高教版《一课一练》第84练-第二章 复习题 课后作业（原卷版+解析版）

编写说明：鉴于中职学生中多数属于数学学习困难群体这一现状，我们秉持以学生为中心的原则，依据支架式教学理念，为学生提供处于其最近发展区内的助力，推动他们从现有水平逐步向潜在发展水平迈进。在此基础上，我们精心编制了广东省版高教版数学《一课一练》专辑。专辑内的每一份作业，都基于一线教师丰富的教学经验和对广东省近年“3+证书”考试真题的精准分析制作，紧密围绕课堂上老师所讲授的知识点，以基础、容易的题目为主。旨在让学生能够踏踏实实地跟上老师的教学节奏，从最为简易的数学练习起步，逐步掌握学习数学的方法，进而学好数学。 本卷为高教版《数学》拓展模块第84练，内容是第二章平面向量 复习题。 高教版《数学》拓展模块上册 第84练 第二章 平面向量 复习题 一、选择题 1．下列说法正确的是（　　） A.向量与是相等向量 B.若∣∣=∣∣，则= C.零向量的模为0，方向任意 D.单位向量都相等 【答案】C 【分析】向量的基本概念判断。 【详解】对于A中，相等向量要求大小相等且方向相同。向量与的模长相等（大小相同），但方向相反（是从A到B，是从B到A），因此它们是相反向量，而非相等向量，故A错误； 对于B中，向量相等需要同时满足两个条件：模长相等且方向相同。仅∣∣=∣∣只能说明两向量的大小相等，但方向可能不同（例如一个向量向东，一个向量向北，模长相同但显然不相等），故B错误； 对于C中，零向量是特殊的向量，其定义为模长为0的向量，且规定零向量的方向是任意的（可以与任意向量平行）。这符合零向量的基本性质，故C正确； 对于D中，单位向量是指模长为1的向量，但它们的方向可以不同（例如水平向右的单位向量和竖直向上的单位向量）。由于方向不同，即使模长相等，也不能称为相等向量，故D错误. 故选：C. 2．若=，则四边形ABCD一定是（　　） A.矩形 B.菱形 C.平行四边形 D.正方形 【答案】C 【分析】向量与几何图形的关系判断。 【详解】对于A中，矩形的判定需要“一组对边平行且相等，且有一个角是直角”。题目中仅已知=（即AB∥CD且AB=CD），但未提及四边形有直角，因此不能确定是矩形，故A错误； 对于B中，菱形的判定需要“一组邻边相等的平行四边形”。题目中仅涉及对边AB与CD的关系，未提及邻边是否相等（如AB与BC是否相等），因此不能确定是菱形，故B错误； 对于C中，平行四边形的判定定理之一是“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”。由于=意味着AB∥CD且AB=CD，完全满足这一判定条件，因此四边形ABCD一定是平行四边形，故C正确； 对于D中，正方形的判定需要“一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形”。题目中既未提及邻边相等，也未提及有直角，因此不能确定是正方形，故D错误. 故选：C. 3．已知=2，=−3（为非零向量），则与的关系是（　　） A.相等 B.共线 C.垂直 D.无法确定 【答案】B 【分析】共线向量的判定。 【详解】对于A中，相等向量要求大小相等且方向相同。由=2，=−3可知，与的模长分别为2∣∣和3∣∣（大小不相等），且方向相反（与同向，与反向），因此不满足相等向量的条件，故A错误； 对于B中，向量共线的判定条件是“存在实数λ，使得=λ”。由=2，=−3，可得 =−，代入的表达式得=2×(−b)=−b，即存在实数λ=−使得=λ，因此与共线，故B正确； 对于C中，向量垂直的判定条件是两向量的数量积为0。计算⋅=(2)⋅(−3)=−6∣∣2，由于为非零向量，∣∣2≠0，因此⋅≠0，两向量不垂直，故C错误； 对于D中，由上述分析可知，与的关系可以确定为共线，因此“无法确定”的说法错误，故D错误. 故选：B. 4．向量=3−4的坐标是（　　） A.(3,4)  B.(3,-4) C.(-3,4) D.(-3,-4) 【答案】B 【分析】向量的坐标表示判断。 【详解】根据平面向量的坐标表示规则求解。在平面直角坐标系中，通常用表示与x轴正方向同向的单位向量，表示与y轴正方向同向的单位向量，向量a=x+y对应的坐标即为(x,y)，据此分析为(3，-4)。 对于A中，不符合上述求解结果，故A错误； 对于B中，符合上述求解结果，故B正确； 对于C中，不符合上述求解结果，故C错误； 对于D中，不符合上述求解结果，故D错误. 故选：B. 5．已知=(2,1)，=(−1,3)，则+的坐标为（　　） A.(1,4) B.(3,-2) C.(1,-2)  D.(3,4) 【答案】A 【分析】向量加法的坐标运算。 【详解】已知=(2,1)，=(−1,3)，根据向量加法坐标运算规则，计算x坐标：2+(−1)=1；y坐标：1+3=4，因此+=(1,4)。 对于A中，符合上述求解结果，故A正确； 对于B中，不符合上述求解结果，故B错误； 对于C中，不符合上述求解结果，故C错误； 对于D中，不符合上述求解结果，故D错误. 故选：A. 6．已知点A(1,2)，B(4,6)，则的坐标为（　　） A.(3,4) B.(-3,-4) C.(5,8) D.(-5,-8) 【答案】A 【分析】点坐标与向量坐标的转化。 【详解】已知点A(1,2)，B(4,6)，根据向量坐标计算规则，的x坐标为4−1=3，y坐标为6−2=4，因此=(3,4)。 对于A中，符合上述求解结果，故A正确； 对于B中，不符合上述求解结果，故B错误； 对于C中，不符合上述求解结果，故C错误； 对于D中，不符合上述求解结果，故D错误. 故选：A. 7．已知=(2,3)，=(4,−1)，则⋅=（　　） A.-5 B.5 C.-11 D.11 【答案】B 【分析】内积的坐标运算。 【详解】明确数量积计算公式：对于两个向量=(x1,y1)和=(x2,y2)，它们的数量积（点积）为：⋅=x1x2+y1y2。 代入坐标计算：已知=(2,3)，=(4,−1)，其中x1=2，y1=3，x2=4，y2=−1，代入公式得： ⋅=2×4+3×(−1)=8−3=5。 对于A中，不符合上述求解结果，故A错误； 对于B中，符合上述求解结果，故B正确； 对于C中，不符合上述求解结果，故C错误； 对于D中，不符合上述求解结果，故D错误. 故选：B. 8．若=(k,2)，=(3,−6)，且⊥，则k=（　　） A.4 B.-4 C.12 D.-12 【答案】A 【分析】垂直向量的内积求解。 【详解】明确向量垂直的条件：若向量⊥，则⋅=0。 代入数量积公式列方程：已知=(k,2)，=(3,−6)，根据数量积的坐标公式⋅=x1x2+y1y2，可得：⋅=k×3+2×(−6)=3k−12。因为⊥，所以3k−12=0。 解方程求k的值：对3k−12=0移项得3k=12，解得k=4。 对于A中，符合上述求解结果，故A正确； 对于B中，不符合上述求解结果，故B错误； 对于C中，不符合上述求解结果，故C错误； 对于D中，不符合上述求解结果，故D错误. 故选：A. 9．已知∣∣=4，∣∣=3，与的夹角为 60°，则⋅=（　　） A.36 B.25 C.12 D.6 【答案】D 【分析】非坐标形式的内积计算。 【详解】明确数量积的定义式：若两向量与的夹角为θ，则⋅=∣∣⋅∣∣⋅cos θ。 代入已知条件计算：已知∣∣=4，∣∣=3，夹角θ=60∘，且cos 60∘=，代入公式得：⋅=4×3×cos60∘=12×=6。 对于A中，不符合上述求解结果，故A错误； 对于B中，不符合上述求解结果，故B错误； 对于C中，不符合上述求解结果，故C错误； 对于D中，符合上述求解结果，故D正确. 故选：D. 10．向量=(1,)的模为（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【分析】向量模的坐标计算。 【详解】明确向量模长的计算公式：若向量=(x,y)，则其模长∣∣=。 代入已知向量坐标计算：已知=(1,)，其中x=1，y=，代入公式得： ∣∣====2。 对于A中，不符合上述求解结果，故A错误； 对于B中，符合上述求解结果，故B正确； 对于C中，不符合上述求解结果，故C错误； 对于D中，不符合上述求解结果，故D错误. 故选：B. 二、填空题 11．已知⋅=6，∣∣=2，则在方向上的投影为 。 【答案】3 【分析】向量投影的计算。 【详解】明确向量投影的计算公式：向量在方向上的投影为 。 代入已知条件计算：已知⋅=6，∣∣=2，代入公式得：在方向上的投影==3. 故答案：3. 12．已知=3−，=−2+5，则2−= 。（用，表示） 【答案】8−7 【分析】向量线性运算的基底表示。 【详解】明确向量运算规则：对于向量的数乘运算：k(m+n)=km+kn； 对于向量的减法运算：(m1+n1)−(m2+n2)=(m1−m2)+(n1−n2)。 计算2的表达式：已知=3−，则：2=2×(3−)=6−2。 计算2−的表达式：已知=−2+5，则：2−=(6−2)−(−2+5)。 去括号后合并同类项：=6−2+2−5=(6+2)+(−2−5)=8−7. 故答案：8−7. 13．若=(3,−1)，=(−2,5)，则= 。 【答案】(1,4) 【分析】向量加法的三角形法则及坐标运算。 【详解】明确向量加法的三角形法则：对于点A、B、C，向量是从起点A到终点C的向量，可由与相加得到，即=+。 应用向量加法的坐标运算规则：若=(x1,y1)，=(x2,y2)，则+=(x1+x2,y1+y2)。已知=(3,−1)，=(−2,5)，代入得：=(3+(−2),−1+5)=(1,4). 故答案：(1,4). 14．已知向量与是共线向量，且=2，=k（为非零向量），则k的取值范围是 。 【答案】R（或全体实数） 【分析】根据共线向量的定义填空。 【详解】明确共线向量的定义：对于非零向量，若向量与是共线向量，则存在实数λ，使得=λ（或=λ）。 结合已知向量表达式分析：已知=2，=k（为非零向量），由于与共线，根据共线向量的定义，可以表示为与某个实数的乘积，即：k=λ⋅2（λ为实数）。因为是非零向量，两边可同时除以，得k=2λ。 确定k的取值范围：由于λ是任意实数，因此k=2λ也可以取任意实数，即k的取值范围是全体实数. 故答案：R（或全体实数）. 15．若向量与互为相反向量，且∣∣=5，则∣∣= 。 【答案】5 【分析】根据相反向量的性质填空。 【详解】明确相反向量的定义与性质：若向量与互为相反向量，则满足两个条件： 方向相反：=−（或）；模长相等：∣∣=∣∣。 结合已知条件计算：题目中明确向量与互为相反向量，且∣∣=5。根据相反向量“模长相等”的性质，可直接推出∣∣=∣∣=5. 故答案：5. 三、解答题 16．已知向量=(2,−3)，=(−1,4)，求： （1）2−3的坐标； （2）与的内积。 【答案】（1）2−3的坐标为(7,−18)；（2）与的内积为-14。 【分析】向量线性运算（数乘、减法）和内积的坐标计算。 【详解】（1）求2−3的坐标 明确向量数乘与减法的坐标规则：数乘向量：若=(x,y)，则k=(kx,ky)（k为常数）； 向量减法：若=(x1,y1)，=(x2,y2)，则−=(x1−x2,y1−y2)。 分步计算：已知=(2,−3)，则2=2×(2,−3)=(4,−6)；已知=(−1,4)，则 3=3×(−1,4)=(−3,12)； 计算2−3：(4−(−3),−6−12)=(4+3,−18)=(7,−18)。 故答案：2−3的坐标为(7,−18). （2）求与的内积（数量积） 明确向量内积的坐标公式：若=(x1,y1)，=(x2,y2)，则内积⋅=x1x2+y1y2。 代入计算：已知=(2,−3)，=(−1,4)，则：⋅=2×(−1)+(−3)×4=−2−12=−14。 故答案：与的内积为-14. 17．已知点A(1,2)，B(4,6)，C(−2,5)，求： （1）和的坐标； （2）和夹角的余弦值。 【答案】（1）的坐标为(−3,3)；（2）和夹角的余弦值为。 【分析】点坐标到向量坐标的转化，及利用内积求夹角的综合运算。 【详解】（1）求和的坐标 明确向量坐标的计算规则：若有两点P(x1,y1)、Q(x2,y2)，则向量=(x2−x1,y2−y1)（终点坐标减去起点坐标）。 代入坐标计算：已知A(1,2)，B(4,6)，则=(4−1,6−2)=(3,4)；已知A(1,2)，C(−2,5)，则=(−2−1,5−2)=(−3,3)。 故答案：的坐标为(−3,3). （2）求和夹角的余弦值 明确夹角余弦值公式：设两向量=(x1,y1)、=(x2,y2)的夹角为θ，则cos θ=，其中： 数量积⋅=x1x2+y1y2；模长∣∣=，∣∣=。 分步计算： 计算数量积⋅：由（1）知=(3,4)，=(−3,3)，则：⋅=3×(−3)+4×3=−9+12=3。 计算模长∣∣和∣∣：∣∣====5； ∣∣====3。 计算夹角余弦值：cos θ===（分母有理化后）。 故答案：和夹角的余弦值为. 18．已知=(k,2)，=(3,−4)，且⊥，求： （1）k的值； （2）∣+∣。 【答案】（1）k的值为；（2）∣+∣为。 【分析】垂直向量的内积条件及向量和的模长计算。 【详解】（1）求k的值 明确向量垂直的性质：若两向量⊥，则它们的数量积为0，即⋅=0。 应用数量积坐标公式列方程：已知=(k,2)，=(3,−4)，根据数量积坐标公式⋅=x1x2+y1y2，可得：⋅=k×3+2×(−4)=3k−8。因为⊥，所以3k−8=0，解得k=。 故答案：k的值为. （2）求∣+∣ 计算+的坐标：由（1）知k=，因此a=(,2)。 根据向量加法坐标规则“若=(x1,y1)，=(x2,y2)，则+=(x1+x2,y1+y2)”，可得： +=(+3,2+(−4))=(+,−2)=(,−2)。 计算模长∣+∣：根据向量模长公式“若=(x,y)，则∣∣=”，代入得： ∣+∣=====。 故答案：∣+∣为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：鉴于中职学生中多数属于数学学习困难群体这一现状，我们秉持以学生为中心的原则，依据支架式教学理念，为学生提供处于其最近发展区内的助力，推动他们从现有水平逐步向潜在发展水平迈进。在此基础上，我们精心编制了广东省版高教版数学《一课一练》专辑。专辑内的每一份作业，都基于一线教师丰富的教学经验和对广东省近年“3+证书”考试真题的精准分析制作，紧密围绕课堂上老师所讲授的知识点，以基础、容易的题目为主。旨在让学生能够踏踏实实地跟上老师的教学节奏，从最为简易的数学练习起步，逐步掌握学习数学的方法，进而学好数学。 本卷为高教版《数学》拓展模块第84练，内容是第二章平面向量 复习题。 高教版《数学》拓展模块上册 第84练 第二章 平面向量 复习题 一、选择题 1．下列说法正确的是（　　） A.向量与是相等向量 B.若∣∣=∣∣，则= C.零向量的模为0，方向任意 D.单位向量都相等 2．若=，则四边形ABCD一定是（　　） A.矩形 B.菱形 C.平行四边形 D.正方形 3．已知=2，=−3（为非零向量），则与的关系是（　　） A.相等 B.共线 C.垂直 D.无法确定 4．向量=3−4的坐标是（　　） A.(3,4)  B.(3,-4) C.(-3,4) D.(-3,-4) 5．已知=(2,1)，=(−1,3)，则+的坐标为（　　） A.(1,4) B.(3,-2) C.(1,-2)  D.(3,4) 6．已知点A(1,2)，B(4,6)，则的坐标为（　　） A.(3,4) B.(-3,-4) C.(5,8) D.(-5,-8) 7．已知=(2,3)，=(4,−1)，则⋅=（　　） A.-5 B.5 C.-11 D.11 8．若=(k,2)，=(3,−6)，且⊥，则k=（　　） A.4 B.-4 C.12 D.-12 9．已知∣∣=4，∣∣=3，与的夹角为 60°，则⋅=（　　） A.36 B.25 C.12 D.6 10．向量=(1,)的模为（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题 11．已知⋅=6，∣∣=2，则在方向上的投影为 。 12．已知=3−，=−2+5，则2−= 。（用，表示） 13．若=(3,−1)，=(−2,5)，则= 。 14．已知向量与是共线向量，且=2，=k（为非零向量），则k的取值范围是 。 15．若向量与互为相反向量，且∣∣=5，则∣∣= 。 三、解答题 16．已知向量=(2,−3)，=(−1,4)，求： （1）2−3的坐标； （2）与的内积。 17．已知点A(1,2)，B(4,6)，C(−2,5)，求： （1）和的坐标； （2）和夹角的余弦值。 18．已知=(k,2)，=(3,−4)，且⊥，求： （1）k的值； （2）∣+∣。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$