　 ； 2 5 ． （ 8 分 ） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 6 ． （ 8 分 ） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 7 . （1 0 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025-2026 学年上学期第一次月考卷 九年级数学·答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（5 分） 19．（5 分） 20．（8 分） （1） ； ； （2） ； （3） ； （4） . 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（8 分） （1） ； 22．（8 分） 23．（8 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅 笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填 写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考 证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题 必须用 0.5 mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔 或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答， 超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题 卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 一、单项选择题（每小题 3 分，共 24 分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、填空题（每小题 3 分，共 24 分） 9．____________ 10．____________ 11．____________ 12．____________ 13．____________ 14．____________ 15．____________ 16．____________ 三、解答题（本大题共 11小题，满分 82分．解答应写出文字说明，证 明过程或演算步骤） 17．（6 分） 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（8 分） （2） ； （3） ； 25．（8 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26．（8 分） 27. （10 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ null 1 2025-2026 学年九年级数学上学期第一次月考卷 答题卡 第Ⅰ卷(请用 2B 铅笔填涂) 第Ⅱ卷 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 3 分，共 24 分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、填空题（每小题 3 分，共 24 分） 9．_________________ 10．___________________ 11．__________________ 12．__________________ 13．___________________ 14．__________________ 15．___________________ 16．__________________ 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B 铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm 黑色签字笔 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 学科网（北京）股份有限公司 三、解答题（本大题共 11小题，满分 82分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6 分） 18. （5 分） 19. （5 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 20. （8 分） （1） ； ； （2） ； （3） ； （4） ； 21. （8 分） （1） ； 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 22.（8 分） 23.（8 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24. （8 分） （2） ； （3） ； 25. （12 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26. （8 分） 27. （10 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！