高教版《一课一练》第74练-充要条件 课后作业（原卷版+解析版）

编写说明：鉴于中职学生中多数属于数学学习困难群体这一现状，我们秉持以学生为中心的原则，依据支架式教学理念，为学生提供处于其最近发展区内的助力，推动他们从现有水平逐步向潜在发展水平迈进。在此基础上，我们精心编制了广东省版高教版数学《一课一练》专辑。专辑内的每一份作业，都基于一线教师丰富的教学经验和对广东省近年“3+证书”考试真题的精准分析制作，紧密围绕课堂上老师所讲授的知识点，以基础、容易的题目为主。旨在让学生能够踏踏实实地跟上老师的教学节奏，从最为简易的数学练习起步，逐步掌握学习数学的方法，进而学好数学。 本卷为高教版《数学》拓展模块第74练，内容是第一章充要条件1.2 充要条件。 高教版《数学》拓展模块上册 第74练 第一章 充要条件 1.2 充要条件 一课一练 一、选择题 1．若p：“一个数是偶数”，q：“一个数能被2整除”，则p是q的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】充要条件的判断。 【详解】充要条件要求p⇔q（p⇒q且q⇒p）。由偶数定义，“一个数是偶数（p）”⇒“它能被2整除（q）”（p⇒q成立）；反之，“一个数能被2整除（q）”⇒“它是偶数（p）”（q⇒p成立）。因此p⇔q成立，p是q的充要条件。 对于A中，不符合上述求解结果，故A错误； 对于B中，不符合上述求解结果，故B错误； 对于C中，符合上述求解结果，故C正确； 对于D中，不符合上述求解结果，故D错误. 故选：C. 2．已知p：“x=1”，q：“x²=1”，则q是p的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】必要条件的判断。 【详解】必要不充分条件要求“p⇒q且q⇏p”。p：“x=1”时，x²=1必然成立，即p⇒q（p能推出q），说明q是p成立的必要条件（p成立必须q成立）；q：“x²=1”时，x可能为-1，无法推出x=1（即q⇏p），说明q不是p成立的充分条件。 对于A中，不符合上述求解结果，故A错误； 对于B中，符合上述求解结果，故B正确； 对于C中，不符合上述求解结果，故C错误； 对于D中，不符合上述求解结果，故D错误. 故选：B. 3．设集合A={x|x是菱形}，B={x|x是正方形}，则“x∈B”是“x∈A”的（　　）​ A.充分不必要条件​ B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】集合关系与充要条件的联系判断。 【详解】充分不必要条件要求“x∈B⇒x∈A”且“x∈A⇏x∈B”。由菱形和正方形的定义：正方形是“四条边相等且四个角为直角的四边形”，菱形是“四条边相等的四边形”。因此，正方形一定是菱形（满足菱形的所有条件），即B⊂A（B是A的真子集），故“x∈B”能推出“x∈A”（充分性成立）；菱形不一定是正方形（菱形的角不一定是直角），故“x∈A” 不能推出“x∈B”（必要性不成立）。因此“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件。 对于A中，符合上述求解结果，故A正确； 对于B中，不符合上述求解结果，故B错误； 对于C中，不符合上述求解结果，故C错误； 对于D中，不符合上述求解结果，故D错误. 故选：A. 4．“|x|=|y|”是“x=y”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】绝对值条件的逻辑关系判断。 【详解】必要不充分条件要求“q⇒p且p⇏q”。若“x=y”（q），则“|x|=|y|”（p）一定成立（两个相等的数绝对值必相等），即q⇒p（q能推出p），说明p是q的必要条件； “|x|=|y|”时，x与y可能相等（x=y），也可能互为相反数（x=-y），“|x|=|y|”（p）不能推出“x=y”（q），即p⇏q，说明p不是q的充分条件。因此“|x|=|y|”是“x=y”的必要不充分条件。 对于A中，不符合上述求解结果，故A错误； 对于B中，符合上述求解结果，故B正确； 对于C中，不符合上述求解结果，故C错误； 对于D中，不符合上述求解结果，故D错误. 故选：B. 5．“三角形是等边三角形”是“三角形的三个内角都是 60°”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】几何命题中的充要关系判断。 【详解】充要条件要求“p⇔q”（p⇒q且q⇒p）。若“三角形是等边三角形”（p），根据等边三角形的性质，其三个内角一定都是60°，即p⇒q；若“三角形的三个内角都是60°”（q），根据“等角对等边”，该三角形的三边相等，即一定是等边三角形，即q⇒p。因此p与q互为充要条件，“三角形是等边三角形”是“三角形的三个内角都是60°”的充要条件。 对于A中，不符合上述求解结果，故A错误； 对于B中，不符合上述求解结果，故B错误； 对于C中，符合上述求解结果，故C正确； 对于D中，不符合上述求解结果，故D错误. 故选：C. 6．已知p：“x>3”，q：“x>5”，则p是q的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】不等式范围与条件的关系判断。 【详解】必要不充分条件要求“q⇒p且p⇏q”。集合B={x|x>5}是集合A={x|x>3}的子集（所有满足x>5的数一定满足x>3），即q⇒p（q能推出p），说明p是q的必要条件；p对应的集合A={x|x>3}包含x=4等元素，这些元素满足p（x>3）却不满足q（x>5），p⇏q（p不能推出q），说明p不是q的充分条件。因此p是q的必要不充分条件。 对于A中，不符合上述求解结果，故A错误； 对于B中，符合上述求解结果，故B正确； 对于C中，不符合上述求解结果，故C错误； 对于D中，不符合上述求解结果，故D错误. 故选：B. 二、填空题 7．“x是4的倍数”是“x是2的倍数”的 条件（填“充分不必要”“必要不充分”或“充要”）。 【答案】充分不必要 【分析】充分不必要条件的判断。 【详解】若x是4的倍数（p），则x=4k=2×(2k)，显然x也是2的倍数（q），即p⇒q，说明“x是4的倍数”是“x是2的倍数”的充分条件。若x是2的倍数（q），比如x=2，此时x不是4的倍数（不满足p），即q⇏p，说明“x是4的倍数”不是“x是2的倍数” 的必要条件。综上，“x是4的倍数”是“x是2的倍数”的充分不必要条件. 故答案：充分不必要. 8．“四边形是平行四边形”是“四边形的对角线互相平分”的 条件（填“充分不必要”“必要不充分”或“充要”）。 【答案】充要 【分析】几何命题中的充要关系判断。 【详解】若四边形是平行四边形（p），根据平行四边形的性质，其对角线一定互相平分（q），即p⇒q，说明“四边形是平行四边形”是“四边形的对角线互相平分”的充分条件。若四边形的对角线互相平分（q），根据平行四边形的判定定理，这样的四边形一定是平行四边形（p），即q⇒p，说明“四边形是平行四边形”是“四边形的对角线互相平分”的必要条件。综上，“四边形是平行四边形”与“四边形的对角线互相平分”互为充要条件，因此“四边形是平行四边形”是“四边形的对角线互相平分”的充要条件. 故答案：充要. 三、解答题 9．请将命题“等腰三角形的两个底角相等”改写成“若p，则q”的形式，并判断p是q的什么条件，q是p的什么条件，说明理由。 【答案】改写后的命题为“若一个三角形是等腰三角形，则这个三角形的两个底角相等”；p是q的充要条件，q是p的充要条件。理由是p与q能互相推出（p⇔q）。 【分析】命题的改写及充要条件的双向判断。 【详解】改写命题为“若p，则q”的形式：原命题“等腰三角形的两个底角相等”中，条件p为“一个三角形是等腰三角形”，结论q为“这个三角形的两个底角相等”。因此，改写后为：若一个三角形是等腰三角形，则这个三角形的两个底角相等。 判断p是q的什么条件：若p成立（三角形是等腰三角形），根据等腰三角形的性质，其两个底角一定相等（q成立），即p⇒q，满足充分条件的定义。若q成立（三角形的两个底角相等），根据“等角对等边”的判定定理，这个三角形一定是等腰三角形（p成立），即q⇒p，说明p不是q的“不必要”条件（而是必要条件）。综上，p 是 q 的充要条件。 判断q是p的什么条件：由上述分析可知，q⇒p（q成立能推出p成立），满足充分条件的定义。同时p⇒q（p成立能推出q成立），说明q不是p的“不必要”条件（而是必要条件）。 综上，q是p的充要条件。 故答案：改写后的命题为“若一个三角形是等腰三角形，则这个三角形的两个底角相等”；p是q的充要条件，q是p的充要条件。理由是p与q能互相推出（p⇔q）. 10．已知p：“整数a能被2整除”，q：“整数a是偶数”，判断p是q的什么条件，并说明理由。 【答案】p是q的充要条件。理由是“整数a能被2整除”与“整数a是偶数”是等价的，两者能互相推出（p⇔q）。 【分析】数的性质与充要条件的结合判断。 【详解】分析p与q的推出关系：若整数a能被2整除（p成立），则存在整数 k，使得a=2k，根据偶数的定义，这样的整数a是偶数（q成立），即p⇒q。若整数a是偶数（q成立），根据偶数的定义，存在整数k，使得a=2k，即整数a能被2整除（p成立），即q⇒p。 判断p是q的条件类型：由p⇒q且q⇒p可知，p与q能互相推出。根据充要条件的定义：若p⇔q，则p是q的充要条件。因此，p是q的充要条件。 故答案：p是q的充要条件。理由是“整数a能被2整除”与“整数a是偶数”是等价的，两者能互相推出（p⇔q）. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：鉴于中职学生中多数属于数学学习困难群体这一现状，我们秉持以学生为中心的原则，依据支架式教学理念，为学生提供处于其最近发展区内的助力，推动他们从现有水平逐步向潜在发展水平迈进。在此基础上，我们精心编制了广东省版高教版数学《一课一练》专辑。专辑内的每一份作业，都基于一线教师丰富的教学经验和对广东省近年“3+证书”考试真题的精准分析制作，紧密围绕课堂上老师所讲授的知识点，以基础、容易的题目为主。旨在让学生能够踏踏实实地跟上老师的教学节奏，从最为简易的数学练习起步，逐步掌握学习数学的方法，进而学好数学。 本卷为高教版《数学》拓展模块第74练，内容是第一章充要条件1.2 充要条件。 高教版《数学》拓展模块上册 第74练 第一章 充要条件 1.2 充要条件 一课一练 1、 选择题 1．若p：“一个数是偶数”，q：“一个数能被2整除”，则p是q的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2．已知p：“x=1”，q：“x²=1”，则q是p的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3．设集合A={x|x是菱形}，B={x|x是正方形}，则“x∈B”是“x∈A”的（　　）​ A.充分不必要条件​ B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4．“|x|=|y|”是“x=y”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5．“三角形是等边三角形”是“三角形的三个内角都是 60°”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6．已知p：“x>3”，q：“x>5”，则p是q的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2、 填空题 7．“x是4的倍数”是“x是2的倍数”的 条件（填“充分不必要”“必要不充分”或“充要”）。 8．“四边形是平行四边形”是“四边形的对角线互相平分”的 条件（填“充分不必要”“必要不充分”或“充要”）。 3、 解答题 9．请将命题“等腰三角形的两个底角相等”改写成“若p，则q”的形式，并判断p是q的什么条件，q是p的什么条件，说明理由。 10．已知p：“整数a能被2整除”，q：“整数a是偶数”，判断p是q的什么条件，并说明理由。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$