第三章 函数（A卷·考点梳理卷）-《同步单元AB卷》（《数学 基础模块上册》高教版2023修订版）（原卷版+解析版）

编写说明：本套【黑龙江专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 基础模块（上册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖黑龙江春季高考真题核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第三章函数的考点梳理卷，主要梳理和考查了函数的基本概念、函数的定义域和值域、函数单调性和奇偶性、函数解析式解法、函数实际应用等常见考点。 第三章 函数 目录 考点一 根据函数的概念判断函数 1 考点二 分段函数求值 2 考点三 求函数定义域、值域 3 考点四 函数的表示方法 4 考点五 判断函数单调性的方法 5 考点六 求函数奇偶性 6 考点七 函数单调性、奇偶性综合题 7 考点九 用待定系数法求函数解析式 9 考点十 函数的实际应用 10 考点十一 分段函数的应用题及图像 11 考点一 根据函数的概念判断函数 1．判断y=+是函数吗？ 【答案】y=+不是函数 【分析】本题主要考查函数的概念，两个变量x和y,对于x的每个值，y都有唯一的值与之对应，称y为x的函数。 【详解】依据题意，⇒⇒x不存在，所以不符合函数定义，y=+不是函数。 2. 判断下列哪组函数是同一函数 ( ) A. y=与y=()2 B. y=与y=x C. y=loga与y=x D. y=x2与y=(x-1)2 【答案】C 【分析】本题主要考查函数概念、判断函数为同一函数，需要定义域、值域、对应法则均相同。 【详解】对于A选项，y=的定义域为R，y=()2的定义域为{x|x≥0},它们定义域不同，故不是同一函数，A选项错误； 对于B选项，y=的定义域为R，值域为{y|y≥0}；y=x的定义域为R，值域为R，它们的值域不同，故不是同一函数，B选项错误； 对于C选项，y=loga与y=x的定义域均为R，值域均为R，对应法则相同，故是同一函数，C选项正确； 对于D选项，y=x2与y=(x-1)2的定义域均为R，值域均为{y|y≥0},对应法则不同，故不是同一函数，D选项错误。 故选：C． 考点二 分段函数求值 3. 设f(x)=,求f(2),f(-4),f(a2+1),f[f(-1)]的值. 【答案】f(2)=7,f(-4)=-15,f(a2+1)=2a2+5,f[f(-1)]=0 【分析】本题主要考查分段函数求值，求分段函数的函数值f(x0)时，首先要判断x0所属的取值范围，然后再将x0代入相应的解析式中进行计算。 【详解】因为2>0,所以f(2)=2×2+3=7; 因为-4<0,所以f(-4)=-(-4)2+1=-16+1=-15; 因为a2+1>0,所以f(a2+1)=2(a2+1)+3=2a2+5; 因为-1<0,所以f[-(-1)2+1]=f(0),因为0=0，所以代入分段函数，f(0)=0，即f[f(-1)]=0。 4. 设函数f(x)定义如下：f(x)=,求f(-1)+f(1)+f(3)的值（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【分析】本题主要考查分段函数求值的问题，首先要判断x值属于哪个解析式，再代入求解。 【详解】因为-1<0，所以代入，f(-1)=(-1)2+1=2； 因为1>0，所以代入2x-3，f(1)=2×1-3=-1； 因为3>2，所以代入，f(3)===1； 所以，f(-1)+f(1)+f(3)=2-1+1=2。 故选：A． 考点三 求函数定义域、值域 5. 求函数f(x)=的定义域。 【答案】(-∞,-1]∪[3,+∞) 【分析】本题主要考查函数的定义域。 【详解】根据题意，≥0，因式分解(x-3)(x+1)≥0,解得x≤-1或x≥3，即x∈(-∞,-1]∪[3,+∞). 6.  求函数y=|2x-1|+|x+1|的值域. 【答案】[ ，+∞) 【分析】本题主要考查函数的值域，即函数值的集合。 【详解】y=|2x-1|+|x+1|= ，函数图像如图所示， 由图像可知，当x=时，y有最小值，没有最大值，所以函数的值域为[ ，+∞)。 考点四 函数的表示方法 7. 已知函数 f(x)=2x2−3x+1，则 f(−1)的值是（ ）。 A. 6 B. 4 C. 2 D. 0 【答案】A 【分析】本题主要考查函数的表示法，解析法，代入求值。 【详解】将 x=−1代入解析式： f(−1)=2×(−1)2−3×(−1)+1=2×1+3+1=2+3+1=6，故选项A正确。 故选：A． 8. 已知函数y=f(x)的图像如图所示，则该函数定义域为 . 【答案】[-3, +∞) 【分析】本题主要考查函数的表示法，图像法，根据图像信息判断定义域。 【详解】由图可知，x>-3为该函数的定义域，因此该函数定义域为[-3, +∞)。 考点五 判断函数单调性的方法 9. 判断y=2x-3在R上是 函数. 【答案】增 【分析】本题主要考查判断函数单调性的方法，对于R上的任意两点x1和x2,当x1<x2时，比较f(x1)和f(x2)的大小，当f(x1)<f(x2)时，y=f(x)则在R上为增函数，当f(x1)>f(x2)时，y=f(x)则在R上为减函数。 【详解】设x1和x2为y=f(x)则在R上的任意两点，且x1<x2，则f(x1)-f(x2)=2x1-3-2x2+3=2(x1-x2)<0,所以f(x1)<f(x2)，即y=f(x)则在R上为增函数。 10.证明f(x)=在(1,+∞)上为减函数. 【答案】无 【分析】本题主要考查利用定义证明函数单调性。 【详解】证明：任取x1，x2∈(1,+∞)，且1<x1<x2，则 f(x1)-f(x2)==,因为1<x1<x2，所以x2-x1>0,x1-1>0,x2-1>0,所以>0,即f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),故f(x)=在(1,+∞)上为减函数。 11. 已知函数f(x)在区间[0,+∞)上是增函数，则f(2),f(π),f(3)的大小关系（ ）. A. f(π)>f(2)>f(3) B. f(3)>f(π)>f(2) C. f(2)>f(3)>f(π)​ D. f(π)>f(3)>f(2) 【答案】D 【分析】本题主要考查利用函数单调性，判断函数值大小。 【详解】因为函数f(x)在区间[0,+∞)上是增函数，且2<3<π,所以f(2)<f(3)<f(π)，即f(π)>f(3)>f(2),故选项D正确。 故选D. 考点六 求函数奇偶性 12.下列函数中，为偶函数的是（ ） A. y=lg B. y=-|x| C. y=​ D. y= 【答案】B 【分析】本题主要考查函数奇偶性判断，根据奇偶性判断方法来解题，判断方法有定义法、定义域是否关于原点对称，函数图像对称性，函数解析式等。 【详解】对于选项A，函数y=lg 定义域为[0,+∞),定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数，故选项A错误；对于选项B，函数y=-|x|的图像关于y轴对称，是偶函数，故选项B正确；对于选项C，函数y=，定义域为(-∞，0)∪(0,+∞)，关于原点对称，f(-x)=-=-f(x)根据定义为奇函数，故选项C错误；对于选项D，函数y=定义域为[0,+∞),定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数，故选项D错误。 故选B. 13. 判断函数f(x)=x2(x∈[-1,2])的奇偶性. 【答案】非奇非偶函数 【分析】本题主要考查函数奇偶性的判断，根据定义域是否关于原点对称来判断。 【详解】因为函数f(x)=x2 的定义域[-1,2]关于原点不对称，所以该函数为非奇非偶函数。 14. 已知函数f(x)=(4-m)x2-mx+n是奇函数，求f(-2)的值. 【答案】8 【分析】本题主要考查利用函数奇偶性，求函数值，根据二次函数的解析式，二次项和常数项均为0，原函数为奇函数。 【详解】因为f(x)=(4-m)x2-mx+n是奇函数，所以,解得,即f(x)=-4x,所以f(-2)=-4×(-2)=8. 考点七 函数单调性、奇偶性综合题 15. 若f(x)在(-∞,+∞)内是偶函数，且在(-∞,0)内是减函数，则下列各式成立的是（ ） A. f(2)>f(5) B. f(-1)>f(-2) C. f(1)<f(-3)​ D. f(-5)<f(4) 【答案】C 【分析】本题主要考查函数单调性和奇偶性的综合应用，首先利用奇偶性，找到同一定义域内的f(x)值，再利用单调性判断函数值大小。 【详解】对于选项A，函数f(x)在R上为偶函数，那么f(2)=f(-2)，f(5)=f(-5)，又因为f(x)在(-∞,0)内是减函数，-2>-5,所以f(-2)<f(-5),即f(2)<f(5)，故选项A错误； 对于选项B，函数f(x)在(-∞,0)内是减函数，-1>-2，所以f(-1)<f(-2)，故选项B错误； 对于选项C，函数f(x)在R上为偶函数，那么f(1)=f(-1)，又因为f(x)在(-∞,0)内是减函数，-1>-3,所以f(-1)<f(-3),即f(1)<f(-3)，故选项C正确； 对于选项D，函数f(x)在R上为偶函数，那么f(4)=f(-4)，又因为f(x)在(-∞,0)内是减函数，-5<-4,所以f(-5)>f(-4),即f(-5)>f(4)，故选项D错误。 故选C. 16.已知f(x)是奇函数且在R上是增函数，解不等式f(1+x)+f(3x+2)>0. 【答案】{x|x>} 【分析】本题主要考查函数单调性和奇偶性综合应用，解不等式。 【详解】由f(1+x)+f(3x+2)>0⇒f(1+x)>-f(3x+2)，因为f(x)是奇函数，所以-f(3x+2)=f(-3x-2)，即f(1+x)>f(-3x-2)，又因为f(x)是在R上是增函数，所以1+x>-3x-2，解得x>，故不等式f(1+x)+f(3x+2)>0的解集为{x|x>}。 考点八 一次函数、二次函数图像和性质 17.函数y=2x-4(0≤x≤7)的图像是（ ） A. 直线 B. 射线 C.  线段​ D. 以上都不对 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数图像。 【详解】函数y=2x-4(0≤x≤7)的图像如图所示： 值域为[-4,10]，所以图像为线段。 故选C. 18.若一次函数y=ax+b的图像经过二、三、四象限，则二次函数y=ax2+bx的图像只可能是（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数图像。 【详解】因为一次函数y=ax+b的图像经过二、三、四象限，所以a<0,b<0,如图所示， ，那么二次函数y=ax2+bx，a<0，开口向下，A选项和B选项错误，b<0，<0,所以对称轴位于X轴左侧，故C选项正确。 故选：C． 考点九 用待定系数法求函数解析式 19.已知一次函数f(x)在区间[-1,2]上的最大值为5，最小值为-1，求这个一次函数. 【答案】f(x)=2x+1或f(x)=-2x+3 【分析】本题主要考查用待定系数法求一次函数解析式。对于一次函数y=kx+b，当k>0时，y随着x的增大而增大；当k<0时，y随着x的增大而减少，根据这个性质，再运用“待定系数法”即可求解。 【详解】设一次函数f(x)=kx+b 当k>0时，由题意得，解得,所以f(x)=2x+1； 当k<0时，由题意得，解得,所以f(x)=-2x+3. 所以所求一次函数为f(x)=2x+1或f(x)=-2x+3. 20.若二次函数的图像经过A(1,1),B(2,2),C(4,-2)三点，求这个二次函数解析式. 【答案】y=-x2+4x-2 【分析】本题主要考查用待定系数法，求二次函数解析式，先设二次函数解析式，再根据条件确定待定系数值。 【详解】设二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),将A，B，C三点坐标分别代入，得方程组 ,解得，所以y=-x2+4x-2. 考点十 函数的实际应用 21. 用19m的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，其中，CD表示窗框的宽，|EF|=0.5m.(铝合金条的宽度忽略不计) （1） 列出窗框的透光面积S(m2)与窗框的宽x(m)之间的函数关系式； （2） 如何设计才能使窗框的透光面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）S=-x2+x(0<x<6)；（2）当窗框的宽为 m时，透光面积最大，最大面积为 m2. 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，解题步骤，首先选取合适变量，建立变量之间的函数关系，从而将实际问题转化为函数模型问题，其次研究函数问题，得到答案，最后将函数问题的答案解释成实际问题的答案。 【详解】（1）由题意可列函数关系式S=x(+0.5)=-x2+x(0<x<6) （2）由（1）可知，当x=-=时，ymax=×(-)=. 因此，当窗框的宽为 m时，透光面积最大，最大面积为 m2. 22.一间宾馆有70间客房，每间客房的房费为120元/天，该宾馆在旺季每天都客满，现商家想在合理范围内涨价，若每间客房涨30元/天，则每天会空5间客房，这种情况下，商家该如何定价，能使其每天的收益最大. 【答案】商家将客房的租金定为270（元）时，能使客房每天的收益最大。 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，求出解析式后，取二次函数的最值即可。 【详解】解：设每间客房的租金提高x元/天，每天客房的租金总收入为y元. 根据题意可列函数解析式 y=(120+x)(70-)=-x2+50x+8400=-(x-150)2+12150(0≤x<420,且x=30n,n∈N), 故当x=150,ymax=12150.因此，商家将客房的租金定为120+150=270（元）时，能使客房每天的收益最大。 考点十一 分段函数的应用题及图像 23.某市出租车收费标准如下：起步价，3公里内10元；超过3公里后，每公里2元；夜间（23:00-5:00）加收20%服务费。乘客小张在夜间乘坐出租车行驶了x公里（x≥0），车费f(x)的函数图像是以下哪一项？ A. B. C.  D. 【答案】B 【分析】本题主要考查分段函数实际应用及图像。 【详解】夜间费用需加收20%，因此：起步价：10×1.2=12元（对应图像起点(0,12)）； 超过3公里后，每公里费用：2×1.2=2.4（斜率2.4）。图像应为从(0,12)水平到(3,12)，之后斜率为2.4的直线。故选项B正确。 故选B. 24.函数f(x)的定义如下：f(x)= ,其图像为（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【分析】本题主要考查分段函数图像的绘制，注意开闭区间的取值及二次函数开口方向和顶点位置。 【详解】由题意函数f(x)=，第一段、第三段分别为斜率为1的射线，注意取值，第一段取值范围为x≤0,所以最大值为1，第三段取值范围为x>2，所以最小值为-1，但是取不到；第二段为二次函数，a<0,则开口向下，顶点为（0,1），取值范围为(0,2],最小值为-3。综上，该分段函数图像为选项D所示。 故选D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：本套【黑龙江专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 基础模块（上册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖黑龙江春季高考真题核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第三章函数的考点梳理卷，主要梳理和考查了函数的基本概念、函数的定义域和值域、函数单调性和奇偶性、函数解析式解法、函数实际应用等常见考点。 第三章 函数 目录 考点一 根据函数的概念判断函数 1 考点二 分段函数求值 2 考点三 求函数定义域、值域 2 考点四 函数的表示方法 2 考点五 判断函数单调性的方法 3 考点六 求函数奇偶性 3 考点七 函数单调性、奇偶性综合题 4 考点八 一次函数、二次函数图像和性质 4 考点九 用待定系数法求函数解析式 5 考点十 函数的实际应用 5 考点十一 分段函数的应用题及图像 6 考点一 根据函数的概念判断函数 1．判断y=+是函数吗？ 2. 判断下列哪组函数是同一函数 ( ) A. y=与y=()2 B. y=与y=x C. y=loga与y=x D. y=x2与y=(x-1)2 考点二 分段函数求值 3. 设f(x)=,求f(2),f(-4),f(a2+1),f[f(-1)]的值. 4. 设函数f(x)定义如下：f(x)=,求f(-1)+f(1)+f(3)的值（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 考点三 求函数定义域、值域 5. 求函数f(x)=的定义域。 6. 求函数y=|2x-1|+|x+1|的值域. 考点四 函数的表示方法 7. 已知函数 f(x)=2x2−3x+1，则 f(−1)的值是（ ）。 A. 6 B. 4 C. 2 D. 0 8. 已知函数y=f(x)的图像如图所示，则该函数定义域为 . 考点五 判断函数单调性的方法 9. 判断y=2x-3在R上是 函数. 10. 证明f(x)=在(1,+∞)上为减函数. 11. 已知函数f(x)在区间[0,+∞)上是增函数，则f(2),f(π),f(3)的大小关系（ ）. A. f(π)>f(2)>f(3) B. f(3)>f(π)>f(2) C. f(2)>f(3)>f(π)​ D. f(π)>f(3)>f(2) 考点六 求函数奇偶性 12. 下列函数中，为偶函数的是（ ） A. y=lg B. y=-|x| C. y=​ D. y= 13.判断函数f(x)=x2(x∈[-1,2])的奇偶性. 14. 已知函数f(x)=(4-m)x2-mx+n是奇函数，求f(-2)的值. 考点七 函数单调性、奇偶性综合题 15.若f(x)在(-∞,+∞)内是偶函数，且在(-∞,0)内是减函数，则下列各式成立的是（ ） A. f(2)>f(5) B. f(-1)>f(-2) C. f(1)<f(-3)​ D. f(-5)<f(4) 16.已知f(x)是奇函数且在R上是增函数，解不等式f(1+x)+f(3x+2)>0. 考点八 一次函数、二次函数图像和性质 17.函数y=2x-4(0≤x≤7)的图像是（ ） A. 直线 B. 射线 C.  线段​ D. 以上都不对 18. .若一次函数y=ax+b的图像经过二、三、四象限，则二次函数y=ax2+bx的图像只可能是（ ）. A. B. C. D. 考点九 用待定系数法求函数解析式 19. 已知一次函数f(x)在区间[-1,2]上的最大值为5，最小值为-1，求这个一次函数. 20. 若二次函数的图像经过A(1,1),B(2,2),C(4,-2)三点，求这个二次函数解析式. 考点十 函数的实际应用 21. 用19m的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，其中，CD表示窗框的宽，|EF|=0.5m.(铝合金条的宽度忽略不计) （1） 列出窗框的透光面积S(m2)与窗框的宽x(m)之间的函数关系式； （2） 如何设计才能使窗框的透光面积最大？最大面积是多少？ 22.一间宾馆有70间客房，每间客房的房费为120元/天，该宾馆在旺季每天都客满，现商家想在合理范围内涨价，若每间客房涨30元/天，则每天会空5间客房，这种情况下，商家该如何定价，能使其每天的收益最大. 考点十一 分段函数的应用题及图像 23.某市出租车收费标准如下：起步价，3公里内10元；超过3公里后，每公里2元；夜间（23:00-5:00）加收20%服务费。乘客小张在夜间乘坐出租车行驶了x公里（x≥0），车费f(x)的函数图像是以下哪一项？ A. B. C.  D. 24.函数f(x)的定义如下：f(x)= ,其图像为（ ） A. B. C. D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$