21.3 实际问题与一元二次方程（基础练+提升练+拓展练+达标检测）1大单元分层优化练2025-2026学年人教版数学九年级上册

2025学年人教版九年级数学上大单元分层优化练 21.3 实际问题与一元二次方程（基础练+提升练+拓展练+达标检测）1 知识点1 传播问题 1.传播问题 传染源第一轮被传染的第二轮被传染的第二轮传染后的总数． 即：传播、传染问题：原病例数×（1＋传播数）传播轮数＝总病例数 2.握手问题 单双循环问题：单循环：＝总数； 双循环：＝总数。（表示参与数量） 例1-1.有一个人患了某种流感，经过两轮传染后共有100人患了此流感． (1)每轮传染中平均一人传染了几人？ (2)如果此流感未得到及时控制，按照这样的传染速度，经过三轮传染后一共有多少人患此流感？ 解题通法： ①确定原病例数、传播轮数 ②两轮传染：传染源第一轮被传染的第二轮被传染的第二轮传染后的总数． 例1-2.校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的1个主干上长出x个枝干，每个枝干上再长出x个小分支．若在1个主干上的主干、枝干和小分支的数量之和是43个，则x等于（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 解题通法： 主干+枝干+小分支=总数 例1-3.今天是个特别的日子，我们班有好多人都在今天过生日，为庆祝生日，凡是今天过生日的都要制作生日贺卡相互赠送，结果一共赠送了56个生日贺卡，那么，谁知道我们班一共有多少人今天过生日？（用一元二次方程解决） 解题通法： ①正确区分单循环、双循环. ②如果单循环：根据单循环：＝总数；列方程 如果双循环：根据n(n-1)＝总数。（表示参与数量）列方程 【变式1-1】．九年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛45场，则参加此次比赛的球队数是( ) A.8 B.9 C.10 D.11 【变式1-2】．一个小组有若干人，新年互相发送1条祝福信息，已知全组共发送306条信息，则这个小组有多少人？设这个小组有x人，根据题意可列方程( ) A. B. C. D. 【变式1-3】．2025年，某地甲型流感病毒传播速度非常快，开始有3人被感染，经过两轮传播后就有192人患了甲型流感.若每轮传染的速度相同，则每轮每人传染的人数为( ) A.5人 B.6人 C.7人 D.8人 【变式1-4】．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是13，则每个支干长出( ) A.2根小分支 B.3根小分支 C.4根小分支 D.5根小分支 【变式1-5】．一个人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，依题意可列方程为( ) A. B. C. D. 知识点2 数字问题 (1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、 　　　 千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字 只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用 其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位 数.如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为： 　　　　　 100c+10b+a. (2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1. 　　如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1. 　　几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2. 　　如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2. 例2.一个两位数比它的十位上的数字与个位上的数字之积大40，已知十位上的数字比个位上的数字大2．则这个两位数是（　　） A. 64 B. 75 C. 53或75 D. 64或75 解题通法： ①一个两位数，个位上数为a，十位上数为b，则这个两位数可表示为：10b+a. ②根据题意列方程求解 【变式2-1】．如图，根据小丽与的对话，在深度思考后，给出的答案是( ) A.1 B. C. D.1或 【变式2-2】．．已知两个相邻的偶数之积为960，若设较小的偶数为x，则可列方程为( ) A. B. C. D. 【变式2-3】．如图,是某月的日历表,在此日历表上可以用一个矩形圈出个位置相邻的数(如6,7,8,13,14,15,20,21,22).如果圈出的9个数中,最小数x与最大数的积为161,那么根据题意可列方程为( ) A. B. C. D. 【变式2-4】．．小明同学是一位古诗文的爱好者,在学习了一元二次方程这一章后,改编了苏轼诗词《念奴娇·赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽,千古风流人物.而立之年督东吴,早逝英年两位数.十位恰小个位三,个位平方与寿同.哪位学子算得快,多少年华数周瑜？”假设周瑜去世时年龄的十位数字是x,则可列方程为______. 知识点3 增长率问题 增长率问题：原数×（1＋增长率）增长轮数＝总数， 原数×（1－下降率）下降轮数＝总数。 例3-1.今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件． （1）求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率． （2）经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元？ 解题通法： 增长率问题：原数×（1＋增长率）增长轮数＝总数， 【变式3-1】．“读万卷书，行万里路.”某校为了丰富学生的阅历知识，坚持开展课外阅读活动，学生人均阅读量从七年级的每年64万字增加到九年级的全年144万字.设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，则可列方程为( ) A. B. C. D. 【变式3-2】．某景区五一期间2022年比2021年旅游人数增加了，2023年比2022年旅游人数增加了，已知2021年至2023年景区的旅游人数平均年增长率为，则下列方程正确的是( ) A. B. C. D. 【变式3-3】．某超市今年“十一黄金周”期间开展促销活动，前六天的总营业额为200万元，第七天的营业额是前六天总营业额的. (1)求该超市今年“十一黄金周”七天的总营业额. (2)该超市今年7月份的营业额为150万元，8、9月份营业额的月增长率相同，9月份的营业额等于“十一黄金周”七天的总营业额.求该超市今年8、9月份营业额的月增长率. 【变式3-4】．在国家积极政策的鼓励下，中国新能源汽车的市场需求呈螺旋式上升，某汽车企业2023到2025这两年A型汽车年销售总量增加了，年销售单价下降了. (1)设2023年销售A型汽车总量为a万辆，销售单价为b万元，请用代数式填表： 年份 年销售A型汽车总量/万辆 年销售A型汽车单价/万元 年销售A型汽车总额/亿元 2023 a b ①______ 2025 ②______ (2)该汽车企业A型汽车这两年销售总额的年增长率相同，求年增长率. 一、.辨易错 1.传染问题中忽略感染者自身而出错 需将初始感染者计入总数 例4．有4人患了流感，经过两轮传染后共有196人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染的人数相同，则三轮传染后有（　　）人得了流感. A．1372 B．343 C．1512 D．2744 【变式4-1】．秋季是流感的高发时期，某校11月初有2个人患了流感，经过两轮传染后共有200个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了 人． 2.握手问题中分支/握手次数的单位混淆 需注意分支数或握手次数为离散整数， 例5．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的分支，主干，分支和小分支的总数是，则每个支干长出（   ）根小分支 A． B． C． D． 【变式5-1】．今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到90个红包，则该群一共有(    ) A．9人 B．10人 C．11人 D．12人 3.增长率问题中方程两边的量不匹配 需注意第三年（月）与三年一共的量。 例6．某超市今年一月份总收入为50万元，第一季度总收入为175万元，问2、3月份平均每月的增长率是多少？设平均每月的增长率为x，根据题意得方程为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】．某地计划三年内投入1900万元资金进行生态建设，以此带动本地旅游业的发展，本年度当地旅游业收入估计为400万元，如果在今后的三年内（本年度为第一年）每年旅游业的收入比上年增长百分数相同，则三年内旅游业的总收入恰好等于投资总额，设旅游业的收入比上年增长的百分数为x，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 2、 综合应用 例7．有一种“微信点名”活动，需要回答一系列问题，并将问题和自己的答案在朋友圈中发布，同时还规定“@”一定数量的其他人，邀请他们也参与活动．小明被邀请参加一次“微信点名”活动，他决定参与并按规定“@”其他人，如果收到小明邀请的人也同样参与了活动并按规定“@”其他人，且从小明开始算起，转发两轮后共有91人被邀请参与该活动．设参与该活动后规定“@”x人，则可列出的方程为 ． 【变式7-1】．某科技公司生产销售一种电子产品，该产品总成本包括技术成本、制造成本、销售成本三部分，经核算，2018年该产品各部分成本所占比例约为（a为整数）．且2018年该产品的技术成本为400万元． (1)若2018年产品总成本超过1800万元，但不超过2000万元，确定a的值； (2)在（1）的条件下，为降低总成本，该公司2019年及2020年增加了技术成本投入，确保这两年技术成本都比前一年增加一个相同的百分数，制造成本在这两年里都比前一年减少；同时为了扩大销售量，2020年的销售成本将在2018年的基础上提高，经过以上变革，预计2020年该产品总成本仅为2018年该产品总成本的，求m的值． 例8．某种商品的标价为200元/件，经过两次降价后的价格为162元/件，并且两次降价的百分率相同． (1)求该种商品每次降价的百分率； (2)若该种商品进价为156元/件，若以200元/件售出，平均每天能售出20件，另外每天需支付其他各种费用150元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天盈利1450元，每件应降价多少元? 【变式8-1】．“人与自然和谐共生”哈尔滨湿地节系列活动中，某景点接待游客逐渐增多，6月份第一周接待游客200人，第三周接待游客288人，若该景点接待游客数量的周平均增长率相同． (1)求该景点在6月份的第二周接待游客多少人？ (2)该景点第四周接待游客数量是第二周接待游客数量的1.8倍，平均每位游客购买1件旅游纪念品．该景点只销售A，B两种旅游纪念品，A种纪念品每件利润5元，B种纪念品每件利润8元，且售出的B种纪念品的数量不多于A种纪念品的3倍，设第四周该景点售出A种旅游纪念品a件，获得的总利润为W元，求W与a的函数关系式，并求出获得的最大利润． 达标检测 一、选择题（每小题3分，共24分） 1．有一人患了流感，经过两轮传染后，共有 人患了流感，则可列方程（   ） A． B． C． D． 2．为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请 个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请个互不相同的好友转发倡议书．以此类推，已知经过两轮传播后，共有人参与了传播活动，则的值是（   ）． A． B． C． D． 3．初中毕业时，某班学生都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送张照片．设全班有名同学，可列方程为（    ） A． B． C． D． 4．有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有36人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，对于甲、乙、丙三人的说法，下列判断正确的是（   ） 甲：第1轮后有个人患了流感；乙：第2轮又增加个人患流感；丙：依题意可列方程 A．甲错，丙对 B．甲对，乙错 C．甲对，丙错 D．乙和丙都对 5．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，求每个支干长出多少小分支：设每个支干长出x小分支，那么根据题意可以列方程为（   ） A． B． C． D． 6．某校截止2023年底，校园绿化面积为1000平方米，为美化环境，该校计划2025年底绿化面积达到1440平方米．利用方程思想，设这两年绿化面积的年平均增长率为，则依题意可列方程（    ） A． B． C． D． 7．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，则这个两位数是（    ） A．26 B．84 C．48 D．62 8．某县是我国生态环境第一县，全国各地前去旅游的人逐年增多．据统计，2022年“五一”假期期间，该县接待游客15万人次，2024年增长至46万人次．设这两年“五一”假期该县接待旅游人次的年平均增长率为x，则可列方程（    ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．如图，在2025年4月的日历表上用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为，则这个最小数为 ． 10．若干个好朋友除夕夜打电话互相问候，两个朋友之间都通话交流一次，一共通话次，设这些朋友一共人，则可列方程： ． 11．深圳书城湾区域，是深圳新时代重大文化设施之一，预计2025年6月启用，预计第一年进书城672万人次，进书城人次逐年增加，第三年进书城1050万人次，若进书城人次的年平均增长率相同．设进书城人次的年平均增长率为x，则根据题意，可列方程是 ． 【答案】 12．某种植物的根特别发达，它的主根长出若干数目的支根，支根中的又长出同样多的小支根，而其余支根长出一半数目的小支根．主根、支根、小支根的总数是109根，则这种植物的主根长出 根支根． 13．某种传染性羊疾在羊群中传播迅猛，平均一头羊每隔小时能传染头羊，现知一养羊场有头羊染有此病，那么小时后共有 头羊染上此病（用含、的代数式表示）． 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．卫生部疾病控制专家经过调研提出，如果人传播人以上而且被传染的人已经确定为新冠肺炎，那么这个传播者就可以称为“超级传播者”如果某镇有人不幸成为新冠肺炎病毒的携带者，假设每轮传染的人数相同，经过两轮传染后共有人成为新冠肺炎病毒的携带者． （1）经过计算，判断最初的这名病毒携带者是“超级传播者”吗？请先写出结论，再说明理由； （2）若不加以控制传染渠道，经过轮传染，共有多少人成为新冠肺炎病毒的携带者？ 15．某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月份的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． (1)求二、三这两个月的月平均增长率； (2)从四月份起，超市决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量在400件的基础上增加5件，当商品降价多少元时，超市获利4250元？ 16．如图是某月的日历表，在这个日历表上用一个方框圈出4个数，若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为209，求这个最小数．    17．在巴黎奥运会乒乓球混双决赛中，中国组合王楚钦和孙颖莎击败朝鲜组合夺冠，这是中国乒乓球队历史上首枚奥运混双金牌，填补了国乒在奥运会混双项目上的空白，标志着中国乒乓球在奥运项目上的全面覆盖． (1)据市场调研发现，某体育用品店近几个月的乒乓球拍销售量逐月提升，已知月共销售乒乓球拍副，每月的月销售增长率相同，月共销售副，求该乒乓球拍月份到月份销售量的月平均增长率． (2)已知某体育用品店乒乓球拍平均每天可销售副，每副盈利元，每下降元，则每天可多售副，该乒乓球拍的日销售利润能否达到元？如果能，请求出每副乒乓球拍的售价；如果不能，请说明理由． 18．某小区有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81个人患了流感． (1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后，累计患流感的人数能否超过800？ 19．某超市以每箱25元的进价购进一批龙眼．当该龙眼的售价为40元/箱时，七月销售250箱，八、九月该龙眼十分畅销，销量持续上涨，在售价不变的基础上，九月的销量达到360箱． (1)若七月份到九月份的月平均增长率都相同，求这两个月的月平均增长率． (2)十月份该超市为了减少库存，开始降价促销．经调查发现，该龙眼每箱每降价1元，月销量在九月销量的基础上增加5箱．当龙眼每箱降价多少元时，该超市十月可获利元? 20．阅读材料，解决问题 材料1：新时代的中国伴随着人工智能、新能源、新材料等不断革新，制造业发展也迎来了大变革，新桥产业园某工厂借助智能化，对某型号零件进行一体化加工，生产效率提升显著，该零件3月份生产100个，5月份生产169个． 材料2：该厂生产的零件成本为40元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为50元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每涨1元，则销售量将减少10个． 【解决问题】 (1)求该厂3月份到5月份生产数量的平均增长率； (2)若该厂既想使月销售利润达到12000元，又想尽快减少库存，以便产品迭代，则该零件的实际售价应定为多少元？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025学年人教版九年级数学上大单元分层优化练 21.3 实际问题与一元二次方程（基础练+提升练+拓展练+达标检测）1（解析版） 知识点1 传播问题 1.传播问题 传染源第一轮被传染的第二轮被传染的第二轮传染后的总数． 即：传播、传染问题：原病例数×（1＋传播数）传播轮数＝总病例数 2.握手问题 单双循环问题：单循环：＝总数； 双循环：＝总数。（表示参与数量） 例1-1.有一个人患了某种流感，经过两轮传染后共有100人患了此流感． (1)每轮传染中平均一人传染了几人？ (2)如果此流感未得到及时控制，按照这样的传染速度，经过三轮传染后一共有多少人患此流感？ 解题通法： ①确定原病例数、传播轮数 ②两轮传染：传染源第一轮被传染的第二轮被传染的第二轮传染后的总数． 【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染9个人 (2)1000人 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键在于读懂题意，设出合适的未知数，找出等量关系，列方程求解． （1）设第一个人传染了人，根据两轮传染后共有100人患了流感；列出方程，即可求解； （2）根据题意，求出三轮之后患流感的人数． 【详解】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染个人， 由题意得：，即： 解得：，， ， 不合题意，舍去， ， 答：每轮传染中平均一个人传染9个人． （2）第一轮的患病人数为：人， 第二轮的患病人数为：人， 则，第三轮的患病人数为：人． 例1-2.校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的1个主干上长出x个枝干，每个枝干上再长出x个小分支．若在1个主干上的主干、枝干和小分支的数量之和是43个，则x等于（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 解题通法： 主干+枝干+小分支=总数 【答案】C 【解析】根据在1个主干上的主干、枝干和小分支的数量之和是43个，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 解：依题意，得：1+x+x2=43， 整理，得：x2+x-42=0， 解得：x1=6，x2=-7（不合题意，舍去）． 故选：C． 例1-3.今天是个特别的日子，我们班有好多人都在今天过生日，为庆祝生日，凡是今天过生日的都要制作生日贺卡相互赠送，结果一共赠送了56个生日贺卡，那么，谁知道我们班一共有多少人今天过生日？（用一元二次方程解决） 解题通法： ①正确区分单循环、双循环. ②如果单循环：根据单循环：＝总数；列方程 如果双循环：根据n(n-1)＝总数。（表示参与数量）列方程 【答案】一共有8个人过生日． 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，设一共有x人过生日，由已知，每个过生日的人要做个生日贺卡，即共做个．根据一共赠送了56个生日贺卡列方程求解即可． 【详解】解：设一共有x人过生日，由已知，每个过生日的人要做个生日贺卡，即共做个．由题意得 整理可得 解得（舍） 答：一共有8个人过生日． 【变式1-1】．九年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛45场，则参加此次比赛的球队数是( ) A.8 B.9 C.10 D.11 答案：C 解析：设参加此次比赛的球队数为x队， 根据题意得：， 化简，得， 解得，（舍去）， 答：参加此次比赛的球队数是10队. 故选：C. 【变式1-2】．一个小组有若干人，新年互相发送1条祝福信息，已知全组共发送306条信息，则这个小组有多少人？设这个小组有x人，根据题意可列方程( ) A. B. C. D. 答案：C 解析：设这个小组有x个人， 由题意得，. 故选C. 【变式1-3】．2025年，某地甲型流感病毒传播速度非常快，开始有3人被感染，经过两轮传播后就有192人患了甲型流感.若每轮传染的速度相同，则每轮每人传染的人数为( ) A.5人 B.6人 C.7人 D.8人 答案：C 解析：设每个人传染x人，根据题意列方程得， ， 解得：，（不合题意，舍去）， 故选：C. 【变式1-4】．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是13，则每个支干长出( ) A.2根小分支 B.3根小分支 C.4根小分支 D.5根小分支 答案：B 解析：设每个支干长出x个分支， 根据题意得 ， 整理得， 解得，（不符合题意舍去）， 即每个支干长出3个分支. 故应选B. 【变式1-5】．一个人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，依题意可列方程为( ) A. B. C. D. 答案：B 解析:若每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮传染了x个人，第二轮作为传染源的是人，则传染了人， 根据题意，可得：. 故选：B 知识点2 数字问题 (1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、 　　　 千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字 只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用 其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位 数.如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为： 　　　　　 100c+10b+a. (2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1. 　　如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1. 　　几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2. 　　如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2. 例2.一个两位数比它的十位上的数字与个位上的数字之积大40，已知十位上的数字比个位上的数字大2．则这个两位数是（　　） A. 64 B. 75 C. 53或75 D. 64或75 解题通法： ①一个两位数，个位上数为a，十位上数为b，则这个两位数可表示为：10b+a. ②根据题意列方程求解 【答案】D 【解析】可设个位数字为x,则十位上的数字是（x+2）．等量关系：十位上的数字与个位上的数字的积+40=这个两位数． 解：设个位数字为x,则十位上的数字是（x+2），根据题意得 x（x+2）+40=10（x+2）+x, 整理，得x2-9x+20=0，即（x-4）（x-5）=0， 解得 x1=4，x2=5（不合题意，舍去）， 当x1=4时，x+2=6，这个两位数是64； 当x1=5时，x+2=7，这个两位数是75． 答：这两位数是64或75． 故选：D． 【变式2-1】．如图，根据小丽与的对话，在深度思考后，给出的答案是( ) A.1 B. C. D.1或 答案：A 解析：由题意，设这个数为x， ， ， ， ， 故选：A. 【变式2-2】．．已知两个相邻的偶数之积为960，若设较小的偶数为x，则可列方程为( ) A. B. C. D. 答案：D 解析：设较小的偶数为x，则较大的偶数为，根据题意得 故选：D. 【变式2-3】．如图,是某月的日历表,在此日历表上可以用一个矩形圈出个位置相邻的数(如6,7,8,13,14,15,20,21,22).如果圈出的9个数中,最小数x与最大数的积为161,那么根据题意可列方程为( ) A. B. C. D. 答案：B 解析：根据图表可以得出,圈出的9个数,最大数与最小数的差为16,设最小数为x,则最大数为, 根据题意得出：, 故选：B. 【变式2-4】．．小明同学是一位古诗文的爱好者,在学习了一元二次方程这一章后,改编了苏轼诗词《念奴娇·赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽,千古风流人物.而立之年督东吴,早逝英年两位数.十位恰小个位三,个位平方与寿同.哪位学子算得快,多少年华数周瑜？”假设周瑜去世时年龄的十位数字是x,则可列方程为______. 答案： 解析：设周瑜去世时年龄的十位数字是x,则个位数上的数字是, 由题意可得：. 故答案为：. 知识点3 增长率问题 增长率问题：原数×（1＋增长率）增长轮数＝总数， 原数×（1－下降率）下降轮数＝总数。 例3-1.今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件． （1）求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率． （2）经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元？ 解题通法： 增长率问题：原数×（1＋增长率）增长轮数＝总数， 【解析】（1）利用平均增长率的等量关系：a（1+x）2=b,列式计算即可； （2）利用总利润=单件利润×销售数量，列方程求解即可． （1）解：设平均增长率为x,由题意得：256×（1+x）2=400， 解得：x=0.25或x=-2.25（舍）； ∴四、五这两个月的月平均增长百分率为25%； （2）解：设降价y元，由题意得：（40-y-25）（400+5y）=4250， 整理得：y2+65y-350=0， 解得：y=5或y=-70（舍）； ∴当商品降价5元时，商场六月份可获利4250元． 【变式3-1】．“读万卷书，行万里路.”某校为了丰富学生的阅历知识，坚持开展课外阅读活动，学生人均阅读量从七年级的每年64万字增加到九年级的全年144万字.设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，则可列方程为( ) A. B. C. D. 答案：A 解析：设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x， 根据题意得. 故选：A. 【变式3-2】．某景区五一期间2022年比2021年旅游人数增加了，2023年比2022年旅游人数增加了，已知2021年至2023年景区的旅游人数平均年增长率为，则下列方程正确的是( ) A. B. C. D. 答案：D 解析：设2021年旅游的人数为a人， 根据题意可得， 即， 故选：D. 【变式3-3】．某超市今年“十一黄金周”期间开展促销活动，前六天的总营业额为200万元，第七天的营业额是前六天总营业额的. (1)求该超市今年“十一黄金周”七天的总营业额. (2)该超市今年7月份的营业额为150万元，8、9月份营业额的月增长率相同，9月份的营业额等于“十一黄金周”七天的总营业额.求该超市今年8、9月份营业额的月增长率. 答案：(1)216万元 (2) 解析：(1)前六天的总营业额为200万元，第七天的营业额是前六天总营业额的， ∴七天的总营业额为：（万元）. (2)设该超市今年8、9月份营业额的月增长率为x， 根据题意，得， 整理得，. 解得，（不符合题意，舍去）， 答：该超市今年8、9月份营业额的月增长率为. 【变式3-4】．在国家积极政策的鼓励下，中国新能源汽车的市场需求呈螺旋式上升，某汽车企业2023到2025这两年A型汽车年销售总量增加了，年销售单价下降了. (1)设2023年销售A型汽车总量为a万辆，销售单价为b万元，请用代数式填表： 年份 年销售A型汽车总量/万辆 年销售A型汽车单价/万元 年销售A型汽车总额/亿元 2023 a b ①______ 2025 ②______ (2)该汽车企业A型汽车这两年销售总额的年增长率相同，求年增长率. 答案：(1)ab ；1.44ab (2)该汽车企业A型汽车这两年销售总额的年增长率为 解析：(1)解：根据题意得，2023年销售A型汽车总额为亿元， 2025年销售A型汽车总额为亿元， 故答案为：ab ；1.44ab (2)解：设该汽车企业A型汽车这两年销售总额的年增长率为x， 根据题意，得， 解得（舍去）， 答：该汽车企业A型汽车这两年销售总额的年增长率为. 一、.辨易错 1.传染问题中忽略感染者自身而出错 需将初始感染者计入总数 例4．有4人患了流感，经过两轮传染后共有196人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染的人数相同，则三轮传染后有（　　）人得了流感. A．1372 B．343 C．1512 D．2744 【答案】A 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了运用一元二次方程解决实际问题．设每轮传染中平均每人传染x人，根据初始4人经过两轮传染后总人数为196，建立方程求解x，再计算三轮后的总人数．正确的列出方程是解题的关键． 【详解】解：设每轮传染中平均每人传染x人，则每轮传染后患病总人数是上一轮的倍，根据题意得， ， ， ， ，（舍去）， ∴每轮传染中平均每人传染6人， 则三轮传染后得流感的人数为（人）． 故选：A． 【变式4-1】．秋季是流感的高发时期，某校11月初有2个人患了流感，经过两轮传染后共有200个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了 人． 【答案】9 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是掌握传播问题的列式方法． 设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，根据“有2人患了流感，经过两轮传染后共有200人患了流感”，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 故答案为：9． 2.握手问题中分支/握手次数的单位混淆 需注意分支数或握手次数为离散整数， 例5．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的分支，主干，分支和小分支的总数是，则每个支干长出（   ）根小分支 A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设每个支干长出个小分支，根据“每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是”得出一元二次方程，解方程可得答案． 【详解】解：设每个支干长出个小分支，由题意得：， 解得：（不合题意，舍去）， 故每个支干长出个小分支， 故选：C． 【变式5-1】．今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到90个红包，则该群一共有(    ) A．9人 B．10人 C．11人 D．12人 【答案】B 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【详解】试题解析：设这个微信群共有x人， 依题意有x（x-1）=90， 解得：x=-9（舍去）或x=10， ∴这个微信群共有10人． 故选B. 3.增长率问题中方程两边的量不匹配 需注意第三年（月）与三年一共的量。 例6．某超市今年一月份总收入为50万元，第一季度总收入为175万元，问2、3月份平均每月的增长率是多少？设平均每月的增长率为x，根据题意得方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考査了由实际问题抽象出一元二次方程，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．本题可先用表示出二月份的总收入，再根据题意表示出三月份的总收入，然后将三个月的总收入相加，即可列出方程． 【详解】解：设平均每月的增长率为，则二月份的总收入为：，三月份的总收入为：， 根据题意得：． 故选：D． 【变式6-1】．某地计划三年内投入1900万元资金进行生态建设，以此带动本地旅游业的发展，本年度当地旅游业收入估计为400万元，如果在今后的三年内（本年度为第一年）每年旅游业的收入比上年增长百分数相同，则三年内旅游业的总收入恰好等于投资总额，设旅游业的收入比上年增长的百分数为x，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 根据每年的增长率相同，可以列出方程，本题得以解决． 【详解】设旅游业的收入比上年增长的百分数为x， 根据题意得，． 故选：D． 2、 综合应用 例7．有一种“微信点名”活动，需要回答一系列问题，并将问题和自己的答案在朋友圈中发布，同时还规定“@”一定数量的其他人，邀请他们也参与活动．小明被邀请参加一次“微信点名”活动，他决定参与并按规定“@”其他人，如果收到小明邀请的人也同样参与了活动并按规定“@”其他人，且从小明开始算起，转发两轮后共有91人被邀请参与该活动．设参与该活动后规定“@”x人，则可列出的方程为 ． 【答案】 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系是解题的关键．根据“转发两轮后共有91人被邀请参与该活动”列出方程即可． 【详解】解：由题意可得：， 故答案为：． 【变式7-1】．某科技公司生产销售一种电子产品，该产品总成本包括技术成本、制造成本、销售成本三部分，经核算，2018年该产品各部分成本所占比例约为（a为整数）．且2018年该产品的技术成本为400万元． (1)若2018年产品总成本超过1800万元，但不超过2000万元，确定a的值； (2)在（1）的条件下，为降低总成本，该公司2019年及2020年增加了技术成本投入，确保这两年技术成本都比前一年增加一个相同的百分数，制造成本在这两年里都比前一年减少；同时为了扩大销售量，2020年的销售成本将在2018年的基础上提高，经过以上变革，预计2020年该产品总成本仅为2018年该产品总成本的，求m的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)、一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题主要考查了比例的应用，一元一次不等式组的应用，以及一元二次方程的应用，读懂题意是解题的关键． （1）根据比例的应用列出关于一元一次不等式组，即可得出a的取值范围，再根据a为整数即可得出答案． （2）由（1）可得2018年的总成本，根据2020年该产品总成本仅为2018年该产品总成本的，列出关于m的一元二次方程求解即可得出答案． 【详解】（1）由题意得： 解得： ∵a为整数， ∴； （2）由（1）可得：2018年产品总成本为：(万元)， 则2018年的制造成本为（万元），销售成本为（万元）， 由题意得： 令，则 ∴， 整理得： 解得：，， ∴，（舍去） 则． 例8．某种商品的标价为200元/件，经过两次降价后的价格为162元/件，并且两次降价的百分率相同． (1)求该种商品每次降价的百分率； (2)若该种商品进价为156元/件，若以200元/件售出，平均每天能售出20件，另外每天需支付其他各种费用150元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天盈利1450元，每件应降价多少元? 【答案】(1)10%， (2)4元． 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）设该种商品每次降价的百分率为x，根据该商品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论； （2）每件商品的盈利×（原来的销售量＋增加的销售量）－150=1450，为了减少库存，计算得到的降价多的数量即可． 【详解】（1）解：设该种商品每次降价的百分率为x， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）； 答：该种商品每次降价的百分率为10%． （2）解：设每件商品应降价x元，根据题意，得： ， 解方程得， ∵在降价幅度不超过10元的情况下， ∴不合题意舍去， 答：每件商品应降价4元． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，得到现在的销售量是解决解决本题的难点，根据每天的盈利得到相应的等量关系是解决本题的关键． 【变式8-1】．“人与自然和谐共生”哈尔滨湿地节系列活动中，某景点接待游客逐渐增多，6月份第一周接待游客200人，第三周接待游客288人，若该景点接待游客数量的周平均增长率相同． (1)求该景点在6月份的第二周接待游客多少人？ (2)该景点第四周接待游客数量是第二周接待游客数量的1.8倍，平均每位游客购买1件旅游纪念品．该景点只销售A，B两种旅游纪念品，A种纪念品每件利润5元，B种纪念品每件利润8元，且售出的B种纪念品的数量不多于A种纪念品的3倍，设第四周该景点售出A种旅游纪念品a件，获得的总利润为W元，求W与a的函数关系式，并求出获得的最大利润． 【答案】(1)该景点在6月份的第二周接待游客为240人； (2)W与a的函数关系式为W=-3a+3456，最大利润为3132元． 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）设该景点接待游客数量的周平均增长率为x，然后根据题意列出一元二次方程，解方程即可； （2）根据总利润=A，B两种纪念品利润之和列出函数解析式，再根据函数的性质求最值即可． 【详解】（1）设该景点接待游客数量的周平均增长率为x，根据题意， 得200（1+x）2=288， 解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2（舍去）， ∴该景点接待游客数量的周平均增长率为20%， ∴200（1+20%）=240（人）， ∴该景点在6月份的第二周接待游客为240人； （2）∵该景点第四周接待游客数量第二周接待游客数量的1.8倍， ∴该景点第四周接待游客为240×1.8=432（人）， 设第四周该景点售出A种旅游纪念品a件，则该景点售出B种旅游纪念品（432-a）件， 根据题意得：W=5a+8（432-a）=-3a+3456， ∵售出的B种纪念品的数量不多于A种纪念品的3倍， ∴432-a≤3a， 解得：a≥108， ∵-3＜0， ∴W随a的增大而减小， ∴当a=108时，W最大，最大值为3132， ∴W与a的函数关系式为W=-3a+3456，最大利润为3132元． 【点睛】本题主要考查一次函数和一元二次方程的应用，关键是根据等量关系列出函数解析式和一元二次方程． 达标检测 一、选择题（每小题3分，共24分） 1．有一人患了流感，经过两轮传染后，共有 人患了流感，则可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是根据实际问题列一元二次方程．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键，根据题意，设每轮传染中平均一个人传染了个人，则第一轮传染了个人，第二轮作为传染源的是人，则传染人，依题意列方程：，即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人， ∴第一轮传染了个人，第二轮作为传染源的是人，则传染人， ∴， 故选：C． 2．为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请 个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请个互不相同的好友转发倡议书．以此类推，已知经过两轮传播后，共有人参与了传播活动，则的值是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，找到“等量关系”列方程是解决问题的关键． 第一轮传播了个人，第二轮传播了个人，根据两轮传播后，共有111人参与列出方程求解即可． 【详解】解：由题意得， ， 解得，（舍去），， 的值是， 故选：C． 3．初中毕业时，某班学生都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送张照片．设全班有名同学，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，题意得每个人要送出张照片，据此即可求解． 【详解】解：由题意得：每个人要送出张照片， ∵全班有名同学， ∴可列方程为， 故选：A． 4．有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有36人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，对于甲、乙、丙三人的说法，下列判断正确的是（   ） 甲：第1轮后有个人患了流感；乙：第2轮又增加个人患流感；丙：依题意可列方程 A．甲错，丙对 B．甲对，乙错 C．甲对，丙错 D．乙和丙都对 【答案】C 【分析】本题考查了列代数式及一元二次方程的应用，掌握等量关系是解答本题的关键，根据题意逐个计算出每轮感染人数，共感染人数即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人， 甲：第1轮后，1个人传染了x人，共有个人患了流感，故正确； 乙：第2轮后，个人中每人传染了x人，增加个人患流感，故正确； 丙：2轮后，共有人患流感，由题意得方程，即，故错误． 故选：C． 5．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，求每个支干长出多少小分支：设每个支干长出x小分支，那么根据题意可以列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，根据题意，可以列出相应的方程：主干支干小分支，进而得出答案． 【详解】解：依题意得支干的数量为x个， 小分支的数量为个， 那么根据题意可列出方程为：． 故选：A． 6．某校截止2023年底，校园绿化面积为1000平方米，为美化环境，该校计划2025年底绿化面积达到1440平方米．利用方程思想，设这两年绿化面积的年平均增长率为，则依题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了列一元二次方程， 根据题意得出形如的方程即可. 【详解】解：根据题意，得. 故选：B. 7．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，则这个两位数是（    ） A．26 B．84 C．48 D．62 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的应用，设个数上的数字是x，则十位上的数字是，根据题意列一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：设个数上的数字是x，则十位上的数字是， 由题意得，， 整理得，， 解得，（舍去）， 个数上的数字是4，十位上的数字是， 这个两位数是84， 故选B． 8．某县是我国生态环境第一县，全国各地前去旅游的人逐年增多．据统计，2022年“五一”假期期间，该县接待游客15万人次，2024年增长至46万人次．设这两年“五一”假期该县接待旅游人次的年平均增长率为x，则可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用——增长率问题，熟练掌握终止量与起始量和增长次数的关系，是解题的关键． 根据该县接待游客人次的年平均增长率为x，则2023年五一期间接待游客万人次，则2024年五一期间接待游客万人次，列出方程即可． 【详解】解：∵该县接待游客15万人次，年平均增长率为x， ∴2023年增长到人次， 2024年增长到人次， ∵2024年增长至46万人次， ∴． 故选：B． 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．如图，在2025年4月的日历表上用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为，则这个最小数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设这个最小数为，由日历的特点可知，最大数为，据此即可求解； 【详解】解：设这个最小数为，由日历的特点可知，最大数为， ∴， 解得：（舍去）， 故答案为： 10．若干个好朋友除夕夜打电话互相问候，两个朋友之间都通话交流一次，一共通话次，设这些朋友一共人，则可列方程： ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程解实际应用，准确找到等量关系是解题的关键．根据等量关系列出方程即可得到答案． 【详解】解：设这些朋友一共人， 根据题意得，． 故答案为：. 11．深圳书城湾区域，是深圳新时代重大文化设施之一，预计2025年6月启用，预计第一年进书城672万人次，进书城人次逐年增加，第三年进书城1050万人次，若进书城人次的年平均增长率相同．设进书城人次的年平均增长率为x，则根据题意，可列方程是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系式．设进书城人次的年平均增长率为x，根据等量关系式：第一年进书城的人次第三年进书城的人次，列出方程求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为：． 12．某种植物的根特别发达，它的主根长出若干数目的支根，支根中的又长出同样多的小支根，而其余支根长出一半数目的小支根．主根、支根、小支根的总数是109根，则这种植物的主根长出 根支根． 【答案】12 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，设每个支干长出x根小分支，则可表示出主干、支干和小分支的总数，由条件可列出方程即可，找出题目中的等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设这种植物的主根长出x根支根．由题意，得， 解得（不合题意，舍去）， ∴这种植物的主根长出12根支根． 故答案为：12． 13．某种传染性羊疾在羊群中传播迅猛，平均一头羊每隔小时能传染头羊，现知一养羊场有头羊染有此病，那么小时后共有 头羊染上此病（用含、的代数式表示）． 【答案】 【分析】10小时可以传染两轮，根据每轮传染数和传染轮数列出一元二次方程即可． 【详解】解：平均一头羊每隔5小时能传染a头羊，那么十个小时可以传染两轮.第一轮中，被传染的羊有ma头，再加上原本患病的m头羊，那么5个小时后共有m＋ma头羊染上此病；第二轮中，被传染的羊有a(m＋ma)头，再加上原本患病的m＋ma头，那么十个小时后共有m＋ma＋a(m＋ma)＝m(a＋1)2头羊患上此病．故答案为m(a＋1)2． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程在实际问题中的应用，解题的关键是要根据题中所给条件之间的关键列出正确的一元二次方程． 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．卫生部疾病控制专家经过调研提出，如果人传播人以上而且被传染的人已经确定为新冠肺炎，那么这个传播者就可以称为“超级传播者”如果某镇有人不幸成为新冠肺炎病毒的携带者，假设每轮传染的人数相同，经过两轮传染后共有人成为新冠肺炎病毒的携带者． （1）经过计算，判断最初的这名病毒携带者是“超级传播者”吗？请先写出结论，再说明理由； （2）若不加以控制传染渠道，经过轮传染，共有多少人成为新冠肺炎病毒的携带者？ 【答案】（1）最初的这名病毒携带者是“超级传播者”，见解析；（2）若不加以控制传染渠道，经过轮传染，共有人成为新冠肺炎病毒的携带者 【分析】最初的这名病毒携带者是“超级传播者”，设每人每轮传染的人数为人，则第一轮传染了人，第二轮传染了人，根据经过两轮传染后共有人成为新冠肺炎病毒的携带者，即可得出关于的一元二次方程，解之将其正值与比较后即可得出结论； 利用经过轮传染后成为新冠肺炎病毒的携带者的人数经过两轮传染后成为新冠肺炎病毒的携带者的人数经过两轮传染后成为新冠肺炎病毒的携带者的人数每人每轮传染的人数，即可求出结论． 【详解】解：最初的这名病毒携带者是“超级传播者”，理由如下： 设每人每轮传染的人数为人，则第一轮传染了人，第二轮传染了人， 依题意得：， 解得：不合题意，舍去． ， 最初的这名病毒携带者是“超级传播者”． 人． 答：若不加以控制传染渠道，经过轮传染，共有人成为新冠肺炎病毒的携带者． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 15．某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月份的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． (1)求二、三这两个月的月平均增长率； (2)从四月份起，超市决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量在400件的基础上增加5件，当商品降价多少元时，超市获利4250元？ 【答案】(1)二、三这两个月的月平均增长率为； (2)当商品降价5元时，商场获利4250元． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设二、三这两个月的月平均增长率为，利用该商品三月份的销售量该商品一月份的销售量二、三这两个月的月平均增长率，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可； （2）设商品降价元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，根据超市获利4250元，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设二、三这两个月的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：二、三这两个月的月平均增长率为； （2）解：设商品降价元，则每件的销售利润为元，月销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：当商品降价5元时，超市获利4250元． 16．如图是某月的日历表，在这个日历表上用一个方框圈出4个数，若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为209，求这个最小数．    【答案】11 【分析】设这个最小数为x，则最大数为，根据最小数与最大数的乘积为209，列出方程求解即可． 【详解】解：设这个最小数为x，则最大数为， 依题意得：． 整理得：． 解得：，（不合题意，舍去）． 答：这个最小数为11． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确的列出方程． 17．在巴黎奥运会乒乓球混双决赛中，中国组合王楚钦和孙颖莎击败朝鲜组合夺冠，这是中国乒乓球队历史上首枚奥运混双金牌，填补了国乒在奥运会混双项目上的空白，标志着中国乒乓球在奥运项目上的全面覆盖． (1)据市场调研发现，某体育用品店近几个月的乒乓球拍销售量逐月提升，已知月共销售乒乓球拍副，每月的月销售增长率相同，月共销售副，求该乒乓球拍月份到月份销售量的月平均增长率． (2)已知某体育用品店乒乓球拍平均每天可销售副，每副盈利元，每下降元，则每天可多售副，该乒乓球拍的日销售利润能否达到元？如果能，请求出每副乒乓球拍的售价；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)该乒乓球拍月份到月份销售量的月平均增长率为 (2)日销售利润不能达到元，见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设平均每月增长率为，利用月销售量月销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设每副乒乓球拍降价元，则每副乒乓球拍盈利元，平均每天可售出副，利用总利润每副的销售利润日销售量，即可得出关于的一元二次方程，由，即可得出结论． 【详解】（1）解：设该乒乓球拍月份到月份销售量的月平均增长率为． 根据题意，得． 解得或（不合题意，舍去）． 答：该乒乓球拍月份到月份销售量的月平均增长率为． （2）解：不能．理由如下： 设每副乒乓球拍降价元，则每副乒乓球拍盈利元，平均每天可售出副． 根据题意，得． 整理得． , 此方程无解． 日销售利润不能达到元． 18．某小区有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81个人患了流感． (1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后，累计患流感的人数能否超过800？ 【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染8个人 (2)经过三轮传染后，累计患流感的人数不能超过800 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用： （1）设每轮传染中平均一个人传染x个人，根据两轮传染后共有81个人患了流感，列出方程进行求解即可； （2）用81加上第三轮传染的人数，求出总人数，进行判断即可． 【详解】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染x个人．根据题意得， ， 解得（不合题意，舍去）． 答：每轮传染中平均一个人传染8个人； （2）人， ， ∴经过三轮传染后，累计患流感的人数不能超过800． 19．某超市以每箱25元的进价购进一批龙眼．当该龙眼的售价为40元/箱时，七月销售250箱，八、九月该龙眼十分畅销，销量持续上涨，在售价不变的基础上，九月的销量达到360箱． (1)若七月份到九月份的月平均增长率都相同，求这两个月的月平均增长率． (2)十月份该超市为了减少库存，开始降价促销．经调查发现，该龙眼每箱每降价1元，月销量在九月销量的基础上增加5箱．当龙眼每箱降价多少元时，该超市十月可获利元? 【答案】(1) (2)元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设七月份到九月份的月平均增长率为，利用九月的销售量七月的销售量（七月份到九月份的月平均增长率），即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设龙眼每箱降价元，则每箱盈利元，月销售量为箱，利用总利润每箱的销售利润月销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】（1）解：设七月份到九月份的月平均增长率为， 依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：七月份到九月份的月平均增长率为． （2）设龙眼每箱降价元，则每箱盈利元，月销售量为箱， 依题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：当龙眼每箱降价元时，该超市十月可获利元． 20．阅读材料，解决问题 材料1：新时代的中国伴随着人工智能、新能源、新材料等不断革新，制造业发展也迎来了大变革，新桥产业园某工厂借助智能化，对某型号零件进行一体化加工，生产效率提升显著，该零件3月份生产100个，5月份生产169个． 材料2：该厂生产的零件成本为40元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为50元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每涨1元，则销售量将减少10个． 【解决问题】 (1)求该厂3月份到5月份生产数量的平均增长率； (2)若该厂既想使月销售利润达到12000元，又想尽快减少库存，以便产品迭代，则该零件的实际售价应定为多少元？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）基本关系：初量（1+增长率）2=末量，据此列出方程，求解即可； （2）基本关系：总利润=每个的销售利润×月销售量，该零件的实际售价应定为元，用含的代数式表示月销售量，再利用月销售利润达到12000元建立方程求解． 【详解】（1）设该厂3月份到5月份生产数量的平均增长率为，根据题意，得 ， 解得：，（舍去） 答：设该厂3月份到5月份生产数量的平均增长率为 （2）设该零件的实际售价应定为元，根据题意，得 ， 解得：，， ∵想尽快减少库存，则售价应该更低， ∴该零件的实际售价应定为元， 答：该零件的实际售价应定为元． 学科网（北京）股份有限公司 $$