01 集合讲义-2026届高三数学一轮复习

1.1　集合（学生版）【讲义】 01考情分析 课标要求 真题统计 考情分析 1.了解集合的含义，了解全集、空集的含义. 2.理解元素与集合的属于关系，理解集合间的包含和相等关系. 3.会求两个集合的并集、交集与补集. 4.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本运算． 2025年I卷第2题，5分 2025年II卷第3题，5分 2024年 I卷第1题，5分 2023年 I卷第1题，5分 2023年 II卷第2题，5分 2022年 I卷II卷第1题，5分 2021年I卷II卷第1题，5分 2020年I卷II卷第1题，5分 本讲为高考命题热点，题型以选择题为主，考查内容、频率、题型、难度均变化不大. 重点是集合间的基本运算，主要考查集合的交、并、补运算，常与一元二次不等式解法、一元一次不等式解法、分式不等式解法、指数、对数不等式解法结合.同时适当关注集合与充要条件相结合的解题方法. 02 知识梳理 1、元素与集合 （1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性. （2）元素与集合的关系：属于 或 不属于，数学符号分别记为：和. （3）集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（图）. （4）常见数集和数学符号 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 或 说明： ①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.给定集合，可知,在该集合中，,不在该集合中； ②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说，集合中的元素是不重复出现的. 集合应满足. ③无序性：组成集合的元素间没有顺序之分。集合和是同一个集合. ④列举法 把集合的元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法. ⑤描述法 用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法. 具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征. 2、集合间的基本关系 （1）子集（subset）：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集 ，记作（或），读作“A包含于B”（或“包含”）. （2）真子集（proper subset）：如果集合，但存在元素，且，我们称集合A是集合的真子集，记作（或）.读作“A真包含于B ”或“B真包含A ”. （3）相等：如果集合A是集合B的子集（，且集合B是集合A的子集（），此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等，记作. （4）空集的性质： 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 3、集合的基本运算 （1）交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作，即． （2）并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的并集，记作，即． （3）补集：对于一个集合A，由全集中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集的补集，简称为集合A的补集，记作，即． 4、集合的运算性质 （1），，． （2），，． （3），，． 【解题方法总结】 （1）若有限集A中有个元素，则A的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个． （2）空集是任何集合A的子集，是任何非空集合B的真子集． （3）． （4）,． 03 八大题型归纳 题型一：集合的表示：列举法、描述法 ( 经典 例题 ) 【典例1-1】 （2018·全国二卷第2题）已知集合，则A中元素的个数为（ ） A．9    B．8    C．5    D．4 【典例1-2】 （2025·全国二卷第2题）已知集合则（   ） A． B． C． D． ( 模拟 好题 ) 1.（2024·广东江门·一模）已知集合，，则集合B中所有元素之和为（    ） A．0 B．1 C．－1 D． 【解题总结】 1、列举法，注意元素互异性和无序性，列举法的特点是直观、一目了然. 2、描述法，注意代表元素. 题型二：集合元素的三大特征 ( 经典 例题 ) 【典例2-1】 设集合，，已知且，则的取值集合为 . 【典例2-2】 由构成的集合中，元素个数最多是 . ( 模拟 好题 ) 1．（2024·江西·金溪一中校联考模拟预测）已知集合，，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 2．（2024·北京东城·统考一模）已知集合，且，则a可以为（    ） A．－2 B．－1 C． D． 【解题方法总结】 1、研究集合问题，看元素是否满足集合的特征：确定性、互异性、无序性。 2、研究两个或者多个集合的关系时，最重要的技巧是将两集合的关系转化为元素间的关系。 题型三：元素与集合间的关系 ( 经典 例题 ) 【典例3-1】 已知集合，，，，若，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． ( 模拟 好题 ) 1．（2024·吉林延边·统考二模）已知集合的元素只有一个，则实数a的值为（    ） A． B．0 C．或0 D．无解 2．（2024·全国·高三专题练习）已知集合，则A中元素的个数为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【解题方法总结】 1、一定要牢记五个大写字母所表示的数集，尤其是N与N*的区别． 2、当集合用描述法给出时，一定要注意描述的是点还是数． 题型四：集合与集合之间的关系 ( 经典 例题 ) 【典例4-1】 已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【典例4-2】 已知集合，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． ( 模拟 好题 ) 1．（2024·四川德阳·三模）已知集合，，若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·河南驻马店·一模） 已知集合，则与的关系是（    ） A． B． C．且 D．不能确定 【解题方法总结】 1、注意子集和真子集的联系与区别. 2、判断集合之间关系的两大技巧： （1）定义法进行判断 （2）数形结合法进行判断 题型五：集合的交、并、补运算 ( 经典 例题 ) 【典例5-1】 （2020·全国高考真题（理））已知集合，，则中元素的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【典例5-2】 已知集合，则（   ） A． B． C． D． ( 模拟 好题 ) 1．（2024上·河南·高三校联考期末）已知集合，，则的真子集个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．7 2．（2025·江西·三模）已知集合，，，则中的元素个数至少为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【解题方法总结】 1、注意交集与并集之间的关系 2、全集和补集是不可分离的两个概念 题型六：集合与排列组合的密切结合 ( 经典 例题 ) 【典例6-1】 设集合，，那么集合中满足的元素的个数为（    ） A．60 B．100 C．120 D．130 【典例6-2】 设集合，定义：集合，集合，集合，分别用，表示集合S，T中元素的个数，则下列结论可能成立的是（    ） A． B． C． D． ( 模拟 好题 ) 1．（2024·全国·模拟预测）已知集合A，B满足，若，且，表示两个不同的“AB互衬对”，则满足题意的“AB互衬对”个数为（    ） A．9 B．4 C．27 D．8 2．（2025·全国·模拟预测）若集合N的三个子集A，B，C满足，且，则称为N的“有序子集列”．现有，则N的“有序子集列”的个数为（    ） A．540个 B．1280个 C．3240个 D．7680个 【解题方法总结】 利用排列与组合思想解决集合或者集合中元素个数的问题，需要运用分析与转化的思想方法 题型七：集合的创新定义 ( 经典 例题 ) 【典例7-1】 （2020·浙江·统考高考真题）设集合S，T，SN*，TN*，S，T中至少有两个元素，且S，T满足：①对于任意x，yS，若x≠y，都有xyT；②对于任意x，yT，若x<y，则S； 下列命题正确的是（    ） A．若S有4个元素，则S∪T有7个元素 B．若S有4个元素，则S∪T有6个元素 C．若S有3个元素，则S∪T有5个元素 D．若S有3个元素，则S∪T有4个元素 【典例7-2】 （多选题）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数史称戴德金分割，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足，，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称为戴德金分割试判断下列选项中，可能成立的是（    ） A．是一个戴德金分割 B．M没有最大元素，N有一个最小元素 C．M有一个最大元素，N有一个最小元素 D．M没有最大元素，N也没有最小元素 ( 模拟 好题 ) 1．（2025·湖北黄冈·模拟预测）对于集合A、B，定义运算：且，.若，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山西·一模）群的概念由法国天才数学家伽罗瓦（1811-1832）在19世纪30年代开创，群论虽起源于对代数多项式方程的研究，但在量子力学､晶体结构学等其他学科中也有十分广泛的应用.设是一个非空集合，“”是一个适用于中元素的运算，若同时满足以下四个条件，则称对“”构成一个群：（1）封闭性，即若，则存在唯一确定的，使得；（2）结合律成立，即对中任意元素都有；（3）单位元存在，即存在，对任意，满足，则称为单位元；（4）逆元存在，即任意，存在，使得，则称与互为逆元，记作.一般地，可简记作可简记作可简记作，以此类推.正八边形的中心为.以表示恒等变换，即不对正八边形作任何变换；以表示以点为中心，将正八边形逆时针旋转的旋转变换；以表示以所在直线为轴，将正八边形进行轴对称变换.定义运算“”表示复合变换，即表示将正八边形先进行变换再进行变换的变换.以形如，并规定的变换为元素，可组成集合，则对运算“”可构成群，称之为“正八边形的对称变换群”，记作.则以下关于及其元素的说法中，正确的有（    ） A．，且 B．与互为逆元 C．中有无穷多个元素 D．中至少存在三个不同的元素，它们的逆元都是其本身 【解题方法总结】 1、集合的创新定义题核心在于读懂题意。读懂里边的数学知识，一般情况下，它所涉及到的知识和方法并不难，难在转化. 2、集合的创新定义题，主要是在题干中定义“新的概念，新的计算公式，新的运算法则，新的定理”，要根据这些新定义去解决问题，有时为了有助于理解，还可以用类比的方法进行理解。 题型八：集合的应用问题 ( 经典 例题 ) 【典例8-1】 某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（    ） A．62% B．56% C．46% D．42% 【典例8-2】 设表示有限集合A中元素的个数.则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ( 模拟 好题 ) 1．某小学对小学生的课外活动进行了调查．调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有人，参加唱歌课外活动的有人，参加体育课外活动的有人，三种课外活动都参加的有人，选择两种课外活动参加的有人，不参加其中任何一种课外活动的有人．则接受调查的小学生共有（    ） A．人 B．人 C．人 D．人 2．学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人。两次运动会中，这个班总共参赛的同学有（    ） A．20人 B．17人 C．15人 D．12人 【解题方法总结】 我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，用表示有限集合中元素的个数.例如，，则. 容斥原理告诉我们： （1）如果被计数的事物有A，B两类，那么， （2）如果被计数的事物有三类，那么， ( 第 1 页 共 11 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1 页 共 18 页 1.1 集合（教师版）【讲义】 01 考情分析 课标要求 真题统计 考情分析 1.了解集合的含义，了 解全集、空集的含义. 2.理解元素与集合的 属于关系，理解集合间 的包含和相等关系. 3.会求两个集合的并 集、交集与补集. 4.能用自然语言、图形 语言、集合语言描述不 同的具体问题，能使用 Venn图表示集合间的 基本关系和基本运算． 2025年 I卷第 2题，5分 2025年 II卷第 3题，5分 2024年 I卷第 1题，5分 2023年 I卷第 1题，5分 2023年 II卷第 2题，5分 2022年 I卷 II卷第 1题，5分 2021年 I卷 II卷第 1题，5分 2020年 I卷 II卷第 1题，5分 本讲为高考命题热点，题型以选 择题为主，考查内容、频率、题 型、难度均变化不大. 重点是集 合间的基本运算，主要考查集合 的交、并、补运算，常与一元二 次不等式解法、一元一次不等式 解法、分式不等式解法、指数、 对数不等式解法结合.同时适当 关注集合与充要条件相结合的 解题方法. 02 知识梳理 1、元素与集合 （1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性. （2）元素与集合的关系：属于 或 不属于，数学符号分别记为：和 . （3）集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（ venn图）. （4）常见数集和数学符号 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N 或 N Z Q R 第 2 页 共 18 页 说明： ①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何 一个元素在不在这个集合中就确定了.给定集合 {1,2,3,4,5}A  ，可知1 A ,在该集合中， 6 A ,不在该集合中； ②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说，集合中的元素是不重复出 现的. 集合 { , , }A a b c 应满足 a b c  . ③无序性：组成集合的元素间没有顺序之分。集合 {1,2,3,4,5}A  和 {1,3,5,2,4}B  是同 一个集合. ④列举法 把集合的元素一一列举出来，并用花括号“  ”括起来表示集合的方法叫做列举法. ⑤描述法 用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法. 具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围， 再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征. 2、集合间的基本关系 （1）子集（subset）：一般地，对于两个集合 A、B，如果集合 A中任意一个元素都是 集合 B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合 A为集合 B的子集 ，记作 A B （或 B A ），读作“A包含于 B”（或“ B包含 A ”）. （2）真子集（proper subset）：如果集合 A B ，但存在元素 x B ，且 x A ，我们称 集合 A是集合 B的真子集，记作 A B （或 B A ）.读作“A真包含于 B ”或“B真包含 A ”. （3）相等：如果集合 A是集合 B的子集（ A B ，且集合 B是集合 A的子集（ B A ）， 此时，集合 A与集合 B中的元素是一样的，因此，集合 A与集合 B相等，记作 A B . （4）空集的性质： 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作；是任何集合的 子集，是任何非空集合的真子集. 3、集合的基本运算 （1）交集：一般地，由属于集合 A且属于集合 B的所有元素组成的集合，称为 A与 B 的交集，记作 A B ，即 { | , }A B x x A x B   且 ． （2）并集：一般地，由所有属于集合 A或属于集合 B的元素组成的集合，称为 A与 B 的并集，记作 A B ，即 { | , }A B x x A x B   或 ． （3）补集：对于一个集合 A，由全集U 中不属于集合 A的所有元素组成的集合称为集 合 A相对于全集U 的补集，简称为集合 A的补集，记作 UC A，即 { | , }UC A x x U x A  且 ． 第 3 页 共 18 页 4、集合的运算性质 （1） A A A  ， A ， A B B A   ． （2） A A A  ， A A  ， A B B A   ． （3）  UA C A ，  UA C A U  ，  U UC C A A ． 【解题方法总结】 （1）若有限集A中有 n个元素，则A的子集有 2n 个，真子集有 2 1n  个，非空子集有 2 1n  个，非空真子集有 2 2n  个． （2）空集是任何集合 A的子集，是任何非空集合 B的真子集． （3） U UA B A B A A B B C B C A        ． （4） ( ) ( ) ( )U U UC A B C A C B  , ( ) ( ) ( )U U UC A B C A C B  ． 03 八大题型归纳 题型一：集合的表示：列举法、描述法 经典 例题 【典例 1-1】 （2018·全国二卷第 2题）已知集合   2 2, 3 Z ZA x y x y x y    ， ， ，则 A中元 素的个数为（ ） A．9 B．8 C．5 D．4 【答案】A 【思路引导】根据枚举法，确定圆及其内部整点个数. 【精细解析】 2 2 3x y  2 3,x  Zx 1,0,1x   当 1x   时， 1,0,1y   ；当 0x  时， 1,0,1y   ；当 1x  时， 1,0,1y   ； 所以共有 9个，故选：A. 【典例 1-2】 （2025·全国二卷第 2题）已知集合  3{ 4,0,1, 2,8 ,,}A B x x x   ∣ 则 A B  （ ） A．{0,1,2} B．{1,2,8} C．{2,8} D．{0,1} 第 4 页 共 18 页 【答案】D 【思路引导】求出集合 B后结合交集的定义可求 A B . 【精细解析】    3| 0, 1,1B x x x    ，故  0,1A B  ，故选：D. 模拟 好题 1.（2024·广东江门·一模）已知集合  1,0,1A   ，  2| 1 , 1B m m A m A     ，则集合 B中所有元素之和为（ ） A．0 B．1 C．－1 D． 2 【答案】C 【精细解析】根据条件分别令 2 1 1,0,1m    ，解得 0, 1, 2m    ，又 1m A  ，所以 1, 2m    ，  1, 2, 2B   ，所以集合 B中所有元素之和是 1 【解题总结】 1、列举法，注意元素互异性和无序性，列举法的特点是直观、一目了然. 2、描述法，注意代表元素. 题型二：集合元素的三大特征 经典 例题 【典例 2-1】 设集合 2 22,3, 3 , 7A a a a a         ， {| 2 |,3}B a  ，已知 4 A 且 4 B ，则 a的取值集合 为 . 【答案】{4} 【思路引导】根据元素与集合的关系以及集合的互异性可求出结果. 【精细解析】因为 4 A ，即 2 24 2,3, 3 , 7a a a a         ，所以 2 3 4a a  或 2 7 4a a    ，若 2 3 4a a  ，则 1a   或 4a  ；若 2 7 4a a    ，即 2 3 2 0a a   ，则 1a   或 2a   .由 2 3a a 与 2 7a a   互异，得 1a   ，故 2a   或 4a  ，又 4 B ，即 4 {| 2 |,3}a  ，所以 | 2 | 4a   ， 解得 2a   且 6a  ，综上所述， a的取值集合为{4}.故答案为：{4} 第 5 页 共 18 页 【典例 2-2】 由 2, , ,a a a a 构成的集合中，元素个数最多是 . 【答案】2 【思路引导】分 0a  与 0a  讨论即可求解. 【精细解析】当 0a  时， 2 0a a a a     ，此时元素个数为 1； 当 0a  时， 2 , 0 , 0 a a a a a a      ，所以一定与 a或 a 中的一个一致，此时元素个数为 2. 所以由 2, , | |,a a a a 构成的集合中，元素个数最多是 2个.故答案为:2. 模拟 好题 1．（2024·江西·金溪一中校联考模拟预测）已知集合  1, ,A a b ，  2, ,B a a ab ，若A B ， 则 2023 2022a b （ ） A． 1 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【精细解析】由题意 A B 可知，两集合元素全部相等，得到 2 1a ab b     或 2 1 a b ab     ，又根据集 合互异性，可知 1a  ，解得 1a  (舍)， 1 0 a b     和 1 1 a b    (舍)，所以 1a   ， 0b  ，则 2023 2022 2023 2022( 1) 0 1a b      ，故选：A 2．（2024·北京东城·统考一模）已知集合  2 2 0A x x   ，且a A ，则 a可以为（ ） A．－2 B．－1 C． 3 2 D． 2 【答案】B 【精细解析】∵ 2 2 0x   ，∴ 2 2x   ，∴  | 2 2A x x    ，可知 32 , , 2 2 A A A    ，故 A、C、D错误； 1 A  ，故 B正确. 【解题方法总结】 1、研究集合问题，看元素是否满足集合的特征：确定性、互异性、无序性。 2、研究两个或者多个集合的关系时，最重要的技巧是将两集合的关系转化为元素间的关系。 第 6 页 共 18 页 题型三：元素与集合间的关系 经典 例题 【典例 3-1】 已知集合  4 ,A x x k k  Z ，  4 1,B x x m m   Z ， 4 2,C x x n n   Z ，  4 3,D x x t t   Z ，若 a B ，b C ，则下列说法正确的是（ ） A． a b A  B． a b B  C． a b C  D． a b D  【答案】D 【思路引导】根据对描述法表示的集合的理解，设出 ,a b的表示形式，得到 a b ，判断其与 集合的关系即可. 【精细解析】因为 a B ，b C ，则由题意可设 4 1a m  ， 4 2b n  ，其中 ,m n Z Z， 则  4 3a b m n    ，且m n Z，故 a b D  ，故选：D． 模拟 好题 1．（2024·吉林延边·统考二模）已知集合  2= -3 +2=0A x ax x 的元素只有一个，则实数 a的 值为（ ） A． 9 8 B．0 C． 9 8 或 0 D．无解 【答案】C 【精细解析】集合 A有一个元素，即方程 2 3 2 0ax x   有一解， 当 =0a 时，    2 2= 3 +2=0 = 3 +2=0 = 3A x ax x x x        ，符合题意， 当 0a  时， 2 3 2 0ax x   有一解， 则 9 8 0a    ，解得： 9 8 a  ， 综上可得： =0a 或 9 8 a  ，故选：C. 2．（2024·全国·高三专题练习）已知集合   2 2 , 1, , 4 2 x yA x y x Z y Z           ，则 A中元素的 个数为（ ） 第 7 页 共 18 页 A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【精细解析】由椭圆的性质得 2 2, 2 2x y      ，又 ,x Z y Z  , 所以集合                       = 2,0 , 2,0 , 1,0 , 1,0 , 0,1 , 0, 1 , 0,0 , 1,1 , 1, 1 , 1,1 , 1, 1A        共有 11个元素. 故选：C 【解题方法总结】 1、一定要牢记五个大写字母所表示的数集，尤其是 N与 N*的区别． 2、当集合用描述法给出时，一定要注意描述的是点还是数． 题型四：集合与集合之间的关系 经典 例题 【典例 4-1】 已知集合  1M x x  ，  2 1N x x  ，则（ ） A．M N= B．M N C． N M D．M N  【答案】C 【分析】化简集合，结合集合的子集概念即可得解. 【精细解析】由题意集合  1M x x  ，    2 1 | 1 1N x x x x      ，所以 N M . 【典例 4-2】 已知集合  1A x x  ，  2 0B x x a   ，若 A B ，则实数 a的取值范围是（ ） A．  2, B．  2, C．  ,2 D．  ,2 【答案】A 【解析】集合    1 1 1A x x x x      ， 2 aB x x      .要使 A B ，只需1 2 a  ，解得： 2a  .故选：A 第 8 页 共 18 页 模拟 好题 1．（2024·四川德阳·三模）已知集合  024|1 2A x x   ，  |B x x a  ，若 A B ，则实 数 a的取值范围是（ ） A． (2024, ) B． )2024,[  C． ], 2( 024 D． ), 2( 024 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用集合的包含关系求解即得. 【详解】集合  024|1 2A x x   ，  |B x x a  ，又 A B ，则 2024a  ，所以实数 a的 取值范围是 )2024,[  ，故选：B 2．（2024·河南驻马店·一模） 已知集合 0 1 1, , , , 2 4 4 2 k kM x x k N x x k x M                   Z Z ，则 0x 与N的关系是（ ） A． 0x N B． 0x N C． 0x M 且 0x N D．不能确定 【答案】A 【分析】由 2 1| , Z 4 kM x x k       ， 2| , Z 4 kN x x k       可得结论. 【详解】 1 2 1| , Z 2 4 4 k kM x x k         ， 1 2| , Z 4 2 4 k kN x x k         ，由 Zk ，可 得 2 1k  是奇数， 2k  是整数，所以M N ，因为 0x M ，所以 0x N . 【解题方法总结】 1、注意子集和真子集的联系与区别. 2、判断集合之间关系的两大技巧： （1）定义法进行判断 （2）数形结合法进行判断 题型五：集合的交、并、补运算 经典 例题 第 9 页 共 18 页 【典例 5-1】 （2020·全国高考真题（理））已知集合 {( , ) | , , }A x y x y y x  *N ， {( , ) | 8}B x y x y   ，则 A B 中元素的个数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】采用列举法列举出 A B 中元素的即可. 【详解】由题意， A B 中的元素满足 8 y x x y     ，且 *,x y N ，由 8 2x y x   ，得 4x  ， 所以满足 8x y  的有 (1,7), (2,6), (3,5), (4,4)，故 A B 中元素的个数为 4.故选：C. 【典例 5-2】 已知集合     2 2 0 , ln 1 0A x x x B x x      ，则 A B  （ ） A． 2x x  B． 1x x  C． 0 2x x  D． 0 1x x  【答案】C 【分析】将集合 ,A B化简，再由并集的运算，即可得到结果. 【详解】由  2 2 0 2 0x x x x     ，解得0 2x  ，所以  0 2A x x   ，由    ln 1 0 ln 1 ln1x x     ，即0 1 1x   ，解得0 1x  ，所以  0 1B x x   ， 则 A B   0 2x x  .故选：C 模拟 好题 1．（2024上·河南·高三校联考期末）已知集合  2, 1,0,1,2A    ，  0B x x  ，则 A B 的 真子集个数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．7 【答案】B 【分析】先求出 A B ，结合 A B 的元素个数分析求解. 【详解】由题意可得  2, 1A B    ，故 A B 的真子集的个数为 22 1 3  ．故选：B． 2．（2025·江西·三模）已知集合  20, ,A a a ，  1,3 2B a a   ， Ra ，则 A B 中的元素 个数至少为（ ） 第 10 页 共 18 页 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】由集合A可得 0a  且 1a  ，再由 2 1 0a a   可得 1a  与 20, ,a a 均互异，结合特例 可得正确的选项. 【详解】由A中元素的互异性，得 20,a a a  ，即 0a  且 1a  ，而 2 2 1 31 ( ) 0 2 4 a a a      ， 则当 0a  且 1a  时， 1a  与 20, ,a a 均互异，因此 A B 中至少有 4元素，取 2a  ，此时    0,2,4 , 1,4A B  ， A B 有 4个元素，∴ A B 中的元素个数至少为 4个. 故选：C 【解题方法总结】 1、注意交集与并集之间的关系 2、全集和补集是不可分离的两个概念 题型六：集合与排列组合的密切结合 经典 例题 【典例 6-1】 设集合  1,0,1A   ，   1 2 3 4 5, , , , , 1, 2,3, 4,5iB x x x x x x A i   ，那么集合 B中满足 1 2 3 4 51 3x x x x x      的元素的个数为（ ） A．60 B．100 C．120 D．130 【答案】D 【分析】明确集合 B中满足 1 2 3 4 51 3x x x x x      的含义，结合组合数的计算，即可 求得答案. 【详解】由题意知集合 B中满足 1 2 3 4 51 3x x x x x      的元素的个数，即指 1 2 3 4 5, , , ,x x x x x 中取值为-1或 1的个数和为 1或 2或 3，故满足条件的元素的个数为 1 2 2 3 3 5 5 5C 2 C 2 C 2 10 40 80 130         （个），故选：D 【典例 6-2】 设集合  1 2 3 4, , ,X a a a a   N ，定义：集合  *, , , ,i j i jY a a a a X i j N i j     ，集合 第 11 页 共 18 页  , ,S x y x y Y x y    ，集合 , ,xT x y Y x yy         ，分别用 | |S ， | |T 表示集合 S，T中元 素的个数，则下列结论可能成立的是（ ） A． | | 6S  B． | | 16S  C． | | 9T  D． | | 16T  【答案】D 【解析】不妨设 1 2 3 41 a a a a   ，则 i ja a 的值为 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4, , , , ,a a a a a a a a a a a a      ， 显然， 1 2 1 3 1 4 2 4 3 4a a a a a a a a a a         ，所以集合 Y中至少有以上 5个元素，不妨 设 1 1 2 2 1 3 3 1 4 4 2 4 5 3 4, , , ,x a a x a a x a a x a a x a a          ，则显然 1 2 1 3 1 4 1 5 2 5 3 5 4 5x x x x x x x x x x x x x x      ，则集合 S中至少有 7个元素， 所以 | | 6S  不可能，故排除 A选项； 其次，若 1 4 2 3a a a a   ，则集合 Y中至多有 6个元素，则 2max 6| | C 15 16S    ，故排除 B 项； 对于集合 T，取 {1,3,5,7}X  ，则 {4,6,8,10,12}Y  ，此时 1 2 1 2 3 3 4 4 5 5 5 5 6 3, , , , , , , ,2, , , , , , ,3 3 5 2 3 5 4 5 3 6 4 3 2 5 2 T       ， | | 16T  ，故 D项正确； 对于 C选项而言， , jii j x x   ，则 i j x x 与 j i x x 一定成对出现， 1 1 0i j i jxx x x            ，所以 | |T 一 定是偶数，故 C项错误. 故选：D. 模拟 好题 1．（2024·全国·模拟预测）已知集合 A，B满足  1, 2, 3A B  ，若 A B ，且  &A B ， &B A 表示两个不同的“AB互衬对”，则满足题意的“AB互衬对”个数为（ ） A．9 B．4 C．27 D．8 【答案】C 【解析】当 A 时，集合 B可以为{1,2,3}； 当 {1}A  时，集合 B可以为{2,3},{1,2,3}； 当 {2}A  时，集合 B可以为{1,3},{1,2,3}； 第 12 页 共 18 页 当 {3}A  时，集合 B可以为{1,2},{1,2,3}； 当 {1,2}A  时，集合 B可以为{3},{1,3},{2,3},{1,2,3} ； 当 {1,3}A  时，集合 B可以为{2},{1,2},{2,3},{1,2,3}； 当 {2,3}A  时，集合 B可以为{1},{1,2},{1,3},{1,2,3}； 当 {1,2,3}A  时，集合 B可以为 ,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3} . 故满足题意的“AB互衬对”个数为 27. 故选：C 2．（2025·全国·模拟预测）若集合 N的三个子集 A，B，C满足 ( ) ( ) ( ) 1card A B card B C card C A     ，且 A B C   ，则称 ( , , )A B C 为 N的“有序 子集列”．现有 {1,2,3,4,5,6}N  ，则 N的“有序子集列”的个数为（ ） A．540个 B．1280个 C．3240个 D．7680个 【答案】D 【分析】利用排列和分步计数原理可得所求的个数. 【详解】根据题意，N的“有序子集列”的个数为 3 36A 4 7680  （个）．故选：D. 【解题方法总结】 利用排列与组合思想解决集合或者集合中元素个数的问题，需要运用分析与转化的思想方 法 题型七：集合的创新定义 经典 例题 【典例 7-1】 （2020·浙江·统考高考真题）设集合 S，T，SN*，TN*，S，T中至少有两个元素，且 S， T满足：①对于任意 x，yS，若 x≠y，都有 xyT；②对于任意 x，yT，若 x<y，则 y x S； 下列命题正确的是（ ） A．若 S有 4个元素，则 S∪T有 7个元素 B．若 S有 4个元素，则 S∪T有 6个元素 C．若 S有 3个元素，则 S∪T有 5个元素 第 13 页 共 18 页 D．若 S有 3个元素，则 S∪T有 4个元素 【答案】A 【分析】分别给出具体的集合 S和集合 T，利用排除法排除错误选项，然后证明剩余选项的 正确性即可. 【详解】首先利用排除法： 若取  1,2,4S  ，则  2, 4,8T  ，此时  1,2,4,8S T  ，包含 4个元素，排除选项 C； 若取  2,4,8S  ，则  8,16,32T  ，此时  2,4,8,16,32S T  ，包含 5个元素，排除选项 D； 若取  2,4,8,16S  ，则  8,16,32,64,128T  ，此时  2,4,8,16,32,64,128S T  ，包含 7个 元素，排除选项 B； 下面来说明选项 A的正确性： 设集合  1 2 3 4, , ,S p p p p ，且 1 2 3 4p p p p   ， *1 2 3 4, , ,p p p p N ， 则 1 2 2 4p p p p ，且 1 2 2 4,p p p p T ，则 4 1 p S p  ， 同理 4 2 p S p  ， 4 3 p S p  ， 3 2 p S p  ， 3 1 p S p  ， 2 1 p S p  ， 若 1 1p  ，则 2 2p  ，则 3 3 2 p p p  ，故 3 2 2 p p p  即 23 2p p ， 又 4 4 4 2 3 1p pp p p    ，故 4 4 22 3 2 p p p p p   ，所以 34 2p p ， 故  2 32 2 21, , ,S p p p ，此时 52 2,p T p T  ，故 42p S ，矛盾，舍. 若 1 2p  ，则 32 3 1 1 pp p p p   ，故 3 22 1 1 1 ,p pp p p p   即 3 23 1 2 1,p p p p  ， 又 4 4 4 4 1 2 3 1p p pp p p p     ，故 4 4 13 3 1 p p p p p   ，所以 44 1p p ， 故  2 3 41 1 1 1, , ,S p p p p ，此时 3 4 5 6 71 1 1 1 1, , , ,p p p p p T . 若 q T ， 则 3 1 q S p  ，故 13 1 , 1, 2,3, 4iq p i p   ，故 31 , 1, 2,3, 4 iq p i  ， 即  4 5 6 71 1 1 1, , ,q p p p p ，故 4 5 6 71 1 1 1, , ,p p p p T ， 此时  2 3 4 4 5 6 71 1 1 1 1 1 1 1, , , , , , ,S T p p p p p p p p  即 S T 中有 7个元素. 故 A正确. 第 14 页 共 18 页 【典例 7-2】 （多选题）由无理数引发的数学危机一直延续到 19世纪 .直到 1872年，德国数学家戴德金 从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数 (史称戴德金分割 )，并把实数理论 建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续 2000多年 的数学史上的第一次大危机 .所谓戴德金分割，是指将有理数集 Q划分为两个非空的子集 M 与 N，且满足M N Q  ，M N ，M中的每一个元素都小于 N中的每一个元素，则称  ,M N 为戴德金分割 .试判断下列选项中，可能成立的是（ ） A．    0 , 0M x x N x x    是一个戴德金分割 B．M没有最大元素，N有一个最小元素 C．M有一个最大元素，N有一个最小元素 D．M没有最大元素，N也没有最小元素 【答案】BD 【解析】对于 A，因为    0 , 0M x x N x x    ， | }{ 0M N x x Q   ，故 A错误； 对于 B，若   }| 0 { | 0,M x Q x N x Q x      ，则满足戴德金分割， 此时 M没有最大元素，N有一个最小元素 0，故 B正确； 对于 C，若 M有一个最大元素，设为 a，N有一个最小元素，设为 b，则 a b ， 则    | ,M x Q x a N x Q x b      ，而 ( , )a b 内也有有理数， 则M N Q ，故 C错误； 对于 D，若  | 2M x Q x   ， 2 |{ |N x Q x   ， 则满足戴德金分割，此时 M没有最大元素，N也没有最小元素，故 D正确，故选：BD 模拟 好题 1．（2025·湖北黄冈·模拟预测·多选）对于集合 A、B，定义运算： /A B x x A  且 x B ，    / /A B A B B A   .若  1,2,3,4A  ，  3,4,5,6B  ，则（ ） A．  / 5,6B A  B．  1, 2,5,6A B  C． A B A B   D． A B A B   【答案】ABD 第 15 页 共 18 页 【分析】根据题中定义以及集合运算逐项判断即可. 【详解】对于 A选项，根据题中信息可得  / 5,6B A  ，A对； 对于 B选项，根据题意可得  / 1, 2A B  ，故      / / 1, 2,5,6A B A B B A   ，B对； 对于 C选项，  1, 2,3, 4,5,6A B A B   ，C错； 对于 D选项，  3, 4A B A B   ，D对. 故选：ABD. 2．（2024·山西·一模·多选）群的概念由法国天才数学家伽罗瓦（1811-1832）在 19世纪 30 年代开创，群论虽起源于对代数多项式方程的研究，但在量子力学､晶体结构学等其他学科 中也有十分广泛的应用.设G是一个非空集合，“”是一个适用于G中元素的运算，若同时满 足以下四个条件，则称G对“ ”构成一个群：（1）封闭性，即若 ,a b G ，则存在唯一确定的 c G ，使得 c a b  ；（2）结合律成立，即对G中任意元素 , ,a b c都有    a b c a b c    ； （3）单位元存在，即存在e G ，对任意 a G ，满足 a e e a a   ，则e称为单位元；（4） 逆元存在，即任意 a G ，存在b G ，使得 a b b a e   ，则称 a与b互为逆元，b记作 1a . 一般地， a b 可简记作 ,ab a a 可简记作 2 2,a a a 可简记作 3a ，以此类推.正八边形 ABCDEFGH 的中心为O .以e表示恒等变换，即不对正八边形作任何变换；以 r表示以点O 为中心，将正八边形逆时针旋转 π 4 的旋转变换；以m表示以OA所在直线为轴，将正八边形 进行轴对称变换.定义运算“”表示复合变换，即 f g 表示将正八边形先进行 g变换再进行 f 变换的变换.以形如  ,p qr m p qN，并规定 0 0r m e  的变换为元素，可组成集合G，则 G对运算“ ”可构成群，称之为“正八边形的对称变换群”，记作 8D .则以下关于 8D 及其元素 的说法中，正确的有（ ） A． 2 8mr D ，且 2 2mr r m B． 3r m与 5r m互为逆元 C． 8D 中有无穷多个元素 D． 8D 中至少存在三个不同的元素，它们的逆元都是其本身 【答案】ABD 【分析】根据题意，对选项逐一运算可得结果. 【详解】我们有： 第 16 页 共 18 页 1由于两次轴对称等价与不变换，故 2m e ； 由于旋转 45施行 8次等价于旋转360也就是不变，故 8r e ； 由于先旋转再关于OA对称和先关于OA对称再旋转等效，故 rm mr . 2 8D 一共是 16个元素，变换后 ABCDEFGH 逆时针排列的有 8个，顺时针排列的有 8个. 这就说明： 2 2mr r m ， A正确；   3 5 3 5 2 8r m r m r r m r e   ，B正确； 8D 一共是 16个元素，C错误； 8D 中，     22 4 8 4 4 2 8, ,m e r r e mr mr m r e     ，D正确. 【解题方法总结】 1、集合的创新定义题核心在于读懂题意。读懂里边的数学知识，一般情况下，它所涉及到 的知识和方法并不难，难在转化. 2、集合的创新定义题，主要是在题干中定义“新的概念，新的计算公式，新的运算法则， 新的定理”，要根据这些新定义去解决问题，有时为了有助于理解，还可以用类比的方法进 行理解。 题型八：集合的应用问题 经典 例题 【典例 8-1】 某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有 96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球， 82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是 （ ） A．62% B．56% C．46% D．42% 【答案】C 【思路引导】由容斥原理即可得解.. 【精细解析】由题意，该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为 0.6 0.82 0.96 0.46   所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为 46% . 故选：C. 第 17 页 共 18 页 【典例 8-2】 设  card A 表示有限集合 A中元素的个数.则      card card cardA B A B   是 A B   的 （ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据        card card card cardA B A B A B    和题干条件得到  card 0A B  ， 从而得到答案. 【详解】因为        card card card cardA B A B A B    ， 又      card card cardA B A B   ，所以  card 0A B  ，故 A B   ， 故则      card card cardA B A B   是 A B   的充要条件. 故选：C 模拟 好题 1．某小学对小学生的课外活动进行了调查．调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有 63人， 参加唱歌课外活动的有89人，参加体育课外活动的有 47人，三种课外活动都参加的有 24人， 选择两种课外活动参加的有 46人，不参加其中任何一种课外活动的有15人．则接受调查的 小学生共有（ ） A．120人 B．144人 C．177人 D．192人 【答案】A 【分析】作出韦恩图，将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合A、B、C表 示，不妨设总人数为 n，选择舞蹈和唱歌的人数为 x，选择舞蹈和体育的人数为 y，选择唱 歌和体育的人数为 z，利用容斥原理可求得 n的值，即为所求. 【详解】如图所示，用 Venn图表示题设中的集合关系，不妨将参加舞蹈、唱歌、体育课外 活动的小学生分别用集合A、 B、C表示，则  card 63A  ，  card 89B  ，  card 47C  ，  card 24A B C   ． 第 18 页 共 18 页 不妨设总人数为 n，选择舞蹈和唱歌的人数为 x，选择舞蹈和体育的人数为 y，选择唱歌和 体育的人数为 z，则  card 24A B x   ，  card 24A C y   ，  card 24B C z   ， 46x y z   ．由三个集合的容斥关系公式：      15 card card cardn A B C           card A B card A C card B C card A B C                63 89 47 24 24 24 24 151 105x y z x y z               ， 解得 120n  ，故接受调查的小学生共有120人．故选：A. 2．学校先举办了一次田径运动会，某班有 8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个 班有 12名同学参赛，两次运动会都参赛的有 3人。两次运动会中，这个班总共参赛的同学 有（ ） A．20人 B．17人 C．15人 D．12人 【答案】B 【分析】利用容斥原理    card card card cardA B A B A B    可得. 【详解】设参加田径运动的同学构成集合A，参加球类运动会的同学构成集合 B，则参加田 径运动的同学人数 card 8A  ，参加球类运动会的同学人数 card 12B  ，两次运动会都参赛的 同学人数  card 3A B  ，则两次运动会中，这个班总共参赛的同学人数为    card card card card 8 12 3 17A B A B A B        . 故选：B. 【解题方法总结】 我们把含有有限个元素的集合A叫做有限集，用  card A 表示有限集合A中元素的个数.例 如，  , ,A a b c ，则  card 3A  . 容斥原理告诉我们： （1）如果被计数的事物有 A，B 两类，那么， card( ) card( ) card( ) card( )A B A B A B     （2）如果被计数的事物有 , ,A B C 三类，那么，  card A B C          card card card card card card cardA B C A B B C A C A B C          第 1 页 共 11 页 1.1 集合（学生版）【讲义】 01 考情分析 课标要求 真题统计 考情分析 1.了解集合的含义，了 解全集、空集的含义. 2.理解元素与集合的 属于关系，理解集合间 的包含和相等关系. 3.会求两个集合的并 集、交集与补集. 4.能用自然语言、图形 语言、集合语言描述不 同的具体问题，能使用 Venn图表示集合间的 基本关系和基本运算． 2025年 I卷第 2题，5分 2025年 II卷第 3题，5分 2024年 I卷第 1题，5分 2023年 I卷第 1题，5分 2023年 II卷第 2题，5分 2022年 I卷 II卷第 1题，5分 2021年 I卷 II卷第 1题，5分 2020年 I卷 II卷第 1题，5分 本讲为高考命题热点，题型以选 择题为主，考查内容、频率、题 型、难度均变化不大. 重点是集 合间的基本运算，主要考查集合 的交、并、补运算，常与一元二 次不等式解法、一元一次不等式 解法、分式不等式解法、指数、 对数不等式解法结合.同时适当 关注集合与充要条件相结合的 解题方法. 02 知识梳理 1、元素与集合 （1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性. （2）元素与集合的关系：属于 或 不属于，数学符号分别记为：和 . （3）集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（ venn图）. （4）常见数集和数学符号 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N 或 N Z Q R 第 2 页 共 11 页 说明： ①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何 一个元素在不在这个集合中就确定了.给定集合 {1,2,3,4,5}A  ，可知1 A ,在该集合中， 6 A ,不在该集合中； ②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说，集合中的元素是不重复出 现的. 集合 { , , }A a b c 应满足 a b c  . ③无序性：组成集合的元素间没有顺序之分。集合 {1,2,3,4,5}A  和 {1,3,5,2,4}B  是同 一个集合. ④列举法 把集合的元素一一列举出来，并用花括号“  ”括起来表示集合的方法叫做列举法. ⑤描述法 用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法. 具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围， 再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征. 2、集合间的基本关系 （1）子集（subset）：一般地，对于两个集合 A、B，如果集合 A中任意一个元素都是 集合 B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合 A为集合 B的子集 ，记作 A B （或 B A ），读作“A包含于 B”（或“ B包含 A ”）. （2）真子集（proper subset）：如果集合 A B ，但存在元素 x B ，且 x A ，我们称 集合 A是集合 B的真子集，记作 A B （或 B A ）.读作“A真包含于 B ”或“B真包含 A ”. （3）相等：如果集合 A是集合 B的子集（ A B ，且集合 B是集合 A的子集（ B A ）， 此时，集合 A与集合 B中的元素是一样的，因此，集合 A与集合 B相等，记作 A B . （4）空集的性质： 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作；是任何集合的 子集，是任何非空集合的真子集. 3、集合的基本运算 （1）交集：一般地，由属于集合 A且属于集合 B的所有元素组成的集合，称为 A与 B 的交集，记作 A B ，即 { | , }A B x x A x B   且 ． （2）并集：一般地，由所有属于集合 A或属于集合 B的元素组成的集合，称为 A与 B 的并集，记作 A B ，即 { | , }A B x x A x B   或 ． （3）补集：对于一个集合 A，由全集U 中不属于集合 A的所有元素组成的集合称为集 合 A相对于全集U 的补集，简称为集合 A的补集，记作 UC A，即 { | , }UC A x x U x A  且 ． 第 3 页 共 11 页 4、集合的运算性质 （1） A A A  ， A ， A B B A   ． （2） A A A  ， A A  ， A B B A   ． （3）  UA C A ，  UA C A U  ，  U UC C A A ． 【解题方法总结】 （1）若有限集A中有 n个元素，则A的子集有 2n 个，真子集有 2 1n  个，非空子集有 2 1n  个，非空真子集有 2 2n  个． （2）空集是任何集合 A的子集，是任何非空集合 B的真子集． （3） U UA B A B A A B B C B C A        ． （4） ( ) ( ) ( )U U UC A B C A C B  , ( ) ( ) ( )U U UC A B C A C B  ． 03 八大题型归纳 题型一：集合的表示：列举法、描述法 经典 例题 【典例 1-1】 （2018·全国二卷第 2题）已知集合   2 2, 3 Z ZA x y x y x y    ， ， ，则 A中元 素的个数为（ ） A．9 B．8 C．5 D．4 【典例 1-2】 （2025·全国二卷第 2题）已知集合  3{ 4,0,1, 2,8 ,,}A B x x x   ∣ 则 A B  （ ） A．{0,1,2} B．{1,2,8} C．{2,8} D．{0,1} 模拟 好题 1.（2024·广东江门·一模）已知集合  1,0,1A   ，  2| 1 , 1B m m A m A     ，则集合 B中所有元素之和为（ ） A．0 B．1 C．－1 D． 2 第 4 页 共 11 页 【解题总结】 1、列举法，注意元素互异性和无序性，列举法的特点是直观、一目了然. 2、描述法，注意代表元素. 题型二：集合元素的三大特征 经典 例题 【典例 2-1】 设集合 2 22,3, 3 , 7A a a a a         ， {| 2 |,3}B a  ，已知 4 A 且 4 B ，则 a的取值集合 为 . 【典例 2-2】 由 2, , ,a a a a 构成的集合中，元素个数最多是 . 模拟 好题 1．（2024·江西·金溪一中校联考模拟预测）已知集合  1, ,A a b ，  2, ,B a a ab ，若A B ， 则 2023 2022a b （ ） A． 1 B．0 C．1 D．2 2．（2024·北京东城·统考一模）已知集合  2 2 0A x x   ，且a A ，则 a可以为（ ） A．－2 B．－1 C． 3 2 D． 2 【解题方法总结】 1、研究集合问题，看元素是否满足集合的特征：确定性、互异性、无序性。 2、研究两个或者多个集合的关系时，最重要的技巧是将两集合的关系转化为元素间的关系。 题型三：元素与集合间的关系 经典 例题 【典例 3-1】 已知集合  4 ,A x x k k  Z ，  4 1,B x x m m   Z ， 4 2,C x x n n   Z ， 第 5 页 共 11 页  4 3,D x x t t   Z ，若 a B ，b C ，则下列说法正确的是（ ） A．a b A  B． a b B  C． a b C  D． a b D  模拟 好题 1．（2024·吉林延边·统考二模）已知集合  2= -3 +2=0A x ax x 的元素只有一个，则实数 a的 值为（ ） A． 9 8 B．0 C． 9 8 或 0 D．无解 2．（2024·全国·高三专题练习）已知集合   2 2 , 1, , 4 2 x yA x y x Z y Z           ，则 A中元素的 个数为（ ） A．9 B．10 C．11 D．12 【解题方法总结】 1、一定要牢记五个大写字母所表示的数集，尤其是 N与 N*的区别． 2、当集合用描述法给出时，一定要注意描述的是点还是数． 题型四：集合与集合之间的关系 经典 例题 【典例 4-1】 已知集合  1M x x  ，  2 1N x x  ，则（ ） A．M N= B．M N C． N M D．M N  【典例 4-2】 已知集合  1A x x  ，  2 0B x x a   ，若 A B ，则实数 a的取值范围是（ ） A．  2, B．  2, C．  ,2 D．  ,2 模拟 好题 1．（2024·四川德阳·三模）已知集合  024|1 2A x x   ，  |B x x a  ，若 A B ，则实 第 6 页 共 11 页 数 a的取值范围是（ ） A． (2024, ) B． )2024,[  C． ], 2( 024 D． ), 2( 024 2．（2024·河南驻马店·一模） 已知集合 0 1 1, , , , 2 4 4 2 k kM x x k N x x k x M                   Z Z ，则 0x 与N的关系是（ ） A． 0x N B． 0x N C． 0x M 且 0x N D．不能确定 【解题方法总结】 1、注意子集和真子集的联系与区别. 2、判断集合之间关系的两大技巧： （1）定义法进行判断 （2）数形结合法进行判断 题型五：集合的交、并、补运算 经典 例题 【典例 5-1】 （2020·全国高考真题（理））已知集合 {( , ) | , , }A x y x y y x  *N ， {( , ) | 8}B x y x y   ，则 A B 中元素的个数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．6 【典例 5-2】 已知集合     2 2 0 , ln 1 0A x x x B x x      ，则 A B  （ ） A． 2x x  B． 1x x  C． 0 2x x  D． 0 1x x  模拟 好题 1．（2024上·河南·高三校联考期末）已知集合  2, 1,0,1,2A    ，  0B x x  ，则 A B 的 真子集个数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．7 第 7 页 共 11 页 2．（2025·江西·三模）已知集合  20, ,A a a ，  1,3 2B a a   ， Ra ，则 A B 中的元素 个数至少为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【解题方法总结】 1、注意交集与并集之间的关系 2、全集和补集是不可分离的两个概念 题型六：集合与排列组合的密切结合 经典 例题 【典例 6-1】 设集合  1,0,1A   ，   1 2 3 4 5, , , , , 1, 2,3, 4,5iB x x x x x x A i   ，那么集合 B中满足 1 2 3 4 51 3x x x x x      的元素的个数为（ ） A．60 B．100 C．120 D．130 【典例 6-2】 设集合  1 2 3 4, , ,X a a a a   N ，定义：集合  *, , , ,i j i jY a a a a X i j N i j     ，集合  , ,S x y x y Y x y    ，集合 , ,xT x y Y x yy         ，分别用 | |S ， | |T 表示集合 S，T中元 素的个数，则下列结论可能成立的是（ ） A． | | 6S  B． | | 16S  C． | | 9T  D． | | 16T  模拟 好题 1．（2024·全国·模拟预测）已知集合 A，B满足  1, 2, 3A B  ，若 A B ，且  &A B ， &B A 表示两个不同的“AB互衬对”，则满足题意的“AB互衬对”个数为（ ） A．9 B．4 C．27 D．8 2．（2025·全国·模拟预测）若集合 N的三个子集 A，B，C满足 ( ) ( ) ( ) 1card A B card B C card C A     ，且 A B C   ，则称 ( , , )A B C 为 N的“有序 子集列”．现有 {1,2,3,4,5,6}N  ，则 N的“有序子集列”的个数为（ ） A．540个 B．1280个 C．3240个 D．7680个 第 8 页 共 11 页 【解题方法总结】 利用排列与组合思想解决集合或者集合中元素个数的问题，需要运用分析与转化的思想方 法 题型七：集合的创新定义 经典 例题 【典例 7-1】 （2020·浙江·统考高考真题）设集合 S，T，SN*，TN*，S，T中至少有两个元素，且 S， T满足：①对于任意 x，yS，若 x≠y，都有 xyT；②对于任意 x，yT，若 x<y，则 y x S； 下列命题正确的是（ ） A．若 S有 4个元素，则 S∪T有 7个元素 B．若 S有 4个元素，则 S∪T有 6个元素 C．若 S有 3个元素，则 S∪T有 5个元素 D．若 S有 3个元素，则 S∪T有 4个元素 【典例 7-2】 （多选题）由无理数引发的数学危机一直延续到 19世纪 .直到 1872年，德国数学家戴德金 从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数 (史称戴德金分割 )，并把实数理论 建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续 2000多年 的数学史上的第一次大危机 .所谓戴德金分割，是指将有理数集 Q划分为两个非空的子集 M 与 N，且满足M N Q  ，M N ，M中的每一个元素都小于 N中的每一个元素，则称  ,M N 为戴德金分割 .试判断下列选项中，可能成立的是（ ） A．    0 , 0M x x N x x    是一个戴德金分割 B．M没有最大元素，N有一个最小元素 C．M有一个最大元素，N有一个最小元素 D．M没有最大元素，N也没有最小元素 模拟 好题 1．（2025·湖北黄冈·模拟预测）对于集合 A、B，定义运算： /A B x x A  且 x B ， 第 9 页 共 11 页    / /A B A B B A   .若  1,2,3,4A  ，  3,4,5,6B  ，则（ ） A．  / 5,6B A  B．  1, 2,5,6A B  C． A B A B   D． A B A B   2．（2024·山西·一模）群的概念由法国天才数学家伽罗瓦（1811-1832）在 19世纪 30年代开 创，群论虽起源于对代数多项式方程的研究，但在量子力学､晶体结构学等其他学科中也有 十分广泛的应用.设G是一个非空集合，“”是一个适用于G中元素的运算，若同时满足以下 四个条件，则称G对“”构成一个群：（1）封闭性，即若 ,a b G ，则存在唯一确定的 c G ， 使得 c a b  ；（2）结合律成立，即对G中任意元素 , ,a b c都有    a b c a b c    ；（3）单 位元存在，即存在 e G ，对任意 a G ，满足 a e e a a   ，则e称为单位元；（4）逆元存 在，即任意 a G ，存在b G ，使得a b b a e   ，则称 a与b互为逆元，b记作 1a .一般 地，a b 可简记作 ,ab a a 可简记作 2 2,a a a 可简记作 3a ，以此类推.正八边形 ABCDEFGH 的 中心为O .以 e表示恒等变换，即不对正八边形作任何变换；以 r表示以点O为中心，将正八 边形逆时针旋转 π 4 的旋转变换；以m表示以OA所在直线为轴，将正八边形进行轴对称变换. 定义运算“”表示复合变换，即 f g 表示将正八边形先进行 g变换再进行 f 变换的变换.以 形如  ,p qr m p qN，并规定 0 0r m e  的变换为元素，可组成集合G，则G对运算“”可 构成群，称之为“正八边形的对称变换群”，记作 8D .则以下关于 8D 及其元素的说法中，正确 的有（ ） A． 2 8mr D ，且 2 2mr r m B． 3r m与 5r m互为逆元 C． 8D 中有无穷多个元素 D． 8D 中至少存在三个不同的元素，它们的逆元都是其本身 【解题方法总结】 1、集合的创新定义题核心在于读懂题意。读懂里边的数学知识，一般情况下，它所涉及到 的知识和方法并不难，难在转化. 2、集合的创新定义题，主要是在题干中定义“新的概念，新的计算公式，新的运算法则， 新的定理”，要根据这些新定义去解决问题，有时为了有助于理解，还可以用类比的方法进 行理解。 第 10 页 共 11 页 题型八：集合的应用问题 经典 例题 【典例 8-1】 某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有 96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球， 82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是 （ ） A．62% B．56% C．46% D．42% 【典例 8-2】 设  card A 表示有限集合 A中元素的个数.则      card card cardA B A B   是 A B   的 （ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 模拟 好题 1．某小学对小学生的课外活动进行了调查．调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有 63人， 参加唱歌课外活动的有89人，参加体育课外活动的有 47人，三种课外活动都参加的有 24人， 选择两种课外活动参加的有 46人，不参加其中任何一种课外活动的有15人．则接受调查的 小学生共有（ ） A．120人 B．144人 C．177人 D．192人 2．学校先举办了一次田径运动会，某班有 8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个 班有 12名同学参赛，两次运动会都参赛的有 3人。两次运动会中，这个班总共参赛的同学 有（ ） A．20人 B．17人 C．15人 D．12人 【解题方法总结】 我们把含有有限个元素的集合A叫做有限集，用  card A 表示有限集合A中元素的个数.例 如，  , ,A a b c ，则  card 3A  . 容斥原理告诉我们： 第 11 页 共 11 页 （1）如果被计数的事物有 A，B 两类，那么， card( ) card( ) card( ) card( )A B A B A B     （2）如果被计数的事物有 , ,A B C 三类，那么，  card A B C          card card card card card card cardA B C A B B C A C A B C          1.1　集合（教师版）【讲义】 01考情分析 课标要求 真题统计 考情分析 1.了解集合的含义，了解全集、空集的含义. 2.理解元素与集合的属于关系，理解集合间的包含和相等关系. 3.会求两个集合的并集、交集与补集. 4.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本运算． 2025年I卷第2题，5分 2025年II卷第3题，5分 2024年 I卷第1题，5分 2023年 I卷第1题，5分 2023年 II卷第2题，5分 2022年 I卷II卷第1题，5分 2021年I卷II卷第1题，5分 2020年I卷II卷第1题，5分 本讲为高考命题热点，题型以选择题为主，考查内容、频率、题型、难度均变化不大. 重点是集合间的基本运算，主要考查集合的交、并、补运算，常与一元二次不等式解法、一元一次不等式解法、分式不等式解法、指数、对数不等式解法结合.同时适当关注集合与充要条件相结合的解题方法. 02 知识梳理 1、元素与集合 （1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性. （2）元素与集合的关系：属于 或 不属于，数学符号分别记为：和. （3）集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（图）. （4）常见数集和数学符号 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 或 说明： ①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.给定集合，可知,在该集合中，,不在该集合中； ②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说，集合中的元素是不重复出现的. 集合应满足. ③无序性：组成集合的元素间没有顺序之分。集合和是同一个集合. ④列举法 把集合的元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法. ⑤描述法 用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法. 具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征. 2、集合间的基本关系 （1）子集（subset）：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集 ，记作（或），读作“A包含于B”（或“包含”）. （2）真子集（proper subset）：如果集合，但存在元素，且，我们称集合A是集合的真子集，记作（或）.读作“A真包含于B ”或“B真包含A ”. （3）相等：如果集合A是集合B的子集（，且集合B是集合A的子集（），此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等，记作. （4）空集的性质： 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 3、集合的基本运算 （1）交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作，即． （2）并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的并集，记作，即． （3）补集：对于一个集合A，由全集中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集的补集，简称为集合A的补集，记作，即． 4、集合的运算性质 （1），，． （2），，． （3），，． 【解题方法总结】 （1）若有限集A中有个元素，则A的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个． （2）空集是任何集合A的子集，是任何非空集合B的真子集． （3）． （4）,． 03 八大题型归纳 题型一：集合的表示：列举法、描述法 ( 经典 例题 ) 【典例1-1】 （2018·全国二卷第2题）已知集合，则A中元素的个数为（ ） A．9    B．8    C．5    D．4 【答案】A 【思路引导】根据枚举法，确定圆及其内部整点个数. 【精细解析】 当时，；当时，；当时，； 所以共有9个，故选：A. 【典例1-2】 （2025·全国二卷第2题）已知集合则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】求出集合后结合交集的定义可求. 【精细解析】，故，故选：D. ( 模拟 好题 ) 1.（2024·广东江门·一模）已知集合，，则集合B中所有元素之和为（    ） A．0 B．1 C．－1 D． 【答案】C 【精细解析】根据条件分别令，解得，又，所以，，所以集合B中所有元素之和是 【解题总结】 1、列举法，注意元素互异性和无序性，列举法的特点是直观、一目了然. 2、描述法，注意代表元素. 题型二：集合元素的三大特征 ( 经典 例题 ) 【典例2-1】 设集合，，已知且，则的取值集合为 . 【答案】 【思路引导】根据元素与集合的关系以及集合的互异性可求出结果. 【精细解析】因为，即，所以或，若，则或；若，即，则或.由与互异，得，故或，又，即，所以，解得且，综上所述，的取值集合为.故答案为： 【典例2-2】 由构成的集合中，元素个数最多是 . 【答案】2 【思路引导】分与讨论即可求解. 【精细解析】当时，，此时元素个数为1； 当时，，所以一定与或中的一个一致，此时元素个数为2. 所以由构成的集合中，元素个数最多是2个.故答案为:2. ( 模拟 好题 ) 1．（2024·江西·金溪一中校联考模拟预测）已知集合，，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【精细解析】由题意可知，两集合元素全部相等，得到或，又根据集合互异性，可知，解得(舍)，和(舍)，所以，，则，故选：A 2．（2024·北京东城·统考一模）已知集合，且，则a可以为（    ） A．－2 B．－1 C． D． 【答案】B 【精细解析】∵，∴，∴，可知，故A、C、D错误；，故B正确. 【解题方法总结】 1、研究集合问题，看元素是否满足集合的特征：确定性、互异性、无序性。 2、研究两个或者多个集合的关系时，最重要的技巧是将两集合的关系转化为元素间的关系。 题型三：元素与集合间的关系 ( 经典 例题 ) 【典例3-1】 已知集合，，，，若，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】根据对描述法表示的集合的理解，设出的表示形式，得到，判断其与集合的关系即可. 【精细解析】因为，，则由题意可设，，其中，则，且，故，故选：D． ( 模拟 好题 ) 1．（2024·吉林延边·统考二模）已知集合的元素只有一个，则实数a的值为（    ） A． B．0 C．或0 D．无解 【答案】C 【精细解析】集合A有一个元素，即方程有一解， 当时，，符合题意， 当时，有一解， 则，解得：， 综上可得：或，故选：C. 2．（2024·全国·高三专题练习）已知集合，则A中元素的个数为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【精细解析】由椭圆的性质得，又, 所以集合共有11个元素.故选：C 【解题方法总结】 1、一定要牢记五个大写字母所表示的数集，尤其是N与N*的区别． 2、当集合用描述法给出时，一定要注意描述的是点还是数． 题型四：集合与集合之间的关系 ( 经典 例题 ) 【典例4-1】 已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】化简集合，结合集合的子集概念即可得解. 【精细解析】由题意集合，，所以. 【典例4-2】 已知集合，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】集合，.要使，只需，解得：.故选：A ( 模拟 好题 ) 1．（2024·四川德阳·三模）已知集合，，若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用集合的包含关系求解即得. 【详解】集合，，又，则，所以实数a的取值范围是，故选：B 2．（2024·河南驻马店·一模） 已知集合，则与的关系是（    ） A． B． C．且 D．不能确定 【答案】A 【分析】由，可得结论. 【详解】，，由，可得是奇数，是整数，所以，因为，所以. 【解题方法总结】 1、注意子集和真子集的联系与区别. 2、判断集合之间关系的两大技巧： （1）定义法进行判断 （2）数形结合法进行判断 题型五：集合的交、并、补运算 ( 经典 例题 ) 【典例5-1】 （2020·全国高考真题（理））已知集合，，则中元素的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】采用列举法列举出中元素的即可. 【详解】由题意，中的元素满足，且，由，得， 所以满足的有，故中元素的个数为4.故选：C. 【典例5-2】 已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将集合化简，再由并集的运算，即可得到结果. 【详解】由，解得，所以，由，即，解得，所以， 则.故选：C ( 模拟 好题 ) 1．（2024上·河南·高三校联考期末）已知集合，，则的真子集个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．7 【答案】B 【分析】先求出，结合的元素个数分析求解. 【详解】由题意可得，故的真子集的个数为．故选：B． 2．（2025·江西·三模）已知集合，，，则中的元素个数至少为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】由集合可得且，再由可得与均互异，结合特例可得正确的选项. 【详解】由中元素的互异性，得，即且，而，则当且时，与均互异，因此中至少有元素，取，此时，有4个元素，∴ 中的元素个数至少为4个. 故选：C 【解题方法总结】 1、注意交集与并集之间的关系 2、全集和补集是不可分离的两个概念 题型六：集合与排列组合的密切结合 ( 经典 例题 ) 【典例6-1】 设集合，，那么集合中满足的元素的个数为（    ） A．60 B．100 C．120 D．130 【答案】D 【分析】明确集合中满足的含义，结合组合数的计算，即可求得答案. 【详解】由题意知集合中满足的元素的个数，即指中取值为-1或1的个数和为1或2或3，故满足条件的元素的个数为（个），故选：D 【典例6-2】 设集合，定义：集合，集合，集合，分别用，表示集合S，T中元素的个数，则下列结论可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】不妨设，则的值为， 显然，，所以集合Y中至少有以上5个元素，不妨设，则显然，则集合S中至少有7个元素， 所以不可能，故排除A选项； 其次，若，则集合Y中至多有6个元素，则，故排除B项； 对于集合T，取，则，此时，，故D项正确； 对于C选项而言，，则与一定成对出现，，所以一定是偶数，故C项错误. 故选：D. ( 模拟 好题 ) 1．（2024·全国·模拟预测）已知集合A，B满足，若，且，表示两个不同的“AB互衬对”，则满足题意的“AB互衬对”个数为（    ） A．9 B．4 C．27 D．8 【答案】C 【解析】当时，集合B可以为； 当时，集合B可以为； 当时，集合B可以为； 当时，集合B可以为； 当时，集合B可以为； 当时，集合B可以为； 当时，集合B可以为； 当时，集合B可以为. 故满足题意的“AB互衬对”个数为27. 故选：C 2．（2025·全国·模拟预测）若集合N的三个子集A，B，C满足，且，则称为N的“有序子集列”．现有，则N的“有序子集列”的个数为（    ） A．540个 B．1280个 C．3240个 D．7680个 【答案】D 【分析】利用排列和分步计数原理可得所求的个数. 【详解】根据题意，N的“有序子集列”的个数为（个）．故选：D. 【解题方法总结】 利用排列与组合思想解决集合或者集合中元素个数的问题，需要运用分析与转化的思想方法 题型七：集合的创新定义 ( 经典 例题 ) 【典例7-1】 （2020·浙江·统考高考真题）设集合S，T，SN*，TN*，S，T中至少有两个元素，且S，T满足：①对于任意x，yS，若x≠y，都有xyT；②对于任意x，yT，若x<y，则S； 下列命题正确的是（    ） A．若S有4个元素，则S∪T有7个元素 B．若S有4个元素，则S∪T有6个元素 C．若S有3个元素，则S∪T有5个元素 D．若S有3个元素，则S∪T有4个元素 【答案】A 【分析】分别给出具体的集合S和集合T，利用排除法排除错误选项，然后证明剩余选项的正确性即可. 【详解】首先利用排除法： 若取，则，此时，包含4个元素，排除选项 C； 若取，则，此时，包含5个元素，排除选项D； 若取，则，此时，包含7个元素，排除选项B； 下面来说明选项A的正确性： 设集合，且，， 则，且，则， 同理，，，，， 若，则，则，故即， 又，故，所以， 故，此时，故，矛盾，舍. 若，则，故即， 又，故，所以， 故，此时. 若， 则，故，故， 即，故， 此时即中有7个元素. 故A正确. 【典例7-2】 （多选题）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数史称戴德金分割，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足，，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称为戴德金分割试判断下列选项中，可能成立的是（    ） A．是一个戴德金分割 B．M没有最大元素，N有一个最小元素 C．M有一个最大元素，N有一个最小元素 D．M没有最大元素，N也没有最小元素 【答案】BD 【解析】对于A，因为，，故A错误； 对于B，若，则满足戴德金分割， 此时M没有最大元素，N有一个最小元素0，故B正确； 对于C，若M有一个最大元素，设为a，N有一个最小元素，设为b，则， 则，而内也有有理数， 则，故C错误； 对于D，若，， 则满足戴德金分割，此时M没有最大元素，N也没有最小元素，故D正确，故选：BD ( 模拟 好题 ) 1．（2025·湖北黄冈·模拟预测·多选）对于集合A、B，定义运算：且，.若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据题中定义以及集合运算逐项判断即可. 【详解】对于A选项，根据题中信息可得，A对； 对于B选项，根据题意可得，故，B对； 对于C选项，，C错； 对于D选项，，D对. 故选：ABD. 2．（2024·山西·一模·多选）群的概念由法国天才数学家伽罗瓦（1811-1832）在19世纪30年代开创，群论虽起源于对代数多项式方程的研究，但在量子力学､晶体结构学等其他学科中也有十分广泛的应用.设是一个非空集合，“”是一个适用于中元素的运算，若同时满足以下四个条件，则称对“”构成一个群：（1）封闭性，即若，则存在唯一确定的，使得；（2）结合律成立，即对中任意元素都有；（3）单位元存在，即存在，对任意，满足，则称为单位元；（4）逆元存在，即任意，存在，使得，则称与互为逆元，记作.一般地，可简记作可简记作可简记作，以此类推.正八边形的中心为.以表示恒等变换，即不对正八边形作任何变换；以表示以点为中心，将正八边形逆时针旋转的旋转变换；以表示以所在直线为轴，将正八边形进行轴对称变换.定义运算“”表示复合变换，即表示将正八边形先进行变换再进行变换的变换.以形如，并规定的变换为元素，可组成集合，则对运算“”可构成群，称之为“正八边形的对称变换群”，记作.则以下关于及其元素的说法中，正确的有（    ） A．，且 B．与互为逆元 C．中有无穷多个元素 D．中至少存在三个不同的元素，它们的逆元都是其本身 【答案】ABD 【分析】根据题意，对选项逐一运算可得结果. 【详解】我们有： 由于两次轴对称等价与不变换，故； 由于旋转施行8次等价于旋转也就是不变，故； 由于先旋转再关于对称和先关于对称再旋转等效，故. 一共是16个元素，变换后逆时针排列的有8个，顺时针排列的有8个. 这就说明：， A正确； ，B正确； 一共是16个元素，C错误； 中，，D正确. 【解题方法总结】 1、集合的创新定义题核心在于读懂题意。读懂里边的数学知识，一般情况下，它所涉及到的知识和方法并不难，难在转化. 2、集合的创新定义题，主要是在题干中定义“新的概念，新的计算公式，新的运算法则，新的定理”，要根据这些新定义去解决问题，有时为了有助于理解，还可以用类比的方法进行理解。 题型八：集合的应用问题 ( 经典 例题 ) 【典例8-1】 某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（    ） A．62% B．56% C．46% D．42% 【答案】C 【思路引导】由容斥原理即可得解.. 【精细解析】由题意，该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为 所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为. 故选：C. 【典例8-2】 设表示有限集合A中元素的个数.则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据和题干条件得到，从而得到答案. 【详解】因为， 又，所以，故， 故则是的充要条件. 故选：C ( 模拟 好题 ) 1．某小学对小学生的课外活动进行了调查．调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有人，参加唱歌课外活动的有人，参加体育课外活动的有人，三种课外活动都参加的有人，选择两种课外活动参加的有人，不参加其中任何一种课外活动的有人．则接受调查的小学生共有（    ） A．人 B．人 C．人 D．人 【答案】A 【分析】作出韦恩图，将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合、、表示，不妨设总人数为，选择舞蹈和唱歌的人数为，选择舞蹈和体育的人数为，选择唱歌和体育的人数为，利用容斥原理可求得的值，即为所求. 【详解】如图所示，用Venn图表示题设中的集合关系，不妨将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合、、表示，则，，，． 不妨设总人数为，选择舞蹈和唱歌的人数为，选择舞蹈和体育的人数为，选择唱歌和体育的人数为，则，，，．由三个集合的容斥关系公式：， 解得，故接受调查的小学生共有人．故选：A. 2．学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人。两次运动会中，这个班总共参赛的同学有（    ） A．20人 B．17人 C．15人 D．12人 【答案】B 【分析】利用容斥原理可得. 【详解】设参加田径运动的同学构成集合，参加球类运动会的同学构成集合，则参加田径运动的同学人数，参加球类运动会的同学人数，两次运动会都参赛的同学人数，则两次运动会中，这个班总共参赛的同学人数为 . 故选：B. 【解题方法总结】 我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，用表示有限集合中元素的个数.例如，，则. 容斥原理告诉我们： （1）如果被计数的事物有A，B两类，那么， （2）如果被计数的事物有三类，那么， ( 第 1 页 共 11 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$