第三章 概率的进一步认识 单元练习2025-2026学年北师大版数学九年级上册

第三章 概率的进一步认识 练习 一、单选题 1．为发展学生的阅读素养，某校开设了《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》四个整本书阅读项目，甲、乙两名同学都通过抽签的方式从这四个阅读项目中随机抽取一个，则他们恰好抽到不同阅读项目的概率是（   ） A． B． C． D． 2．一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在，估计盒子中小球的个数n是（   ） A． B． C． D． 3．临潼石榴集中国石榴之优，位居中国五大名榴之冠，被列为果中珍品．某研究院跟踪调查了一批石榴树的移栽成活情况，得到如图所示的统计图，由此可估计这批石榴树移栽成活的概率约为（   ） A． B． C． D． 4．将三张扑克牌分别剪成大小相同的两段后背面向上混合到一起随机从中抽取两段，刚好能搭配成一张完整扑克牌的概率是（    ） A． B． C． D． 5．小明得知深圳有优必选、智平方、逐际动力、众擎这四大通用型机器人公司可供参观，他打算从中选两个，则众擎公司被选中的概率为（   ） A． B． C． D． 6．某商场今年国庆节期间举行有奖促销活动，凡购买一定金额的商品可参与转盘抽奖．如图，转盘分为“A”“B”“C”“D”四个区域，自由转动转盘，若指针落在字母“B”所在的区域内，则顾客中奖（转到公共线位置时重转）．若某顾客转动1次转盘，则其中奖的概率是（　　） A． B． C． D． 7．对某批乒乓球的质量进行随机抽查，结果如下表所示： 随机抽取的乒乓球数 10 20 50 100 200 500 1 000 优等品 7 16 43 81 164 414 831 优等品率 0.700 0.800 0.860 0.810 0.820 0.828 0.831 则在这批乒乓球中任取一个，估计它为优等品的概率约为（结果精确到0.01）（    ） A．0.70 B．0.80 C．0.83 D．0.86 8．以下转盘分别被分成2个、4个、5个、6个面积相等的扇形，任意转动这4个转盘各1次．已知某转盘停止转动时，指针落在阴影区域的概率最小，则对应的转盘是（　　） A． B． C． D． 9．如图是一个正方形及其内切圆，随机往正方形内投一粒米，落在圆内的概率为（   ） A． B． C． D． 10．如图，为某小组做“用频率估计概率”的实验时，绘制的频率分布折线图，则符合这一结果的实验是（   ） A．一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 B．抛两枚硬币，一枚正面朝上，一枚反面朝上 C．掷一个正六面体的骰子，朝上点数是3的倍数 D．一个装有2个红球1个黑球的袋子中任取一球，取到的是红球 二、填空题 11．从写有中国、美国、巴西、韩国的四个乒乓球中随机摸出两个，两球上所写的国家名字恰好都是亚洲国家的可能性为 ． 12．如图所示的是可以自由转动的转盘，转动转盘，转盘停止时指针落在白色区域的概率为 ． 13．“石头、剪刀、布”是一种广为流传的小游戏，规则是两人每次任意出“石头”、“剪刀”、“布”这三种手势中的一种，剪刀胜布，布胜石头，石头胜剪刀．小方和小袁比赛一局，他们出相同手势的概率为 ． 14．广东的气候适合很多花卉的生长，某大型花卉研究中心为了测试某种花的种子在一定条件下的发芽率，做了大量的种子发芽实验，得到如下的统计数据： 实验种子数量/颗 100 200 500 1000 2000 5000 发芽种子数量/颗 93 188 473 954 1906 4748 种子发芽的频率（精确到0.001） 0.930 0.940 0.946 0.954 0.953 0.950 则任取一粒种子，估计它能发芽的概率为 ．（结果精确到0.01） 15．某学习小组做“用频率估计概率”的摸球试验：在不透明的盒子中装入黑色、蓝色的玻璃球共个，从中随机摸出一个玻璃球，记下颜色后放回，统计“摸出的玻璃球为蓝色”这一事件出现的次数，并绘制出相应频率的折线统计图如下，那么估计盒子中的蓝色玻璃球有 个． 三、解答题 16．2025年3月1日是中国民间传统节日“龙抬头”，这一天寓意着万物复苏、生机勃发．在这个特殊的日子，“学好中国字 做好中国人”文化行动研讨会在吴东魁艺术馆隆重举行．如图，一个转盘被平均分成10等份，分别标有“学”“好”“中”“国”“字”“做”“好”“中”“国”“人”这10个汉字，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的汉字即为转出的汉字． (1)转动转盘，当转盘停止时，指针指向“国”的概率是________，指针指向汉字的笔画数是奇数的概率是________； (2)小明和小华利用该转盘做游戏，当转出的汉字笔画多于6画时小明获胜，否则小华获胜．请你判断这个游戏是否公平？并说明理由． 17．小颖同学发现操场中有一个不规则的封闭图形如图所示，为了知道它的面积，她在封闭图形内画出了一个半径为的圆，在不远处向圆内掷石子，结果记录如下： 落在圆内（含圆上）次数 14 43 93 150 落在阴影内次数 23 91 186 300 请根据以上信息，回答问题： (1)石子落在圆内的概率约为________； (2)估计封闭图形的面积． 18．“微信”、“支付宝”、“共享单车”和“网购”给我们的生活带来了很多便利，初二数学小组在校内对“你最认可的四大新生事物”进行调查，随机调查了名同学（每名学生必选一种且只能从这四种中选择一种），并将调查结果绘制成如下不完整的统计图． (1)根据图中信息求出_________，__________；并补全条形统计图； (2)根据抽样调查的结果，请估算全校2000名学生中，大约有多少人最认可“微信”这一新生事物？ (3)已知、两位同学都最认可“微信”，同学最认可“支付宝”， 同学最认可“网购”，从这四名同学中抽取两名同学，请你通过树状图或表格，求出这两位同学最认可的新生事物不一样的概率． 19．我校为落实国家“双减”政策，丰富课后服务内容为学生开设四类社团活动（要求每人必须参加且只能参加一类活动）：A．合唱社团B．足球社团；C．科技社团；D．文学社团，为了了解学生对这四类社团活动的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． (1)本次参与调查的学生共有________人；将条形统计图补充完整； (2)扇形统计图中“科技社团”所对应的百分比为________，“文学社团”所对应的圆心角度数为________． (3)现从“文学社团”表现优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选取两名同学参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法，求出恰好选中甲和丁两名同学的概率． 20．某高校图书馆在考试期间常出现自习座位紧张的情况，为改善这一状况，学校决定对部分图书馆座位进行如下优化： 优化一引入座位预约系统： 该校对人文、社科两间阅览室只提供现场预约，每位同学只能选择其中一间阅览室预约座位，某天同一时刻，有甲、乙、丙三位同学在现场依次排队预约，轮到甲预约时，人文阅览室剩余个座位，社科阅览室剩余个座位 问题：请求出甲和丙两位同学预约到同一间阅览室的概率；每个座位被选到的概率相等 优化二合理增加座位数量 因学生自习需求增加，需在现有空间内合理增加座位数量，人文阅览室升级改造后，新增了一块长、宽的矩形学习区，目前有两种桌椅配套摆放方式供选择： 方式：一张桌子和四张椅子共用空间的大小为，如图； 方式：一张桌子和六张椅子共用空间的大小为，如图． 桌椅摆放时需满足以下条件： 桌子之间至少留有的通道横向和纵向均需满足； 共用空间的四周不能紧贴墙壁、书架等固定设施，至少要留出间隔． 问题：请设计一种使得新增座位总数最多的摆放方式，在矩形框中画出示意图，并求出总座位数注：桌椅的摆放仅限东西方向或者南北方向 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第三章 概率的进一步认识 练习2025-2026学年北师大版九年级数学上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C B A A B C B C C 1．A 【分析】本题考查概率的计算，掌握画树状图法或列表法是关键，事件发生的概率事件发生的次数所有可能出现的次数，解题的易错点是分清题目中抽签是否放回．先画树状图求出两位同学恰好都抽到不同阅读项目的情况，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：设《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》四个整本书阅读项目分别为，画树状图如下： 一共有种等可能的结果，其中恰好抽到不同阅读项目的结果有种可能， ∴他们恰好抽到不同阅读项目的概率是， 故选：A． 2．C 【分析】本题考查了利用频率估计概率，解题关键是掌握利用频率估计概率． 根据利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为，再根据概率公式计算n的值． 【详解】解：根据题意得， 解得：， 所以这个不透明的盒子里大约有个除颜色外其他完全相同的小球． 故选：C． 3．B 【分析】本题考查了由频率估计概率，由图可得，这批石榴树移栽成活的频率稳定在，由此即可得解． 【详解】解：由图可得，这批石榴树移栽成活的频率稳定在， 故这批石榴树移栽成活的概率约为， 故选：B ． 4．A 【分析】本题考查了用树状图或列表法求概率，设为一张完整的扑克牌，为一张完整的扑克牌，为一张完整的扑克牌，画出树状图，再根据树状图解答即可求解，掌握树状图或列表法是解题的关键． 【详解】解：设为一张完整的扑克牌，为一张完整的扑克牌，为一张完整的扑克牌，画树状图如下： 由树状图可知，共有种等结果，其中刚好能搭配成一张完整扑克牌的结果有种， ∴刚好能搭配成一张完整扑克牌的概率是， 故选：． 5．A 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 列表可得出所有等可能的结果数以及众擎公司被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：将这四大通用型机器人公司分别记为 列表如下： 共有12种等可能的结果，其中众擎公司被选中的结果有共6种， ∴众擎公司被选中的概率为 故选：A． 6．B 【分析】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率． 【详解】解：由图知，字母“B”所在的区域的圆心角度数为， ∴当转盘停止转动后，指针落在字母“B”所在区域内的概率是，即中奖的概率是． 故选：B． 7．C 【分析】本题考查了利用频率估计概率．理解相关知识是解答关键． 通过观察不同抽取数量下的优等品率，发现随着抽取数量的增加，频率逐渐稳定在0.83附近，因此可用此频率估计概率． 【详解】解：由表格数据可知，当抽取数量较小时，优等品率波动较大（如0.70到0.86），但随着抽取数量增大至500和1000时，优等品率分别为0.828和0.831，逐渐稳定在0.83左右．根据频率稳定性定理，当试验次数足够多时，频率可作为概率的估计值，因此，任取一个乒乓球为优等品的概率约为0.83． 故选：C． 8．B 【分析】本题主要考查几何概率，根据概率公式求出每个选项的概率，相比即可得到答案． 【详解】解：．指针落在阴影区域的概率为：， ．指针落在阴影区域的概率为：， ．指针落在阴影区域的概率为：， ．指针落在阴影区域的概率为：， ∵， 则指针落在阴影区域的概率最小的是， 故选：B． 9．C 【分析】根据题意算出正方形的面积和内切圆面积，再利用几何概率公式加以计算，即可得到所求概率．本题考查了几何概率的知识，求米落入指定区域的概率．着重考查了正方形、圆面积公式和几何概型的计算等知识. 【详解】解：设正方形的边长为，则圆的直径为， 故随机地往正方形内投一粒米，落在圆内的概率为=， 故选：C 10．C 【分析】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率等于所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式． 根据统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率，计算四个选项的频率，约为者即为正确答案． 【详解】解：A、一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是，本选项不符合题意； B、抛两枚硬币，一枚正面朝上，一枚反面朝上的频率是，本选项不符合题意； C、掷一个正六面体的骰子，朝上点数是3的倍数，本选项符合题意； D、从一个装有2个红球1个黑球的袋子中任取一球，取到的是红球的概率是，本选项不符合题意； 故选：C． 11． 【分析】本题主要画树状图求概率，掌握画树状图是解题的关键． 先画出树状图，求出随机摸出两个球的结果有12种，再确定两球上所写的国家名字恰好都是亚洲国家的结果有2种，即可解答． 【详解】解：画树状图如图 共有12种等可能性结果，两球上所写的国家名字恰好都是亚洲国家的结果有2种， ∴两球上所写的国家名字恰好都是亚洲国家的概率为． 12．/ 【分析】本是考查的是简单事件的概率问题，掌握概率的计算方法是解决此类问题的关键．白色区域的圆心角度数除以圆的周角的度数可得到指针落在白色区域的概率． 【详解】解：指针落在白色区域内的概率， 故答案为：． 13． 【分析】本题考查列表法与树状图法，列表可得出所有等可能的结果数以及他们出相同手势的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：列表如下： 石头 剪刀 布 石头 （石头，石头） （石头，剪刀） （石头，布） 剪刀 （剪刀，石头） （剪刀，剪刀） （剪刀，布） 布 （布，石头） （布，剪刀） （布，布） 共有9种等可能的结果，其中他们出相同手势的结果有3种， ∴他们出相同手势的概率为． 故答案为：． 14．0.95 【分析】本题考查频率估计概率，读懂表格是关键．根据表格即可求出． 【详解】解：由表格可得：随着实验种子数量的增加，其发芽的频率稳定在0.95左右，即估计它能发芽的概率为0.95， 故选：C． 15． 【分析】本题考查了由频率估计概率．由题意知，摸出的玻璃球为蓝色的频率逐渐趋于，即摸出的玻璃球为蓝色的概率为，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，摸出的玻璃球为蓝色的频率逐渐稳定于， 摸出的玻璃球为蓝色的概率为， （个）， 故答案为：． 16．(1)， (2)游戏不公平，理由见解析 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断．实际考查概率的计算与游戏公平性的理解，用到的知识点为：概率为所求情况数与总情况数之比． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）分别计算出小明、小华获胜的概率，判断大小关系即可得出答案． 【详解】（1）解：转动转盘，当转盘停止时，指针指向“国”的概率是， 指针指向汉字的笔画数是偶数的有：“学”“好”“中”“国”“字”“好”“中”“国”“人”，有个，故指针指向汉字的笔画数是偶数的概率是， ∴指针指向汉字的笔画数是奇数的概率是； 故答案为：，； （2）解：游戏不公平，理由如下： 个汉字中笔画多于画的有：“学” ，“国” ，“国”， “做”， 个汉字中笔画不多于画的有： “好”“中” “字” “好”“中” “人”， 所以小明获胜的概率为，小华获胜的概率为，小明获胜的概率小华获胜的概率， 所以游戏不公平． 17．(1) (2) 【分析】本题考查的是利用频率估计概率； （1）用每次落在圆内（含圆上）次数除以总实验次数即可； （2）设封闭图形的面积为a，根据题意得：，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：观察表格得：随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在， ∴石子落在圆内的概率约为； （2）解：设封闭图形的面积为． 根据题意得，解得． 则估计封闭图形的面积为． 18．(1),，补全条形统计图见解析 (2)人 (3) 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率以及扇形统计图与条形统计图的知识.列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）由共享单车人数及其百分比求得总人数，用支付宝人数除以总人数可得其百分比的值，总人数乘以网购人数的百分比可得其人数，用微信人数除以总人数求得其百分比即可补全两个图形； （2）用总人数乘以样本中最认可“微信”的人数所占百分比即可得. （3）根据题意画出树状图得出所有等可能结果，从中找到这两位同学最认可的新生事物不一样的结果数，再根据概率公式计算可得． 【详解】（1）解：，即， “网购”人数为，“微信”对应百分比为， 补全统计图如下： 故答案为：，； （2）解：(人)， 答：大约有人最认可“微信”这一新生事物； （3）解：根据题意画树状图如下： 共有种等可能情况，这两位同学最认可的新生事物不一样的有种， 所以这两位同学最认可的新生事物不一样的概率为． 19．(1)80；图见解析 (2)30；36 (3) 【分析】此题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．解答本题的关键要熟练掌握概率的求法：概率等于所求情况数与总情况数之比． （1）由B的人数除以所占百分比得出此次调查一共随机抽取的学生人数，即可解决问题； （2）用“科技社团”的人数除以总人数即可得解；由乘以D的人数所占的比例即可； （3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲和丁两名同学的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）此次调查的学生人数为：（人）， ∴B足球社团的人数为：（人）， 补全条形统计图为： 故答案为：； （2）扇形统计图中“科技社团”所对应的百分比为； “文学社团”扇形统计图中圆心角， 故答案为：；； （3）画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲和丁两名同学的结果有2种， ∴恰好选中甲和丁两名同学的概率为． 20．问题：；问题：示意图见解析，个 【分析】问题，求出所有可能情况，再求出乙在社科阅览室的情况，根据概率公式计算即可； 问题，因为两种方式，每个座位所占面积相同，但方式需要的过道少于方式，所以尽量多用方式，因为桌子四周要留出通道，所以方式的面积相当于，方式的面积相当于，空间大小为，使空余空间最小的方案，即为所求． 本题主要考查了树状图法或列表法求解概率以及图形规划，按照换算后的占地面积来进行规划是本题解题的关键． 【详解】解：问题：设分别用A、B、C表示三个座位，其中A、B为人文阅览室的两个座位，C为社科阅览室的座位，画树状图如下： 由图可知，一共有6种等可能性的结果数，其中甲和丙两位同学预约到同一间阅览室的结果数有2种， ∴甲和丙两位同学预约到同一间阅览室的概率为； 问题：，， 两种方式每个座位面积相同， 方式需要的通道少于方式， 尽量选择方式， 桌子四周都要留出通道， 方式所占面积相当于，方式所占面积相当于，能够放置桌子的面积为， ，，， ∵，， 纵向采用两个，个或个最利用空间， ， 横向排排， 采用纵向两个，个，如图： 座位总数为：个． 答：总座位数为个． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$