专题09常见函数及其应用（讲义）- 内蒙古2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》（原卷版+解析版）

编写说明：内蒙古2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年对口高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含46个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是内蒙古2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》第9个专题：常见函数及其应用。本专题涵盖函一次函数、二次函数、反比例函数等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 内蒙古2026年对口招生 一轮复习 《数学知识点清单》 专题09 常见函数及其应用（讲义） 1．一次函数 函数类型 函数表达式 常数条件 示例 正比例函数 y = kx k ≠ 0 y = 2x 一次函数 y = kx + b k ≠ 0 y = 3x + 1 ①正比例函数的图象及性质：正比例函数y=kx(k是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线，称为直线y=kx。 y=kx 图像 经过象限 升降趋势 单调性 奇偶性 k＞0 三、一 从左向右上升 增函数 奇函数 k＜0 二、四 从左向右下降 减函数 偶函数 ②一次函数的图象及性质：一次函数y=kx+b(k、b是常数，k≠0)的图象是一条直线，称为直线y=kx+b。当k＞0时，直线y=kx+b从左向右上升，即y随着x的增大而增大；当k＜0时，直线y=kx+b从左向右下降，即y随着x的增大而减小。 y=kx+b 图像 经过象限 升降趋势 单调性 k＞0，b＞0 三、二、一 从左向右上升 增函数 k＞0，b＜0 三、四、一 k＜0，b＞0 二、一、四 从左向右下降 减函数 k＜0，b＜0 二、三、四 2．反比例函数 （1）反比例函数的定义 一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数， （2）反比例函数的图象及其性质 反比例函数的图像是有两个分支组成的曲线，当时，图像在一、三象限，在每个象限，随的增大而减小；当时，图像在二、四象限，在每个象限，随的增大而增大，如下图所示： （） （） 3．二次函数 （1）一般地，形如(y = ax² + bx + c)（(a)、(b)、(c)是常数，(a≠0)）的函数叫二次函数 。其中(x)是自变量，(y)是函数值，(a)是二次项系数，(b)是一次项系数，(c)是常数项 。例如(y = 2x² + 3x + 1) ，(a = 2) ，(b = 3) ，(c = 1) 。 （2）二次函数的图象及其性质 函数 二次函数（a、b、c为常数，a≠0） 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 当时，y随x的增大而减小；即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 当时，y随x的增大而增大；即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减 最大(小)值 抛物线有最低点，当时，y有最小值， 抛物线有最高点，当时，y有最大值， 奇偶性 当b=0时，f（x）为偶函数 4.二次函数的应用二次函数作为一种重要的数学工具，在日常生活和各类学科领域中都有着广泛而深入的应用。无论是在解决几何问题、优化工程设计，还是在经济模型的构建与分析中，二次函数都扮演着不可或缺的角色。通过掌握二次函数的性质和图像特征，我们能够更加精准地解决实际问题，提升问题解决的效率和准确性。 1.（2025年内蒙古对口升学）某商场经营一批商品，进价为每件30元，规定销售单价x(单位：元)在30元到50元之间 ( 即x∈(30,50)). 市场营销中发现，若销售单价为35元时，日销售量为45件；销售单 价为45元时，日销售量为15件.此商品日销售量y(单位：件)与销售单价x(单位：元)之 间满足一次函数的关系. (1)求y 与x 之间的函数解析式； (2)设经营此商品的日销售利润为P(单位：元),求P 关于x 的函数解析式及最大日销售利润 . 2.（2023年内蒙古对口升学）对于函数f(x),若存在 ∈R, 使 f( )= 。 成立，则称点( , ) 为函数的不动点. (1)已知函数f(x)=ax²+bx—b(a≠0) 有不动点(1,1)和(-3,-3),求a,b 的值； (2)若对于任意实数b,函数f(x)= ax²+bx- b(a≠0) 总有两个相异的不动点，求 a 的取 值范围. 3.（2022年内蒙古对口升学） 已知函数 f(x)=x 2 +(a+2)x+5+a, a∈R (1) 若方程 f(x) = 0 有一个正根和一个负根, 求 a 的取值范围; (2) 当 x>—1 时, 不等式 f(x)⩾0 恒成立, 求 a 的取值范围. 4.（2021年内蒙古对口升学）已知函数f（x）= （1）求f（x）解析式。 （2）若对于任意x{-1,1}，不等式f（x）+m＜2恒成立，求m取值范围. 5.（2020年内蒙古对口升学）已知二次函数f(x)=a+bx+c(a≠0)满足f(x+1)=f(1-x).且该函数的图象与y轴交于点(0,-3),在x轴上截得的线段长为4. （1）确定该二次函数的解析式； （2）若g(x)=f(x),当g(x)≤5时，求x的取值范围. 知识点1 一次函数 1.已知点在一次函数的图像上，则的值为（    ） A． B． C． D． 2.若点关于轴的对称点在一次函数的图象上，则的值为（    ） A． B．0 C． D． 3.在画一次函数的图象时，小雯同学列表如下，其中“”表示的数为 , 4.已知关于x的一次函数的图象过点，且y随x的增大而增大，求m的值． 5.“六·一”儿童节，学校六（1）班王老师带领班上名学生参观植物博览园．成人票单价20元，学生票单价10元．总费用（元）与的函数关系式为______．（不要求写自变量取值范围） 6.汽车由北京驶往相距120千米的天津，它的平均速度是30千米/时，则汽车距天津的路程S（千米）与行驶时间t（时）的函数关系及自变量的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7.一个水库的水位在最近5h内持续上涨，水位高度y（m）与时间t（h）之间的函数关系式为，每小时水位上升的高度是______m． 8.某市出租车白天的收费起步价为6元，即路程不超过3千米时收费6元，超过部分每千米收费1.1元，如果乘客白天乘坐出租车的路程为x（）千米，乘车费为y元，那么y与x之间的关系为______． 9.一次函数的图象经过的象限是（    ） A．一、二、三 B．二、三、四 C．一、二、四 D．一、三、四 10.一次函数的图象如图所示，则m的取值范围是（　　） A． B． 且 C． D． 或 知识点2 反比例函数 1.下列函数中，不是反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 2.下列属于反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 3.下列各点中，不在反比例函数图象上的是（    ）. A． B． C． D． 4.已知反比例函数，则它的图象不经过点（    ） A． B． C． D． 5.已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当电阻为时，电流是________A． 6.把一定体积的钢锭拉成钢丝，钢丝的总长度y（m）是其横截面积x（）的反比例函数，其图象如图所示．当钢丝总长度不少于80m时，钢丝的横截面积最多是___________． 7.反比例函数的图像可能是（    ） A． B．C． D． 8.关于反比例函数，下列说法不正确的是（    ） A．y随x增大而增大 B．图象分别在第二、四象限 C．该反比例函数图象与坐标轴无交点 D．图象经过点 知识点三 二次函数 1.将正方形的内切圆的面积S表示为正方形的边长x的函数为 . 2.一名男生参加抛实心球测试，已知球的高度与水平距离之间的关系是，则这名男生抛实心球的成绩是_____． 3.抛物线的顶点坐标是_________． 4.抛物线的顶点坐标是_____． 5.点，都在抛物线上．若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6.二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值如下表： x 0 1 2 3 y 1 m n 1 下列判断正确的是（　　）A． B． C． D． 7.对于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．当时，随的增大而减小 D．顶点坐标为 8.关于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．函数图象的开口向下 B．函数图象的顶点坐标是 C．该函数有最大值，最大值是 D．当时，随的增大而增大 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：内蒙古2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年对口高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含46个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是内蒙古2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》第9个专题：常见函数及其应用。本专题涵盖函一次函数、二次函数、反比例函数等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 内蒙古2026年对口招生 一轮复习 《数学知识点清单》 专题09 常见函数及其应用（讲义） 1．一次函数 函数类型 函数表达式 常数条件 示例 正比例函数 y = kx k ≠ 0 y = 2x 一次函数 y = kx + b k ≠ 0 y = 3x + 1 ①正比例函数的图象及性质：正比例函数y=kx(k是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线，称为直线y=kx。 y=kx 图像 经过象限 升降趋势 单调性 奇偶性 k＞0 三、一 从左向右上升 增函数 奇函数 k＜0 二、四 从左向右下降 减函数 偶函数 ②一次函数的图象及性质：一次函数y=kx+b(k、b是常数，k≠0)的图象是一条直线，称为直线y=kx+b。当k＞0时，直线y=kx+b从左向右上升，即y随着x的增大而增大；当k＜0时，直线y=kx+b从左向右下降，即y随着x的增大而减小。 y=kx+b 图像 经过象限 升降趋势 单调性 k＞0，b＞0 三、二、一 从左向右上升 增函数 k＞0，b＜0 三、四、一 k＜0，b＞0 二、一、四 从左向右下降 减函数 k＜0，b＜0 二、三、四 2．反比例函数 （1）反比例函数的定义 一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数， （2）反比例函数的图象及其性质 反比例函数的图像是有两个分支组成的曲线，当时，图像在一、三象限，在每个象限，随的增大而减小；当时，图像在二、四象限，在每个象限，随的增大而增大，如下图所示： （） （） 3．二次函数 （1）一般地，形如(y = ax² + bx + c)（(a)、(b)、(c)是常数，(a≠0)）的函数叫二次函数 。其中(x)是自变量，(y)是函数值，(a)是二次项系数，(b)是一次项系数，(c)是常数项 。例如(y = 2x² + 3x + 1) ，(a = 2) ，(b = 3) ，(c = 1) 。 （2）二次函数的图象及其性质 函数 二次函数（a、b、c为常数，a≠0） 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 当时，y随x的增大而减小；即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 当时，y随x的增大而增大；即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减 最大(小)值 抛物线有最低点，当时，y有最小值， 抛物线有最高点，当时，y有最大值， 奇偶性 当b=0时，f（x）为偶函数 4.二次函数的应用二次函数作为一种重要的数学工具，在日常生活和各类学科领域中都有着广泛而深入的应用。无论是在解决几何问题、优化工程设计，还是在经济模型的构建与分析中，二次函数都扮演着不可或缺的角色。通过掌握二次函数的性质和图像特征，我们能够更加精准地解决实际问题，提升问题解决的效率和准确性。 1.（2025年内蒙古对口升学）某商场经营一批商品，进价为每件30元，规定销售单价x(单位：元)在30元到50元之间 ( 即x∈(30,50)). 市场营销中发现，若销售单价为35元时，日销售量为45件；销售单 价为45元时，日销售量为15件.此商品日销售量y(单位：件)与销售单价x(单位：元)之 间满足一次函数的关系. (1)求y 与x 之间的函数解析式； (2)设经营此商品的日销售利润为P(单位：元),求P 关于x 的函数解析式及最大日销售利润 . 答案：(1)设 y=ax+b, 由题意得： 解得 a=-3,b=150。 答案： y=-3x+150 (2)日销售利润 P =y(x-30), 代入得： P=(-3x+150)(z-30)=—3z²+240x-4500 二次函数开口向下，最大值在顶点 x=40, 此时 Pmax=300。 2.（2023年内蒙古对口升学）对于函数f(x),若存在 ∈R, 使 f( )= 。 成立，则称点( , ) 为函数的不动点. (1)已知函数f(x)=ax²+bx—b(a≠0) 有不动点(1,1)和(-3,-3),求a,b 的值； (2)若对于任意实数b,函数f(x)= ax²+bx- b(a≠0) 总有两个相异的不动点，求 a 的取 值范围. 解析：（1）因为为不动点，所以，解得 （2）函数总有两个相异的不动点，即 的方程有两个不相等的实数根， 因为，所以，即 所以即对任意实数b恒成立，所以，解得 3.（2022年内蒙古对口升学） 已知函数 f(x)=x 2 +(a+2)x+5+a, a∈R (1) 若方程 f(x) = 0 有一个正根和一个负根, 求 a 的取值范围; (2) 当 x>—1 时, 不等式 f(x)⩾0 恒成立, 求 a 的取值范围. 答案：（1）有韦达定理得，=5+a，又方程 f(x) = 0 有一个正根和一个负根，所以5+a<o,解得a<-5 (2)当 x > —1 时, 不等式 f(x) ⩾ 0 恒成立,即a（x+1）⩾- x 2 -2x-5，因为 x > —1，所以 x+1>0，a ⩾=-（x+1）-4，当且仅当x=1时等号成立，所以a⩾-4 4.（2021年内蒙古对口升学）已知函数f（x）= （1）求f（x）解析式。 （2）若对于任意x{-1,1}，不等式f（x）+m＜2恒成立，求m取值范围. 答案：(1)由 f(x)=2x²+bx+c 过原点，得 c=0。 由对称轴 为x= , 得 b=-10。 故 f(z)=2x²-10x。 (2)由 f(x)+m<2 对 x∈(-1,1) 恒成立，得 m<2-f(x)。 f(x) 在(- 1,1)内最大值为12, 故 m≤-10。 5.（2020年内蒙古对口升学）已知二次函数f(x)=a+bx+c(a≠0)满足f(x+1)=f(1-x).且该函数的图象与y轴交于点(0,-3),在x轴上截得的线段长为4. （1）确定该二次函数的解析式； （2）若g(x)=f(x),当g(x)≤5时，求x的取值范围. 答案：(1)由f(x+1)=f(1-x)得对称轴 x=1, 得 b=-2a。 由 f(0)=-3, 得 c=-3。 由截距长为4,得 a=1,b=-2。 故 f(z)=x²-2x-3。 (2)由 g(x)=log2 f(x)≤5, 得 0<f(x)≤32。 解得 x∈(-5,-1)U(3,7]。 知识点1 一次函数 1.已知点在一次函数的图像上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】把点的坐标代入一次函数中，得，， ，故选：C． 2.若点关于轴的对称点在一次函数的图象上，则的值为（    ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【解析】由题知，点关于轴的对称点坐标的规律---横坐标变为相反数，纵坐标不变，可得：对称点 将点代入一次函数，即为，可得：，故选：A. 3.在画一次函数的图象时，小雯同学列表如下，其中“”表示的数为 , 【答案】 【解析】有表格可知：直线过点，则：，解得：，∴， 当时，，∴“”表示的数为：，故答案为：． 4.已知关于x的一次函数的图象过点，且y随x的增大而增大，求m的值． 【答案】2 【解析】∵关于x的一次函数的图象过点，且y随x的增大而增大，∴， 解得． 5.“六·一”儿童节，学校六（1）班王老师带领班上名学生参观植物博览园．成人票单价20元，学生票单价10元．总费用（元）与的函数关系式为______．（不要求写自变量取值范围） 【答案】y=10x+20 【解析】由题意得：y=10x+20，故答案为：y=10x+20． 6.汽车由北京驶往相距120千米的天津，它的平均速度是30千米/时，则汽车距天津的路程S（千米）与行驶时间t（时）的函数关系及自变量的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵汽车行驶的路程为：，∴汽车距天津的路程S（千米）与行驶时间t（时）的函数关系为：，∵，∴自变量t的取值范围是，故选：A． 7.一个水库的水位在最近5h内持续上涨，水位高度y（m）与时间t（h）之间的函数关系式为，每小时水位上升的高度是______m． 【答案】0.3 【解析】根据题意得：当时，，当时，，∴每小时水位上升的高度是m，故答案为：0.3. 8.某市出租车白天的收费起步价为6元，即路程不超过3千米时收费6元，超过部分每千米收费1.1元，如果乘客白天乘坐出租车的路程为x（）千米，乘车费为y元，那么y与x之间的关系为______． 【答案】y=1.1x+2.7 【解析】依据题意得：y=6+1.1（x-3）=1.1x+2.7，故答案为：y=1.1x+2.7． 9.一次函数的图象经过的象限是（    ） A．一、二、三 B．二、三、四 C．一、二、四 D．一、三、四 【答案】C 【解析】∵，，，∴函数图象经过一、二、四象限，故选：C． 10.一次函数的图象如图所示，则m的取值范围是（　　） A． B． 且 C． D． 或 【答案】A 【解析】根据题意，一次函数的图象经过第一、二、四象限，且 解得，故选：A． 知识点2 反比例函数 1.下列函数中，不是反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】反比例函数的三种形式为： ①（为常数， ），② （为常数，），③ （为常数，）， 由此可知：只有不是反比例函数，其它都是反比例函数，故选：C． 2.下列属于反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】A．由原式得到，符合反比例函数的定义，故本选项符合题意； B．该函数式表示与成正比例关系，故本选项不符合题意； C．该函数式不属于反比例函数，故本选项不符合题意； D．该函数式不属于反比例函数，故本选项不符合题意；故选：A． 3.下列各点中，不在反比例函数图象上的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A选项中，当时，，故该选项不符合题意； B选项中，当时，，故该选项不符合题意； C选项中，当时，，故该选项符合题意； D选项中，当时，，故该选项不符合题意；故选C. 4.已知反比例函数，则它的图象不经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出四个选项中点的横纵坐标之积，比照k即可得出结论． 【解析】A、，故反比例函数图象经过点，不合题意； B、，故反比例函数图象不经过点，符合题意； C、，故反比例函数图象经过点，不合题意； D、，故反比例函数图象经过点，不合题意； 故选：B． 5.已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当电阻为时，电流是________A． 【答案】12 【解析】设该反比函数解析式为，由题意可知，当时，，，解得：， 设该反比函数解析式为，当时，，即电流为，故答案为：12． 6.把一定体积的钢锭拉成钢丝，钢丝的总长度y（m）是其横截面积x（）的反比例函数，其图象如图所示．当钢丝总长度不少于80m时，钢丝的横截面积最多是___________． 【答案】 【解析】设反比例函数的解析式为：，由图象可知：双曲线过点，∴， ∴，由图可知，时，随的增大而减小，∵钢丝总长度不少于80m，∴当时，钢丝的横截面积最大为，故答案为：． 7.反比例函数的图像可能是（    ） A． B．C． D． 【答案】C 【解析】∵反比例函数，，∴图象分布在第一、三象限，即： ，故选C． 8.关于反比例函数，下列说法不正确的是（    ） A．y随x增大而增大 B．图象分别在第二、四象限 C．该反比例函数图象与坐标轴无交点 D．图象经过点 【答案】A 【解析】，∵，∴图象过二、四象限，在每一个象限内，y随x增大而增大；∵， ∴反比例函数图象与坐标轴无交点；∵，∴图象经过点；综上，选项B、C、D正确，不符合题意；选项A错误，符合题意；故选A． 知识点三 二次函数 1.将正方形的内切圆的面积S表示为正方形的边长x的函数为 . 【答案】 【解析】正方形边长为，则其内切圆的半径为，所以内切圆的面积，故答案为：. 2.一名男生参加抛实心球测试，已知球的高度与水平距离之间的关系是，则这名男生抛实心球的成绩是_____． 【答案】 【解析】依题意，令中，，即，整理得：，解得：（舍去），∴这名男生抛实心球的成绩是，故答案为：． 3.抛物线的顶点坐标是_________． 【答案】 【解析】，∴顶点坐标是，故答案为：． 4.抛物线的顶点坐标是_____． 【答案】 【解析】抛物线的顶点坐标是，故答案为：． 5.点，都在抛物线上．若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵点，都在抛物线上，∴，，∵，∴， 即，∴，解得：，故选：D 6.二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值如下表： x 0 1 2 3 y 1 m n 1 下列判断正确的是（　　）A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由表格可以得到：抛物线对称轴为，∵，∴，故选C． 7.对于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．当时，随的增大而减小 D．顶点坐标为 【答案】D 【解析】对于二次函数，，则开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为， 故A，B选项错误，D选项正确， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， ∴当时，随的增大先增大后减小，故C选项错误，故选：D． 8.关于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．函数图象的开口向下 B．函数图象的顶点坐标是 C．该函数有最大值，最大值是 D．当时，随的增大而增大 【答案】D 【解析】中，的系数为，，函数图象开口向上，A错误； 函数图象的顶点坐标是，B错误；函数图象开口向上，有最小值为，C错误； 函数图象的对称轴为，时，随的增大而减小；时，随的增大而增大，D正确． 故选：D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$