《数学广角——植树问题》（教学设计）- 2024-2025学年五年级上册数学人教版

《数学广角——植树问题》教案 - 2024-2025 学年人教版小学数学五年级上册 一、教学目标 1. 【数学抽象与模型建构】通过画图、列表、归纳等活动，引导学生经历将现实“植树问题”简化、抽象为数学模型的过程。使学生理解并掌握在线段上植树（两端都栽、一端栽一端不栽、两端都不栽）的三种基本情况中，【棵数】与【间隔数】之间的关系，并能运用这些模型解决相关的实际问题。 2. 【逻辑推理与运算求解】学生能够运用“总长度 ÷ 间隔长度 = 间隔数”这一前置关系，并根据不同的植树方式，正确推理出棵数。培养学生分析问题、寻找规律、归纳总结的能力，并能准确进行计算，提升运算能力。 3. 【应用意识与创新精神】结合“为家乡设计植树方案”的情境，让学生感受数学与生活的紧密联系，体会数学在解决实际问题中的应用价值。在设计不同方案的过程中，培养学生从多角度思考问题的意识和初步的创新精神。 二、教学重难点 1. 【教学重点】理解并掌握“两端都栽”的情况下，“棵数 = 间隔数 + 1”这一核心模型，并能运用此模型解决实际问题。 2. 【教学难点】理解三种不同植树情况下“棵数”与“间隔数”之间的关系，并能根据实际情境灵活选择合适的模型解决问题。特别是理解为什么棵树与间隔数会产生 “+1”、“相等”或“-1”的差异。 三、教学准备 1. 教师：多媒体教学设备、板书设计稿。 2. 学生：练习本、铅笔、直尺。 四、教学过程 （一）创设情境，导入新课（预计时间：4分钟） 1. 【教师行为】 （1）播放展示家乡（峰峰矿区）美丽景色的图片，激发学生热爱家乡的情感和学习兴趣。 （2）教师以亲切的口吻引入情境：“同学们，我们的家乡峰峰矿区正在变得越来越美丽。最近，市政部门新修了一条柏油路，为了让我们的城市更加绿色环保，他们计划在这条路上栽种梧桐树，并邀请我们五年级的同学来担任‘小小设计师’，为他们提供一份科学的植树方案。你们愿意接受这个挑战吗？” （3）出示核心任务问题：“峰峰矿区新修了一条长3千米的柏油路，要求在路的一边栽梧桐树，每隔5米栽一棵，一共要栽多少棵？” （4）引导学生审题，并对问题中的关键信息进行解读和澄清。 “同学们，请大家仔细阅读这个任务，你从中获得了哪些重要的数学信息？‘3千米’是什么意思？‘一边’呢？‘每隔5米栽一棵’又告诉了我们什么？” 教师根据学生的回答进行精讲点拨：“‘3千米’是这条路的总长度，为了方便计算，我们通常需要把它转化成米，也就是3000米。‘一边’指的是路的一侧。而‘每隔5米栽一棵’，这个‘5米’就是相邻两棵树之间的距离，在数学上我们给它一个专门的名字，叫做【间隔长度】。这条路上会有很多个这样的5米，也就是有很多个【间隔】。” 教师在黑板上画一条线段，在线段上取几个点，直观地解释“间隔”和“间隔长度”的概念。“大家看，这条线段就像我们的马路，每两个点之间的部分就是一个间隔。这条线段被分成了几份，就是有几个间隔，我们就说它有几个‘间隔数’。” 2. 【学生行为】 （1）欣赏家乡美景，产生自豪感和参与感。 （2) 积极响应教师的号召，进入“小小设计师”的角色。 （3）齐读或默读任务问题，思考并找出关键信息。 （4）在教师的引导下，口头回答对“3千米”、“一边”、“每隔5米栽一棵”等信息的理解。通过教师的讲解，明确【间隔长度】和【间隔数】的含义。 3. 【设计意图】通过创设与学生生活紧密相关的真实情境，将数学问题融入到一项有意义的任务中，极大地激发了学生的学习兴趣和内在动机。在审题过程中，帮助学生厘清问题中的关键概念，为后续的探究学习扫清障碍，并自然引入本节课的核心概念——“间隔”。 （二）动手操作，探究规律（预计时间：15分钟） 1. 【教师行为】 （1）引导学生简化问题，将复杂问题转化为简单问题进行研究。 “同学们，要在3000米长的路上去模拟栽树，直接画图太困难了。数学中有一个非常重要的方法，就是‘化繁为简’。我们可以先把路变短一些，比如变成20米，间隔长度变成5米，这样是不是就容易研究了？我们先来解决这个简化版的问题。” （2）提出探究核心问题，引发学生思考。 “在一条20米长的路上，每隔5米栽一棵树。大家猜一猜，可能需要栽多少棵树呢？有没有同学觉得答案是唯一的？” 引导学生意识到栽树的方式可能会影响最终的棵数，从而引出三种不同的栽树方式：“同学们想得很好，栽树的方式确实很重要。比如，我们可以在路的两头都栽上树，也可以只在一头栽，或者两头都不栽。这三种情况，结果会一样吗？今天我们就来动手研究一下。” （3）布置小组合作探究任务，明确操作要求。 “现在，请大家以四人小组为单位，进行一个画图探究活动。请每个小组在练习本上画一条10厘米长的线段，我们用这10厘米代表20米长的路。每隔2.5厘米（代表5米）画一个点，这个点就代表一棵树。” “请大家分别画出以下三种情况的示意图，并数出每种情况下的间隔数和棵数，完成下面的探究表格。” 教师在黑板上展示探究表格的样式： 植树方式 示意图（学生在本上画） 总长度 间隔长度 间隔数 棵数 两端都栽 （学生画图区域） 20米 5米 一端栽，一端不栽 （学生画图区域） 20米 5米 两端都不栽 （学生画图区域） 20米 5米 （4）巡视指导，观察并帮助学生解决在操作中遇到的问题。重点关注学生是否能正确计算间隔数，以及是否能准确地根据三种方式画出示意图并计数。 2. 【学生行为】 （1）跟随教师的引导，将原问题简化为“20米长的路，每隔5米栽一棵”。 （2）进行初步猜测，并意识到栽树方式可能不同。 （3）以小组为单位，分工合作。一名同学负责画线段，一名同学负责标记点，一名同学负责计数，一名同学负责填写表格。 （4）动手操作： 计算间隔数：`20 ÷ 5 = 4`（个）。 画图并计数： 【两端都栽】：画一条线段，在线段的起点、终点以及中间3个分点上都画点。数出共有5个点。 【一端栽，一端不栽】：画一条线段，在起点和中间3个分点画点，终点不画（或反之）。数出共有4个点。 【两端都不栽】：画一条线段，只在中间3个分点画点，起点和终点都不画。数出共有3个点。 （5）将计算和数出的结果填入探究表格中。 3. 【设计意图】这是本节课的核心环节。通过“化繁为简”的数学思想，将一个大数字问题转化为学生可以亲手操作、亲眼观察的小问题。学生在画图、数数、填表的亲身实践中，直观地感知到了“间隔数”和“棵数”在不同情况下的数量关系，为接下来发现规律、构建模型奠定了坚实的基础。小组合作的形式也能培养学生的协作能力和交流意识。 （三）归纳规律，构建模型（预计时间：8分钟） 1. 【教师行为】 （1）组织全班交流，汇报探究结果。 “哪个小组愿意来分享一下你们的探究成果？” 请一个小组的学生代表到黑板前，展示他们画的图，并汇报他们表格中的数据。 （2）引导学生观察表格，发现规律。 教师将汇报的数据清晰地呈现在黑板的表格中，并引导全班学生观察。 提出一系列有层次的引导性问题： “同学们，请仔细观察这张表格。在三种情况下，什么数量是不变的？（总长度、间隔长度、间隔数）” “什么数量是变化的？（棵数）” “我们先来看第一种情况‘两端都栽’。你们发现棵数和间隔数之间有什么关系吗？（棵数比间隔数多1）” “再看第二种情况‘一端栽，一端不栽’，棵数和间隔数之间又有什么关系呢？（棵数和间隔数相等）” “最后一种情况‘两端都不栽’呢？（棵数比间隔数少1）” （3）总结并板书数学模型。 “同学们太棒了，通过自己的动手操作和观察，我们发现了植树问题中最重要的规律！” 教师根据学生的回答，在黑板上郑重地写下三个核心公式，并要求学生齐读，加深记忆。 【板书】 **两端都栽：棵数 = 间隔数 + 1** **一端栽，一端不栽：棵数 = 间隔数** **两端都不栽：棵数 = 间隔数 - 1** 同时，再次强调一个前提公式： 【板书】**间隔数 = 总长度 ÷ 间隔长度** 2. 【学生行为】 （1）小组代表上台展示、汇报本组的探究过程和结果。 （2）其他同学认真倾听，并对照检查自己小组的结果是否一致。 （3）在教师的引导下，积极思考，观察表格中的数据，踊跃回答问题，清晰地表达出自己发现的规律。 （4）跟读并理解三个核心模型，将这些规律记在脑中和笔记本上。 3. 【设计意图】这一环节是学生从具体感知上升到抽象理性认识的关键一步。通过教师精准的提问和引导，帮助学生将零散的、感性的发现进行梳理、提炼和升华，最终形成清晰的数学模型。这个过程不仅让学生“知其然”，更让他们“知其所以然”，深刻体会到数学的规律之美，培养了学生的抽象概括能力和逻辑推理能力。 （四）应用模型，解决问题（预计时间：8分钟） 1. 【教师行为】 （1）引导学生回归初始问题。 “好了，同学们，现在我们已经掌握了解决植树问题的‘三大法宝’。让我们再次回到最初的挑战，为家乡的这条新路设计植树方案吧！” 重新出示问题：“峰峰矿区新修了一条长3千米的柏油路，要求在路的一边栽梧桐树，每隔5米栽一棵，一共要栽多少棵？” （2）引导学生分步骤解决问题。 “要解决这个问题，我们的‘设计秘诀’是什么？第一步应该做什么？”（引导学生说出：先求间隔数。） “好，请大家动笔计算一下这条路一边一共有多少个间隔。” 教师根据学生的计算过程，进行板书演示。 【板书】**解：** **第一步：统一单位，计算间隔数。** 3千米 = 3000米 间隔数：`3000 ÷ 5 = 600`（个） “我们已经计算出有600个间隔。现在，问题来了，题目中并没有明确告诉我们栽树的方式。作为‘小小设计师’，我们应该怎么办？”（引导学生想到，可以提供多种方案供市政部门选择。） （3）指导学生设计三种方案。 “说得太好了！一个优秀的设计师会考虑各种可能性。现在，请大家利用我们刚刚学到的模型，分别计算出三种不同栽树方式下需要多少棵树，完成我们的设计方案。” 【板书】**第二步：根据不同栽树方式，计算棵数。** **方案1：如果两端都栽** 棵数 = 间隔数 + 1 = `600 + 1 = 601`（棵） **方案2：如果一端栽，一端不栽** 棵数 = 间隔数 = `600`（棵） **方案3：如果两端都不栽** 棵数 = 间隔数 - 1 = `600 - 1 = 599`（棵） （4）提出延伸问题，深化理解。 “我们刚才计算的都是路‘一边’的情况。如果任务要求在路的‘两边’都按照‘两端都栽’的方式植树，那总共需要多少棵树呢？” 引导学生得出：`601 × 2 = 1202`（棵）。 2. 【学生行为】 （1）重温初始问题，学习热情高涨。 （2）在教师的引导下，明确解决问题的步骤：先求间隔数，再根据栽树方式求棵数。 （3）独立完成间隔数的计算，并口头汇报结果和算式。 （4）分组讨论或独立思考，运用三个模型分别计算出三种方案下的植树棵数。 （5）积极回答教师的延伸问题，完成“两边”植树的计算，将知识进行拓展应用。 3. 【设计意图】学以致用是数学学习的最终目的。本环节让学生将刚刚构建的数学模型应用于解决真实的、复杂的初始问题。通过分步解决和设计多方案的过程，不仅巩固了新知，还培养了学生条理清晰、考虑全面的解决问题的能力。最后的延伸问题，则是在原有基础上的一个小小提升，检测学生知识迁移的能力。 （五）巩固练习，深化拓展（预计时间：3分钟） 1. 【教师行为】 （1）组织“超级抢答”活动，进行快速反馈。 “接下来是超级抢答环节，请大家快速思考，抢答问题！” 题目1：“在一段200米长的跑道一侧插彩旗，每隔4米插一面。如果跑道两端都要插，一共要插多少面？” （解析引导：先算间隔数 `200 ÷ 4 = 50` 个，两端都插，所以是 `50 + 1 = 51` 面。） 题目2：“同学们排成一队，全长15米，每相邻两个同学间隔3米。如果队伍的最前面和最后面都站了人，这一队一共有多少个同学？” （解析引导：这其实也是一个‘两端都栽’的植树问题。间隔数 `15 ÷ 3 = 5` 个，人数就是 `5 + 1 = 6` 人。） 2. 【学生行为】 （1）积极参与抢答，快速心算或在草稿纸上计算。 （2）大声说出答案和自己的思考过程。 （3）通过练习，检验自己对知识的掌握程度，并发现生活中的“植树问题”变形。 3. 【设计意图】通过快速、小剂量的练习，及时检测学生对本节课核心知识的掌握情况。将问题情境从“植树”变换为“插彩旗”、“排队”，有助于学生打破思维定式，理解“植树问题”的数学本质，培养举一反三的能力。 （六）课堂总结，回顾升华（预计时间：2分钟） 1. 【教师行为】 （1）引导学生回顾本节课的学习过程和收获。 “同学们，这节课我们作为‘小小设计师’，成功地解决了植树问题。回想一下，我们是如何一步步完成这个挑战的？你有哪些收获？” （2）进行总结性发言，提炼数学思想方法。 “今天我们学习了植树问题，关键是要弄清楚‘棵数’和‘间隔数’之间的关系。解决这类问题的秘诀就是：【先求间隔，再看方式，最后计算】。我们还运用了‘化繁为简’的数学思想，把一个复杂的问题变成简单问题来研究，从而发现了其中的规律。希望同学们在生活中也能做个有心人，发现更多有趣的数学问题。” 2. 【学生行为】 （1）踊跃发言，分享自己的学习心得，如：“我学会了三种植树问题的计算方法”、“我知道了解决问题要先算间隔数”、“我明白了画图可以帮助我们理解问题”等。 （2）认真倾听教师的总结，再次梳理本节课的知识体系和思想方法。 3. 【设计意图】通过师生共同总结，帮助学生构建清晰的知识网络，将所学知识系统化。同时，提炼和强调本节课所蕴含的数学思想方法，实现知识与能力的双重提升，让学生不仅学会知识，更学会思考。 五、板书设计 数学广角——植树问题 【情境问题】3千米长的路，一边每隔5米栽一棵，要栽多少棵？ 3千米 = 3000米 【核心概念】间隔数 = 总长度 ÷ 间隔长度 间隔数：`3000 ÷ 5 = 600`（个） 【探究规律与模型】 1. 两端都栽：棵数 = 间隔数 + 1 方案1：`601` 棵 2. 一端栽，一端不栽：棵数 = 间隔数 方案2：`600` 棵 3. 两端都不栽：棵数 = 间隔数 - 1 方案3：`599` 棵 【设计秘诀】先求间隔 -> 再看方式 -> 最后计算 六、作业布置 1. 【基础性作业】 （1）一根木头长10米，要把它锯成5段，每锯一次需要3分钟，全部锯完需要多少分钟？ （提示：锯成5段，需要锯几次？这相当于哪种植树问题？） （2）在一条长400米的公路一侧，从头到尾每隔8米安装一根电线杆，一共要安装多少根？ 2. 【拓展性作业】 一个圆形花坛的周长是60米，现在要沿着花坛的边每隔3米栽一盆花，一共需要多少盆花？ （思考：在圆形的线路上栽树，它的“头”和“尾”是怎样的？这又属于哪种情况呢？可以自己画个图研究一下。） 学科网（北京）股份有限公司 $$