高教版《一课一练》第78练-向量的减法运算 课后作业（原卷版+解析版）

编写说明：鉴于中职学生中多数属于数学学习困难群体这一现状，我们秉持以学生为中心的原则，依据支架式教学理念，为学生提供处于其最近发展区内的助力，推动他们从现有水平逐步向潜在发展水平迈进。在此基础上，我们精心编制了广东省版高教版数学《一课一练》专辑。专辑内的每一份作业，都基于一线教师丰富的教学经验和对广东省近年“3+证书”考试真题的精准分析制作，紧密围绕课堂上老师所讲授的知识点，以基础、容易的题目为主。旨在让学生能够踏踏实实地跟上老师的教学节奏，从最为简易的数学练习起步，逐步掌握学习数学的方法，进而学好数学。 本卷为高教版《数学》拓展模块第78练，内容是第二章平面向量2.2.2 向量的减法运算。 高教版《数学》拓展模块上册 第78练 第二章 平面向量 2.2.2 向量的减法运算 一课一练 一、选择题 1．向量减法的几何意义是（　　） A.两个向量起点相连，差向量是从第一个向量终点指向第二个向量终点 B.两个向量终点相连，差向量是从第一个向量起点指向第二个向量起点 C.两个向量起点相同，差向量是从减向量终点指向被减向量终点 D.两个向量首尾相连，差向量是从第一个向量起点指向第二个向量终点 【答案】C 【分析】向量减法的几何意义判断。 【详解】对于A中，向量减法要求两个向量起点必须相同，而非“起点相连”（起点相连意味着起点不同），因此该描述不符合向量减法的前提条件，故A错误； 对于B中，“终点相连”既不满足向量减法的起点相同条件，且差向量的方向也与实际定义不符（差向量应与减向量、被减向量的终点相关，而非起点），故B错误； 对于C中，向量减法的几何意义是：若两个向量和有相同的起点，则它们的差向量−是以减向量的终点为起点，以被减向量的终点为终点的向量。该选项完全符合这一定义，故C正确； 对于D中，“首尾相连”是向量加法（三角形法则）的条件，此时和向量是从第一个向量起点指向第二个向量终点，而非差向量，因此该选项混淆了向量加法与减法的几何意义，故D错误. 故选：C. 2．已知与是相反向量，则−等于（　　） A. B.2 C.-2 D.+ 【答案】B 【分析】相反向量的减法运算。 【详解】已知与是相反向量，根据相反向量的定义：=−（即与方向相反，且∣∣=∣∣）。则向量减法−可转化为：−=−(−)=+=2。 对于A中，不符合上述求解结果，故A错误； 对于B中，符合上述求解结果，故B正确； 对于C中，不符合上述求解结果，故C错误； 对于D中，不符合上述求解结果，故D错误. 故选：B. 3．在平行四边形ABCD中，=，=，则等于（　　）​ A.-​ B.- C.+ D.-- 【答案】A 【分析】平行四边形中向量的减法。 【详解】在平行四边形ABCD中，=，=。根据向量减法的几何意义：若两个向量起点相同，差向量是从减向量终点指向被减向量终点。向量的起点为D，终点为B，可表示为−（因=−推导：=−=−，因此=−+=-）。 对于A中，符合上述求解结果，故A正确； 对于B中，不符合上述求解结果，故B错误； 对于C中，不符合上述求解结果，故C错误； 对于D中，不符合上述求解结果，故D错误. 故选：A. 4．若∣∣=5，∣∣=3，且与方向相同，则∣−∣等于（　　） A.8 B.2 C.15 D.-2 【答案】B 【分析】同向向量减法的模的计算。 【详解】前提分析：已知∣∣=5，∣∣=3，且与方向相同。根据向量运算的性质，当两个向量方向相同时，它们的差向量−的方向与（或）相同，且模长为∣∣−∣∣（因为方向相同，模长直接相减）。 计算过程：则∣−∣=∣∣−∣∣=5−3=2。 对于A中，不符合上述求解结果，故A错误； 对于B中，符合上述求解结果，故B正确； 对于C中，不符合上述求解结果，故C错误； 对于D中，不符合上述求解结果，故D错误. 故选：B. 5．已知=，=，则−等于（　　） A. B.​ C. D. 【答案】A 【分析】向量减法的几何表示判断。 【详解】根据向量减法的几何意义，当两个向量起点相同时，−是从减向量的终点（P）指向被减向量的终点（N）的向量，即−=。 对于A中，符合上述求解结果，故A正确； 对于B中，不符合上述求解结果，故B错误； 对于C中，不符合上述求解结果，故C错误； 对于D中，不符合上述求解结果，故D错误. 故选：A. 6．若−=，则下列说法正确的是（　　） A.与方向相反 B.与都是零向量 C.与是相等向量 D.|| ≠ || 【答案】C 【分析】向量减法为零向量的意义判断。 【详解】已知−=（零向量），根据向量减法的逆运算，可得=。即与是相等向量，相等向量的定义是：方向相同且模长相等的向量。 对于A中，不符合上述求解结果，故A错误； 对于B中，不符合上述求解结果，故B错误； 对于C中，符合上述求解结果，故C正确； 对于D中，不符合上述求解结果，故D错误. 故选：C. 二、填空题 7．向量减法的定义是：−=+ 。 【答案】(−) 【分析】向量减法的本质填空。 【详解】向量减法的核心定义是：对于两个向量和，−等价于加上的相反向量。根据相反向量的定义，的相反向量记为−（即与方向相反、模长相等的向量）。因此，−=+(−). 故答案：(−). 8．在△ABC中，=，=，则= 。 【答案】− 【分析】三角形中向量的减法运算。 【详解】根据向量减法的几何意义，可以表示为从B指向C的向量，而B和C分别是和的终点。因此，=−（从减向量的终点B指向被减向量的终点C）。 代入已知向量：已知=，=，代入上式可得：=−. 故答案：−. 三、解答题 9．已知∣∣=5，∣∣=12，且与垂直，求∣−∣。 【答案】∣−∣的值为13。 【分析】垂直向量减法的模的计算。 【详解】核心公式：对于任意向量和，有∣−∣2=(−)⋅(−)=∣∣2−2⋅+∣∣2。 其中，a⋅b是向量与的数量积。 利用垂直条件：已知与垂直，根据向量垂直的性质：垂直向量的数量积为0，即a⋅b=0。 代入计算：已知∣∣=5，∣∣=12，代入上述公式： ∣−∣2=∣∣2−2×0+∣∣2=52+122=25+144=169。两边开平方（向量模为非负数），得 ∣−∣==13。 故答案：∣−∣的值为13. 10．证明：对于任意向量和，∣−∣≥∣∣∣−∣∣∣。 【答案】对于任意向量和，∣−∣≥∣∣∣−∣∣∣。 【分析】向量减法模的性质的几何证明。 【详解】利用向量模的平方与数量积的关系：对于任意向量和，有： ∣−∣2=(−)⋅(−)=∣∣2−2⋅+∣∣2。 分析向量数量积的范围：根据向量数量积的性质，a⋅b=∣∣⋅∣∣cos θ（其中θ是a与b的夹角），且∣cos θ∣≤1，因此：−∣∣⋅∣∣≤a⋅b≤∣∣⋅∣∣，即−a⋅b≥−∣∣⋅∣∣。 推导∣−∣2的下界：将−a⋅b≥−∣∣⋅∣∣代入∣−∣2的表达式： ∣−∣2=∣∣2−2⋅+∣∣2≥∣∣2−2∣∣⋅∣∣+∣∣2。 而右边∣∣2−2∣∣⋅∣∣+∣∣2=(∣∣−∣∣)2，因此：∣−∣2≥(∣∣−∣∣)2。 两边开平方并结合绝对值性质：由于向量的模是非负数，且对于任意实数x，=∣x∣，因此对不等式两边开平方得：∣−∣≥∣∣∣−∣∣∣。 故答案：对于任意向量和，∣−∣≥∣∣∣−∣∣∣. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：鉴于中职学生中多数属于数学学习困难群体这一现状，我们秉持以学生为中心的原则，依据支架式教学理念，为学生提供处于其最近发展区内的助力，推动他们从现有水平逐步向潜在发展水平迈进。在此基础上，我们精心编制了广东省版高教版数学《一课一练》专辑。专辑内的每一份作业，都基于一线教师丰富的教学经验和对广东省近年“3+证书”考试真题的精准分析制作，紧密围绕课堂上老师所讲授的知识点，以基础、容易的题目为主。旨在让学生能够踏踏实实地跟上老师的教学节奏，从最为简易的数学练习起步，逐步掌握学习数学的方法，进而学好数学。 本卷为高教版《数学》拓展模块第78练，内容是第二章平面向量2.2.2 向量的减法运算。 高教版《数学》拓展模块上册 第78练 第二章 平面向量 2.2.2 向量的减法运算 一课一练 1、 选择题 1．向量减法的几何意义是（　　） A.两个向量起点相连，差向量是从第一个向量终点指向第二个向量终点 B.两个向量终点相连，差向量是从第一个向量起点指向第二个向量起点 C.两个向量起点相同，差向量是从减向量终点指向被减向量终点 D.两个向量首尾相连，差向量是从第一个向量起点指向第二个向量终点 2．已知与是相反向量，则−等于（　　） A. B.2 C.-2 D.+ 3．在平行四边形ABCD中，=，=，则等于（　　）​ A.-​ B.- C.+ D.-- 4．若∣∣=5，∣∣=3，且与方向相同，则∣−∣等于（　　） A.8 B.2 C.15 D.-2 5．已知=，=，则−等于（　　） A. B.​ C. D. 6．若−=，则下列说法正确的是（　　） A.与方向相反 B.与都是零向量 C.与是相等向量 D.|| ≠ || 2、 填空题 7．向量减法的定义是：−=+ 。 8．在△ABC中，=，=，则= 。 3、 解答题 9．已知∣∣=5，∣∣=12，且与垂直，求∣−∣。 10．证明：对于任意向量和，∣−∣≥∣∣∣−∣∣∣。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$