第1章 二次函数 综合能力提升卷2025—2026学年浙教版数学九年级上册

第 1页，共 7页 第 1 章 二次函数 综合能力提升卷 一、选择题：本题共 10 小题，每题 3 分，共 30 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如果函数� = (� − 2)��2−2�+2 + �� + 1 是关于�的二次函数，那么�的值是 ( ) A. 1 或 2 B. 0 或 2 C. 2 D. 0 2.在同一坐标系中画出�1 = 2�2，�2 =− 2�2，�3 = 1 2 � 2的图象，正确的是 ( ) A. B. C. D. 3.已知 −3, �1 ， −2, �2 ， 1, �3 是抛物线� =− 3�2 − 12� + �上的点，则( ) A. �3 < �2 < �1 B. �3 < �1 < �2 C. �2 < �3 < �1 D. �1 < �3 < �2 4.已知抛物线� = �2 − �� + �与�轴交于点�(1,0)，�( − 3,0)，则关于�的方程�2 − �� + � = 0 的解是 ( ) A. �1 =− 1，�2 =− 3 B. �1 =− 1，�2 = 3 C. �1 = 1，�2 =− 3 D. �1 = 1，�2 = 3 5.将一根长为 50 ��的铁丝弯成一个长方形(铁丝全部用完且无损耗)，如图所示，设这个长方形的一边长为 �(��)，它的面积为�(��2)，则�与�之间的函数关系式为 ( ) A. � =− �2 + 50� B. � = �2 − 50� C. � =− �2 + 25� D. � =− 2�2 + 25 6.已知二次函数� = ��2 + �� + � � ≠ 0 的图象如图所示，对称轴为直线� = 1，则下列结论正确的是( ) A. ��� < 0 B. 4�� − � 2 > 0 C. 9� + 3� + � < 0 D. 2� − � = 0 7.已知二次函数� = (� + �− 3)(� − �) + 3，点�(�1, �1)，�(�2, �2)(�1 < �2)是其图象上两点，下列说法中 正确的是( ) 第 2页，共 7页 A.若�1 + �2 > 3，则�1 > �2 B.若�1 + �2 < 3，则�1 > �2 C.若�1 + �2 >− 3，则�1 > �2 D.若�1 + �2 <− 3，则�1 < �2 8.某水利工程公司开挖的沟渠，蓄水之后截面呈抛物线形，在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据 (单位：�).某学习小组探究之后得出如下结论，其中正确的为( ) A. �� = 24� B.池底所在抛物线的解析式为� = 125 � 2 − 5 C.池塘最深处到水面��的距离为 3.2� D.若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最深处到水面的距离减少为原来的13 9.如图，正方形����和正方形����的对角线��，��都在直线�上，将正方形����沿着直线�从点�与点� 重合开始向右平移，直到点�与点�重合为止，设点�平移的距离为�，�� = 2，�� = 2 2，两个正方形 重合部分的面积为�，则�关于�的函数图象大致为( ) A. B. C. D. 10.定义：对于已知的两个函数，任取自变量�的一个值，当� ≥ 0 时，它们对应的函数值相等；当� < 0 时， 它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：正比例函数� = �，它的相关 函数为� = �(� ≥ 0) −�(� < 0) .已知点�，�的坐标分别为( − 1 2 , 1)，( 9 2 , 1)，连接��，若线段��与二次函数� =− �2 + 4� + �的相关函数的图象有两个公共点，则�的取值范围为( ) A. −3 ≤ � ≤− 1 或 1 < � ≤ 54 B. −3 < � <− 1 或 1 < � ≤ 5 4 C. −3 < � ≤− 1 或 1 < � ≤ 54 D. −3 ≤ � ≤− 1 或 1 ≤ � ≤ 5 4 二、填空题：本题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分。 11.将抛物线� = 2(� − 1)2 + 3 绕它的顶点旋转180∘后得到的抛物线的函数表达式为 ． 12.若二次函数� = �2 − 2� + �的图象与�轴有两个交点，则�的取值范围是 ． 第 3页，共 7页 13.已知二次函数� =− �2 + 2� + �的部分图象如图所示，则关于�的一元二次方程�2 − 2� − � = 0 的解 为 ． 14.行驶中的汽车，在刹车后由于惯性作用，还要向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”. 某种型号汽车的刹车距离�(�)与车速�(��/ℎ)满足关系式� = 0.002�2 + 0.001�，当汽车的速度是 ��/ ℎ时，它的刹车距离是 3.16 �． 15.如图，在平面直角坐标系中有�(1,2)，�(3,3)两点，如果抛物线� = ��2(� > 0)与线段��没有公共点， 则�的取值范围是 ． 16.二次函数� = �2 − 4� + 3，当 0 ≤ � ≤ 5 时，�的取值范围为________． 17.如图，在▵���中，∠� = 90∘，�� = 10��，�� = 8��，点�从点�沿��向点�以 1��/�的速度运动， 同时点�从点�沿��向点�以 2��/�的速度�运动到点�停止，在运动过程中，四边形����的面积最小值为 _______��2． 18.如图，已知抛物线� = �2 − 2�，等边△ ���的边长为 2 3，顶点�在抛物线上滑动，且��边始终平行于 �轴，当△ ���在滑动过程中，点�落在坐标轴上时，�点坐标是______． 三、解答题：本题共 8 小题，共 66 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.(本小题 8 分) 已知二次函数� = ��2 + �� + �(� ≠ 0)，当� = 0 时，函数值为 5;当� =− 1 或−5 时，函数值都为 0，求这 个二次函数的表达式． 第 4页，共 7页 20.(本小题 8 分)二次函数� = ��2 + �� + � � ≠ 0 的图象如下，根据图象解答下列问题． (1)写出方程��2 + �� + � = 0 的两个根． (2)分别写出不等式��2 + �� + � > 0 的解和��2 + �� + � < 0 的解． (3)写出�随�的增大而减小时，自变量�的取值范围． (4)写出方程��2 + �� + � = 2 的解． 21.(本小题 8 分)已知抛物线� =− 12 � 2 + �� + �经过点(1,0)，(0, 32 ). (1)求抛物线的函数表达式． (2)将抛物线� =− 12 � 2 + �� + �平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的抛物线的 函数表达式． 22.(本小题 8 分)已知抛物线� =− �2 + ��(�为常数)的顶点横坐标比抛物线� =− �2 + 2�的顶点横坐标大 1． (1)求�的值． (2)点�(�1, �1)在抛物线� =− �2 + 2�上，点�(�1 + �, �1 + ℎ)在抛物线� =− �2 + ��上．  ①若ℎ = 3�，且�1 ≥ 0，� > 0，求ℎ的值．  ②若�1 = � − 1，求ℎ的最大值． 第 5页，共 7页 23.(本小题 8 分)已知二次函数� =− �2 + �� + �． (1)当� = 4，� = 3 时，  ①求该函数的图象顶点坐标．  ②当−1 ≤ � ≤ 3 时，求�的取值范围． (2)当� ≤ 0 时，�的最大值为 2;当� > 0 时，�的最大值为 3，求二次函数的表达式． 24.(本小题 8 分)某班数学兴趣小组对函数� = �2 − 2|�| − 3 的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请 补充完整． (1)自变量�的取值范围是全体实数，�与�的几组对应值如下： �…−3 − 5 2 −2−1 0 1 2 5 2 3… �… 0 − 7 4 � −4−3−4−3 − 7 4 0… 其中，� = ． (2)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了 函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分． (3)观察函数图象，写出该函数的两条性质： ． (4)进一步探究函数图象发现： ①函数图象与�轴有 个交点，所以对应的方程�2 − 2|�| − 3 = 0 有 个实数根； ②函数图象与直线� =− 3 有 个交点，所以对应的方程�2 − 2|�| − 3 =− 3 有 个实数根； ③若关于�的方程�2 − 2|�| − 3 = �有 4 个实数根，则�的取值范围是 ； ④不等式�2 − 2|�| > 3 的解是 ． 第 6页，共 7页 25.(本小题 8 分) 2022 年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意 图，取某一位置的水平线为�轴，过跳台终点�作水平线的垂线为�轴，建立平面直角坐标系．图中的抛物线 �1: � =− 1 12 � 2 + 76 � + 1 近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点�正上方 4 米处的�点滑出，滑出 后沿一段抛物线�2: � =− 1 8 � 2 + �� + �运动． (1)当运动员运动到离�处的水平距离为 4 米时，离水平线的高度为 8 米，求抛物线�2的函数解析式(不要求 写出自变量�的取值范围)； (2)在(1)的条件下，当运动员运动水平线的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为 1 米？ (3)当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过 3 米时，求�的取值范围． 第 7页，共 7页 26.(本小题 8 分) 如图 1，已知在平面直角坐标系���中，抛物线� =− �2 − 2� + �(� > 0)的图象与�轴交于�，�两点，与� 轴交于点�.抛物线的顶点为�，若点�的坐标是(1,0)，点�是该抛物线在第二象限图象上的一个动点． (1)求该抛物线的解析式和顶点�的坐标； (2)设点�的横坐标是�，问当�取何值时，四边形����的面积最大； (3)如图 2，若直线��的解析式是� =− 3�，点�和点�分别在抛物线上和直线��上，问：是否存在以点�， �，�，�为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出符合题意的点�的坐标；若不存在，请说明理由． 第1章 二次函数 综合能力提升卷 一、选择题：本题共10小题，每题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如果函数是关于的二次函数，那么的值是  (    ) A. 或 B. 或 C. D. 2.在同一坐标系中画出，，的图象，正确的是  (    ) A. B. C. D. 3.已知，，是抛物线上的点，则(    ) A. B. C. D. 4.已知抛物线与轴交于点，，则关于的方程的解是  (    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 5.将一根长为的铁丝弯成一个长方形铁丝全部用完且无损耗，如图所示，设这个长方形的一边长为，它的面积为，则与之间的函数关系式为  (    ) A. B. C. D. 6.已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论正确的是(    ) A. B. C. D. 7.已知二次函数，点，是其图象上两点，下列说法中正确的是(    ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 8.某水利工程公司开挖的沟渠，蓄水之后截面呈抛物线形，在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据单位：某学习小组探究之后得出如下结论，其中正确的为(    ) A. B. 池底所在抛物线的解析式为 C. 池塘最深处到水面的距离为 D. 若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最深处到水面的距离减少为原来的 9.如图，正方形和正方形的对角线，都在直线上，将正方形沿着直线从点与点重合开始向右平移，直到点与点重合为止，设点平移的距离为，，，两个正方形重合部分的面积为，则关于的函数图象大致为(    ) A. B. C. D. 10.定义：对于已知的两个函数，任取自变量的一个值，当时，它们对应的函数值相等；当时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：正比例函数，它的相关函数为已知点，的坐标分别为，，连接，若线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点，则的取值范围为(    ) A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11.将抛物线绕它的顶点旋转后得到的抛物线的函数表达式为          ． 12.若二次函数的图象与轴有两个交点，则的取值范围是          ． 13.已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为          ． 14.行驶中的汽车，在刹车后由于惯性作用，还要向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”某种型号汽车的刹车距离与车速满足关系式，当汽车的速度是          时，它的刹车距离是． 15.如图，在平面直角坐标系中有，两点，如果抛物线与线段没有公共点，则的取值范围是          ． 16.二次函数，当时，的取值范围为________． 17.如图，在中，，，，点从点沿向点以的速度运动，同时点从点沿向点以的速度运动到点停止，在运动过程中，四边形的面积最小值为_______． 18.如图，已知抛物线，等边的边长为，顶点在抛物线上滑动，且边始终平行于轴，当在滑动过程中，点落在坐标轴上时，点坐标是______． 三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分 已知二次函数，当时，函数值为当或时，函数值都为，求这个二次函数的表达式． 20.本小题分二次函数的图象如下，根据图象解答下列问题． 写出方程的两个根． 分别写出不等式的解和的解． 写出随的增大而减小时，自变量的取值范围． 写出方程的解． 21.本小题分已知抛物线经过点， 求抛物线的函数表达式． 将抛物线平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的抛物线的函数表达式． 22.本小题分已知抛物线为常数的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大． 求的值． 点在抛物线上，点在抛物线上． 若，且，，求的值． 若，求的最大值． 23.本小题分已知二次函数． 当，时， 求该函数的图象顶点坐标． 当时，求的取值范围． 当时，的最大值为当时，的最大值为，求二次函数的表达式． 24.本小题分某班数学兴趣小组对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． 自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值如下： 其中，          ． 根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分． 观察函数图象，写出该函数的两条性质：          ． 进一步探究函数图象发现： 函数图象与轴有          个交点，所以对应的方程有          个实数根； 函数图象与直线有          个交点，所以对应的方程有          个实数根； 若关于的方程有个实数根，则的取值范围是          ； 不等式的解是          ． 25.本小题分 年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为轴，过跳台终点作水平线的垂线为轴，建立平面直角坐标系．图中的抛物线近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点正上方米处的点滑出，滑出后沿一段抛物线运动． 当运动员运动到离处的水平距离为米时，离水平线的高度为米，求抛物线的函数解析式不要求写出自变量的取值范围； 在的条件下，当运动员运动水平线的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为米？ 当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过米时，求的取值范围． 26.本小题分 如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于，两点，与轴交于点抛物线的顶点为，若点的坐标是，点是该抛物线在第二象限图象上的一个动点． 求该抛物线的解析式和顶点的坐标； 设点的横坐标是，问当取何值时，四边形的面积最大； 如图，若直线的解析式是，点和点分别在抛物线上和直线上，问：是否存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出符合题意的点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 二次函数 综合能力提升卷 一、选择题：本题共10小题，每题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如果函数是关于的二次函数，那么的值是  (    ) A. 或 B. 或 C. D. 【答案】D  【解析】略 2.在同一坐标系中画出，，的图象，正确的是  (    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】当时，，，的图象上的对应点分别是，，，可知，其中有两点在第一象限，一点在第四象限，排除，；在第一象限内，的对应点在上，的对应点在下，排除． 3.已知，，是抛物线上的点，则(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】略 4.已知抛物线与轴交于点，，则关于的方程的解是  (    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C  【解析】略 5.将一根长为的铁丝弯成一个长方形铁丝全部用完且无损耗，如图所示，设这个长方形的一边长为，它的面积为，则与之间的函数关系式为  (    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】略 6.已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】本题主要考查了二次函数图象与性质，二次函数图象与系数的关系，根据所给二次函数图象，可得出，，的正负，再结合抛物线的对称性及抛物线上点的坐标特征，依次对所给选项进行判断即可，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：由函数图象可知， ，故 A选项不符合题意； 抛物线与轴有两个不同的交点， 方程有两个不相等的实数根，则 ，故 B选项不符合题意； 抛物线的对称轴为直线 时的函数值与时的函数值相等， 由函数图象可知，时函数值小于零， 时函数值也小于零，即，故 C选项符合题意； 抛物线的对称轴为直线 即，故 D选项不符合题意； 故选：． 7.已知二次函数，点，是其图象上两点，下列说法中正确的是(    ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B  【解析】略 8.某水利工程公司开挖的沟渠，蓄水之后截面呈抛物线形，在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据单位：某学习小组探究之后得出如下结论，其中正确的为(    ) A. B. 池底所在抛物线的解析式为 C. 池塘最深处到水面的距离为 D. 若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最深处到水面的距离减少为原来的 【答案】C  【解析】利用建立的坐标系得到抛物线上点的坐标，然后通过待定系数法求出抛物线解析式，对照选项即可． 【详解】设解析式为，抛物线上点，，，带入抛物线解析式中得，解得，解析式为． 选项A中，，故选项 A错误； 选项B中，解析式为，故选项 B错误； 选项C中，池塘水深最深处为点，水面，，所以水深最深处为点到水面的距离为米，故选项C正确； 选项D中，若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，由抛物线关于轴对称可知，抛物线上点横坐标，带入解析式算得，即到水面距离为米，而最深处到水面的距离为米，减少为原来的故选项D错误． 故选C． 9.如图，正方形和正方形的对角线，都在直线上，将正方形沿着直线从点与点重合开始向右平移，直到点与点重合为止，设点平移的距离为，，，两个正方形重合部分的面积为，则关于的函数图象大致为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：如图，当时，； 如图，当时，正方形在正方形内部， 则； 如图，当时，， 综上所述，选项A符合题意． 故选：． 由题意易知，重合部分的形状是点或正方形，，然后分、、讨论即可． 本题以正方形为背景，结合动点问题，考查函数图象的判断，涉及数形结合思想、函数模型思想和分类讨论思想，体现了逻辑推理、直观想象、数学运算的核心素养． 10.定义：对于已知的两个函数，任取自变量的一个值，当时，它们对应的函数值相等；当时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：正比例函数，它的相关函数为已知点，的坐标分别为，，连接，若线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点，则的取值范围为(    ) A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C  【解析】【分析】 本题是二次函数综合题，考查二次函数的图象和性质、函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，求得二次函数的相关函数与线段恰好有个交点、个交点、个交点时的值是解题的关键． 首先确定出二次函数的相关函数与线段恰好有个交点、个交点、个交点时的值，然后结合函数图象可确定出的取值范围． 【解答】 解：如图所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有个公共点， 二次函数的对称轴为， 当时，，即，解得， 如图所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰好个公共点． 抛物线与轴交点的纵坐标为， ， 解得：； 由相关函数的定义可知，当时，抛物线与轴交点实际取不到，是空心圆圈， 当时，线段与二次函数的相关函数的图象恰有个公共点， 如图所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有个公共点． 抛物线经过点， ， 如图所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有个公共点． 抛物线经过点， ，解得：， 时，线段与二次函数的相关函数的图象恰有个公共点． 综上所述，的取值范围是或， 故选：． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11.将抛物线绕它的顶点旋转后得到的抛物线的函数表达式为          ． 【答案】  【解析】略 12.若二次函数的图象与轴有两个交点，则的取值范围是          ． 【答案】  【解析】【分析】本题考查抛物线与轴的交点，解题的关键是记住抛物线与轴只有一个交点，抛物线与轴有两个交点，抛物线与轴没有交点，属于中考常考题型．根据抛物线与轴有两个交点，列出不等式即可解决问题． 【解答】解：当二次函数的图象与轴有两个交点时， 方程有两个不相等的实数根， 所以， 解得． 所以的取值范围是． 13.已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为          ． 【答案】，  【解析】略 14.行驶中的汽车，在刹车后由于惯性作用，还要向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”某种型号汽车的刹车距离与车速满足关系式，当汽车的速度是          时，它的刹车距离是． 【答案】  【解析】略 15.如图，在平面直角坐标系中有，两点，如果抛物线与线段没有公共点，则的取值范围是          ． 【答案】或  【解析】当点在抛物线上时，将代入，得当时，抛物线开口变小，符合题意．当点在抛物线上时，将代入，得，解得当时，抛物线开口变大，符合题意．综上所述，的取值范围为或故答案为或． 16.二次函数，当时，的取值范围为________． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，在解答此题时要先确定出抛物线的对称轴及最小值，再根据的取值范围进行解答先根据判断出抛物线开口向上，二次函数有最小值，再根据抛物线的顶点式的形式可知对称轴，的最小值为，再根据可知当时有最大值，把代入即可得出结论． 【解答】 解：二次函数中， 抛物线开口向上，二次函数有最小值， ， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， 抛物线的对称轴，有最小值为， 又， 当时，有最大值为， 当时，的取值范围为． 故答案为． 17.如图，在中，，，，点从点沿向点以的速度运动，同时点从点沿向点以的速度运动到点停止，在运动过程中，四边形的面积最小值为_______． 【答案】  【解析】【分析】本题考查了二次函数的最值，勾股定理．利用分割图形求面积法找出是解题的关键．在中，利用勾股定理可得，设运动时间为，则，，利用分割图形求面积法可得，利用配方法即可求出四边形的面积最小值． 【解答】解：在中，，，， ， 设运动时间为，则，， 当时，四边形的面积取最小值，最小值为． 故答案为：． 18.如图，已知抛物线，等边的边长为，顶点在抛物线上滑动，且边始终平行于轴，当在滑动过程中，点落在坐标轴上时，点坐标是______． 【答案】，，  【解析】解：点落在轴上时，如图，作于， 是等边三角形，等边的边长为， ，， ， 令，则， ， 解得或， 或， 点落在轴上时，如图，作于， 是等边三角形，等边的边长为， ，， ， 当，， 点的纵坐标为， 边始终平行于轴， ， 故答案为：，，． 点落在轴上时，如图，作于，分点落在轴上和点落在轴上两种情况，先利用等边三角形的性质及勾股定理求得，，，进而利用二次函数的性质即可得解． 本题考查了二次函数的图象与性质，等边三角形的性质，勾股定理等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质，等边三角形的性质是解题的关键． 三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分 已知二次函数，当时，函数值为当或时，函数值都为，求这个二次函数的表达式． 【答案】  【解析】略 20.本小题分 二次函数的图象如下，根据图象解答下列问题． 写出方程的两个根． 分别写出不等式的解和的解． 写出随的增大而减小时，自变量的取值范围． 写出方程的解． 【答案】(1)解：从题干图中可以看出抛物线与轴交于和两点，方程的两个根为，．  (2)从图中可以看出，当时，；  当或时，，不等式的解为，不等式的解为或．  (3)从图中看出对称轴为直线，当时，随的增大而减小．  (4)方程的解为．  【解析】 略  略  略  略 21.本小题分 已知抛物线经过点， 求抛物线的函数表达式． 将抛物线平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的抛物线的函数表达式． 【答案】 先向右平移个单位，再向下平移个单位，  【解析】略 22.本小题分 已知抛物线为常数的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大． 求的值． 点在抛物线上，点在抛物线上． 若，且，，求的值． 若，求的最大值． 【答案】   【解析】略 23.本小题分 已知二次函数． 当，时， 求该函数的图象顶点坐标． 当时，求的取值范围． 当时，的最大值为当时，的最大值为，求二次函数的表达式． 【答案】   【解析】略 24.本小题分 某班数学兴趣小组对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． 自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值如下： 其中，          ． 根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分． 观察函数图象，写出该函数的两条性质：          ． 进一步探究函数图象发现： 函数图象与轴有          个交点，所以对应的方程有          个实数根； 函数图象与直线有          个交点，所以对应的方程有          个实数根； 若关于的方程有个实数根，则的取值范围是          ； 不等式的解是          ． 【答案】(1)-3  (2)解：如图.   (3)①函数图象关于y轴对称，②当x＞1时，y随x的增大而增大 /（答案不唯一）  (4)2  ;2;3;3;-4＜a＜-3  ;x＜-3或x＞3  【解析】 略  略  略  略 25.本小题分 年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为轴，过跳台终点作水平线的垂线为轴，建立平面直角坐标系．图中的抛物线近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点正上方米处的点滑出，滑出后沿一段抛物线运动． 当运动员运动到离处的水平距离为米时，离水平线的高度为米，求抛物线的函数解析式不要求写出自变量的取值范围； 在的条件下，当运动员运动水平线的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为米？ 当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过米时，求的取值范围． 【答案】(1)解：根据题意可知：点A（0，4），点B（4，8）代入抛物线得， ， 解得：， ∴抛物线的函数解析式；   (2)∵运动员与小山坡的竖直距离为米， ∴， 解得：（不合题意，舍去），， 故当运动员运动水平线的水平距离为12米时，运动员与小山坡的竖直距离为米；   (3)∵点A（0，4）， ∴抛物线， ∵抛物线， ∴坡顶坐标为， ∵当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过米时， ∴， 解得：．   【解析】  根据题意可知：点点，利用待定系数法代入抛物线即可求解；   高度差为米可得可得方程，由此即可求解；   由抛物线可知坡顶坐标为，此时即当时，运动员运动到坡顶正上方，若与坡顶距离超过米，即，由此即可求出的取值范围． 26.本小题分 如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于，两点，与轴交于点抛物线的顶点为，若点的坐标是，点是该抛物线在第二象限图象上的一个动点． 求该抛物线的解析式和顶点的坐标； 设点的横坐标是，问当取何值时，四边形的面积最大； 如图，若直线的解析式是，点和点分别在抛物线上和直线上，问：是否存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出符合题意的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】解：抛物线的图象经过点， ， 解得， 抛物线的解析式是， 顶点的坐标是； 令， 解得，， ，． 点的横坐标是， ， 连结，如图所示： 四边形的面积的面积的面积 ， 当时，四边形的面积最大； 平行四边形以为边时， 点的坐标是，如图所示， ， ， 整理得，解得：，， 此时点的坐标是，；  点的坐标是， ，如图所示， ，得：，则， 整理得，，解得：，不合题意，舍去， 此时点的坐标是； 平行四边形以为对角线时，如图所示， 根据平行四边形的对角线相互平分可知， ，中点坐标为， ，中点坐标也为， 点， 点坐标为： 点在图象上， ， ， 解得：， 不合题意，舍去， 此时点的坐标是 综上所述，满足条件的点坐标为：，，和．  【解析】本题考查的是二次函数的图象及性质，待定系数法求二次函数的解析式，平行四边形的性质等有关知识． 利用待定系数法求二次函数解析式即可； 令，然后求出与轴的交点，然后再进行解答即可； 根据题意分为边和为对角线分别画出图形，利用平行四边形的性质列方程求解即可． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$