2.3 用公式法求解一元二次方程 第2课时课件2025-2026学年北师大版数学九年级上册

第二章 一元二次方程 2.3 用公式法求解一元二次方程 第2课时 利用一元二次方程解决面积问题 北师大版九年级上册 1.掌握面积法建立一元二次方程的数学模型.（难点） 2.能运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题.（重点） 学习目标 问题 某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形土地上修建三条等宽的通道，使其中两条与AB平行，另外一条与AD平行，其余部分种花草，要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道宽应该设计为多少？设通道宽为xm，则由题意列的方程为_____________________. C B D A (30-2x)(20-x)=6×78 导入新课 在一块长为 16 m，宽为 12 m 的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半。你能给出设计方案吗？ 方案1 方案2 讲授新课 利用一元二次方程解决面积问题 方案3 方案4 方案5 如何设未知数？怎样列方程？ 解：设小路的宽为x m，由题意得： (16-2x)(12-2x) =16×12× 整理，得：x2-14x+24 = 0 配方，得：x2-14x+72-72+24 = 0 (x-7)2 = 25 开方，得：x1= 2，x2=12（舍） 答：小路的宽为 2 m. 方案6 如何设未知数？怎样列方程？ 解：设扇形的半径为x m，由题意得： πx2 = 16×12× πx2 = 96 x1≈ 5.5，x2≈ -5.5（舍） 方案7 如何设未知数？怎样列方程？ 解：设花园的宽为x m，由题意得： 16x + 12x - x2 = 16×12× 解得 x1＝24（舍去），x2＝4． 所以花园的宽为 4 m． 化为一般形式，得 x2 - 28x + 96 = 0 20 32 x x 解：设道路的宽为x米 例1.如图，在一块宽为20m, 长为32m的矩形地面上修筑同样宽的两条道路,余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540㎡,求道路的宽为多少？ 还有其他解法吗？ 20 32 x x 解：设道路的宽为 x 米 20-x 32-x (32-x)(20-x)=540 整理，得x2-52x+100=0 解得 x1=2,x2=50 当x=50时，32-x=-18,不合题意，舍去. ∴取x=2 答：道路的宽为2米. 变式1.在宽为20m, 长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路,余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540㎡,求 这种方案下的道路的宽为多少？ 解：设道路的宽为 x 米 (32-x)(20-x)=540 可列方程为 【方法梳理】我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的性质，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出水渠的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）. 例2.如图所示，在△ABC中，∠C=90°， AC=6cm，BC=8cm.点P沿AC边从点A向终点C以1cm/s的速度移动；同时点Q沿CB边从点C向终点B以2cm/s的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.问点P，Q出发几秒后可使△PCQ的面积为9 cm²？ 根据题意得AP= xcm,PC=(6-x)cm,CQ=2xcm 解：若设出发 x s后可使△PCQ的面积为9cm² 整理，得 解得 x1= x2=3 答：点P，Q出发3s后可使△PCQ的面积为9cm². 【方法梳理】主要集中在几何图形的面积问题, 这类问题的面积公式是等量关系. 如果图形不规则应割或补成规则图形,找出各部分面积之间的关系,再运用规则图形的面积公式列出方程; 几何图形与一元二次方程问题 几何图形 常见几何图形面积是等量关系. 类 型 课本封面问题 彩条/小路宽度问题 常采用图形平移能聚零为整方便列方程 课堂小结 1. A 为了改善居民生活环境，云中小区准备对一块矩形空地进行绿化，这块空地的长比宽多6米，面积为720平方米，设矩形空地的长为x米，根据题意，所列方程正确的是(　　) A．x(x－6)＝720　 B．x(x＋6)＝720 C．x(x－6)＝360　 D．x(x＋6)＝360 课堂练习 16 2. “北看红旗渠，南看长岗坡．”长岗坡渡槽凌空飞架，宛如天上银河、巨龙游动，气势雄伟壮观，景色如画．长岗坡渡槽是罗定市最大的水利工程——金银河水利枢纽工程的主体设施，如图是某摄影爱好者拍摄的一张长为60 cm，宽为50 cm的长岗坡渡槽风景照，现要在风景照四周镶一条等宽的边，制成一幅矩形挂图． C 若整幅挂图的面积是4 200 cm2，设风景照四周所镶边的宽为x cm，则所列方程正确的是(　　) A．(60＋x)(50＋x)＝4 200 B．(60－2x)(50－2x)＝4 200 C．(60＋2x)(50＋2x)＝4 200 D．(60－x)(50－x)＝4 200 3. 40x＋60x－x2＝650 [2025长沙月考] 在长为60米，宽为40米的矩形草坪中修如图所示的两条宽度相同的小路，小路的面积为650平方米，求小路的宽．设小路的宽为x米，可列方程为____________________. 4. 2 如图，某工厂师傅要在一个面积为15 m2的矩形钢板上裁剪下两个相邻的正方形钢板当工作台的桌面，且大正方形的边长比小正方形的边长大1 m，则裁剪后小正方形的边长为________m. 5. 如图，一块矩形铁皮的长为10 cm，宽为8 cm，现在它的四个角上剪去四个大小相同的小正方形，做成底面积为24 cm2的无盖长方体盒子，求剪去的小正方形的边长． 解：设剪去的小正方形的边长为x cm， 则无盖长方体盒子底面的长为(10－2x)cm，宽为(8－2x)cm， 依题意得(10－2x)(8－2x)＝24， 解得x＝2或x＝7(不合题意，舍去)． 答：剪去的小正方形的边长为2 cm. 6. 为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园ABCD(如图)，生态园一面靠墙(墙足够长)，另外三面用18 m的篱笆围成．生态园的面积能否为40 m2？如果能，请求出AB的长；如果不能，请说明理由. 7. 1 如图，在宽为20 m，长为30 m的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分)，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为551 m2，则道路的宽为________ m. 8. 10米 如图，利用一面墙(墙长20米)，用总长度为43米的篱笆(图中实线部分)围成一个矩形鸡舍ABCD，且中间共留两个1米的小门，若矩形鸡舍ABCD的面积为 150平方米，则篱笆BC的长为________. 9. [2025九江模拟] 如图，在矩形ABCD中，AB＝5 cm，BC＝6 cm，点P从点A出发，沿边AB向终点B以1 cm/s的速度运动，同时，点Q从点B出发，沿边BC向终点C以2 cm/s的速度运动．当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t s. 27 解：∵点P从点A出发，沿边AB向终点B以1 cm/s的速度运动， ∴AP＝t cm. ∵AB＝5 cm，∴PB＝(5－t)cm. ∵点Q从点B出发，沿边BC向终点C以2 cm/s的速度运动， ∴BQ＝2t cm. (1)分别用含t的代数式表示PB与BQ的长. 28 解：在Rt△PBQ中，由勾股定理，得PB2＋BQ2＝PQ2， 即(5－t)2＋(2t)2＝52. 解得t1＝0(不合题意，舍去)，t2＝2. ∴当t＝2时，PQ的长等于5 cm. (2)当t为何值时，PQ的长等于5 cm？ 29 (3)是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于26cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由. 30 10. [2025长春期中] 如何利用闲置纸板箱制作储物盒 准 备 素 材 小明收集到如图①所示的闲置纸板箱．将其拆解出如图②和图③两种矩形纸板，两种纸板的长和宽如图所示. 31 设 计 方 案 小明分别将图②和图③两种矩形纸板以不同的方式制作储物盒. 图②矩形纸板的制作方式 图③矩形纸板的制作方式 如图④，裁去纸板角上4个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒． 如图⑤，裁去纸板角上4个相同的小矩形，折成一个有盖长方体储物盒． 目 标 达 成 小明利用两种不同的制作方式进一步探究. 初步 应用 小明按照图②矩形纸板的制作方式，制作了如图④所示的底面积是816 cm2的储物盒，求这个储物盒的容积. 储 物 收 纳 小明按照图③矩形纸板的制作方式，制作了如图⑤所示的储物盒，且EF和HG两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为800 cm2. 小明家里一个玩具的实物图和 尺寸大小如图⑥所示，通过计 算判断这个玩具能否完全放入 该储物盒中. 解：初步应用：设裁去的小正方形的边长为x cm， 则(40－2x)(50－2x)＝816，解得x1＝37(舍去)，x2＝8， ∴这个储物盒的容积为816×8＝6 528(cm3)． 储物收纳：设裁去的小矩形的长为m cm，宽为n cm， 则2(m－n)＝100－2m，解得n＝2m－50， 由题意得(40－2n)(100－2m)＝800， ∴[40－2(2m－50)](100－2m)＝800， 解得m1＝55(舍去)，m2＝30， ∴n＝2×30－50＝10， ∴储物盒的底面的长为100－30×2＝40(cm)， 宽为40－10×2＝20(cm)， ∵40 cm>35 cm，20 cm>15 cm， 10 cm<16 cm， ∴这个玩具不能完全放入该储物盒中． 解：能．假设生态园的面积能为40 m2. ∵四边形ABCD是矩形，∴设AB＝CD＝x m， 则AD＝BC＝(18－x) m，根据题意，得x(18－x)＝40， 解得x1＝8，x2＝10. ∴生态园的面积能为40 m2，AB的长为8 m或10 m. 解：存在．∵矩形ABCD的面积是5×6＝30(cm2)， 五边形APQCD的面积等于26 cm2， ∴△PBQ的面积是30－26＝4(cm2)．∴×(5－t)×2t＝4， 解得t1＝4(不合题意，舍去)，t2＝1. ∴当t＝1时，五边形APQCD的面积等于26 cm2. $$