高教版《一课一练》第75练-第一章 复习题 课后作业（原卷版+解析版）

编写说明：鉴于中职学生中多数属于数学学习困难群体这一现状，我们秉持以学生为中心的原则，依据支架式教学理念，为学生提供处于其最近发展区内的助力，推动他们从现有水平逐步向潜在发展水平迈进。在此基础上，我们精心编制了广东省版高教版数学《一课一练》专辑。专辑内的每一份作业，都基于一线教师丰富的教学经验和对广东省近年“3+证书”考试真题的精准分析制作，紧密围绕课堂上老师所讲授的知识点，以基础、容易的题目为主。旨在让学生能够踏踏实实地跟上老师的教学节奏，从最为简易的数学练习起步，逐步掌握学习数学的方法，进而学好数学。 本卷为高教版《数学》拓展模块第75练，内容是第一章充要条件 复习题。 高教版《数学》拓展模块上册 第75练 第一章 充要条件 复习题 一、选择题 1．命题“若一个数是自然数，则它是整数”中，“一个数是自然数”是“它是整数”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】充分不必要条件的判断。 【详解】若p是q的充分不必要条件，则需满足p⇒q且q⇏p。自然数是整数的一部分（自然数集A是整数集B的真子集），即所有自然数都是整数（p⇒q）；但存在整数不是自然数（如-1是整数但不是自然数），即q⇏p。因此p是q的充分不必要条件。 对于A中，符合上述求解结果，故A正确； 对于B中，不符合上述求解结果，故B错误； 对于C中，不符合上述求解结果，故C错误； 对于D中，不符合上述求解结果，故D错误. 故选：A. 2．“两个三角形的三边对应成比例”是“两个三角形相似”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】充要条件在几何中的应用。 【详解】充要条件要求p⇔q（p与q互相推出）。若两个三角形的三边对应成比例（p），根据相似三角形的判定定理，这两个三角形一定相似（q），即p⇒q；若两个三角形相似（q），根据相似三角形的性质，它们的三边一定对应成比例（p），即q⇒p。因此p与q互相推出，p是q的充要条件。 对于A中，不符合上述求解结果，故A错误； 对于B中，不符合上述求解结果，故B错误； 对于C中，符合上述求解结果，故C正确； 对于D中，不符合上述求解结果，故D错误. 故选：C. 3．已知p：x=3，q：x²-9=0，则p是q的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】方程相关的条件判断。 【详解】充分不必要条件要求p⇒q且q⇏p。若x=3（p成立），代入x²-9=0可得3²-9=0，即q成立，因此p⇒q；若x²-9=0（q成立），则x=3或x=-3，即x不一定等于3（p不一定成立），因此q⇏p。 对于A中，符合上述求解结果，故A正确； 对于B中，不符合上述求解结果，故B错误； 对于C中，不符合上述求解结果，故C错误； 对于D中，不符合上述求解结果，故D错误. 故选：A. 4．设p：a＞b，q：a²＞b²，则p是q的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】不等式与条件关系的应用。 【详解】既不充分也不必要条件要求p⇏q且q⇏p。举例1：a=1，b=-2时，a＞b（p成立），但a²=1＜b²=4（q不成立），即p⇏q；举例2：a=-3，b=1时，a²=9＞b²=1（q成立），但 a=-3＜b=1（p不成立），即q⇏p。满足既不充分也不必要条件的定义。 对于A中，不符合上述求解结果，故A错误； 对于B中，不符合上述求解结果，故B错误； 对于C中，不符合上述求解结果，故C错误； 对于D中，符合上述求解结果，故D正确. 故选：D. 5．“一个三角形是直角三角形”是“一个三角形的三边满足a²+b²=c²”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】勾股定理与直角三角形的充要关系判断。 【详解】必要不充分条件要求q⇒p且p⇏q。若一个三角形的三边满足a²+b²=c²（q），根据勾股定理的逆定理，这个三角形一定是直角三角形（直角对边为c），即q⇒p；直角三角形中，直角所对的边是斜边，若设斜边为c，则满足a²+b²=c²，但命题q中未明确c是斜边，仅说“三边满足a²+b²=c²”，而直角三角形的斜边不一定被标记为c，直角三角形不一定满足a²+b²=c²（因斜边标记可能不是c），即p⇏q。满足必要不充分条件的定义。 对于A中，不符合上述求解结果，故A错误； 对于B中，符合上述求解结果，故B正确； 对于C中，不符合上述求解结果，故C错误； 对于D中，不符合上述求解结果，故D错误. 故选：B. 6．已知p：x是正数，q：x是负数，则p是q的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】正数与负数的条件关系判断。 【详解】既不充分也不必要条件要求p⇏q且q⇏p。若x是正数（p成立），则x不可能是负数（q不成立），即p⇏q；若x是负数（q成立），则x不可能是正数（p不成立），即q⇏p。满足既不充分也不必要条件的定义。 对于A中，不符合上述求解结果，故A错误； 对于B中，不符合上述求解结果，故B错误； 对于C中，不符合上述求解结果，故C错误； 对于D中，符合上述求解结果，故D正确. 故选：D. 7．“两个角是邻补角”是“这两个角的和为180°”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】邻补角与角的和的关系判断。 【详解】充分不必要条件要求p⇒q且q⇏p。若两个角是邻补角（p），根据邻补角的定义：有一条公共边，且另一边互为反向延长线的两个角互为邻补角，其和必然为180°，即p⇒q；若两个角的和为180°（q），这两个角是补角，但不一定是邻补角（例如：两平行线被第三条直线所截形成的同旁内角，和为180°但无公共边，不是邻补角），即q⇏p。满足充分不必要条件的定义。 对于A中，符合上述求解结果，故A正确； 对于B中，不符合上述求解结果，故B错误； 对于C中，不符合上述求解结果，故C错误； 对于D中，不符合上述求解结果，故D错误. 故选：A. 8．“一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根”是“判别式Δ=b²-4ac＞0”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】一元二次方程根的判别式与充要条件判断。 【详解】充要条件要求p⇔q（p与q互相推出）。若一元二次方程有两个不相等的实数根（p），根据根的判别定理，其判别式必然满足Δ=b²-4ac＞0（q），即p⇒q；若判别式Δ=b²-4ac＞0（q），根据根的判别定理，该一元二次方程一定有两个不相等的实数根（p），即q⇒p。 因此p与q能互相推出，满足充要条件的定义。 对于A中，不符合上述求解结果，故A错误； 对于B中，不符合上述求解结果，故B错误； 对于C中，符合上述求解结果，故C正确； 对于D中，不符合上述求解结果，故D错误. 故选：C. 9．已知p：a+b=0，q：a与b互为相反数，则p是q的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】相反数的性质与充要条件判断。 【详解】充要条件要求p⇔q（p与q互相推出）。若a+b=0（p），根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，此时a=-b，即a与b互为相反数（q），因此p⇒q；若a与b互为相反数（q），根据相反数的性质，互为相反数的两个数之和为0，即a+b=0（p），因此q⇒p。因此p与q能互相推出，满足充要条件的定义。 对于A中，不符合上述求解结果，故A错误； 对于B中，不符合上述求解结果，故B错误； 对于C中，符合上述求解结果，故C正确； 对于D中，不符合上述求解结果，故D错误. 故选：C. 10．已知p：|x|=3，q：x=3，则p是q的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】绝对值方程与条件关系判断。 【详解】必要不充分条件要求q⇒p且p⇏q。若“x=3”（q），则显然满足“|x|=3”（p），即q⇒p成立；若“|x|=3”（p），x可能为-3或3，无法唯一推出“x=3”（q），即p⇏q 成立。因此满足必要不充分条件的定义。 对于A中，不符合上述求解结果，故A错误； 对于B中，符合上述求解结果，故B正确； 对于C中，不符合上述求解结果，故C错误； 对于D中，不符合上述求解结果，故D错误. 故选：B. 二、填空题 11．语句“3大于2吗？” （填“是”或“不是”）命题。 【答案】不是 【分析】命题的概念填空。 【详解】语句“3大于2吗？”是一个疑问句，它的作用是提出问题，而非作出判断，因此无法确定其真假。根据命题的定义，只有能判断真假的陈述句才是命题，疑问句不属于命题. 故答案：不是. 12．命题“对角线相等的平行四边形是矩形”改写为“若p，则q”的形式后，结论q是 。 【答案】这个平行四边形是矩形 【分析】指出命题的结论q。 【详解】原命题可理解为：如果一个平行四边形的对角线相等，那么这个平行四边形是矩形。 条件p为“一个平行四边形的对角线相等”；结论q为“这个平行四边形是矩形”。因此，改写为“若p，则q”的形式后，结论q是这个平行四边形是矩形. 故答案：这个平行四边形是矩形. 13．“x能被5整除”是“x的末位数字是0”的 条件（填“充分不必要”“必要不充分”或“充要”）。 【答案】必要不充分 【分析】必要不充分条件的判断。 【详解】若x的末位数字是0（属于集合B），则x一定能被5整除（属于集合A），即“x 的末位数字是0”⇒“x能被5整除”，说明“x能被5整除”是“x的末位数字是0”的必要条件；若x能被5整除（属于集合A），x的末位数字可能是0或5（如15能被5整除，但末位是5），因此“x能被5整除”⇏“x的末位数字是0”，说明“x能被5整除”不是“x的末位数字是0”的充分条件。综上，“x能被5整除”是“x的末位数字是0”的必要不充分条件. 故答案：必要不充分. 14．设集合M={x|x是正方形}，N={x|x是矩形}，则“x∈M”是“x∈N”的 条件（填“充分不必要”“必要不充分”或“充要”）。 【答案】充分不必要 【分析】集合关系与条件的应用。 【详解】集合M={x|x是正方形}，集合N={x|x是矩形}。正方形的定义是“四条边相等且四个角都是直角的四边形”，而矩形的定义是“四个角都是直角的四边形”。由此可知，所有的正方形都是矩形（正方形是特殊的矩形），即M是N的真子集（M⊂N且M≠N）。若“x∈M”（x是正方形），则必然“x∈N”（x是矩形），即“x∈M”⇒“x∈N”，说明“x∈M” 是“x∈N”的充分条件；若“x∈N”（x是矩形），x不一定是正方形（矩形的四条边不一定相等），即“x∈N”⇏“x∈M”，说明“x∈M”不是“x∈N”的必要条件。综上，“x∈M”是“x∈N”的充分不必要条件. 故答案：充分不必要. 15．若p：“三角形的三条高交于一点”，q：“三角形是锐角三角形”，则p是q的 条件（填“充分不必要”“必要不充分”或“充要”“既不充分也不必要”）。 【答案】必要不充分 【分析】既不充分也不必要条件的判断。 【详解】命题p：“三角形的三条高交于一点”。实际上，任意三角形的三条高都交于一点（这个交点称为三角形的垂心），无论是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形，这一性质均成立。即所有三角形都满足p。 命题q：“三角形是锐角三角形”。仅表示三角形的三个角都是锐角，是三角形中的一种特殊类型。 推出关系分析：若p成立（三角形三条高交于一点），无法推出q成立（三角形是锐角三角形），因为直角三角形、钝角三角形的三条高也交于一点，即p⇏q，因此p不是q的充分条件；若q成立（三角形是锐角三角形），则p一定成立（锐角三角形的三条高确实交于一点），即q⇒p，因此p是q的必要条件。综上，p是q的必要不充分条件. 故答案：必要不充分. 三、解答题 16．请判断下列语句是否为命题，并说明理由： （1）3加5等于8； （2）画一个半径为2cm的圆。 【答案】（1）是命题，因为它是能判断真假的陈述句；（2）不是命题，因为它是祈使句，无法判断真假。 【分析】命题的概念判断。 【详解】（1）语句（1）“3加5等于8”：这是一个陈述句，且“3加5等于8”是可以明确判断为真的语句，符合命题“能判断真假的陈述句”的定义。 故答案：是命题，因为它是能判断真假的陈述句. （2）语句（2）“画一个半径为2cm的圆”：这是一个祈使句，其作用是发出指令（要求执行某个动作），而非作出判断，无法确定其真假，不满足命题的定义。因此，该语句不是命题。 故答案：不是命题，因为它是祈使句，无法判断真假. 17．把命题“等角的余角相等”改写成“若p，则q”的形式，并指出其中的条件p和结论q。 【答案】改写后的命题为“若两个角是相等角的余角，则这两个角相等”；其中条件p是“两个角是相等角的余角”，结论q是“这两个角相等”。 【分析】命题的结构分析。 【详解】改写为“若p，则q”的形式：原命题“等角的余角相等”可理解为：如果两个角是相等角的余角，那么这两个角相等。因此，改写后为：若两个角是相等角的余角，则这两个角相等。 确定条件p和结论q：条件p：两个角是相等角的余角；结论q：这两个角相等。 故答案：改写后的命题为“若两个角是相等角的余角，则这两个角相等”；其中条件p是“两个角是相等角的余角”，结论q是“这两个角相等”. 18．已知p：“x²-5x+6=0”，q：“x=2”，判断q是p的什么条件，p是q的什么条件，并说明理由。 【答案】q是p的充分不必要条件，p是q的必要不充分条件。理由是q能推出p，但p不能推出q（集合B是集合A的真子集）。 【分析】方程解与条件类型的关系判断。 【详解】求解集合A和集合B：解方程x²-5x+6=0，因式分解得(x-2)(x-3)=0，解得x=2或x=3，因此集合A={2,3}。集合B={x|x=2}={2}。 判断q是p的什么条件：若q成立（x=2），则x=2属于集合A（即p成立），即q⇒p，说明q是p的充分条件；若p成立（x=2或x=3），则x不一定等于2（可能为3），即p⇏q，说明q不是p的必要条件。综上，q是p的充分不必要条件。 判断p是q的什么条件：若p成立（x=2或x=3），x不一定等于2（可能为3），即p⇏q，说明p不是q的充分条件；若q成立（x=2），则p一定成立（x=2属于集合A），即q⇒p，说明p是q的必要条件。综上，p是q的必要不充分条件。 故答案：q是p的充分不必要条件，p是q的必要不充分条件。理由是q能推出p，但p不能推出q（集合B是集合A的真子集）. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：鉴于中职学生中多数属于数学学习困难群体这一现状，我们秉持以学生为中心的原则，依据支架式教学理念，为学生提供处于其最近发展区内的助力，推动他们从现有水平逐步向潜在发展水平迈进。在此基础上，我们精心编制了广东省版高教版数学《一课一练》专辑。专辑内的每一份作业，都基于一线教师丰富的教学经验和对广东省近年“3+证书”考试真题的精准分析制作，紧密围绕课堂上老师所讲授的知识点，以基础、容易的题目为主。旨在让学生能够踏踏实实地跟上老师的教学节奏，从最为简易的数学练习起步，逐步掌握学习数学的方法，进而学好数学。 本卷为高教版《数学》拓展模块第75练，内容是第一章充要条件 复习题。 高教版《数学》拓展模块上册 第75练 第一章 充要条件 复习题 一、选择题 1．命题“若一个数是自然数，则它是整数”中，“一个数是自然数”是“它是整数”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2．“两个三角形的三边对应成比例”是“两个三角形相似”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3．已知p：x=3，q：x²-9=0，则p是q的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4．设p：a＞b，q：a²＞b²，则p是q的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5．“一个三角形是直角三角形”是“一个三角形的三边满足a²+b²=c²”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6．已知p：x是正数，q：x是负数，则p是q的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7．“两个角是邻补角”是“这两个角的和为180°”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8．“一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根”是“判别式Δ=b²-4ac＞0”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 9．已知p：a+b=0，q：a与b互为相反数，则p是q的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 10．已知p：|x|=3，q：x=3，则p是q的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 二、填空题 11．语句“3大于2吗？” （填“是”或“不是”）命题。 12．命题“对角线相等的平行四边形是矩形”改写为“若p，则q”的形式后，结论q是 。 13．“x能被5整除”是“x的末位数字是0”的 条件（填“充分不必要”“必要不充分”或“充要”）。 14．设集合M={x|x是正方形}，N={x|x是矩形}，则“x∈M”是“x∈N”的 条件（填“充分不必要”“必要不充分”或“充要”）。 15．若p：“三角形的三条高交于一点”，q：“三角形是锐角三角形”，则p是q的 条件（填“充分不必要”“必要不充分”或“充要”“既不充分也不必要”）。 三、解答题 16．请判断下列语句是否为命题，并说明理由： （1）3加5等于8； （2）画一个半径为2cm的圆。 17．把命题“等角的余角相等”改写成“若p，则q”的形式，并指出其中的条件p和结论q。 18．已知p：“x²-5x+6=0”，q：“x=2”，判断q是p的什么条件，p是q的什么条件，并说明理由。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 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