专题05 三角形的外角【知识考点+题型梳理+中考真题】2025-2026学年人教版（2024）八年级数学上册

专题05 三角形的外角【2大考点11大题型】 （重难点常考题型精讲精练） 【知识考点 三角形的外角】 【解题知识必备】 1.三角形外角的概念 定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角. 如图所示，在ABC中，是ABC的一个外角，它的相邻内角是，不相邻两内角分 别为、. 2.三角形外角的性质 （1）三角形内角和定理的推论1：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. （2）三角形内角和定理的推论2：三角形的外角和等于360°. （3）三角形内角和定理的推论3：三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角． 如图，在 △ABC 中，∠ACD、∠CBF、∠BAE分别是△ABC的外角，则有： ① ∠ACD=∠CBA+∠CAB ∠CBF=∠ACB+∠CAB ∠BAE=∠CBA+∠ACB ② ∠ACD+∠CBF+∠BAE=360°. ③ ∠ACD>∠CBA, ∠ACD>∠CAB；∠CBF>∠CAB, ∠CBF>∠ACB；∠BAE>∠ACB, ∠BAE>∠CBA. 【重难点常考题型梳理】 【题型01】 三角形外角的概念辨析 【题型02】 根据三角形外角的性质求角的度数 【题型03】 利用三角形外角的性质解决平行线中的问题 【题型04】 利用三角形外角的性质解决角平分线中的问题 【题型05】 根据三角形外角的性质解决折叠中的问题 【题型06】 根据三角形外角的性质求三角板中角的度数 【题型07】 与三角形外角的性质有关的新定义问题 【题型08】 三角形外角的性质与内角和的综合求值 【题型09】 三角形外角性质的综合证明 【题型10】 与三角形外角性质有关的实际应用 【题型11】 直通中考真题 【核心考点板块1 三角形外角的定义及其性质应用】 方法与技巧： 1.三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对． 2.若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质（1）将它们转化到一个三角形中去． 3.探究角度之间的不等关系，多用外角的性质（3），先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角． 【题型01】 三角形外角的概念辨析 【例1】（2023-2024八年级上·河北廊坊·期中）下图中∠1是三角形一个外角的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2024-2025八年级上·福建厦门·期中）如图，下列角中是的外角的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2022-2023八年级上·河北石家庄·期末）已知等腰三角形的一个外角是，则这个三角形是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形或锐角三角形 【变式1-3】（2023-2024八年级上·全国·专题练习）如图，是 和 的外角；以为一边长的三角形有 个． 【题型02】 根据三角形外角的性质求角的度数 【例2】（2024-2025八年级上·广东惠州·期中）小枣一笔画成了如图所示的图形，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2024-2025八年级上·安徽安庆·期中）一个三角形中，三个内角的比为，则该三角形最大的外角为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2024-2025七年级上·江苏泰州·期末）如图，在中，，，则外角的度数为 ． 【变式2-3】（2023-2024八年级上·四川南充·阶段练习）已知：，点B、C在的两边上，点P为平面内一点，且，则 ． 【题型03】 利用三角形外角的性质解决平行线中的问题 【例3】（2024-2025七年级下·上海金山·期中）如图，已知，，，，求的度数． 【变式3-1】（2024-2025八年级上·广东湛江·期中）如图，，，，则 ． 【变式3-2】（2024-2025七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，与交于点，点在直线上，交于点，，，．则的度数是 ． 【变式3-3】（2023-2024七年级下·江苏淮安·期中）如图，，，且．若，求的度数． 【题型04】 利用三角形外角的性质解决角平分线中的问题 【例4】（2023-2024七年级下·江苏宿迁·期中）如图，D是内一点，连接、、，P是的角平分线的反向延长线上的一点，连接，，和的外角平分线相交于点Q，若，，则的度数为 ． 【变式4-1】（2024-2025八年级上·广西钦州·期中）如图，在中，，和的平分线交于点，得，和的平分线交于点，得，…，和的平分线交于点，得，和的平分线交于点，得，则的大小为 ． 【变式4-2】（2024-2025七年级下·山西吕梁·期中）如图，，，E是边上的一点，连接并延长，交的延长线于点H，F是边上的一点，平分，作的平分线，交于点G．若，则的度数为 ． 【变式4-3】（2024-2025七年级下·全国·专题练习）如图，点C、D分别在的边上运动（不与点O重合）．射线与射线分别在和内部，延长与交于点F． (1)若，分别是和的平分线，猜想：的度数是否随C，D的运动发生变化？请说明理由． (2)若，，，则 ．（用含α、n的代数式表示） 【题型05】 根据三角形外角的性质解决折叠中的问题 【例5】（2024-2025八年级·山东青岛·阶段练习）等腰纸片（）可按图中所示方法折成一个四边形，点与点重合．点与点重合，请问原等腰中的（ ）度． A． B． C． D． 【变式5-1】（2024-2025七年级下·广东深圳·期中）如图，在中，，点，分别是、边上的点，将沿所在直线对折，得到．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2024-2025八年级上·浙江台州·期末）如图，将沿折叠得到，再将沿折叠得到，连接，交于点，连接，与相交于点，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2023-2024七年级下·河北张家口·期末）如图，将三角形纸片按如图方式折叠：折痕分别为和，点A与边上的点G重合，点B与延长线上的点F重合．若满足，则 ． 【题型06】 根据三角形外角的性质求三角板中角的度数 【例6】（2024-2025七年级下·湖南长沙·阶段练习）将一副三角板按如图放置，直角顶点重合，其中，，，则下列结论正确的有（   ） ；如果，则有；如果，必有；如果，则． A． B． C． D． 【变式6-1】（2024-2025八年级上·吉林白城·期末）如图，一副分别含有和角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2024-2025八年级上·广东惠州·期中）将一副直角三角板按如图所示叠放在一起，则图中的度数是 ． 【变式6-3】（2022-2023七年级下·江苏南京·期末）将一副直角三角板如图放置，已知，，当时， ． 【题型07】 与三角形外角的性质有关的新定义问题 【例7】（2024-2025八年级上·浙江温州·期中）在一个三角形中，如果一个角是另一个角的2倍，这样的三角形我们称之为“智慧三角形”．比如：三个内角分别为，，的三角形是“智慧三角形”．如图，，在射线上找一点，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点． (1) ； (2)若．求证：为“智慧三角形”； (3)当为“智慧三角形”时，请求出的度数． 【变式7-1】（2024-2025八年级上·湖北宜昌·阶段练习）在中，定义的平分线所在直线与的外角平分线所在直线所夹的锐角为的伴随角． (1)如图①，在中，，则的伴随角的度数为_______； (2)小明试图探究任意中的伴随角与之间的数量关系，于是他动手画了分别为直角、锐角、钝角的三个图，先通过测量相关角度后猜想结论，然后再验证结论． 根据以上三个图，测量相关角度，得到如下表格： ② ③ ④ 的度数 的伴随角的度数 根据表格，小明得到了的伴随角与之间的数量关系的猜想_______； (3)请你选择是锐角或钝角的情况，画出图形，帮小明验证他的猜想． 【变式7-2】（2023-2024七年级下·江苏镇江·期末）【概念】如果两个角的度数之差为，我们称这两个角互为“好友角”，其中一个角叫做另一个角的“好友角”，例如，，，则和互为“好友角”，即是的“好友角”，也是的“好友角”． 【理解】（1）若，则的“好友角”的度数为 ； （2）已知和互为“好友角”，，且和互补，的度数为 ； （3）如图，将纸片沿折叠，使点落在四边形内部处，已知，，若和互为“好友角”，则的度数为 ； 【拓展】如图，在中，，是角平分线，过点作的垂线，垂足为，相交于点．若与互为“好友角”，求的度数． 【变式7-3】（2024-2025八年级上·陕西西安·期末）定义：在一个三角形中，若一个内角的度数是另一个内角的度数的3倍，则这样的三角形称为“优美三角形”．例如：三个内角分别为的三角形是“优美三角形”． 【概念理解】 （1）如图1，，点在边上，过点作，交于点，以为端点作射线，交线段于点（点不与点重合）． ①______“优美三角形”（填“是”或“不是”）． ②若，求证：是“优美三角形”． 【应用拓展】 （2）如图2，点在的边上，连接，，作的平分线，交于点，在上取一点，使，．若是“优美三角形”，求的度数． 【核心考点板块2 三角形外角与内角和定理的综合应用】 方法与技巧： 1.深刻理解三角形内角和定理及外角的三条性质的综合应用 【题型08】 三角形外角的性质与内角和的综合求值 【例8】（2024-2025八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，B是边上一点，，，，求和的度数． 【变式8-1】（2024-2025七年级下·山东烟台·期中）如图，在中，，P为上一点，且，求的度数．（请用两种方法来解决问题） 【变式8-2】（2024-2025八年级上·北京·期中）如图，在，，，是的外角的平分线，且交的延长线于点E，求和的度数． 【变式8-3】（2024-2025七年级下·江苏扬州·期中）已知：如图1，在三角形中，，将线段沿直线平移得到线段，连结． (1)当时，请说明． (2)如图2，当在上方时，且时，求与的度数． (3)当垂直三角形中的一边时，直接写出所有满足条件的的度数． 【题型09】 三角形外角性质的综合证明 【例9】（2024-2025七年级下·山东烟台·期中）如图，中，分别在，上．已知，，． （1）求证：平分； （2）过点作的平分线交于点，若，求的度数． 【变式9-1】（2024-2025八年级上·四川成都·期末）如图，是的外角，平分，平分，且交于点E． (1)若，求证：； (2)试探究与之间的数量关系，并说明理由． 【变式9-2】（2023-2024八年级上·江苏连云港·期末）如图，点D，E分别在上，，F是上一点，的延长线交的延长线于点G．求证： （1）； （2）． 【变式9-3】（2024-2025八年级上·河南三门峡·阶段练习）如图（1）已知的外角与的平分线相交于点P，如图（2）已知的内角与外角的角平分线相交于点P． 选择其中一个图形猜想与的关系并证明你的猜想． 解：我选择的是_________，猜想结论：_________． 证明： 【题型10】 与三角形外角性质有关的实际应用 【例10】（2024-2025八年级上·湖北十堰·期末）体育课上的侧压腿动作（如图1）可以抽象为几何图形（如图2），如果，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式10-1】（2023-2024八年级上·广东汕头·阶段练习）知识改变世界，科技改变生活，导航装备的不断更新极大方便了人们的出行．周末，小强一家到，两处景区游玩，他们从家处出发，向正北行驶到达处，若在处测得景区在北偏西方向上，且，则在处测得景区应位于（   ） A．北偏西 B．南偏西 C．北偏西 D．南偏西 【变式10-2】（2024-2025八年级上·河北邢台·期中）如图，阴影部分是一个喷水池，现要修建两条通向水池的小道和，要求和所在的直线互相垂直．为了检验和是否垂直，小亮同学在水池外的平地上选定一个可直接到达点P和Q的点C，然后测得，，．请问：这样做和的位置关系是否垂直 （填是或否）． 【变式10-3】（2024-2025七年级下·山西运城·期中）如图1是消防云梯作业图，图2是小明绘制的示意图．示意图由救援台、延展臂（B在左侧）、伸展主臂、支撑臂构成．在作业过程中，救援台、车身及地面三者始终保持水平，图中所有的点在同一竖直平面内，已知延展臂与支撑臂所在直线互相垂直，且，则这时展角的度数为 ． 【题型11】 直通中考真题 1．（2025·贵州·中考真题）下列图中能说明一定成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·辽宁·中考真题）如图，点在的边上，，垂足为，，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 3．（2025·山东烟台·中考真题）如图是一款儿童小推车的示意图，若，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·山东威海·中考真题）如图，直线，，．若．则等于（ ） A． B． C． D． 5.（2025·福建·中考真题）某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，．当时，的大小为（   ） A． B． C． D． 6．（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 7．（2024·四川凉山·中考真题）一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点在的延长线上，当时，的度数为（   ） A． B． C． D． 8．（2024·四川巴中·中考真题）如图，直线，一块含有的直角三角板按如图所示放置．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 9．（2023·四川宜宾·中考真题）如图， ，且，，则等于（ ） A． B． C． D． 10．（2024·四川凉山·中考真题）如图，中，是边上的高，是的平分线，则的度数是 ． 11．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，直线，直线，，则 ． 12．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，，，．则 ． 13．（2024·四川达州·中考真题）如图，在中，，分别是内角、外角的三等分线，且，，在中，，分别是内角，外角的三等分线．且，，…，以此规律作下去．若．则 度． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 三角形的外角【2大考点11大题型】 （重难点常考题型精讲精练） 【知识考点 三角形的外角】 【解题知识必备】 1.三角形外角的概念 定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角. 如图所示，在ABC中，是ABC的一个外角，它的相邻内角是，不相邻两内角分 别为、. 2.三角形外角的性质 （1）三角形内角和定理的推论1：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. （2）三角形内角和定理的推论2：三角形的外角和等于360°. （3）三角形内角和定理的推论3：三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角． 如图，在 △ABC 中，∠ACD、∠CBF、∠BAE分别是△ABC的外角，则有： ① ∠ACD=∠CBA+∠CAB ∠CBF=∠ACB+∠CAB ∠BAE=∠CBA+∠ACB ② ∠ACD+∠CBF+∠BAE=360°. ③ ∠ACD>∠CBA, ∠ACD>∠CAB；∠CBF>∠CAB, ∠CBF>∠ACB；∠BAE>∠ACB, ∠BAE>∠CBA. 【重难点常考题型梳理】 【题型01】 三角形外角的概念辨析 【题型02】 根据三角形外角的性质求角的度数 【题型03】 利用三角形外角的性质解决平行线中的问题 【题型04】 利用三角形外角的性质解决角平分线中的问题 【题型05】 根据三角形外角的性质解决折叠中的问题 【题型06】 根据三角形外角的性质求三角板中角的度数 【题型07】 与三角形外角的性质有关的新定义问题 【题型08】 三角形外角的性质与内角和的综合求值 【题型09】 三角形外角性质的综合证明 【题型10】 与三角形外角性质有关的实际应用 【题型11】 直通中考真题 【核心考点板块1 三角形外角的定义及其性质应用】 方法与技巧： 1.三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对． 2.若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质（1）将它们转化到一个三角形中去． 3.探究角度之间的不等关系，多用外角的性质（3），先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角． 【题型01】 三角形外角的概念辨析 【例1】（2023-2024八年级上·河北廊坊·期中）下图中∠1是三角形一个外角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的外角是三角形的一边与另一边的反向延长线组成的角，进行判断即可． 【解答】解：由三角形外角的定义，可知，D选项中的∠1是三角形一个外角，其他的都不符合题意； 故选D． 【变式1-1】（2024-2025八年级上·福建厦门·期中）如图，下列角中是的外角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的外角性质，关键是掌握三角形的外角定义．三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角，由此即可得到答案． 【解答】解：图形中是的外角的是． 故选：B． 【变式1-2】（2022-2023八年级上·河北石家庄·期末）已知等腰三角形的一个外角是，则这个三角形是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形或锐角三角形 【答案】C 【分析】根据外角求出它的内角，即可判断该三角形是什么三角形． 【解答】解：根据题意得：等腰三角形的一个外角是， 则该角相邻的内角为． 则该三角形一定是直角三角形． 故选：C． 【点评】本题考查三角形内角、外角的关系及三角形的分类，理解三角形的外角与它相邻的内角互补是解题关键． 【变式1-3】（2023-2024八年级上·全国·专题练习）如图，是 和 的外角；以为一边长的三角形有 个． 【答案】 4 【分析】本题考查了三角形的认识及三角形外角的定义，熟记三角形的定义：“三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形”及三角形外角的定义：“三角形的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角”是解题的关键． 【解答】解：根据图形可得：是和的外角； 以为一边长的三角形有：，，，，共4个； 故答案为：；；4． 【题型02】 根据三角形外角的性质求角的度数 【例2】（2024-2025八年级上·广东惠州·期中）小枣一笔画成了如图所示的图形，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，由三角形外角的性质可得，则可求出，由平角的定义和三角形外角的性质可得． 【解答】解：如图所示，∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【变式2-1】（2024-2025八年级上·安徽安庆·期中）一个三角形中，三个内角的比为，则该三角形最大的外角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理，根据三角形的内角和定理先求出各个内角，再求解外角即可． 【解答】解：设三角形的内角为别为，，， ， 解得， ∴，， ∴最小的内角为， 故这个三角形的最大的外角的度数是． 故选：C． 【变式2-2】（2024-2025七年级上·江苏泰州·期末）如图，在中，，，则外角的度数为 ． 【答案】135 【分析】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．根据三角形外角的性质解答即可． 【解答】解：，，， ， 故答案为：135． 【变式2-3】（2023-2024八年级上·四川南充·阶段练习）已知：，点B、C在的两边上，点P为平面内一点，且，则 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了三角形的内角和与三角形的外角性质，全面分类、熟练掌握三角形的内角和与三角形的外角性质是解题的关键； 分三种情况：当点P在的内部时，当点P在的外部时，若点P在上方，当点P在的外部时，若点P在下方，分别画出图形，利用三角形的内角和与三角形的外角性质即可求解． 【解答】解：当点P在的内部时，如图，延长交于点D， 则， ∴； 当点P在的外部时，若点P在上方，如图，设交于点E， ∵， ∴， ∴； 当点P在的外部时，若点P在下方，如图，设交于点E， ∵， ∴， ∴； 综上：或或； 故答案为：或或． 【题型03】 利用三角形外角的性质解决平行线中的问题 【例3】（2024-2025七年级下·上海金山·期中）如图，已知，，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形外角性质、平行线性质、三角形内角和定理等知识点，弄清楚角之间的关系是解题的关键， 由三角形内角和定理以及已知条件可得，再根据平行线的性质可得，易得，最后根据三角形外角的性质即可解答． 【解答】解：，，， ， ∵， （两直线平行，内错角相等） ， ， （三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）， ． 【变式3-1】（2024-2025八年级上·广东湛江·期中）如图，，，，则 ． 【答案】25 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，邻补角的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据邻补角的定义得到，根据平行线的性质得到，根据三角形外角的性质即可得到结论． 【解答】解：如图， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：25． 【变式3-2】（2024-2025七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，与交于点，点在直线上，交于点，，，．则的度数是 ． 【答案】/180度 【分析】本题主要考查平行线的拐点模型，能识别出模型并作出辅助线是解题的关键． 证明，过点作，则，设，利用猪脚模型、锯齿模型表示出，即可分析出答案． 【解答】解：∵， ∴， 过点作， ∴， ， 设，则， ∵， ， ， ， 故答案为：． 【变式3-3】（2023-2024七年级下·江苏淮安·期中）如图，，，且．若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、三角形外角的定义及性质，由三角形外角的定义及性质得出，根据平行线的判定与性质证明出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【解答】解：∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【题型04】 利用三角形外角的性质解决角平分线中的问题 【例4】（2023-2024七年级下·江苏宿迁·期中）如图，D是内一点，连接、、，P是的角平分线的反向延长线上的一点，连接，，和的外角平分线相交于点Q，若，，则的度数为 ． 【答案】/50度 【分析】本题考查角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，设，表示出，于是，由可推出，根据求得的值，进一步得出结果． 【解答】解：如图所示： 设的延长线交于，，则， ， ， 平分， ， ， 在中，， 平分，平分， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式4-1】（2024-2025八年级上·广西钦州·期中）如图，在中，，和的平分线交于点，得，和的平分线交于点，得，…，和的平分线交于点，得，和的平分线交于点，得，则的大小为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形外角的性质，图形类的规律探索，结合图形，灵活运用所学知识求解，是解题的关键． 根据角平分线的性质和三角形外角性质得出和的关系，进而求出与的关系，找出规律，得到与的关系即可求解． 【解答】解：平分，平分， ， 又， 由， 得 ， ， 同理可求，，， 以此类推，可得，， 当时，，又， ． 故答案为：． 【变式4-2】（2024-2025七年级下·山西吕梁·期中）如图，，，E是边上的一点，连接并延长，交的延长线于点H，F是边上的一点，平分，作的平分线，交于点G．若，则的度数为 ． 【答案】/34度 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，涉及三角形内角和定理、三角形外角定理． 根据以及，可得，从而得到，再结合平分，可得，设，根据三角形外角的性质可得，设，可得，在中， 根据三角形内角和定理可得，即可求解． 【解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 设， ∴， ∵是的平分线， ∴可设， ∴， 在中， ，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式4-3】（2024-2025七年级下·全国·专题练习）如图，点C、D分别在的边上运动（不与点O重合）．射线与射线分别在和内部，延长与交于点F． (1)若，分别是和的平分线，猜想：的度数是否随C，D的运动发生变化？请说明理由． (2)若，，，则 ．（用含α、n的代数式表示） 【答案】(1)的度数不变， (2) 【分析】本题考查了三角形的外角的性质，角平分线的定义． （1）依据是的外角，即可得到，再根据分别是和的平分线，可得，，再根据是的外角，即可得到，进而得到的度数不变； （2）利用（1）中的方法进行计算即可得到的度数． 【解答】（1）解：的度数不变． 是的外角， ， 分别是和的平分线， ，， 是的外角， ， 的度数不变． （2）如图，是的外角， ， ，，且是的外角， ； 故答案为：． 【题型05】 根据三角形外角的性质解决折叠中的问题 【例5】（2024-2025八年级·山东青岛·阶段练习）等腰纸片（）可按图中所示方法折成一个四边形，点与点重合．点与点重合，请问原等腰中的（ ）度． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质：两个底角相等，及三角形内角和定理．求得角之间的关系式正确解答本题的关键．把图展开后，可知，，可由三角形的内角和定理及三角形的外角与内角的关系求得的度数． 【解答】解：如图： 由题意知：， ∵， ∴，即， ∴． 故选：D． 【变式5-1】（2024-2025七年级下·广东深圳·期中）如图，在中，，点，分别是、边上的点，将沿所在直线对折，得到．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了对折的性质，三角形的外角的定义，三角形的内角和定理，熟练掌握对折的性质是解题的关键． 先由题意易得，由对折的性质可得，，再由三角形的外角的定义可得，最后由三角形的内角和定理即可得解． 【解答】解：∵， ∴， ∵，沿所在直线对折得到， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 【变式5-2】（2024-2025八年级上·浙江台州·期末）如图，将沿折叠得到，再将沿折叠得到，连接，交于点，连接，与相交于点，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角定理，三角形的外角性质，由折叠得，得出，利用外角性质求出结论． 【解答】解：由折叠的性质得， ∴， 由折叠的性质得，， ∵， ∴ ， 故答案为：C． 【变式5-3】（2023-2024七年级下·河北张家口·期末）如图，将三角形纸片按如图方式折叠：折痕分别为和，点A与边上的点G重合，点B与延长线上的点F重合．若满足，则 ． 【答案】38 【分析】本题考查三角形折叠中的角度问题，三角形的外角，根据折叠的性质，求出，三角形的内角和与外角的性质，分别求出，进而求出的度数即可． 【解答】解：∵折叠， ∴，，， ∴，即：， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：38． 【题型06】 根据三角形外角的性质求三角板中角的度数 【例6】（2024-2025七年级下·湖南长沙·阶段练习）将一副三角板按如图放置，直角顶点重合，其中，，，则下列结论正确的有（   ） ；如果，则有；如果，必有；如果，则． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，角的和差运算，三角形的外角的性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．如图，点在的延长线上，证明，进一步可得①正确；证明，可得故②错误；证明，可得③正确；求解，可得，求解，可得④正确，从而可得答案． 【解答】解：如图，点在的延长线上，    ， ， 又， ， 又， ， 即， 故①正确，符合题意； ∵， ， ， ， 故②错误，不符合题意； ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故③正确，符合题意． ∵，，， ， ∴， ∴； 故④正确，符合题意； 故选：A． 【变式6-1】（2024-2025八年级上·吉林白城·期末）如图，一副分别含有和角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了与三角板有关的计算以及三角形外角性质，先根据，，得出，结合是的外角，进行列式计算，即可作答． 【解答】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【变式6-2】（2024-2025八年级上·广东惠州·期中）将一副直角三角板按如图所示叠放在一起，则图中的度数是 ． 【答案】/75度 【分析】本题考查了三角板中角度的计算，三角形外角的性质等知识；由题意可求得的度数，由三角形外角的性质即可求解． 【解答】解：如图，由题意知， ∴， 故答案为：． 【变式6-3】（2022-2023七年级下·江苏南京·期末）将一副直角三角板如图放置，已知，，当时， ． 【答案】 【分析】根据三角形内角和定理、平行线的性质和判定及三角形外角的性质计算即可. 【解答】如图： ，， ，， ， 故答案为： 【点评】此题考查了三角形内角和定理、平行线的性质和判定及三角形外角的性质掌握相应的定理和性质是解答此题的关键. 【题型07】 与三角形外角的性质有关的新定义问题 【例7】（2024-2025八年级上·浙江温州·期中）在一个三角形中，如果一个角是另一个角的2倍，这样的三角形我们称之为“智慧三角形”．比如：三个内角分别为，，的三角形是“智慧三角形”．如图，，在射线上找一点，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点． (1) ； (2)若．求证：为“智慧三角形”； (3)当为“智慧三角形”时，请求出的度数． 【答案】(1)50 (2)为“智慧三角形” (3)的度数为或或或 【分析】本题考查了三角形内角和定理和外角性质，角的和差，直角三角形两锐角互余，理解题意并运用分类讨论思想解答是解题的关键． （1）根据直角三角形两锐角互余即可求解； （2）求出的度数，得到，据此即可证明； （3）由可得，再分，，，，和六种情况解答即可求解． 【解答】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为：50； （2）证明：∵，， ∴ ∴   ∴为“智慧三角形” （3）解：分情况讨论：①当时，，， ∴； ②当时，，，故舍去； ③当时，，故舍去； ④当时，， ∴； ⑤当时，，； ⑥当时，， ∴； 综上所述，的度数为或或或 【变式7-1】（2024-2025八年级上·湖北宜昌·阶段练习）在中，定义的平分线所在直线与的外角平分线所在直线所夹的锐角为的伴随角． (1)如图①，在中，，则的伴随角的度数为_______； (2)小明试图探究任意中的伴随角与之间的数量关系，于是他动手画了分别为直角、锐角、钝角的三个图，先通过测量相关角度后猜想结论，然后再验证结论． 根据以上三个图，测量相关角度，得到如下表格： ② ③ ④ 的度数 的伴随角的度数 根据表格，小明得到了的伴随角与之间的数量关系的猜想_______； (3)请你选择是锐角或钝角的情况，画出图形，帮小明验证他的猜想． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义： （1）根据三角形内角和定理得到，再由平角的定义和角平分线的定义得到，则，再由角平分线的定义得到，据此根据三角形内角和定理可得答案； （2）根据表格中的数据即可得到答案； （3）当是锐角时，先证明，再由角平分线的定义和平角的定义得到，则，再由角平分线的定义得到，据此根据三角形内角和定理可证明结论；当是钝角时，同理可证明结论． 【解答】（1）解：∵在中， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：根据表格可猜想 （3）解：如图③所示，当是锐角时， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； 如图④所示，当是钝角时，同理可得． 【变式7-2】（2023-2024七年级下·江苏镇江·期末）【概念】如果两个角的度数之差为，我们称这两个角互为“好友角”，其中一个角叫做另一个角的“好友角”，例如，，，则和互为“好友角”，即是的“好友角”，也是的“好友角”． 【理解】（1）若，则的“好友角”的度数为 ； （2）已知和互为“好友角”，，且和互补，的度数为 ； （3）如图，将纸片沿折叠，使点落在四边形内部处，已知，，若和互为“好友角”，则的度数为 ； 【拓展】如图，在中，，是角平分线，过点作的垂线，垂足为，相交于点．若与互为“好友角”，求的度数． 【答案】【理解】（）或；（）；（）或； 【拓展】或． 【分析】【理解】（）根据“好友角”定义，分情况讨论即可； （）根据“好友角”定义和互补的性质求解即可； （）连接，由三角形内角和得出，由折叠性质可知，然后根据外角性质得出，由题意分情况讨论即可； 【拓展】由平分，，得，，从而可得，再根据与互为“好友角”进行分类讨论即可； 本题考查了新定义，角分线的定义，三角形的内角和，垂直的定义，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【解答】【理解】（）根据“好友角”定义可得： 的“好友角”的度数为或， 故答案为：或； （）∵和互为“好友角”，， ∴， ∵和互补， ∴， 联立， 解得， 故答案为：； （）如图，连接， ∵，， ∴， ∴由折叠性质可知， ∵，， ∴， 即， ∵和互为“好友角”， ∴或， ∴或； 【拓展】∵平分，， ∴，， ∵，， ∴， ∵与互为“好友角”， ∴或， 则或， ∵， ∴或． 【变式7-3】（2024-2025八年级上·陕西西安·期末）定义：在一个三角形中，若一个内角的度数是另一个内角的度数的3倍，则这样的三角形称为“优美三角形”．例如：三个内角分别为的三角形是“优美三角形”． 【概念理解】 （1）如图1，，点在边上，过点作，交于点，以为端点作射线，交线段于点（点不与点重合）． ①______“优美三角形”（填“是”或“不是”）． ②若，求证：是“优美三角形”． 【应用拓展】 （2）如图2，点在的边上，连接，，作的平分线，交于点，在上取一点，使，．若是“优美三角形”，求的度数． 【答案】（1）①是；②见解析；（2） 【分析】本题考查三角形内角和定理，外角定理，平行线的判定与性质，“优美三角形”的定义等知识，解题的关键是理解题意． （1）①根据垂直的定义、三角形内角和定理求出的度数，根据“优美三角形”的概念判断； ②根据“优美三角形”的概念证明即可； （2）根据比较的性质得到，根据平行线的性质得到，推出，得到，根据角平分线的定义得到，求得，根据“优美三角形”的定义求解即可． 【解答】（1）①解：， ， ， ， 为“优美三角形”， 故答案为：是； ②证明：，， ， ， 为“优美三角形”； （2）解：，， ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， 是“优美三角形”， ， ， ． 【核心考点板块2 三角形外角与内角和定理的综合应用】 方法与技巧： 1.深刻理解三角形内角和定理及外角的三条性质的综合应用 【题型08】 三角形外角的性质与内角和的综合求值 【例8】（2024-2025八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，B是边上一点，，，，求和的度数． 【答案】， 【分析】根据，结合，，得到，继而得到，根据，得到，结合 解答即可． 本题考查了三角形外角性质，三角形内角和定理，角的和，熟练掌握三角形外角，三角形内角和定理是解题的关键． 【解答】解：根据题意，得， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式8-1】（2024-2025七年级下·山东烟台·期中）如图，在中，，P为上一点，且，求的度数．（请用两种方法来解决问题） 【答案】 【分析】本题考查三角形的内角和定理，三角形的外角，熟练掌握三角形的内角和定理和三角形的外角的性质，是解题的关键： 法一：三角形的内角和求出，三角形的外角结合角的和差关系，推出，即可； 法二：三角形的外角得到，角的和差关系得到，再利用三角形的内角和定理进行求解即可． 【解答】解：方法一： ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵，    ∴， 方法二： ∵是的一个外角， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴． 【变式8-2】（2024-2025八年级上·北京·期中）如图，在，，，是的外角的平分线，且交的延长线于点E，求和的度数． 【答案】 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形的外角性质，关键是由三角形内角和定理求出的度数，由三角形外角的性质得到．由三角形内角和定理求出，由角平分线定义得到，由三角形的外角性质求出． 【解答】解：∵在中，，， ∴； ∵， ∴， ∵是的外角的平分线， ∴， ∵是的外角， ∴， ， ∴． 【变式8-3】（2024-2025七年级下·江苏扬州·期中）已知：如图1，在三角形中，，将线段沿直线平移得到线段，连结． (1)当时，请说明． (2)如图2，当在上方时，且时，求与的度数． (3)当垂直三角形中的一边时，直接写出所有满足条件的的度数． 【答案】(1)证明过程见详解 (2) (3)当垂直三角形中的一边时的度数为或或 【分析】本题主要考查图形平移的性质，三角形内角和定理，外角和的性质，掌握以上知识，数形结合分析，分类讨论思想是解题的关键． （1）根据三角形的外角的性质得到，则，即可求解； （2）根据三角形的外加得到，可求出，则，由此即可求解； （3）根据直角三角形两锐角互余，三角形外角和的性质，分类计算即可． 【解答】（1）解：将线段沿直线平移得到线段， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：将线段沿直线平移得到线段， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，时， ∵， ∴， ∴当时，，即； 如图所示，时， ∵将线段沿直线平移得到线段， ∴， ∴； 如图所示，时，垂足为点， ∵在三角形中，， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上所述，当垂直三角形中的一边时的度数为或或． 【题型09】 三角形外角性质的综合证明 【例9】（2024-2025七年级下·山东烟台·期中）如图，中，分别在，上．已知，，． （1）求证：平分； （2）过点作的平分线交于点，若，求的度数． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的外角性质，三角形的内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据平行线的性质得出，，进而得出，即可求证； （2）先求出，再得出，则把数值代入进行计算，即可作答． 【解答】解：（1）证明：∵， ∴，， ∴． ∴， ∴平分； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 由（1）得 ∴． 【变式9-1】（2024-2025八年级上·四川成都·期末）如图，是的外角，平分，平分，且交于点E． (1)若，求证：； (2)试探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，平行线的判定，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． （1）根据角平分线的定义得出，结合已知推出，于是问题得证； （2）根据是的一个外角得出，再根据角平分线的定义推出，再根据是的一个外角得出，从而推出与之间的数量关系． 【解答】（1）证明：∵平分， ， ， ， ； （2）解：， 理由： ∵是的一个外角， ， ∵平分平分， ∴， ∴， ∵是的一个外角， ， ． 【变式9-2】（2023-2024八年级上·江苏连云港·期末）如图，点D，E分别在上，，F是上一点，的延长线交的延长线于点G．求证： （1）； （2）． 【答案】（1）证明见分析；（2）证明见分析． 【分析】本题考查平行线性质，外角和定理等． （1）先得，再利用平行线性质得，继而得答案； （2）利用外角和定理得，，再利用平行线性质得答案． 【解答】解：（1）解：∵的延长线交的延长线于点G， ∴是的外角， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵是的外角， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 【变式9-3】（2024-2025八年级上·河南三门峡·阶段练习）如图（1）已知的外角与的平分线相交于点P，如图（2）已知的内角与外角的角平分线相交于点P． 选择其中一个图形猜想与的关系并证明你的猜想． 解：我选择的是_________，猜想结论：_________． 证明： 【答案】图（1），结论：或图（2），结论：．证明见分析． 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义和三角形的外角的性质．熟练掌握角平分线的定义和三角形的外角的性质是解题的关键． （1）图（1）中，根据三角形的内角和定理、角平分线定义和三角形的外角的性质进行推导，得； （2）图（2）中，根据角平分线定义和三角形的外角的性质，可以得到． 【解答】解：图（1），结论：． 证明如下： ，， ． ，分别是外角，的角平分线， ． 即：； 图（2），结论：． 证明如下： ，分别是的内角与外角的角平分线， ，． 是的外角， ． ， ． 故答案为：图（1），结论：或图（2），结论：． 【题型10】 与三角形外角性质有关的实际应用 【例10】（2024-2025八年级上·湖北十堰·期末）体育课上的侧压腿动作（如图1）可以抽象为几何图形（如图2），如果，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的外角的性质.根据三角形的外角的性质即可求解． 【解答】解：∵，， ∴， 故选：A． 【变式10-1】（2023-2024八年级上·广东汕头·阶段练习）知识改变世界，科技改变生活，导航装备的不断更新极大方便了人们的出行．周末，小强一家到，两处景区游玩，他们从家处出发，向正北行驶到达处，若在处测得景区在北偏西方向上，且，则在处测得景区应位于（   ） A．北偏西 B．南偏西 C．北偏西 D．南偏西 【答案】C 【分析】依题意，，根据三角形的外角的性质以及已知条件得出，即可求解． 【解答】解：如图所示，    依题意， ∵， 即在处测得景区应位于北偏西 故选：C． 【点评】本题考查了方位角的计算，三角形的外角的性质，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键． 【变式10-2】（2024-2025八年级上·河北邢台·期中）如图，阴影部分是一个喷水池，现要修建两条通向水池的小道和，要求和所在的直线互相垂直．为了检验和是否垂直，小亮同学在水池外的平地上选定一个可直接到达点P和Q的点C，然后测得，，．请问：这样做和的位置关系是否垂直 （填是或否）． 【答案】是 【分析】本题考查了三角形的外角的性质，延长，交于点，的延长线与交于点，根据三角形外角的性质结合已知条件得出，即可求解． 【解答】解：延长，交于点，的延长线与交于点，如图所示： 则． ． ． 故答案为：是． 【变式10-3】（2024-2025七年级下·山西运城·期中）如图1是消防云梯作业图，图2是小明绘制的示意图．示意图由救援台、延展臂（B在左侧）、伸展主臂、支撑臂构成．在作业过程中，救援台、车身及地面三者始终保持水平，图中所有的点在同一竖直平面内，已知延展臂与支撑臂所在直线互相垂直，且，则这时展角的度数为 ． 【答案】166 【分析】本题主要考查平行线的性质，三角形的外角的性质，解答的关键是作出正确的辅助线．延长，，相交于点，则可得，延长交的延长线于点，利用平行线的性质可求得，再利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，从而求得的度数． 【解答】解：延长，，相交于点，则可得，延长交的延长线于点，如图： 平行，， ， 延展臂与支撑臂所在直线互相垂直， ， ． 故答案为：166． 【题型11】 直通中考真题 1．（2025·贵州·中考真题）下列图中能说明一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查对顶角，三角形的外角，比较角的大小，根据相关知识点逐一进行判断即可． 【解答】解：A、对顶角相等，故，符合题意； B、根据三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角可得：，不符合题意； C、平角的定义得到，直角大于锐角，故，不符合题意； D、由图可知，，不符合题意； 故选A 2．（2025·辽宁·中考真题）如图，点在的边上，，垂足为，，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角，根据平行线的性质，得到，再根据三角形的外角的性质，求出的度数即可． 【解答】解：∵，，， ∴， ∴； 故选C． 3．（2025·山东烟台·中考真题）如图是一款儿童小推车的示意图，若，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角定理，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的性质．首先根据平行线的性质得出，再根据三角形的外角性质即可求出． 【解答】解：∵，， ∴， ∵， ， ∴； 故选：A． 4．（2025·山东威海·中考真题）如图，直线，，．若．则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 首先求出，然后由平行线的性质得到，然后利用三角形外角的性质求解即可． 【解答】解：如图所示， ∵， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴． 故选：A． 5.（2025·福建·中考真题）某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，．当时，的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质，根据平行线的性质得到，再根据三角形的外角的性质，进行求解即可．熟练掌握相关性质，是解题的关键． 【解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故选：B． 6．（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质．根据等腰三角形的性质，可得，再由三角形外角的性质，即可求解． 【解答】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B 7．（2024·四川凉山·中考真题）一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点在的延长线上，当时，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质，掌握平行线的性质，是解题的关键．证明，再利用，进行求解即可． 【解答】解：由题意，得：， ∵， ∴， ∴； 故选B． 8．（2024·四川巴中·中考真题）如图，直线，一块含有的直角三角板按如图所示放置．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的外角性质，平行线的性质．利用对顶角相等求得的度数，再利用三角形的外角性质求得的度数，最后利用平行线的性质即可求解． 【解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 9．（2023·四川宜宾·中考真题）如图， ，且，，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】可求，再由，即可求解． 【解答】解：， ， ， ， ． 故选：D． 【点评】本题考查了平行线的性质，三角形外角性质，掌握三角形外角的性质是解题的关键． 10．（2024·四川凉山·中考真题）如图，中，是边上的高，是的平分线，则的度数是 ． 【答案】/100度 【分析】本题考查了三角形内角和以及外角性质、角平分线的定义．先求出，结合高的定义，得，因为角平分线的定义得，运用三角形的外角性质，即可作答． 【解答】解：∵， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴． 故答案为：． 11．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，直线，直线，，则 ． 【答案】30 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角性质，根据两直线平行，同位角相等，求出的度数，根据三角形的外角的性质，得到，即可求出的度数． 【解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：30． 12．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，，，．则 ． 【答案】66 【分析】本题考查了平行线的性质，等边对等角，三角形外角的性质，根据等边对等角可得，根据三角形的外角的性质可得，根据平行线的性质，即可求解． 【解答】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 13．（2024·四川达州·中考真题）如图，在中，，分别是内角、外角的三等分线，且，，在中，，分别是内角，外角的三等分线．且，，…，以此规律作下去．若．则 度． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外角定理，等式性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 先分别对运用三角形的外角定理，设，则，，则，得到，，同理可求：，所以可得． 【解答】解：如图： ∵，， ∴设，，则，， 由三角形的外角的性质得：，， ∴， 如图： 同理可求：， ∴， ……， ∴， 即， 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $$