专题18 正弦型函数的图像及性质（讲义）- 内蒙古2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》（原卷版+解析版）

编写说明：内蒙古2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年对口高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含46个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是内蒙古2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》第18个专题：正弦型函数的图像与性质。本专题涵盖正弦型函数的图像、性质及变换等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 内蒙古2026年对口招生 一轮复习 《数学知识点清单》 专题18正弦型函数的图像与性质（讲义） 1．正弦型函数的相关概念 (1)定义：一般地，形如的函数，在物理，工程等学科的研究中经常遇到，这类型的函数称为正弦型函数，其中都是常数，且. 符号 描述 实际意义 A 振幅，决定了函数的值域以及函数的最大值和最小值 表示小球能偏离平衡位置的最大距离 φ 初相，决定了x=0时的函数值 在决定小球的位置中起关键性作用 ω 决定了函数的周期 周期表示小球完成一次运动所需要的时间，频率表示1s内能完成的运动次数 注：周期表示小球完成一次运动所需要的时间，表示1s内能完成的运动次数，称为频率. 2．正弦型函数的性质 性质 描述 定义域 R 值域 周期 奇偶性 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提，在满足这一前提的条件下， （1）当时，函数是奇函数； （2）当时，函数是偶函数； 单调性 确定函数的单调区间的思想是把看作一个整体。 （1）由解出的范围，可得单调递增区间； （2）由解出的范围，可得单调递减区间； 3．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示. x － －＋ － ωx＋φ 0 π 2π y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 4．三角函数图像变换 变换类型 变换描述 变换结果 振幅变换 将函数的图像上所有点的纵坐标伸长（当A＞1时）或缩短（当0＜A＜1时）到原来的A倍（横坐标不变） 平移变换 将函数的图像上所有点向左（当φ＞0时）或向右（当φ＜0时）平行移动|φ|个单位长度 周期变换 把函数上所有点的横坐标缩短（当ω＞1时）或伸长（当0＜ω＜1时）到原来的倍（纵坐标不变） 重点：由函数的图像得到 1.（2023年内蒙古对口升学）已知一个周期的正弦型曲线如图所示，则该函数的解析式为 . 2.（2020年内蒙古对口升学）将函数y=sin(2x- )的图象 上所有的点向左平移 个单位长度，得到函数__________________ 的图象。 3.（2019年内蒙古对口升学）函数的周期为________ 4.（2018年内蒙古对口升学）函数y＝2sinx在［0，2π］上的图象与直线的交点个数为 . 5.（2017年内蒙古对口升学）将函数f(x)＝sin2x的图象向右平移个单位长度,所得图象经过点(,),则的值为 . 知识点1 正弦型函数的概念和性质 1.函数（，，为常数，＞0，＞0，）在闭区间上的图像如图所示，则为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 2.已知正弦型函数（＞0，＞0，0＜＜）在一个周期内的图像如下图所示，则为（ ） A．1 B．2 C． D． 3.函数的最小正周期是 ，当= 时，函数有最大值；当= 时，函数有最小值. 4.函数（其中＞0）的最小正周期为. (1)求的值； (2)求函数的最小值及取得最小值时相应的值. 5.函数的频率和初相分别是(　　) A．和 B．和－ C．和 D．和－ 6.函数的振幅为 ， 最小正周期为 ，初相为 . 7.函数的最小正周期是，则的值为（ ） A． B． C． D． 8.设函数(＞0) 的最小正周期为，则= . 9.一个周期内的正弦型曲线的最高点坐标为，最低点坐标为，则正弦型函数解析式为（ ） A． B． C． D． 10.已知一个周期内的正弦型曲线的最高点坐标为，最低点坐标为，写出正弦型函数的解析式. 知识点2 三角函数的图像变换 1.将函数的图像上所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），然后再把图像向右平移个单位，则所得函数图像的解析式为 ． 2.指出正弦型函数的图像经过怎样的变化可以得到函数的图像. 3.已知函数，说明此函数是由如何变换而来的. 4.要得到的图像，只需将的图像（ ） A．向右平移个单位 B．向左平移个单位 C．向上平移个单位 D．向下平移个单位 5.要得到的图像，只需将的图像（ ） A．向右平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 6.把函数的图像向左平移个单位，再把所得图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，则所得图象的函数解析式为（ ） A． B． C． D． 7.为了得到函数的图象，只需把函数的图象（       ） A．向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度 B．向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度 C．向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度 D．向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度 8.为了得到函数的图像，需对函数的图像所作的变换可以为（       ） A．先将图像上所有的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，再向左平移个单位 B．先将图像上所有的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位 C．先将图像上所有的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位 D．先将图像上所有的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，再向右平移个单位 9.若将的图象向右平移个单位，所得函数为偶函数，则的最小正值是（    ） A． B． C． D． 10.将函数的图像向左平移个单位长度后，所得图像正好关于原点对称，则的最小正值为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：内蒙古2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年对口高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含46个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是内蒙古2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》第18个专题：正弦型函数的图像与性质。本专题涵盖正弦型函数的图像、性质及变换等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 内蒙古2026年对口招生 一轮复习 《数学知识点清单》 专题18正弦型函数的图像与性质（讲义） 1．正弦型函数的相关概念 (1)定义：一般地，形如的函数，在物理，工程等学科的研究中经常遇到，这类型的函数称为正弦型函数，其中都是常数，且. 符号 描述 实际意义 A 振幅，决定了函数的值域以及函数的最大值和最小值 表示小球能偏离平衡位置的最大距离 φ 初相，决定了x=0时的函数值 在决定小球的位置中起关键性作用 ω 决定了函数的周期 周期表示小球完成一次运动所需要的时间，频率表示1s内能完成的运动次数 注：周期表示小球完成一次运动所需要的时间，表示1s内能完成的运动次数，称为频率. 2．正弦型函数的性质 性质 描述 定义域 R 值域 周期 奇偶性 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提，在满足这一前提的条件下， （1）当时，函数是奇函数； （2）当时，函数是偶函数； 单调性 确定函数的单调区间的思想是把看作一个整体。 （1）由解出的范围，可得单调递增区间； （2）由解出的范围，可得单调递减区间； 3．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示. x － －＋ － ωx＋φ 0 π 2π y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 4．三角函数图像变换 变换类型 变换描述 变换结果 振幅变换 将函数的图像上所有点的纵坐标伸长（当A＞1时）或缩短（当0＜A＜1时）到原来的A倍（横坐标不变） 平移变换 将函数的图像上所有点向左（当φ＞0时）或向右（当φ＜0时）平行移动|φ|个单位长度 周期变换 把函数上所有点的横坐标缩短（当ω＞1时）或伸长（当0＜ω＜1时）到原来的倍（纵坐标不变） 重点：由函数的图像得到 1. （2023年内蒙古对口升学）已知一个周期的正弦型曲线如图所示，则该函数的解析式为 . 答案： 解析：正弦函数中，A是振幅，即图像最高点与最低点到x轴距离的一半。 从图中可看出最高点纵坐标为2，最低点纵坐标为-2，则(。 正弦函数的周期。周期。解得又图像过点。 将综上，该函数的解析式为 2.（2020年内蒙古对口升学）将函数y=sin(2x- )的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数__________________ 的图象。 答案： 解析： 3.（2019年内蒙古对口升学）函数的周期为________ 答案： 解析：= 4.（2018年内蒙古对口升学）函数y＝2sinx在［0，2］上的图象与直线的交点个数为 . 答案：2 解析： 5.（2017年内蒙古对口升学）将函数f(x)＝sin2x的图象向右平移个单位长度,所得图象经过点(,),则的值为 . 答案： 0 解析： 知识点1 正弦型函数的概念和性质 1.函数（，，为常数，＞0，＞0，）在闭区间上的图像如图所示，则为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】由图像知=0－()==，∴=3. 故选C 2.已知正弦型函数（＞0，＞0，0＜＜）在一个周期内的图像如下图所示，则为（ ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【解析】∵=－=，∴==，∴=2，由图知振幅A=2，∴，带入最高点，得，∴正弦型函数的解析式为，=.故选D. 3.函数的最小正周期是 ，当= 时，函数有最大值；当= 时，函数有最小值. 【答案】，， 【解析】=，当，时，函数有最大值；当，时，函数有最小值. 4.函数（其中＞0）的最小正周期为. (1)求的值； (2)求函数的最小值及取得最小值时相应的值. 【答案】(1)=2 ； (2)当时， 【解析】解：(1)∵=，∴=2. (2)由(1)知=2，，当=时，取得最小值，此时解得. 5.函数的频率和初相分别是(　　) A．和 B．和－ C．和 D．和－ 【答案】D 【解析】∵==，频率==，初相=－. 6.函数的振幅为 ， 最小正周期为 ，初相为 . 【答案】4，， 【解析】根据振幅、周期、初相的概念可知振幅为4，周期==，初相为 . 7.函数的最小正周期是，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵=，∴=. 8.设函数(＞0) 的最小正周期为，则= . 【答案】 【解析】∵==，∴，=，∴ = . 9.一个周期内的正弦型曲线的最高点坐标为，最低点坐标为，则正弦型函数解析式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵==，∴==，，由最高点和最低点可知，正弦型函数解析式为，带入最高点得，∴，∴正弦型函数解析式为. 10.已知一个周期内的正弦型曲线的最高点坐标为，最低点坐标为，写出正弦型函数的解析式. 【答案】 【解析】解：设正弦型曲线的解析式为，由题可知，==， ∴==，，此时，带入最高点，可得，， ∴正弦型函数的解析式为. 知识点2 三角函数的图像变换 1.将函数的图像上所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），然后再把图像向右平移个单位，则所得函数图像的解析式为 ． 【答案】 【解析】将的图像上所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变）可得到，然后再把图像向右平移个单位可得=，故则所得函数图像的解析式为. 2.指出正弦型函数的图像经过怎样的变化可以得到函数的图像. 【答案】如解析 【解析】解：=，对这种变换有两种方法：第一种方法，先平移后伸缩：把的图像向左平移个单位得到，然后再把横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变）得到，最后把纵坐标伸长为原来的4倍（横坐标不变）即可得到；第二种方法，先伸缩后平移：把的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变）得到，然后把图像往左平移个单位得到=，最后把纵坐标伸长为原来的4倍（横坐标不变）即可得到. 3.已知函数，说明此函数是由如何变换而来的. 【答案】向左平移个单位 【解析】解：因为，根据三角函数的图象变换，将函数向左平移个单位，即可得到的图象． 4.要得到的图像，只需将的图像（ ） A．向右平移个单位 B．向左平移个单位 C．向上平移个单位 D．向下平移个单位 【答案】A 【解析】∵对于来说，根据左加右减可知，只需将的图像向右平移个单位，即可得到的图像 . 故选A． 5.要得到的图像，只需将的图像（ ） A．向右平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 【答案】B 【解析】∵=，∴要得到的图像，只需将的图像向左平移个单位. 故选B． 6.把函数的图像向左平移个单位，再把所得图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，则所得图象的函数解析式为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】把函数的图像向左平移个单位长度可得，再把所得图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，可得，故选A 7.为了得到函数的图象，只需把函数的图象（       ） A．向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度 B．向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度 C．向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度 D．向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度 【答案】C 【解析】要得到函数，需把函数的向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，故选：C. 8.为了得到函数的图像，需对函数的图像所作的变换可以为（       ） A．先将图像上所有的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，再向左平移个单位 B．先将图像上所有的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位 C．先将图像上所有的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位 D．先将图像上所有的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，再向右平移个单位 【答案】B 【解析】对于A，先将的图像上所有的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，再向左平移个单位，所得图像的解析式为，故A错误； 对于B，先将的图像上所有的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位，所得图像的解析式为，故B正确； 对于C，先将的图像上所有的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位,所得图像的解析式为，故C错误； 对于D，先将的图像上所有的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，再向右平移个单位，所得图像的解析式为，故D错误；故选：B. 9.若将的图象向右平移个单位，所得函数为偶函数，则的最小正值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数的图像向右平移个单位，所得函数为，图像是偶函数，即关于y轴对称，可得，即，当时，的最小正值是，故答案选：C. 10.将函数的图像向左平移个单位长度后，所得图像正好关于原点对称，则的最小正值为 ． 【答案】 【解析】的图像向左平移个单位长度可得，要使图像正好关于原点对称，则=，=，当时有最小正值 .故答案为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$