高教版《一课一练》第80练-向量的内积 课后作业（原卷版+解析版）

编写说明：鉴于中职学生中多数属于数学学习困难群体这一现状，我们秉持以学生为中心的原则，依据支架式教学理念，为学生提供处于其最近发展区内的助力，推动他们从现有水平逐步向潜在发展水平迈进。在此基础上，我们精心编制了广东省版高教版数学《一课一练》专辑。专辑内的每一份作业，都基于一线教师丰富的教学经验和对广东省近年“3+证书”考试真题的精准分析制作，紧密围绕课堂上老师所讲授的知识点，以基础、容易的题目为主。旨在让学生能够踏踏实实地跟上老师的教学节奏，从最为简易的数学练习起步，逐步掌握学习数学的方法，进而学好数学。 本卷为高教版《数学》拓展模块第80练，内容是第二章平面向量2.3 向量的内积。 高教版《数学》拓展模块上册 第80练 第二章 平面向量 2.3 向量的内积 一课一练 一、选择题 1．向量与的内积⋅的结果是（　　） A.向量 B.数量 C.非负数 D.正数 【答案】B 【分析】向量内积的概念判断。 【详解】向量内积的定义为：对于两个向量和，它们的内积⋅=∣∣∣∣cos θ（其中θ是两向量的夹角）。由于∣∣、∣∣是向量的模（非负实数），cos θ是实数，因此它们的乘积是一个实数（数量）。 对于A中，不符合上述求解结果，故A错误； 对于B中，符合上述求解结果，故B正确； 对于C中，不符合上述求解结果，故C错误； 对于D中，不符合上述求解结果，故D错误. 故选：B. 2．已知∣∣=3，∣∣=4，与的夹角为60°，则⋅=（　　） A.6 B.12 C.6 D.12 【答案】A 【分析】向量内积的计算。 【详解】已知∣∣=3，∣∣=4，两向量的夹角θ=60∘，根据向量内积定义： ⋅=∣∣∣∣cos θ。代入数值计算：cos 60∘=0.5，因此⋅=3×4×0.5=6。 对于A中，符合上述求解结果，故A正确； 对于B中，不符合上述求解结果，故B错误； 对于C中，不符合上述求解结果，故C错误； 对于D中，不符合上述求解结果，故D错误. 故选：A. 3．若与垂直，则⋅=（　　）​ A.∣∣∣∣​ B.-∣∣∣∣ C.0 D.1 【答案】C 【分析】垂直向量的内积性质判断。 【详解】若两个向量与垂直，则它们的内积（点积）为0，即⋅=0。 对于A中，不符合上述求解结果，故A错误； 对于B中，不符合上述求解结果，故B错误； 对于C中，符合上述求解结果，故C正确； 对于D中，不符合上述求解结果，故D错误. 故选：C. 4．已知∣∣=5，则⋅的值为（　　） A.5 B.10 C.25 D.0 【答案】C 【分析】向量自身内积的计算。 【详解】根据向量内积的定义，⋅=∣∣∣∣cos θ（θ为两向量的夹角）。当=时，两向量的夹角θ=0∘，此时cos 0∘=1，因此： ⋅=∣∣∣∣cos 0∘=∣∣2×1=∣∣2。 代入计算：已知∣∣=5，则⋅=∣∣2=52=25。 对于A中，不符合上述求解结果，故A错误； 对于B中，不符合上述求解结果，故B错误； 对于C中，符合上述求解结果，故C正确； 对于D中，不符合上述求解结果，故D错误. 故选：C. 5．已知⋅=12，∣∣=4，则在方向上的投影为（　　） A.3 B.4 C.6 D.12 【答案】A 【分析】向量投影的概念判断。 【详解】向量在方向上的投影定义为：∣∣cos θ（其中θ是与的夹角）。 根据向量内积的定义⋅=∣∣∣∣cos θ，可推导出投影的计算公式：在方向上的投影=∣∣cos θ=。 代入计算：已知⋅=12，∣∣=4，代入上述公式可得：在方向上的投影==3。 对于A中，符合上述求解结果，故A正确； 对于B中，不符合上述求解结果，故B错误； 对于C中，不符合上述求解结果，故C错误； 对于D中，不符合上述求解结果，故D错误. 故选：A. 6．下列关于向量内积的说法，正确的是（　　） A.两个向量的内积是一个向量 B.内积的运算结果与两个向量的顺序无关 C.若⋅>0，则与的夹角为锐角 D.若⋅<0，则与的夹角为钝角 【答案】B 【分析】向量内积的基本性质判断。 【详解】对于A中，根据内积定义，内积的结果是数量（标量），而非向量，故A错误； 对于B中，内积满足交换律⋅=⋅，因此运算结果与向量顺序无关，故B正确； 对于C中，当两向量同向（夹角为0∘）时，内积也大于0，但0∘不是锐角（锐角定义为 0∘<θ<90∘），故C错误； 对于D中，当两向量反向（夹角为180∘）时，内积也小于0，但180∘不是钝角（钝角定义为90∘<θ<180∘），故D错误. 故选：B. 二、填空题 7．已知向量与满足⋅=0，且∣∣=3，∣∣=4，则∣+∣= 。 【答案】5 【分析】向量内积与模的综合计算。 【详解】根据向量内积的运算性质，∣+∣2=(+)⋅(+)。 展开得：(+)⋅(+)=⋅+2⋅+⋅。其中， ⋅=∣∣2，⋅=∣∣2，因此：∣+∣2=∣∣2+2⋅+∣∣2。 代入计算：已知⋅=0（两向量垂直），∣∣=3，∣∣=4，代入上式得： ∣+∣2=32+2×0+42=9+0+16=25。因此，∣+∣==5. 故答案：5. 8．若∣∣=5，则⋅+∣∣= 。 【答案】30 【分析】向量自身内积与模的综合运算。 【详解】根据向量内积的性质，向量与自身的内积⋅=∣∣2（推导自内积定义： ⋅=∣∣⋅∣∣⋅cos 0∘=∣∣2，其中夹角为0∘，cos 0∘=1）。 分步计算：已知∣∣=5，则：计算⋅：⋅=∣∣2=52=25；代入原式：⋅+∣∣=25+5=30. 故答案：30. 三、解答题 9．已知向量与的夹角为60°，∣∣=4，∣∣=6，求： （1）⋅； （2）在方向上的投影。 【答案】（1）⋅=12；（2）在方向上的投影==3。 【分析】向量内积的直接计算及投影的概念求解。 【详解】（1）计算⋅ 依据：向量内积的定义为⋅=∣∣∣∣cos θ，其中θ是两向量的夹角。 计算过程：已知∣∣=4，∣∣=6，夹角θ=60∘，且cos 60∘=0.5，代入公式得： ⋅=4×6×0.5=24×0.5=12。 故答案：⋅=12. （2）计算在方向上的投影 依据：向量在方向上的投影定义为∣∣cos θ，结合内积定义⋅=∣∣∣∣cos θ，可推导出投影公式：投影=。 计算过程：由（1）可知⋅=12，且∣∣=4，代入公式得：在方向上的投影==3。 故答案：在方向上的投影==3. 10．已知非零向量，满足∣+∣=∣−∣，求证：⊥。 【答案】⊥得证。 【分析】向量模的平方与内积的关系应用。 【详解】对等式两边平方：已知∣+∣=∣−∣，根据向量模的性质“若∣∣=∣∣，则∣∣2=∣∣2”，两边平方得：∣+∣2=∣−∣2。 展开模的平方（利用内积性质）：根据向量内积的运算规则，∣∣2=⋅，因此： 左边：∣+∣2=(+)⋅(+)=⋅+2⋅+⋅； 右边：∣−∣2=(−)⋅(−)=⋅−2⋅+⋅。 化简等式并推导内积为0： 由于左右两边相等，因此：⋅+2⋅+⋅=⋅−2⋅+⋅。 两边同时减去⋅+⋅，得：2⋅=−2⋅，即4⋅=0，因此⋅=0。 结论：因为⋅=0，所以a⊥b（向量垂直的充要条件是内积为0）。 故答案：⊥得证. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：鉴于中职学生中多数属于数学学习困难群体这一现状，我们秉持以学生为中心的原则，依据支架式教学理念，为学生提供处于其最近发展区内的助力，推动他们从现有水平逐步向潜在发展水平迈进。在此基础上，我们精心编制了广东省版高教版数学《一课一练》专辑。专辑内的每一份作业，都基于一线教师丰富的教学经验和对广东省近年“3+证书”考试真题的精准分析制作，紧密围绕课堂上老师所讲授的知识点，以基础、容易的题目为主。旨在让学生能够踏踏实实地跟上老师的教学节奏，从最为简易的数学练习起步，逐步掌握学习数学的方法，进而学好数学。 本卷为高教版《数学》拓展模块第80练，内容是第二章平面向量2.3 向量的内积。 高教版《数学》拓展模块上册 第80练 第二章 平面向量 2.3 向量的内积 一课一练 1、 选择题 1．向量与的内积⋅的结果是（　　） A.向量 B.数量 C.非负数 D.正数 2．已知∣∣=3，∣∣=4，与的夹角为60°，则⋅=（　　） A.6 B.12 C.6 D.12 3．若与垂直，则⋅=（　　）​ A.∣∣∣∣​ B.-∣∣∣∣ C.0 D.1 4．已知∣∣=5，则⋅的值为（　　） A.5 B.10 C.25 D.0 5．已知⋅=12，∣∣=4，则在方向上的投影为（　　） A.3 B.4 C.6 D.12 6．下列关于向量内积的说法，正确的是（　　） A.两个向量的内积是一个向量 B.内积的运算结果与两个向量的顺序无关 C.若⋅>0，则与的夹角为锐角 D.若⋅<0，则与的夹角为钝角 2、 填空题 7．已知向量与满足⋅=0，且∣∣=3，∣∣=4，则∣+∣= 。 8．若∣∣=5，则⋅+∣∣= 。 3、 解答题 9．已知向量与的夹角为60°，∣∣=4，∣∣=6，求： （1）⋅； （2）在方向上的投影。 10．已知非零向量，满足∣+∣=∣−∣，求证：⊥。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$