1.2 一元二次方程的解法 同步练习 2025-2026学年苏科版九年级数学上册

1.2 一元二次方程的解法 同步练习 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1.关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可能是(    ) A. B. C. D. 2.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为(    ) A. B. C. D. 3.关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是(    ) A. B. C. ， D. ， 4.用配方法解一元二次方程配方后得到的方程是(    ) A. B. C. D. 5.方程的根是(    ) A. B. C. ， D. ， 6.若关于的一元二次方程可以用直接开平方法解，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 7.下列关于的一元二次方程中，没有实数根的是(    ) A. B. C. D. 8.若，则的值为  (    ) A. 或 B. 或 C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9.已知关于的方程为常数有两个实数根，则取值范围为          ． 10.若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是          ． 11.定义新运算：，若，则的值为______． 12.用配方法解方程，方程可化为，则______． 13.已知直角三角形的其中两条边长是方程的根，则该三角形的第三条边长为______． 14.如图，已知，，是数轴上异于原点的三个点，且点为的中点，点为的中点．若点表示的数是，点表示的数是，则          ． 15.如果关于的方程为常数，的解是，，那么方程的解是          ． 16.对于两个不相等的实数，，我们规定符号表示，中的较大值，如：按照这个规定，方程的解为          ． 三、计算题：本大题共2小题，共12分。 17.解方程： ； ． 18.解下列方程： ； ． 四、解答题：本题共5小题，共40分。 19.本小题分 解方程： ； ； ； ． 20.本小题分 已知一元二次方程． 若方程的一个根为，求的值． 当时，求证：方程有两个实数根． 21.本小题分 已知关于的方程． 若该方程的一个根为，求的值； 求证：不论取何实数，该方程总有实数根． 22.本小题分 小北同学解一元二次方程的过程如下图所示： 解方程：解：第步第步或第步，第步 小北同学选用了          填“因式分解法”、“配方法”或“公式法”解该一元二次方程，他的解法从第          步开始出现错误． 请你选用合适的方法完成该一元二次方程的解答． 23.本小题分 下面是爱思考的小颖同学在学习了一元二次方程的解法之后，又探索发现了一元二次方程的另一种解法请认真阅读小颖同学的解法，并完成下面的相关任务． 【阅读材料】 解方程：． 小颖同学的解法：将原方程变形，得， 再变形，得， 所以，， 所以，， 所以，， 直接开平方并整理，得． 所以，原方程的解为． 【用以致学】 请运用小颖同学的解法解下列方程： ； ． 【总结感悟】 若在用小颖的方法解关于的方程是常数时，可将其变形为也是常数，则______，______用含，的式子表示， 答案和解析 1.【答案】  【解析】本题主要考查一元二次方程根的判别式与根的情况的关系，掌握一元二次方程有两个不等的实数解，则，是解题的关键．先化为一般形式，再根据判别式，求出的范围，进而即可得到答案． 【详解】解：，即 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得：， 的值可能是：． 故选：． 2.【答案】  【解析】解：根据题意得， 解得：． 故选：． 利用判别式的意义得到，然后解不等式即可． 本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 3.【答案】  【解析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式的应用，掌握一元二次方程根的判别式与根的关系成为解题的关键． 由于关于的一元二次方程有实数根，由此可以得到，并且方程的判别式，由此即可求出的取值范围． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， 且， 且． 故选C． 4.【答案】  【解析】方程两边同时加上一次项系数一半的平方计算即可． 【详解】解：， ， ， 故选D． 5.【答案】  【解析】解：， ， 则， 或， 解得，， 故选：． 利用因式分解法求解即可． 本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 6.【答案】  【解析】解：由得到：， 所以． 关于的一元二次方程可以用直接开平方法解， ， ． 故选：． 根据直接开平方法可得关于的不等式，进而求解可得． 此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，理解平方的非负性是解题关键． 7.【答案】  【解析】解：，，， ， 该方程有两个不相等的实数根，不符合题意； B.，，， ， 该方程没有实数根，符合题意； C.，，， ， 该方程有两个不相等的实数根，不符合题意； D.，，， ， 该方程有两个不相等的实数根，不符合题意． 故选：． 求出各选项中方程的根的判别式的值，取的选项即可． 本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根”是解题的关键． 8.【答案】  【解析】设，则原方程可化为，即，，解得，是非负数，故选D． 9.【答案】且  【解析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键． 利用一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义列出不等式，即可求解． 【详解】解：关于的方程为常数有两个实数根， 且， 解得：且 故答案为：且 10.【答案】  【解析】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ， 解得， 故答案为：． 根据方程有两个相等的实数根得出，据此列出关于的方程，解之即可． 本题主要考查根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系： 当时，方程有两个不相等的实数根； 当时，方程有两个相等的实数根； 当时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立． 11.【答案】或  【解析】解：由题意得， 整理得：， ， 方程有两个不相等的实数根， ， 即的值为或， 故答案为：或． 根据定义的新运算列得方程为，将其整理后利用公式法解方程即可． 本题考查解一元二次方程，理解题意并列得正确的方程是解题的关键． 12.【答案】  【解析】解：， ， 则，即， ， 故答案为：． 一次项移到方程的左边，两边都加上配成完全平方式，继而可得答案． 本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 13.【答案】或或或  【解析】解：分解因式得：， 所以或， 解得：或， 当两直角边为时，根据勾股定理得：第三边为； 当两直角边为时，根据勾股定理得：第三边为； 当是直角边时，根据勾股定理得：第三条边长为； 当是斜边时，根据勾股定理得：第三条边长为． 故答案为：或或或． 利用因式分解法求出已知方程的解，确定出所求即可． 此题考查了解一元二次方程因式分解法，以及勾股定理，熟练掌握方程的解法是解本题的关键． 14.【答案】  【解析】  是原点，且是的中点，，点表示的数是，点表示的数是是的中点，，，解得，异于原点，，． 15.【答案】，  【解析】关于的方程的解是，均为常数，， 方程变形为，即此方程中或，解得或． 16.【答案】，  【解析】分为两种情况： 当，即时，，解得，舍去； 当，即时，，解得，舍去． 综上所述，方程的解为，． 17.【答案】【小题】 解：， 这里，，， ， ， ，． 【小题】 ， ， ， ，．   【解析】  用公式法求解比较简便；   利用因式分解法求解比较简便 18.【答案】解：， ， 或， 解得：，； ， ， ， 解得：，．  【解析】本题主要考查的是因式分解法解一元二次方程，运用公式法解一元二次方程的有关知识． 运用因式分解法解一元二次方程即可； 运用公式法解一元二次方程即可． 19.【答案】，；   ，；   ，；   ，．  【解析】， ， 或， ，； ， ， 或， ，； ， ， ， ，； ， ， ， 或， ，． 利用解一元二次方程直接开平方法进行计算，即可解答； 利用解一元二次方程因式分解法进行计算，即可解答； 利用解一元二次方程公式法进行计算，即可解答； 利用解一元二次方程因式分解法进行计算，即可解答． 本题考查了解一元二次方程因式分解法，直接开平方法，公式法，准确熟练地进行计算是解题的关键． 20.【答案】【小题】 把代入，得， ， ． 【小题】 证明： ， ， 方程有两个实数根．   【解析】  本题主要考查一元二次方程根的定义及根的判别式，由方程根的情况得到判别式的符号是解题的关键． 把代入方程可得，然后代入求解即可；   首先由得到，然后由判别式即可证明． 21.【答案】；   见解答．  【解析】解：把代入方程得， 解得， 即的值为； 证明： ， 不论取何实数，该方程总有实数根． 把代入一元二次方程得到，然后解关于的一次方程即可； 先计算根的判别式的值得到，则，然后根据根的判别式的意义得到结论． 本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 22.【答案】【小题】 配方法 【小题】 解： ，．   【解析】  本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 结合题干过程，得出运用配方法解该一元二次方程，且从第步开始出现错误； 解：观察题干过程，得出小北同学选用了配方法解该一元二次方程， 则他的解法从第步开始出现错误，第的正确的过程为 故答案为：配方法，；   运用因式分解法进行解方程，即可作答． 23.【答案】，；   ，；  ，．  【解析】将原方程变形，得， ， ， ， 直接开平方并整理，得，， 原方程的解为，； 将原方程变形，得， ， ， ， 直接开平方并整理，得，， 原方程的解为，； 可将其变形为， ， ， 故答案为：，． 根据阅读材料的方法解方程即可； 根据阅读材料的方法解方程即可； 由变形列出关于，的方程组，即可用含，的式子表示，． 本题考查解一元二次方程，解题的关键是读懂题意，掌握用直接开平方法解一元二次方程． 第6页，共13页 学科网（北京）股份有限公司 $$