高教版《一课一练》第83练-向量内积的坐标表示 课后作业（原卷版+解析版）

编写说明：鉴于中职学生中多数属于数学学习困难群体这一现状，我们秉持以学生为中心的原则，依据支架式教学理念，为学生提供处于其最近发展区内的助力，推动他们从现有水平逐步向潜在发展水平迈进。在此基础上，我们精心编制了广东省版高教版数学《一课一练》专辑。专辑内的每一份作业，都基于一线教师丰富的教学经验和对广东省近年“3+证书”考试真题的精准分析制作，紧密围绕课堂上老师所讲授的知识点，以基础、容易的题目为主。旨在让学生能够踏踏实实地跟上老师的教学节奏，从最为简易的数学练习起步，逐步掌握学习数学的方法，进而学好数学。 本卷为高教版《数学》拓展模块第83练，内容是第二章平面向量2.4.3 向量内积的坐标表示。 高教版《数学》拓展模块上册 第83练 第二章 平面向量 2.4.3 向量内积的坐标表示 一课一练 一、选择题 1．已知向量=(2,3)，=(4,−1)，则⋅的值为（　　） A.-5 B.5 C.-11 D.11 【答案】B 【分析】向量内积的坐标运算。 【详解】明确向量数量积的坐标运算公式：对于两个向量=(x1,y1)和=(x2,y2)，它们的数量积（点积）为：⋅=x1x2+y1y2。 代入已知向量坐标计算：已知=(2,3)，=(4,−1)，其中x1=2，y1=3，x2=4，y2=−1，代入公式得：⋅=2×4+3×(−1)=8−3=5。 对于A中，不符合上述求解结果，故A错误； 对于B中，符合上述求解结果，故B正确； 对于C中，不符合上述求解结果，故C错误； 对于D中，不符合上述求解结果，故D错误. 故选：B. 2．已知向量=(x,2)，=(3,−6)，且⋅=0，则x的值为（　　） A.12 B.-12 C.-4 D.4 【答案】D 【分析】内积为零与向量垂直的坐标关系判断。 【详解】明确向量数量积的坐标运算公式：对于两个向量=(x1,y1)和=(x2,y2)，它们的数量积（点积）为：⋅=x1x2+y1y2。 代入已知条件列方程：已知=(x,2)，=(3,−6)，且⋅=0。 代入数量积公式得：x×3+2×(−6)=0，即3x−12=0。 解方程求x的值：对3x−12=0移项得3x=12，解得x=4。 对于A中，不符合上述求解结果，故A错误； 对于B中，不符合上述求解结果，故B错误； 对于C中，不符合上述求解结果，故C错误； 对于D中，符合上述求解结果，故D正确. 故选：D. 3．向量=(1,)与=(,1)的夹角为（　　）​ A.30°​ B.45° C.60° D.90° 【答案】A 【分析】利用坐标求向量夹角。 【详解】计算向量的数量积⋅：已知=(1,)，=(,1)，根据数量积的坐标公式 ⋅=x1x2+y1y2，可得：⋅=1×+×1=+=2。 计算向量的模长∣∣和∣∣：根据模长公式∣∣=， ∣∣====2；同理，∣∣====2。 计算夹角的余弦值cos θ：代入夹角公式：cos θ===。 确定夹角θ：因为θ∈[0∘,180∘]，且cos 30∘=，所以夹角θ=30∘。 对于A中，符合上述求解结果，故A正确； 对于B中，不符合上述求解结果，故B错误； 对于C中，不符合上述求解结果，故C错误； 对于D中，不符合上述求解结果，故D错误. 故选：A. 4．若=(2,k)，=(k,8)，且与同向，则k的值为（　　） A.-4 B.4 C.-16 D.16 【答案】B 【分析】同向向量的坐标特征与内积关系判断。 【详解】明确向量同向的条件：若向量与同向，则存在正数λ，使得=λ，即对应坐标满足：​。同时，两向量坐标成比例且比例为正，即=>0（分母不为0，且比例为正保证方向相同）。 求解k的值：由比例关系=，交叉相乘得k2=16，解得k=±4。又因为>0（方向相同），所以k>0，因此k=4。 对于A中，不符合上述求解结果，故A错误； 对于B中，符合上述求解结果，故B正确； 对于C中，不符合上述求解结果，故C错误； 对于D中，不符合上述求解结果，故D错误. 故选：B. 5．已知A(1,2)，B(3,4)，C(5,0)，则⋅的值为（　　） A.-4 B.-8 C.4 D.8 【答案】C 【分析】结合点坐标求向量内积。 【详解】求向量和的坐标：已知点A(1,2)、B(3,4)、C(5,0)，根据向量坐标的计算规则“若起点为P(x1,y1)，终点为Q(x2,y2)，则=(x2−x1,y2−y1)”，可得： =(3−1,4−2)=(2,2)；=(5−1,0−2)=(4,−2)。 计算向量的数量积⋅：对于两个向量=(x1,y1)和=(x2,y2)，它们的数量积（点积）为：⋅=x1x2+y1y2，代入得：⋅=2×4+2×(−2)=8−4=4。 对于A中，不符合上述求解结果，故A错误； 对于B中，不符合上述求解结果，故B错误； 对于C中，符合上述求解结果，故C正确； 对于D中，不符合上述求解结果，故D错误. 故选：C. 6．已知=(−3,4)，则⋅的值为（　　） A.5 B.7 C.25 D.36 【答案】C 【分析】向量自身内积的计算。 【详解】明确向量自身数量积的坐标公式：对于向量=(x,y)，⋅=x2+y2（即横坐标的平方与纵坐标的平方之和）。 代入已知向量坐标计算：已知=(−3,4)，其中x=−3，y=4，代入公式得： ⋅=(−3)2+42=9+16=25。 对于A中，不符合上述求解结果，故A错误； 对于B中，不符合上述求解结果，故B错误； 对于C中，符合上述求解结果，故C正确； 对于D中，不符合上述求解结果，故D错误. 故选：C. 二、填空题 7．已知=(2,3)，=(4,−1)，则⋅= 。 【答案】5 【分析】坐标形式下向量的内积运算。 【详解】若平面向量=(x1,y1)，=(x2,y2)，则它们的内积计算公式为：⋅=x1⋅x2+y1⋅y2。 代入计算：已知=(2,3)，即x1=2，y1=3；=(4,−1)，即x2=4，y2=−1。根据上述公式，代入得：⋅=2×4+3×(−1)=8−3=5. 故答案：5. 8．向量=(2,−1)，则⋅+∣∣= 。 【答案】5+ 【分析】向量自身内积与模的综合运算。 【详解】明确向量自身数量积的坐标公式：对于向量=(x,y)，⋅=x2+y2（即横坐标的平方与纵坐标的平方之和）。已知=(2,−1)，代入得：⋅=22+(−1)2=4+1=5。 计算∣∣的值：向量模长的计算公式为∣∣=。代入=(2,−1)的坐标得： ∣∣===。 计算最终结果：将上述两个结果相加：⋅+∣∣=5+. 故答案：5+. 三、解答题 9．已知点A(2,1)，B(−1,3)，C(3,−2)，求⋅，并判断与是否垂直。 【答案】⋅的值为−9；与不垂直。 【分析】点坐标到向量坐标的转化及内积的应用。 【详解】求向量与的坐标：已知点A(2,1)、B(−1,3)、C(3,−2)，根据向量坐标的计算规则 “若起点为P(x1,y1)，终点为Q(x2,y2)，则=(x2−x1,y2−y1)”，可得： =(−1−2,3−1)=(−3,2)；=(3−2,−2−1)=(1,−3)。 计算⋅的值：根据数量积的坐标公式 “若=(x1,y1)，=(x2,y2)，则 ⋅=x1⋅x2+y1⋅y2”，代入得：⋅=(−3)×1+2×(−3)=−3−6=−9。 判断与是否垂直：向量垂直的判定条件为“若两向量的数量积为0，则两向量垂直”。 由于⋅=−9≠0，因此与不垂直。 故答案：⋅的值为−9；与不垂直. 10．已知=(3,−4)，=(−1,2)，求： （1）⋅； （2）∣∣和∣∣； （3）与的夹角θ的余弦值。 【答案】（1）⋅=-11；（2）∣∣=5；∣∣=；（3）cos θ= = 。 【分析】坐标向量的内积、模及夹角计算，综合应用坐标运算。 【详解】（1）计算⋅ 若平面向量=(x1,y1)，=(x2,y2)，则它们的内积计算公式为：⋅=x1⋅x2+y1⋅y2。 计算过程：已知=(3,−4)，=(−1,2)，代入公式得：⋅=3×(−1)+(−4)×2=−3−8=−11。 故答案：⋅=-11. （2）计算∣∣和∣∣ 若平面向量=(x,y)，则其模长公式为∣∣=。 计算过程： 对于=(3,−4)：∣∣==5。 对于=(−1,2)：∣∣==。 故答案：∣∣=5；∣∣=. （3）计算与的夹角θ的余弦值 向量夹角的余弦值公式为cos θ=。 计算过程：由（1）得⋅=−11，由（2）得∣∣=5，∣∣=，代入公式得： cos θ= = 。 故答案：cos θ= = . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：鉴于中职学生中多数属于数学学习困难群体这一现状，我们秉持以学生为中心的原则，依据支架式教学理念，为学生提供处于其最近发展区内的助力，推动他们从现有水平逐步向潜在发展水平迈进。在此基础上，我们精心编制了广东省版高教版数学《一课一练》专辑。专辑内的每一份作业，都基于一线教师丰富的教学经验和对广东省近年“3+证书”考试真题的精准分析制作，紧密围绕课堂上老师所讲授的知识点，以基础、容易的题目为主。旨在让学生能够踏踏实实地跟上老师的教学节奏，从最为简易的数学练习起步，逐步掌握学习数学的方法，进而学好数学。 本卷为高教版《数学》拓展模块第83练，内容是第二章平面向量2.4.3 向量内积的坐标表示。 高教版《数学》拓展模块上册 第83练 第二章 平面向量 2.4.3 向量内积的坐标表示 一课一练 1、 选择题 1．已知向量=(2,3)，=(4,−1)，则⋅的值为（　　） A.-5 B.5 C.-11 D.11 2．已知向量=(x,2)，=(3,−6)，且⋅=0，则x的值为（　　） A.12 B.-12 C.-4 D.4 3．向量=(1,)与=(,1)的夹角为（　　）​ A.30°​ B.45° C.60° D.90° 4．若=(2,k)，=(k,8)，且与同向，则k的值为（　　） A.-4 B.4 C.-16 D.16 5．已知A(1,2)，B(3,4)，C(5,0)，则⋅的值为（　　） A.-4 B.-8 C.4 D.8 6．已知=(−3,4)，则⋅的值为（　　） A.5 B.7 C.25 D.36 2、 填空题 7．已知=(2,3)，=(4,−1)，则⋅= 。 8．向量=(2,−1)，则⋅+∣∣= 。 3、 解答题 9．已知点A(2,1)，B(−1,3)，C(3,−2)，求⋅，并判断与是否垂直。 10．已知=(3,−4)，=(−1,2)，求： （1）⋅； （2）∣∣和∣∣； （3）与的夹角θ的余弦值。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$