第一章有理数专题一：数轴上的动点问题期中复习压轴题知识讲练2025—2026学年人教版数学七年级上册

第一章有理数专题一：数轴上的动点问题期中复习压轴题知识讲练 2025—2026学年人教版数学七年级上册 一、选择题 1．如图，把周长为3个单位长度的圆放到数轴（单位长度为1）上，三点将圆三等分，将点与数轴上表示1的点重合，然后将圆沿着数轴正方向滚动，依次为点与数轴上表示2的点重合，点与数轴上表示3的点重合，点与数轴上表示4的点重合，．．．，若当圆停止运动时点正好落到数轴上，则点对应的数轴上的数可能为（    ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 2．点为数轴上表示的点，将点沿数轴向右平移个单位到点，则用含有的代数式表示对应的数是（　　） A． B． C．2 D． 3．数轴上一点A向左移动5个单位后到达点B，如果点B到原点的距离为1，则点A表示的数是（    ） A．1 B．1或 C．5或 D．4或6 二、填空题 4．在数轴上有一个动点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度在数轴上运动，若点的运动规律是先向右运动1个单位长度，再向左运动2个单位长度，再向右运动3个单位长度，再向左运动4个单位长度，以此类推，每次运动单位长度依次递增，第113秒时，点在数轴上所对应的数是 ． 5．在数轴上，点表示原点，现将点从点开始沿数轴按如下规律移动：第一次点向左移动1个单位长度到达点，第二次将点向右移动2个单位长度到达点，第三次将点向左移动3个单位长度到达点，第四次将点向右移动4个单位长度到达点，…，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，当时，点与原点的距离是 个单位． 6．在数轴上，点表示的数是，点表示的数是，我们称点是点的“相关点”，已知数轴上的相关点为，点的相关点为，点的相关点为，这样依次得到点、、、，…，．若点在数轴表示的数是，则点在数轴上表示的数是 ． 三、解答题 7．如图，数轴上，两点对应的有理数分别为和，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴负方向运动，点同时从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为秒． (1)当时，数轴上的点、表示的数分别是______和______； (2)当时，求、两点间的距离； (3)在运动过程中是否存在时间使、两点间的距离与、两点间的距离相等，若存在，请求出此时t的值，若不存在，请说明理由． 8．如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t秒． (1)当时，求点Q到原点O的距离； (2)当时，求点Q到原点O的距离； (3)当点Q到点A的距离为4时，求点P到点Q的距离． 9．如图，在数轴上有A，B两点，分别表示的数为a，b，且．点P从A点出发以每秒19个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当它到达B点后立即以相同的速度返回往A点运动，并持续在A，B两点间往返运动．在点P出发的同时，点Q从B点出发以每秒3个单位长度向左匀速运动，当点Q到达A点时，点P，Q停止运动． (1)________（填空），并求运动了多长时间后，点P，Q第一次相遇，以及相遇点所表示的数； (2)点C在数轴上对应的数为81，在数轴上是否存在点M，使，若存在，求出点M对应的数，若不存在，说明理由； (3)求当点P，Q停止运动时，点P所在的位置表示的数；在整个过程中，点P和点Q一共相遇了多少次？ 10．如图，O是数轴的原点，A、B是数轴上的两个点，A点对应的数是，B点对应的数是8，C是线段上一点，满足． (1)求C点对应的数； (2)动点M从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当点M到达C点后停留2秒钟，然后继续按原速沿数轴向右匀速运动到B点后停止．在点M从A点出发的同时，动点N从B点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴匀速向左运动，一直运动到A点后停止．设点N的运动时间为t秒． ①当时，求t的值； ②在点M，N出发的同时，点P从C点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，当点P与点M相遇后，点P立即掉头按原速沿数轴向右匀速运动，当点P与点N相遇后，点P又立即掉头按原速沿数轴向左匀速运动到A点后停止．当时，请直接写出t的值． 11．如图，在数轴上A点表示数，B点表示数6． (1)A、B两点之间的距离等于 ； (2)若点A与点C之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，请在数轴上找一点C，使，则C点表示的数是 ； (3)若在原点O的左边2个单位处放一挡板，一小球P从点A处以4个单位/秒的速度向右运动；同时另一小球Q从点B处以2个单位/秒的速度向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）两球分别以原来的速度向相反的方向运动，设运动时间为秒，已知在小球Q开始运动的前两秒、和触碰到挡板返回至点B的过程中，对应的的值是定值，请分别求出相应定值． 12．已知是的系数，是多项式的次数，是单项式的系数，且、、分别是点、、在数轴上对应的数． (1)求、、的值，并在数轴上标出点、、． (2)若动点、分别从、同时出发沿数轴负方向运动，点的速度是每秒个单位长度，点的速度是每秒个单位长度，求运动几秒后，点可以追上点？ (3)在数轴上找一个点，使点到、、三点的距离之和等于，请直接写出所有点对应的数． 13．对于直线上三个点R，S，T，我们规定：如果R，S之间的距离等于R，T之间的距离的m倍（m为正整数），则R叫做S到T的m点．如图（1），数轴上A，B，C，D四点表示的数分别为，3，，4，则C是B到A的2点，D是A到B的7点． (1)A是B到C的________点，B是A到D的_______点； (2)若A到B的n点与B到A的n点是同一点E，则________，E表示的数是_______； (3)如图（2），若F是A到B的8点，求点F表示的数； (4)若P是A到B的k点，Q是B到A的k点．直接写出点P，Q之间的距离．（用含k的式子表示） 14．我们规定：对于数轴上不同的三个点，，，当点在点左侧时，若点到点的距离恰好为点到点的距离的倍，且为正整数，（即），则称点是“整关联点”． 如图，已知在数轴上，原点为，点，点表示的数分别为，．    (1)原点________（填“是”或“不是”）“整关联点”； (2)若点是“整关联点”，则点所表示的数_______； (3)点在，之间运动，且不与，两点重合，作“整关联点”，记为，作“整关联点”，记为，且满足，分别在线段和上．当点运动时，若存在整数，，使得式子为定值，直接写出，满足的数量关系________． 15．如图，在数轴上点M表示的数为m，点N表示的数为n，点M到点N的距离记为．我们规定：的大小可以用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数表示，即． 请用上面的知识解答下面的问题： 如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，满足，， (1) ， ， ； (2)若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数______表示的点重合； (3)点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为，点A与点B之间的距离表示为．则 ， ， ．（用含t的代数式表示） (4)请问，的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值； 16．已知式子是关于的二次多项式，且二次项系数为，数轴上，两点所对应的数分别是和． (1)则_____，_____；，两点之间的距离为_____； (2)有一动点从点出发第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次向右运动2个单位长度，再在此位置第三次向左运动3个单位长度…，按照如此规律不断地左右运动，当运动到第2022次时，求点所对应的有理数； (3)若点以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时点以每秒3个单位长度的速度向右运动，动点从原点开始以每秒（）个单位长度在，之间运动（到达或即停止运动），运动时间为t秒，在运动过程中，的值始终保持不变，求点运动的方向及的值． 17．已知a，b，c满足，且b是最小的正整数，数轴上A，B，C各点所对应的数分别为a，b，c，解答下列问题：    (1)填空：a=_____，b=______，c=_____． (2)点M在点A左侧，其对应的数为x，化简（要求说明理由）． (3)点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度向左运动，点Q从点B出发以每秒2个单位长度的速度向右运动，点R从点C出发以每秒5个单位长度的速度向右运动，这三个点同时出发，设运动时间为t秒，若点P与点Q之间的距离表示为m，点Q与点R之间的距离表示为n，问：的值是否随时间t的变化而变化？ 18．如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动到达A点，再向右移动到达B点，然后再向右移动到达C点，数轴上一个单位长度表示． (1)请你在数轴上标出A、B、C三点的位置，并写出A、B、C三点分别表示的数； (2)把点A到点C的距离记为AC，则___________，___________； (3)若点A沿数轴以每秒匀速向右运动，经过多少秒使？ (4)若点A以每秒的速度匀速向左移动，同时点B、点C分别以每秒、的速度匀速向右移动．设移动时间为t秒，试用含t的代数式表示． 参考答案 一、选择题 1．【解】解：由题意得：圆沿着数轴正方向滚动一次按点，点，点的顺序排列， 即圆的滚动规律为3次一个循环，则： ，所以此时点正好落在数轴上； ，所以此时点正好落在数轴上； ，所以此时点正好落在数轴上； ，所以此时点正好落在数轴上． 点对应的数轴上的数可能为2021， 故选：B． 2．【解】解：点M对应的数为，向右平移t个单位，即坐标增加t． 因此，点N对应的数为． 故选B． 3．【解】解：由条件可知：点B表示的数是：和1， ∵点A向左移动5个单位后到达点B， ∴点A表示的数是4或6， 故选：D． 4．【解】解：∵，， ∴第113秒时，点在数轴上所对应的数是， 故答案为：． 二、填空题 5．【解】解：因为第一次点向左移动1个单位长度到达点，点表示的数是， 第二次将点向右移动2个单位长度到达点，点表示的数是1， 第三次将点向左移动3个单位长度到达点，点表示的数是， 第四次将点向右移动4个单位长度到达点，点表示的数是2， …， 所以第次移动到点，当n为奇数时，点表示的数是，当n为偶数时，点表示的数是， 所以当时，点表示的数是，与原点的距离是1013； 故答案为：1013. 6．【解】解：点在数轴表示的数是，则点在数轴表示的数是，点在数轴表示的数是，点在数轴表示的数是，点在数轴表示的数是2，点在数轴表示的数是，……，由此得：三个数，2，依次循环； 而，则点在数轴上表示的数是2； 故答案为：2． 三、解答题 7．【解】（1）解：由题意可得：， ∴当时，， 故答案为：；； （2）解：把代入，可得： ，， ∴； （3）解：∵点到点的时间为：；点到点的时间为：； ∴当时，大致如图所示： ∵，，，， ∴， ∴ 解得：； 当时，大致如图所示： ∴， ∴ 解得：； 当时，大致如图所示： ∴， ∴ 解得：（舍去）； 综上所述：或． 8．【解】（1）解：∵动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动， ∴当时，， ∵在数轴上点A表示的数是8， ∴， ∴， ∴当时，点到原点的距离为6； （2）解：∵动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动 ∴当时，点运动的距离为， ∵在数轴上点A表示的数是8， ∴， ∴， ∴当时，点到原点的距离为2； （3）解：当点到点A的距离为4时， 分两种情况讨论： ①点向左运动还没达到原点时， ∵在数轴上点A表示的数是8， ∴， ∵， ∴ 运动时间为（秒）， ∴； ∴； ②点向右运动时且还没经过点时， ∵， ∴， 运动时间为（秒）， ∴； ∴； ③点向右运动时且经过点后， ∵， ∴， 运动时间为（秒）， ∴； ∴； 综上，点P到点Q的距离为6或10或22． 9．【解】（1）解：根据，可得，， ， （秒）， 相遇的点为； （2）解：设点表示的数为， ①当点在点左边时， ，，， 根据，可列方程， 解得； ②点在点和点中间时， ，，， 根据，可列方程， 解得； 综上所述，存在点M，使，点M对应的数为或； （3）解：点运动的时间为（秒）， ， 所以可得点总共往返6趟，且最后停止在处， 综上所述，点P和点Q一共相遇了7次． 10．【解】（1）∵A点对应的数是，B点对应的数是8， ∴， ∵， ∴，， ∴C点对应的数是， 答：C点对应的数是4； （2）①∵运动t秒时， 当M、N未相遇，则M在上运动，M表示的数是，N在上运动，N表示的数是， ∴， 解得， 当M、N相遇后，M在上运动，M表示的数是，N在上运动，N表示的数是， ∴， 解得， 综上所述，t的值为或； ②当P与M还未第一次相遇时，P表示的数是，M表示的数是，N表示的数是， ∵ ∴， 解得（舍去），此种情况不存在， 由已知得，P与M在时第一次相遇，相遇后P掉头按原速沿数轴向右匀速运动，在未遇到N前，P表示的数是， ∴， 解得， 由已知可知，当P与M在表示1的点处相遇，此时N运动到表示7的点处，再经过秒，即时，P与N相遇，此时M正好运动到C，P与N相遇后又立即掉头按原速沿数轴向左匀速运动，未与M第二次相遇，此时P表示的数是， ∴， 解得， 当P与M在点C处第二次相遇后直到到达A点前，P表示的数是，M在C点处，M表示的数是4， 次情况， ∴， 解得，不合， ∴这种情况不存在， 当P运动到A后，若N为的中点，此时， ∴， 解得， 综上所述，t的值为，或，或5.5． 11．【解】（1）解：A、B两点之间的距离等于， 故答案为：16； （2）设C点表示的数为x， 则， 解得， 即C点表示的数为， 故答案为：； （3）解：①当小球Q开始运动的前两秒中，，， 所以， 故， 所以，当小球Q开始运动的前两秒中，的定值是16； ②当小球Q触碰到挡板返回至点B的过程中， ， 所以， 而， 所以， 故 ， 所以,当小球Q触碰到挡板返回至点B的过程中，的定值是32． 综上，当小球Q开始运动的前两秒中，的定值是16；当小球Q触碰到挡板返回至点B的过程中，的定值是32． 12．【解】（1）解：∵是的系数，是多项式的次数，是单项式的系数， ∴，，， 如图，在数轴上标出点、、， ； （2）解：∵，，动点、分别从、同时出发沿数轴负方向运动，点的速度是每秒个单位长度，点的速度是每秒个单位长度， ∴（秒）， ∴运动秒后，点可以追上点； （3）解：情况一：当点在点、之间时， 又∵，，， ∴， ∴， ∴点对应的数； 情况二：当点在点左边时， ∵，， ∴， ∴点对应的数． 综上所述，点对应的数为或． 13．【解】（1）解：∵，，， ∴A是B到C的3点， ∵，，， ∴B是A到D的6点； 故答案为：3；6． （2）解：根据题意得： ∴， ∴， ∴点E表示的数为，； 故答案为：1；0． （3）解：∵F是A到B的8点 ∴， ①若F在A、B之间： 则F：； ②若F在B的右侧： 则F：； ∴点F表示的数是或． （4）解：∵k为正整数， ∴点P到点A的距离大于等于点P到点B的距离， 即点P在数轴上一定在点A的右侧， 同理可知，点Q在数轴上一定在点B的左侧； ①当点P和点Q在之间时，如图所示： ∵，， ∴，， 同理，，， 则； ②当点P在之间，点Q在A点左侧时，如图所示： 由①可知，，， ∵，， ∴，， 则； ③当点Q在之间，点P在点B右侧时，如图所示： 由①可知，，， ∵，， ∴，， 则； ④当点Q在A左侧时，点P在点B右侧时，如图所示： 由②③可知，，， ，， 则； 综上分析可知，点P，Q之间的距离为或或． 14．【解】（1）∵在数轴上，原点为，点，点表示的数分别为， ∴，， ∴， ∵不是整数， ∴原点不是“整关联点”． 故答案为：不是． （2）∵在数轴上，原点为，点，点表示的数分别为，， ∴，， ∴， 若点是“整关联点”， ∴， 当点在线段之间，， ∴点表示的数为：； 当点在线段的延长线上，， ∴， ∴点表示的数为：； 综上所述，点表示的数为：或者． 故答案为：或者． （3）设点表示的数为， ∵点在，之间运动，且不与，两点重合，作“整关联点”，记为，作“整关联点”，记为，且满足，分别在线段和上， ∴，；，， ∴，， ∴， 当点运动时，若存在整数，，使得式子为定值， ∴， 解得：， ∴整数，满足的数量关系为：， 故答案为：． 15．【解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， 故答案为：，1，8； （2）， ∴对称点为3， ∴， 即点B与5表示的点重合； （3）由题意可得： t秒后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为， ∴，，， 故答案为：，，； （4）由题意可得： 即的值不随着时间t的变化而变化，其值为15． 16．【解】（1）解：由题意知：， ∴ ∴AB的距离为10， 故答案为：，6，10； （2）解：依题意：点P第一次运动到对应的数为， 点第一次运动到对应的数为， 点第一次运动到对应的数为，… 即， 即点P对应的数为1007， （3）解：依题意，运动后点A对应的数为，点B对应的数为， ①当点D向左运动时，点D对应的数为 点B到D的距离：， 点A到D的距离：， ， 当的值始终固定，则，； ②当点D向右运动时，点D对应的数为， 点B到D的距离：， 点A到D的距离：， ， 当的值始终固定，则，， 因为，不符合题意，舍去， 综上所述，当的值始终固定，点D向左运动，的值为． 17．【解】（1）解：∵b是最小的正整数， ∴， ∵， ∴，， ∴，． （2）由（1）知，，a在数轴上所对应的点为A， ∵点M在点A左侧， ∴， ∴． （3）t秒时，点P表示的数为−1−t， 点Q表示的数为， 点R表示的数为， 则， ． ∴ ∴的值为固定值，与时间t没有关系，不会随时间的变化而变化． 18．【解】（1）解：当点从数轴上的原点开始，先向左移动到达A点时，点A对应的数为，再向右移动到达B点，则点B对应的数为：，然后再向右移动到达C点，则点C对应的数为：； 所以点A，B，C分别表示的数为，，． 三点在数轴上的位置如图． （2）解：，， 故答案为：5，； （3）解：当点A在点C的左边时，点A对应的数为：，则点A的运动距离为：，此时点运动的时间为：（秒）； 当点A在点C的右边时，点A对应的数为：，则点A的运动距离为：，此时点运动的时间为：（秒）； 故答案为：秒或秒； （4）解：A点移动t秒后的对应的点表示的数为，B点移动t秒后的对应的点表示的数为，C点移动t秒后的对应的点表示的数为， 则，， 所以 学科网（北京）股份有限公司 $$