【第二十四章 圆 04讲 弧长和扇形面积】【三大知识点+13大题型+巩固练习】2025-2026学年九年级上册数学（人教版专用）

第二十四章 圆 04讲 弧长和扇形面积 题型归纳 【题型1. 求弧长】…………………………………………………………………… 3 【题型2. 求扇形半径】……………………………………………………………… 7 【题型3. 求圆心角】………………………………………………………………… 10 【题型4. 求扇形面积】……………………………………………………………… 13 【题型5. 求某点的弧形运动路径长度】…………………………………………… 16 【题型6. 求图形旋转扫过的面积】………………………………………………… 19 【题型7. 求弓形面积】……………………………………………………………… 22 【题型8. 求其他不规则图形的面积】……………………………………………… 26 【题型9. 求圆锥侧面积】…………………………………………………………… 32 【题型10. 求圆锥底面半径】………………………………………………………… 35 【题型11. 求圆锥的高】……………………………………………………………… 36 【题型12. 求圆锥侧面展开图的圆心角】…………………………………………… 39 【题型13. 圆锥的实际问题】………………………………………………………… 42 【巩固练习】…………………………………………………………………………… 45 知识清单 知识点1 弧长公式 1.公式：n°的圆心角所对的弧长为 . 2.公式变形： ； . 【提示】 ① 公式里的n，180在弧长计算公式中变式倍数关系，没有单位； ② 题目中若没有写精确度，可用“”变式弧长，如弧长2，35等； ③ 正确区分弧、弧的度数相等、弧长相等：度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧也不一定是等弧，要特别注意，只有在同圆或等圆中，才可能是等弧，才有这三者的统一. 知识点2 扇形及其面积公式 1.扇形的定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形. 2.扇形面积公式： 圆心角为n°的扇形面积为（为扇形的弧长，为半径）. 【提示】 ① 扇形面积公式中的“n”与弧长公式中的“n”的意义一样的，变式“1°”的圆心角的倍数，参与计算时不带单位. 知识点3 圆锥 高 1.圆锥的构成：圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体. 2.圆锥的母线：把连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线. 3.圆锥的高：连接圆锥顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高. 【提示】 （1）圆锥的轴通过底面的圆心，并垂直于底面； （2）圆锥的母线长都相等； （3）圆锥可以看成是由一个直角三角形饶一条直角边所在的直线旋转而成的图形，故圆锥的母线、圆锥的高、圆锥底面圆的半径恰好构成一个直角三角形（如图），满足，利用这一关系，已知任意两个量可以求出第三个量. 4.与圆锥有关的公式：（1）；（2）； （3）设圆锥的侧面展开扇形的圆心角为 ，则由该扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长得出：，即 . 【提示】 ① 圆锥的侧面积就是弧长为圆锥的底面的周长，半径为圆锥的母线长的扇形的面积； ② 圆锥的全面积就是它的侧面积和底面积的和. 题型专练 题型1. 求弧长 【例1】（2025·贵州铜仁·三模）小英发现银杏叶片的形状近似于扇形，如图是小英画的银杏叶片的几何示意图，通过测量得到，则的长为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了弧长公式，根据弧长公式求解即可． 【详解】解：的长为：， 故选：B． 【例2】（24-25·上海杨浦·期中）如图所示，一把展开的扇子的圆心角是，扇面的外弧的长是94.2厘米，扇面宽的长是16厘米． 求： (1)的长度； (2)扇面的周长． 【分析】本题主要考查了弧长公式的应用，掌握弧长公式是解题的关键． （1）根据弧长公式即可求解； （2）先求出，再由弧长公式求出，最后计算周长即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得：； （2）解：， 则， ∴扇面的周长为：． 【变式1】（2025·四川南充·三模）如图，定滑轮和动滑轮是劳动人民在长期的生产生活实践中，发挥智慧和才能创造出来的简单机械．用一个半径为的定滑轮和动滑轮带动物体上升，假设绳索（粗细不计）滑轮之间没有滑动，拉动绳索使定滑轮上一点绕定滑轮中心顺时针旋转，则物体上升的高度为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了求弧长，定滑轮不省力也不省距，而动滑轮省力但是费距，故点P转动的距离是物体上升距离的2倍，据此根据弧长计算公式求出点P转动的距离即可得到答案． 【详解】解：， ∴物体上升的高度为． 故选：C 【变式2】（24-25九年级上·江苏盐城·期中）一圆锥的母线长为，它的侧面展开图的圆心角为，则这个圆锥的底面半径r为 ． 【分析】本题考查圆锥的展开图、扇形的弧长公式，熟记弧长公式是解答的关键． 根据圆锥的展开图是扇形，母线长为扇形的半径，底面周长是扇形的弧长，利用弧长公式求解即可． 【详解】解：根据题意，底面周长为， 由得， 故答案为：2． 【变式3】（24-25七年级下·上海普陀·阶段练习）一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，这个圆锥的底面半径与母线长之比为 【分析】本题主要考查了圆锥的侧面展开图，扇形的相关计算，根据圆锥的母线长为扇形的半径，圆锥的底面周长为扇形的弧长求解即可． 【详解】解：设圆锥的底面半径为r，母线长l， 则， 则， 故答案为：． 【变式4】（2025·山东临沂·一模）如图，为的直径，的切线交的延长线于点E，点D在上，，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，，求的长． 【分析】本题主要考查了切线的性质，同弧所对的圆周角相等，求弧长，勾股定理，等腰三角形的性质与判定等待，正确作出辅助线是解题的关键。 （1）由切线的性质可得，则，再由等边对等角和三角形外角的性质得到，再证明，，即可证明． （2）先证明，则，由圆周角定理得到，进一步求出，据此利用弧长公式求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是的切线， ， ， ， ∴， ， ， ， 为直径， ， ，即， ． （2）解：如图，连接，由（1）得， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴的长为． 题型2. 求扇形半径 【例1】（2025·黑龙江绥化·中考真题）在中，如果的圆心角所对的弧长是，那么的半径是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查弧长公式，根据圆心角对应的弧长公式，代入已知条件求解半径即可． 【详解】解：根据弧长公式：，其中， 代入得： 解得： 故选：A． 【例2】（2025·福建泉州·模拟预测）若弧长为的扇形的圆心角为，则扇形的半 径 ． 【分析】此题主要考查了弧长公式的应用，利用弧长公式直接将已知数据代入求出即可．熟练掌握弧长公式是解题关键． 【详解】解：弧长为的扇形的圆心角为， 即， 解得：， 则扇形的半径为． 故答案为：30． 【变式1】（2025·安徽合肥·二模）若扇形的弧长为，，则扇形的半径为（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 【分析】本题考查了弧长公式，弧长公式为，分别是圆心角，半径，据此列式代数进行计算，即可作答． 【详解】解：依题意，设扇形的半径为， ∵扇形的弧长为，， 则 ∴ 解得， 故选：B 【变式2】（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）若圆心角所对的弧长是，则此弧所在圆的半径的长是 ． 【分析】本题考查了弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题的关键．设半径为，根据弧长公式得出，计算即可得到答案． 【详解】解：设半径为， 根据题意得， ∴， 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，，分别切于点为，，若，弧的长为，则的半径为 ． 【分析】本题考查切线性质（圆的切线垂直于过切点的半径 ）与弧长公式（ ），关键是利用切线性质求圆心角，结合弧长公式列方程求解． 连接 、，利用切线性质得 、，结合四边形内角和求圆心角，再用弧长公式列方程求半径． 【详解】解：连接 、 ， 分别切 于 ， ，，即 四边形 内角和为 ， 又 弧 长 ， 解得 故答案为： 【变式4】（24-25九年级上·江苏扬州·期中）已知扇形的弧长是，圆心角，则这个扇形的半径是 ． 【分析】本题考查了弧长公式：，其中是弧长，是扇形的半径，是扇形的圆心角，熟练掌握弧长公式是解题关键．直接利用弧长公式计算即可得． 【详解】解：设这个扇形的半径是， 则， 解得， 所以这个扇形的半径是2， 故答案为：2． 题型3. 求圆心角 【例1】（2025·山西晋中·二模）如图，某公园计划修建一条以点为圆心，半径米，圆心角为的弧形观景步道即．施工过程中，因场地条件限制，需在保持圆心和半径长度不变的前提下，将弧形步道的弧长减少米，则调整后该弧形观景步道的圆心角度数为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了弧长，圆心角的计算，掌握弧长公式的计算是关键． 根据弧长公式（是弧长所对的圆心角）代入计算即可． 【详解】解：半径米，圆心角为的弧形观景步道即， ∴（米）， ∵将弧形步道的弧长减少米， ∴调整后的弧长为（米）， 设此时的圆心角的度数为， ∴， 解得，， 故选：C ． 【例2】（2025·河南周口·三模）如图，一个半径为的定滑轮带动重物上升了，假设绳索与滑轮之间没有滑动，则滑轮上某一点P旋转了 度． 【分析】本题考查弧长公式，熟练掌握弧长公式并理解题意是解题的关键．先根据题意得出点旋转的弧长为，再利用弧长公式求解即可． 【详解】解：由题意得滑轮上某一点运动的路程为， 即点旋转的弧长为， 设点旋转的角度为度， 则， 解得：， 故答案为：36． 【变式1】（2025·广西梧州·三模）一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的直径是，当重物上升时，问滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度为（ ）（假设绳索与滑轮之间没有摩擦，取） A． B． C． D． 【分析】重物上升，说明点转过的路径长为，然后根据弧长公式计算即可． 本题考查了弧长的计算和生活中的旋转现象，关键是熟练掌握弧长公式． 【详解】解：设旋转的角度为， 根据题意得，， 解得， 所以半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度为． 故选：D． 【变式2】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）折扇是南京著名的传统手工艺制品之一、某折扇展开后，扇形的半径为，面积为，则此扇形的圆心角为 度． 【分析】本题考查了扇形的面积公式，设扇形的圆心角是，根据扇形的面积公式，可得到一个关于n的方程，解方程即可求解． 【详解】解：设圆心角为， ， 解得：， 故答案为：． 【变式3】（2025·四川成都·模拟预测）“轮动发石车”在春秋战国时期被广泛应用，模型驱动部分如图所示，其中的半径分别是和，当顺时针转动3周时，上的点P随之旋转，则 ． 【分析】本题主要考查了利用弧长求解圆心角度数．先求出点P移动的距离，再根据弧长公式计算，即可求解． 【详解】解：根据题意得：点P移动的距离为， ∴， 解得：． 故答案为：． 【变式4】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）一个扇形的面积为，半径为，则扇形的圆心角的度数为 ． 【分析】本题考查了扇形的面积公式，设扇形的圆心角是，根据扇形的面积公式即可得到一个关于的方程，解方程即可求解，正确理解公式是解题的关键． 【详解】解：设扇形的圆心角是， 根据扇形的面积公式得：， 解得， 故答案是：． 题型4. 求扇形面积 【例1】（2025·广东珠海·三模）如果一个扇形的圆心角为，半径为，则这个扇形的面积为（　    　）． A．π B． C． D． 【分析】本题考查了扇形面积，掌握扇形面积公式是解题关键．根据扇形面积公式，圆心角为度，半径为的扇形面积为计算即可． 【详解】解：如果一个扇形的圆心角为，半径为， 则这个扇形的面积为， 故选：D． 【例2】（24-25九年级下·山东菏泽·期中）荷花寓意“家庭美满，生活和谐”，图1是一幅环形荷花装饰挂画将其视为如图2的扇形环面（由扇形挖去扇形），，的长度是，的长度是，则该环形荷花装饰挂画的面积是 ． 【分析】此题考查了扇形面积，利用较大扇形面积减去较小扇形面积即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，该环形荷花装饰挂画的面积是： ， 故答案为： 【变式1】（2025·黑龙江哈尔滨·三模）某扇形的半径为8，面积为，其圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了扇形的面积公式的计算，掌握知识点是解题的关键． 设扇形对应的圆心角的度数为，根据扇形的面积公式，即可求解． 【详解】解：设扇形对应的圆心角的度数为，依题意，得 ， 解得， ∴该扇形对应的圆心角为． 故选D． 【变式2】（2025·吉林长春·中考真题）若扇形的面积是它所在圆的面积的，则这个扇形的圆心角的大小是 度． 【分析】本题考查了扇形面积公式，圆的面积公式，掌握扇形面积是解题的关键． 设扇形的圆心角度数为，半径为，由扇形面积公式和圆的面积公式得到，即可求解． 【详解】解：设扇形的圆心角度数为，半径为， 由题意得， 解得：， 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·江西宜春·阶段练习）如图，在扇形中，，，，求图中阴影部分的面积． 【分析】本题考查了弧与圆心角的关系，扇形的面积公式，先根据弧与圆心角的关系求出的度数，然后根据扇形面积公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 又， ∴， 又， ∴图中阴影部分的面积为． 【变式4】（2024七年级上·全国·专题练习）已知一个扇形的面积为． (1)若该扇形所在圆的半径为12．求该扇形的圆心角； (2)若该扇形的圆心角的度数为，求该扇形所在圆的面积． 【分析】本题考查了扇形的面积公式：，解题的关键是∶ （1）根据扇形的面积公式求解即可； （2）根据扇形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：因为扇形的面积为，所在圆的半径为12， 扇形的圆心角， 所以该扇形的圆心角为． （2）解：由题意可知， 解得， 所以该扇形所在圆的面积为． 题型5. 求某点的弧形运动路径长度 【例1】（2025·贵州遵义·模拟预测）如图，摆钟是一种技术与艺术相结合的机械时钟，图是其钟摆摆动示意图，，当钟摆从摆动到时，若摆动角度，则端点A移动的路径长为（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查弧长的计算，熟练掌握弧长计算公式是解题的关键． 根据弧长计算公式，计算即可． 【详解】解：端点A移动的路径长， 故选：C． 【例2】（2025·江苏泰州·一模）如图，将绕点顺时针旋转得到，若，则点运动的路径长为 ．      【分析】本题考查了轨迹，旋转的性质，根据弧长公式即可求出点C经过的路径长． 【详解】解：∵绕点顺时针旋转得到，， ∴点C经过的路径长为：． 故答案为：． 【变式1】（24-25九年级上·河北石家庄·期末）如图，将一个半径为1的半圆，在直线上从左往右作无滑动的滚动，则滚动2025周后圆心所经过的路径长为（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查轨迹，弧长公式等知识，解题的关键是作出圆心的滚动轨迹为两个的弧长和一个的弧长．求出圆心O滚动一周路径长，可得结论． 【详解】解：如图，圆心滚动一周路径为长为， ∴滚动2025周后圆心所经过的路径长， 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，的半径为2，将的内接正六边形绕点O顺时针旋转，第二次与自身重合时，点经过的路径长为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查旋转对称图形，解题的关键是求出第二次重合的旋转角，然后根据弧长公式计算是解题的关键． 【详解】解：∵的内接正六边形绕点顺时针旋转，第二次与自身重合时旋转角为， ∴点B经过的路径长为， 故选C． 【变式3】（2025·安徽·二模）如图，中，，为边上任意一点，将绕着点顺时针方向旋转，得到，设点运动路线的长度为，则的最小值为 ． 【分析】根据题意，点运动路线的长度为圆心为点C，圆心角为，半径为的弧长，故当最小时，弧长最小，根据垂线段最短，当时，最小，解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵绕着点顺时针方向旋转，得到， ∴点运动路线的长度为圆心为点C，圆心角为，半径为的弧长， ∴， ∴当最小时，弧长最小， 根据垂线段最短，当时，最小， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式4】（24-25六年级下·上海金山·期中）时钟的时针长，从上午到中午，这个时针的针尖经过的路程为 ． 【分析】本题考查了弧长的计算公式．先根据题意得到时针转过的角度为，再根据弧长公式进行计算即可求解． 【详解】解：时钟从上午到中午，转过的角度为， 因为时钟的时针长， 所以时针的针尖经过的路程为． 故答案为： 题型6. 求图形旋转扫过的面积 【例1】（2025·广东湛江·二模）如图，某汽车车门的底边长为，车门侧开后的最大角度为．若将一扇车门侧开，则这扇车门底边扫过区域的最大面积是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了扇形的面积，根据扇形的面积公式直接计算即可求解，掌握扇形的面积公式是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，车门底边扫过区域的最大面积， 故选：． 【例2】（2025·安徽蚌埠·三模）如图，的顶点均在边长为1的小正方形组成的的网格的格点上． (1)画出将绕点顺时针旋转90°得到的对应图形； (2)旋转过程中边“扫过”的面积为 ． 【分析】本题主要考查了旋转作图、勾股定理、扇形面积等知识点，理解旋转的性质、扇形的面积公式成为解题的关键． （1）先作出点B、C绕点顺时针旋转90度的对应点，然后顺次连接即可解答； （2）先根据小正方形的特点用勾股定理求出边长，再根据旋转的性质以及扇形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如图：即为所求． （2）解：由题意可得：，， 所以旋转过程中边“扫过”的面积为． 故答案为：． 【变式1】（2025·广东茂名·二模）如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，则图中阴影部分面积为 ．（结果保留） 【分析】本题考查旋转的性质，勾股定理以及扇形的面积．根据“阴影部分的面积=扇形的面积-扇形的面积”进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 由图可知：阴影部分的面积=扇形的面积的面积-扇形的面积的面积， ∵绕A点逆时针旋转后得到， ∴的面积的面积， ∴阴影部分的面积=扇形的面积-扇形的面积 ； 故答案为：． 【变式2】（24-25九年级下·黑龙江·期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中，的三个顶点均在格点上，坐标分别为．请解答下列问题： (1)画出关于y轴的对称图形； (2)将绕点O顺时针旋转得到，画出； (3)在（2）的条件下，求线段在旋转过程中扫过的面积． 【分析】本题考查了作图轴对称和旋转变换及不规则图形面积的求法，熟练掌握轴对称和旋转的性质以及网格特点是解题的关键． （1）根据轴对称的性质找出点A、B、C的对应点的位置，顺次连接即可； （2）根据旋转的性质找出点A、B、C的对应点的位置，顺次连接即可； （3）根据旋转的性质和扇形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：（1）如图，即为所求． （2）解：如图，即为所求． （3）解：，， ∴线段在旋转过程中扫过的面积为． 题型7. 求弓形面积 【例1】（2025·安徽安庆·一模）如图，已知的半径为2，点A和点B在上，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了扇形面积公式，等边三角形的判定与性质，弓形面积；先证明是等边三角形，推出，直接根据即可得出结论，熟记扇形的面积公式是解题的关键． 【详解】解：， 是等边三角形， ， ， 故选：B． 【例2】（23-24九年级下·河南商丘·阶段练习）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，A，B，C三个点均在格点上，连接，并作，过点B．则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留） 【分析】 本题考查的是勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，圆周角定理的应用，弓形面积的计算，先证明，，再证明，再利用割补法求解阴影部分的面积即可． 【详解】解： 如图，连接， 由勾股定理可得：，， ∴， ∴， ∴为直径， ∵， ∴， ∵，， ∴； 故答案为：． 【变式1】（24-25九年级上·广西柳州·期末）如图，已知的半径为，点和点在上，若，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了扇形面积公式，弓形面积；直接根据即可得出结论，熟记扇形的面积公式是解题的关键． 【详解】解： ， 故选：． 【变式2】（2023·江西新余·一模）如图，有一个半径为的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过点和点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为 结果保留．    【分析】连接、，过点作，根据等边三角形的判定得出为等边三角形，再根据扇形面积公式求出，再根据三角形面积公式求出，进而求出阴影部分的面积． 【详解】解：连接、，过点作于点，     由题意可知：， ， 为等边三角形， ， ， ， ，， ， ， 阴影部分的面积为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是扇形的面积，熟练应用面积公式，其中作出辅助线是解题关键． 题型8. 求其他不规则图形的面积 【例1】（2025·山东·中考真题）在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征．下图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．已知内切圆的半径是2，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了正方形的内切圆、外切圆、勾股定理等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． 如图：连接相交于O，由正方形的内切圆的半径是2，，，再运用勾股定理可得，则，最后根据圆的面积公式求解即可． 【详解】解：如图：连接相交于O， ∵正方形的内切圆的半径是2， ∴，， ∴，， ∴图中阴影部分的面积是． 故选D． 【例2】（2025·浙江绍兴·三模）如图，扇形的圆心角为，，点，分别为，的中点，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留） 【分析】本题考查了扇形面积公式、根据阴影部分面积等于扇形的面积减去的面积，即可求解． 【详解】解：∵扇形的圆心角为，，点，分别为，的中点 ∴ ∴图中阴影部分的面积为 故答案为：． 【变式1】（2025·重庆·二模）如图，在菱形中，以点为圆心，为半径画弧，交线段于点，以为直径画半圆．若，，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查扇形面积的计算及等边三角形的性质，能够将阴影部分的面积转化为两个扇形的面积与等边三角形之间的关系是解题的关键．本题利用等于阴影部分的面积进行计算即可． 【详解】解：如图作半圆的圆心，连接，并作于点， ， ， ， 为等边三角形， ∴， ， ， ， 在直角中，勾股定理可得：， ， ， ， 阴影部分的面积． 故选：D． 【变式2】（2025·河南周口·三模）如图，在矩形中，分别以和为圆心，长为半径画弧，两弧有且仅有一个公共点．若，则图中阴影部分的面积为 ． 【分析】本题考查了扇形面积公式、根据阴影部分面积等于扇形的面积减去的面积，即可求解． 【详解】解：∵扇形的圆心角为，，点，分别为，的中点 ∴ ∴图中阴影部分的面积为 故答案为：． 49．/ 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，熟知扇形的面积公式是解题的关键．将阴影部分的面积转化为矩形的面积减去半径为长的圆面积的一半即可． 【详解】解：连接， 四边形为矩形， ， ，分别以点和点为圆心，两弧有且仅有一个公共点． ， ， ， 又， ． 故答案为：． 【变式3】（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，切于A、B，若，半径为3，求阴影部分面积． 【分析】此题考查了切线长定理，直角三角形的性质，扇形面积公式等知识．此题难度不大，注意数形结合思想的应用．首先根据切线长定理，可求得的度数与，又由直角三角形的性质，可求得的长，然后求得与扇形的面积，由  则可求得结果． 【详解】解：连接与， ∵切于A、B，若， ∴，， ∴， ∵半径为3， ∴， ∴， ∴， ， ∴ ∴阴影部分面积为：． 【变式4】（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，是的直径，点在上且平分弧，于点，分别交，于，． (1)求证：； (2)若为的中点，且半径，求阴影部分面积． 【分析】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理，圆的有关计算，扇形的面积，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握圆的有关性质是解题的关键． （1）利用直径所对的圆周角为直角可得，根据可得，推出；结合点在上且平分弧可得，即可求证； （2）连接，，过点作于点，利用垂直平分线的性质，圆的有关性质和等边三角形的判定与性质得到为等边三角形，利用圆周角定理，含角的直角三角形的性质，勾股定理求得，再利用阴影部分面积解答即可． 【详解】（1）证明：为的直径， ， ． ， ， ． 点在上且平分弧， ， ， ， ； （2）解：连接，，如图， ，为的中点， 为的垂直平分线， ， ， ， 即为等边三角形， ． ， ， ． ． 过点作于点，则， ． 阴影部分面积 ． 题型9. 求圆锥侧面积 【例1】（2025·浙江温州·二模）如图，圆锥的底面半径，高，该圆锥的侧面积是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了圆锥侧面积的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．先利用勾股定理计算出母线长，然后利用扇形的面积计算它的侧面积即可． 【详解】解：圆锥的母线的长， 这个圆锥的侧面积， 故选：C． 【例2】（2025·云南临沧·一模）某校九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥型工艺品若这种圆锥的侧面积为平方厘米，底面圆的半径为厘米，则该圆锥的母线长为 厘米． 【分析】本题考查了圆锥的侧面积，设圆锥的母线长为厘米，根据侧面积公式列式求解即可． 【详解】解：设圆锥的母线长为厘米， 由题意得：， 解得：， 则圆锥的母线长为厘米， 故答案为：． 【变式1】（2025·广西南宁·三模）广西斗笠是当地传统手工编织的实用雨具，其形状常可抽象成圆锥．如图，已知一广西斗笠的底面半径为，母线长，则该斗笠的侧面面积为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查求圆锥的侧面积，根据圆锥的侧面积公式：，进行计算即可． 【详解】解：由题意，该斗笠的侧面面积为； 故选C． 【变式2】（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知圆锥的底面圆半径为，母线长为，则圆锥的侧面积是（    ） A．12 B．16 C．20 D．24 【分析】本题主要考查了求圆锥侧面积， 圆锥的侧面积公式为，其中是底面圆半径，是母线长. 【详解】解：根据题意，得底面圆半径，母线长， ∴. 故选：A. 【变式3】（2025·云南昆明·三模）云南西双版纳的傣族传统手工艺人常用竹蔑编织圆锥形帽子．某工匠制作了一顶帽子，测得帽檐底面圆的半径为20厘米，帽子的母线长（从帽顶到帽檐边缘的直线距离）为25厘米．则这顶帽子侧面的竹蔑材料表面积是 平方厘米（结果保留）． 【分析】本题主要考查了圆锥的计算，根据圆锥的侧面积公式进行计算即可． 【详解】解：由题知， 因为帽檐底面圆的半径为20厘米，帽子的母线长为25厘米， 所以这顶帽子侧面的竹篾材料表面积是：（平方厘米）． 故答案为：． 【变式4】（2025·上海普陀·三模）已知圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形，则圆锥的侧面积是 ． 【分析】本题考查了圆锥的侧面积，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键． 根据圆锥的侧面积等于扇形的面积计算即可． 【详解】解：∵圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形， ∴圆锥的侧面积等于扇形的面积． 故答案为：． 题型10. 求圆锥底面半径 【例1】（2025·云南·中考真题）若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为，母线长为，则该圆锥的底面圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是了解圆锥的底面周长等于侧面展开图扇形的弧长． 设圆锥底面圆半径为，根据圆锥侧面展开图的扇形弧长等于底面圆的周长得到，即可求解半径． 【详解】解：设圆锥底面圆半径为， 由题意得：， 解得， 因此，该圆锥的底面圆半径为， 故选：B． 【变式1】（2025·四川广安·中考真题）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若圆锥的母线长为5，则该圆锥的底面圆的半径为（    ） A． B． C． D．5 【分析】本题考查了与圆锥相关的计算，熟知圆锥侧面展开后是扇形及与圆锥的底面半径的关系是解题的关键； 先计算圆锥展开图的扇形的弧长，再进一步计算即可 【详解】解：圆锥侧面展开图的扇形的弧长， ∴该圆锥的底面圆的半径为； 故选：A 【变式2】（2025·广东广州·三模）如图，将一个扇形围成圆锥的侧面，已知扇形面积为，扇形半径，则圆锥的底面圆半径 ． 【分析】本题主要考查了求圆锥底面圆半径，圆锥的侧面积等于母线长乘以圆周率乘以底面圆半径，据此建立方程求解即可． 【详解】解；由题意得，， 解得， 故答案为：2． 【变式3】（2025·浙江温州·三模）如图，一块扇形铁皮的弧长为，要把它做成一个圆锥形容器（接缝忽略不计），则这个圆锥形容器的底面半径为 ． 【分析】本题考查了圆锥的计算，根据圆锥的侧面弧长等于底面圆的周长计算解答． 【详解】解：设这个圆锥形容器的底面半径为， ∴， 解得， 故答案为：． 题型11. 求圆锥的高 【例1】（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，已知圆锥侧面展开图是一个圆心角为，弧长为的扇形，则圆锥的高为（   ） A．9 B． C． D． 【分析】本题考查圆锥的计算、弧长的计算，根据圆的周长公式求出圆锥的底面半径，由弧长公式求出圆锥的母线，再由勾股定理计算圆锥的高即可． 【详解】解：圆锥的底面半径为， 圆锥的母线为 ∴ 故选：C． 【例2】（2025·江苏南京·二模）已知圆锥的底面圆的半径为1，其侧面展开图的圆心角的度数为，则圆锥的高为 ． 【分析】本题考查圆锥的计算，根据题意和题目中的数据，可以先计算出侧面展开图的半径为r，然后根据勾股定理即可求得圆锥的高． 【详解】解：设侧面展开图的半径为r， ， 解得， 设圆锥的高为h， 则， 故答案为：． 【变式1】（2024·内蒙古赤峰·二模）一个圆锥的侧面积是，它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的高为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了圆锥的计算，熟练掌握圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解题的关键． 利用扇形的面积公式可得圆锥的母线长，进而求得扇形的弧长，除以即为圆锥的底面圆半径，利用勾股定理求得圆锥的高即可． 【详解】解：设圆锥的母线长为，则， 解得：， ∴圆锥侧面展开图的弧长为： ∴圆锥的底面圆半径是， ∴圆锥的高为 故选C． 【变式2】（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）一个圆锥体的侧面展开图是一个圆心角为，半径为6的扇形，则这个圆锥体的高为 ． 【分析】本题主要考查了求圆锥的高，求圆锥底面圆半径，勾股定理，，设这个圆锥体的底面圆半径为r，根据圆锥底面圆周长等于其展开图得到的扇形弧长建立方程求出r，再利用勾股定理即可求出圆锥的高． 【详解】解：设这个圆锥体的底面圆半径为r， 由题意得，， ∴， ∴这个圆锥体的高为， 故答案为：． 【变式3】（2025·山东济宁·模拟预测）如图，将半径为8的圆形纸片剪掉4分之一，余下部分围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高是 ． 【分析】本题主要考查了求圆锥的高，勾股定理， 根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长求出底面半径，再根据扇形的半径等于圆锥的母线，结合勾股定理求出答案． 【详解】解：根据题意，得，， 根据勾股定理，得， 即， 所以圆锥的高为． 故答案为：． 题型12. 求圆锥侧面展开图的圆心角 【例1】（2025·湖南长沙·模拟预测）已知一个圆锥的母线长，底面半径是，则圆锥侧面展开图的圆心角度数为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了圆锥侧面展开图，弧长等知识．熟练圆锥侧面展开图的弧长是圆锥底面圆的周长是解题的关键．设该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是，依题意得，，计算求解即可． 【详解】解：设该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是， 依题意得，， 解得，， 故选：D． 【例2】（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）若圆锥的底面半径为，母线长为，则其侧面展开图的圆心角为 度． 【分析】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．圆锥的底面半径为，则底面圆的周长是，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，即侧面展开图的扇形弧长是，母线长为即侧面展开图的扇形的半径长是．根据弧长公式即可计算． 【详解】解：根据弧长的公式得到： ， 解得． 即侧面展开图的圆心角为160度． 故答案为：160． 【变式1】（2025·山东潍坊·一模）一个圆锥的侧面积是底面积的4倍，则该圆锥侧面展开图的圆心角是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了圆锥侧面积与底面积的关系，以及侧面展开图的圆心角计算，设圆锥底面半径为，母线长为，圆锥侧面展开图的圆心角为，根据求出，再由计算即可得解． 【详解】解：设圆锥底面半径为，母线长为，圆锥侧面展开图的圆心角为， 由题意可得：， ∴， 解得：， 由弧长公式可得：， 解得：， ∴该圆锥侧面展开图的圆心角是， 故选：A． 【变式2】（2025·四川绵阳·模拟预测）如图，是圆锥的轴截面图形，是圆锥的高．若，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查求圆锥侧面展开图的圆心角度数，勾股定理求出母线长，根据圆锥的底面圆周长等于侧面展开图的弧长，进行求解即可． 【详解】解：由图可知：， ∴， 设展开图的圆心角的度数为，则：， ∴；即：展开图的圆心角的度数为； 故选：C． 【变式3】（2025·内蒙古呼伦贝尔·模拟预测）圆锥的高为，母线长为3，沿一条母线将其侧面展开，展开图（扇形）的圆心角是 度． 【分析】本题考查了求圆锥侧面展开图的圆心角；根据扇形弧长计算公式即可求解． 【详解】解：设圆锥侧面展开图扇形的圆心角为n度， 由勾股定理得圆锥底面圆的半径为：， 由题意得：， 解得：； 故答案为：120． 题型13. 圆锥的实际问题 【例1】（2025·河北沧州·模拟预测）已知某建筑物的顶端为圆锥形（如图），为了美观，要在圆锥形建筑上装饰一条灯带，灯带自处开始绕侧面一周又回到点，若这个圆锥形建筑物的底面周长为，母线的长为，则这条灯带的最短长度是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查了圆锥的计算，首先求出圆锥底面的周长，再求出圆锥侧面的圆心角度数，最后运用勾股定理求出的长即可． 【详解】如图，扇形为圆锥的侧面展开图，连接． 圆锥形底面周长为，母线的长为， ．解得，即， ， ∴， 过点作于点， ． ． ∴，， ，垂直， ， ． 故这条灯带的最短长度为， 故选D． 【例2】（2025·云南·模拟预测）某同学发现家里的草帽可以近似看作一个圆锥，测量得母线长为50 ，高度为30 ，通过计算，这个圆锥的侧面展开图的弧长为 ． 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用和圆周长等知识点，解决此题的关键是正确的计算；先根据勾股定理算出底面的半径，底面的周长即为圆锥的侧面展开图的弧长，进而求出答案即可； 【详解】解：∵， ∴底面周长（）为： 即圆锥侧面展开图的弧长为 故答案为： 【变式1】（23-24九年级下·湖北鄂州·阶段练习）如图圆锥的横截面，，，一只蚂蚁从B点沿圆锥表面到母线去，则蚂蚁行走的最短路线长为（    ）cm A． B． C．3 D． 【分析】本题主要考查圆锥的侧面展开图，弧长公式和解直角三角形，掌握弧长公式和特殊角的三角函数值是解题的关键． 先将圆锥的侧面展开图画出来，利用垂线段最短可判断的长为蚂蚁爬行的最短路线长，根据弧长公式求出的度数，然后利用特殊角的三角函数在即可求出的长度． 【详解】圆锥的侧面展开图如下图： 作 圆锥的底面直径, 底面周长为， 设 ， 则有 解得， ， 在中 ， ∴蚂蚁从B点出发沿圆锥表面到处觅食，蚂蚁走过的最短路线长为 故选：D. 【变式2】（2025·云南曲靖·二模）某博物馆修复一把古代铜锁，锁头的装饰部分为圆锥形（如图）．已知装饰部分的底面圆的半径为3厘米，母线长为5厘米，则该圆锥形装饰的面积为（   ） A．平方厘米 B．平方厘米 C．平方厘米 D．平方厘米 【分析】本题考查了圆锥侧面积的计算，根据圆锥侧面积公式计算即可得解，熟练掌握相关公式是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：该圆锥形装饰的面积为（平方厘米）， 故选：B． 巩固练习 一、单选题 1．（2025·广东梅州·一模）如图物理实验课上，同学们分组研究定滑轮“可以改变用力的方向，但不能省力”时，爱动脑筋的小颖发现：重物上升时，滑轮上点A的位置在不断改变．已知滑轮的半径为，当重物上升时，滑轮上点A转过的度数为（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查了弧长公式的计算，重物上升时，即弧长是，设旋转的角度是，利用弧长公式计算即可得出答案，熟练掌握弧长公式是解此题的关键． 【详解】解：设旋转的角度是，滑轮的半径是， 由题意得：， 解得：， ∴滑轮上点A转过的度数为， 故选：B． 2．（2025·浙江衢州·二模）某单位需要在如图的雪糕筒路障侧面贴上彩纸进行装饰，若该路障可以近似看做圆锥，其主视图的边，，则彩纸的面积是（　　）． A． B． C． D． 【分析】本题考查了圆锥的侧面展开图、扇形面积公式，首先根据，可以求出圆锥底面圆的周长为，即圆锥侧面展开得到的扇形的弧长为，半径为，根据扇形的面积公式是计算即可求出彩纸的面积． 【详解】解：如下图所示，过点作， ， 以为直径的圆的周长是， 圆锥的侧面展开图的面积是， 故选：D． 3．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，是一个圆锥形状的生日帽，若该圆锥的母线长与底面圆半径的比为，将该帽子沿母线剪开，则其侧面展开扇形的圆心角为（   ）． A． B． C． D． 【分析】本题考查的是求解圆锥展开图的扇形圆心角，设其侧面展开扇形的圆心角为度，底面半径为，则母线长为，再利用底面圆周长等于展开图的弧长可得答案. 【详解】解：设其侧面展开扇形的圆心角为度，底面半径为，则母线长为， 由题知，， 解得， 其侧面展开扇形的圆心角为． 故选：D 4．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）用一个半径为的半圆围成一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查了圆锥的底面圆半径，先求出半圆的弧长，再圆锥底面周长等于半圆弧长求出半径即可，理解圆锥底面周长等于半圆弧长是解题的关键． 【详解】解：半圆的弧长为， ∵圆锥底面周长等于半圆弧长， ∴圆锥的底面半径，故选：B． 5．（2025·重庆·模拟预测）如图，在矩形中，对角交于点，以点为圆心，长为半径画弧，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了矩形的性质、扇形面积公式、含角的直角三角形的性质以及等边三角形的判定与面积公式，这些知识点的综合运用是解决此类几何面积计算问题的关键． 先求出扇形的圆心角和半径，再求出等边三角形的面积，最后用扇形面积减去三角形面积得到阴影部分面积． 【详解】解：因为四边形是矩形，， 所以，即扇形的半径， 已知，在矩形中，， 所以， 可得，即扇形的圆心角， 在中，，， 所以是等边三角形， 可得， ， 阴影部分面积． 故选：D． 6．（2025·河南驻马店·三模）如图，四边形ABCD内接于，，连接，若平分，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了扇形面积计算，圆周角定理，角平分线的定义，由圆周角定理和角平分线的定义可得的度数，再根据扇形面积计算公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故选：A． 7．（2025·安徽滁州·三模）如图，为的直径，，弦，则劣弧的长为（   ） A． B．π C．2π D．4π 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，弧长公式，得到是直角三角形是解答关键． 连接，，根据勾股定理的逆定理得到是直角三角形，，再利用弧长公式求解． 【详解】解：连接，，如下图 ， 的半径为4， 即． ，， ， 是直角三角形， 即， 劣弧的长为． 故选：C． 8．（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，点C为扇形的半径上一点，将沿折叠，点O恰好落在上的点D处，且，若将此扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面半径与母线长的比为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查的是扇形，折叠的性质，熟练掌握圆锥的弧长公式和圆的周长公式是解题的关键． 连接，求出，利用弧长公式和圆的周长公式求解即可． 【详解】解：连接交于． 由折叠的知识可得：，， ， ， ， ∴ 设圆锥的底面半径为，母线长为， 根据题意得，， ． 故选：D． 9．（2025·河南洛阳·三模）如图，圆O是等边三角形的外接圆，点D是弧的中点，连接、．以点D为圆心，的长为半径在圆O内画弧，阴影部分的面积为，则等边三角形的边长为（    ） A．4 B． C． D．2 【分析】连接、，与交于点．根据等边三角形的性质和圆内接四边形的性质，得到，再结合扇形面积公式，求出，由垂径定理可得，，，再解直角三角形，得到，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，连接、，与交于点． 是等边三角形， ， 四边形内接于， ， ， 阴影部分的面积为， ， ， （负值舍去）， 是半径，点D是弧BC的中点， ，，， ， ， ， ， 等边三角形的边长为， 故选：C． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，圆内接四边形，扇形面积，垂径定理，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，勾股定理等知识，掌握圆的相关性质是解题关键． 10．（2025·山西·中考真题）如图，在中，，分别以点为圆心、的长为半径画弧，与的延长线分别交于点．若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，扇形的面积，由等腰直角三角形的性质得，，进而由解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 二、填空题 11．（2025·云南昆明·三模）已知圆锥的底面半径为3，母线长为5，将它的侧面沿一条母线剪开后展平，所得扇形的面积为 ． 【分析】题主要考查了圆锥侧面积公式，根据圆锥侧面展开图的面公式求解即可． 【详解】解：扇形的面积为， 故答案为：． 12．（2025·黑龙江·中考真题）若圆锥的底面半径为3，高为4，则圆锥侧面展开图的面积为 ． 【分析】本题考查求圆锥的侧面积，根据勾股定理求出母线长，再根据侧面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵圆锥的底面半径为3，高为4， ∴圆锥的母线长为， ∴圆锥侧面展开图的面积为； 故答案为：． 13．（24-25九年级上·全国·随堂练习）若圆锥底面圆的周长为，侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的母线长为 ． 【分析】本题主要考查了圆锥侧面展开图的知识，熟练掌握相关公式是解题关键．设该圆锥的母线长为，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，且扇形的弧长等于圆锥底面的周长，可得，求解可得答案． 【详解】解：设该圆锥的母线长为， ∵圆锥的侧面展开图为一扇形，且扇形的弧长等于圆锥底面的周长， ∴，解得， 即该圆锥的母线长为48． 故答案为：48． 14．（2025·广东深圳·模拟预测）传统服饰日益受到关注，如图①为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，如图②马面裙可以近似地看作扇形的一部分，其中的长度为米，米，圆心角，则该马面裙的面积为 ． 【分析】本题考查了弧长公式，扇形的面积公式．根据的长度为米，可求出米，再由该马面裙的面积为，即可求解． 【详解】解：∵的长度为米，， ∴， ∴米， ∵米， ∴该马面裙的面积为． 故答案为： 15．（2025·安徽黄山·模拟预测）如图，小明同学把一块等腰直角三角板的顶点放在半径为的圆形铁丝上，三角板的斜边及一条直角边分别与圆交于点、点，则图中的长为 ． 【分析】本题主要考查了圆周角定理，弧长公式，连接，根据圆周角定理得出，再利用弧长公式即可求解，掌握相关知识的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∴， ∴的长为， 故答案为：． 16．（24-25九年级下·黑龙江绥化·期中）若一个圆锥的母线长为8，底面圆的周长是，则该圆锥侧面展开图的圆心角的度数为 ． 【分析】本题考查圆锥的有关计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来扇形之间的关系是解题的关键．根据圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长，首先求得展开图的弧长，然后根据弧长公式即可求解． 【详解】解：∵底面圆的周长是， ∴圆锥侧面展开图的弧长是：， 设圆心角的度数为n度，母线长是，则， 解得：；故答案为：． 17．（2025·吉林松原·模拟预测）如图，是的半径，是的切线，，交于点D．若，，则阴影部分图形的面积为 （结果保留）． 【分析】连接，由切线的性质得，因为，则，所以，则，求得，则，由，，则和都是等边三角形，所以，则，所以，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，连接， ∵是相切于点B， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴和都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理、切线的性质、平行线的判定与性质、等边三角形的判定与性质、扇形的面积公式等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 18．（2025·河南·中考真题）我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点O，四边形为矩形，边与相切于点，连接，，连接交于点．若，则图中阴影部分的面积为 ． 【分析】根据圆的切线的性质和矩形的性质，得到，由垂径定理可得，由圆周角定理可得，进而证明是等边三角形，得到，再根据阴影部分的面积求解即可． 【详解】解：所在圆的圆心为点O，边与相切于点， ，， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， ，， ， 是等边三角形， ， ， 阴影部分的面积， 故答案为：． 【点睛】本题考查了求不规则图形面积，矩形的性质，圆周角定理，垂径定理，圆的切线的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，扇形面积，掌握圆的相关性质是解题关键． 19．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，是半圆的直径，是的中点，是的中点，连接，，若，则图中两个阴影部分的周长和为 ． 【分析】本题主要考查了圆心角与弧的关系、弧长公式等知识点，掌握转化思想成为解题的关键． 先根据圆心角与弧的关系以及邻补角的性质可得，进而求得，然后根据周长公式求解即可． 【详解】解：∵是的中点，是的中点， ∴， ∵是半圆的直径， ∴， ∴， ∴， ∴图中两个阴影部分的周长和为． 故答案为：． 20．（2025·山东烟台·中考真题）如图，正六边形的边长为4，中心为点，以点为圆心，以长为半径作圆心角为的扇形，则图中阴影部分的面积为 ． 【分析】连接、、，过点O作于点M，根据正六边形的性质得出，，，证明和为等边三角形，求出，证明，得出，得出，根据求出结果即可． 【详解】解：连接、、，过点O作于点M，如图所示： ∵六边形为正六边形， ∴，，， ∴和为等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正六边形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，扇形面积计算，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握正六边形的性质． 三、解答题 21．（2025·黑龙江·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标为． (1)画出关于y轴对称的； (2)画出绕点O逆时针旋转后的； (3)在（2）的条件下，求点A所经过的路径长． 【分析】本题考查了作轴对称图形，旋转作图，弧长公式，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先分别找出关于y轴对称的点，再依次连接，即可作答． （2）先分别找出绕点O逆时针旋转后的点，再依次连接，即可作答． （3）先运用勾股定理算出，再结合弧长公式列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：如图所示： （3）解：如图所示： 则， 在（2）的条件下，， ∴． 即点A所经过的路径长为． 22．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，将绕点C逆时针旋转得到（、分别与A、B对应）． （1）请你在图中画出； （2）求在旋转过程中，线段所扫过的图形面积．（结果保留） 【分析】本题主要考查了旋转作图，扇形面积计算，熟练掌握扇形面积的计算公式，是解题的关键． （1）根据旋转的性质，先作出点A、B的对应点、，然后再顺次连接即可； （2）根据扇形面积计算公式进行计算即可． 【详解】解：（1）如图，即为所求作的三角形； （2）． 答：线段所扫过的图形面积为． 23．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，为的直径，为上一点，弦的延长线与过点的直线互相垂直，垂足为，且，连接． (1)求证是的切线； (2)若，，求的长． 【分析】（1）连接，则，所以，而，则，由为的直径，得，可推导出，即可证明是的切线； （2）连接，由，，求得，，而，所以，则，即可根据弧长公式求得的长是． 【详解】（1）证明：连接． 是的直径， ．         ， ， ， ， 又， ，即，              为上一点， 是的切线． （2）解：如上图，连接． ， ， ，     ，， ， ， ， ， ， ，         ， 的半径为1，         的长为． 【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、切线的判定、直角三角形的两个锐角互余、圆周角定理、弧长公式等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 24．（2025九年级下·浙江·专题练习）（1）已知圆锥的底面半径为，母线长为，求圆锥的表面积； （2）用圆心角为，半径为的扇形做成一个无底的圆锥侧面，求圆锥的侧面积； （3）如图，圆锥的侧面积为，底面半径为3，求圆锥的高． 【分析】 本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． （1）先利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式计算出侧面积，然后加上底面积即可得到圆锥的表面积； （2）利用圆锥的侧面展开图为一扇形，所以扇形面积公式计算即可得到圆锥的侧面积； （3）设圆锥的母线长为R，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式得•2π•3•R＝15π，解得R＝5，然后利用勾股定理计算圆锥的高． 【详解】解：（1）圆锥的表面积； （2）圆锥的侧面积； （3）设圆锥的母线长为R， 根据题意得， 解得， 所以圆锥的高． 25．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，四边形内接于，，为对角线，点在的延长线上，且． (1)判断所在直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，的半径为3，求阴影部分的面积．（结果保留） 【分析】本题考查了切线的判定，圆有关的性质，扇形的面积，熟练运用是解答本题的关键． （1）根据圆周角为直角的弦是直径得到是直径，再根据直径所对的圆周角是直角得到，从而得到，根据已知得，同弧所对的圆周角相等得，从而得到，即可证明； （2）找到圆心角，再利用扇形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：所在直线与相切，理由如下：连接， ， 是直径， ， ， ， ， ， ， ， 即， 点D在上， 是的切线； （2）由（1）知，， ， ， ， ． 26．（24-25九年级上·山西吕梁·阶段练习）山西太原剪纸是国家非遗文化之一，某实践小组为一件剪纸艺术作品添加边框，两种设计方案如下．图1设计方案中扇形的半径为，圆心角为，图2设计方案中矩形的长为，宽为．为了美观需对边框用彩条封边，通过计算，比较哪种设计方案使用的彩条较短．      【分析】本题考查了弧长的计算，长方形的性质，分别求出两个图案的周长，然后比较即可． 【详解】解：图1设计方案使用彩条的长度为； 图2设计方案使用彩条的长度为． ， ∴图1设计方案使用的彩条较短． 27．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，在一个圆形零件的设计图纸中，，是过圆心O的两条支撑杆，连接边缘的金属杆垂直支撑杆于点F，为加固扇形区域，强化杆与金属杆交于点G． (1)若金属杆，，求该圆形零件的直径； (2)若调整参数使，记该圆形零件的面积为S，求的值． 【分析】本题考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理、扇形面积、等腰三角形的性质及三角形的内角和定理，熟练掌握垂径定理和圆周角定理是解答的关键． （1）先根据垂径定理得到，在中，利用勾股定理列方程求得r值即可求解； （2）先根据等腰三角形的性质的带，再根据圆周角定理得，然后根据三角形的内角和定理求得，进而得，则有． 【详解】（1）解：设圆形零件的半径为r， ∵，为直径， ∴，， 在中，， ∴，解得， ∴， 则该圆形零件的直径为20； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 则． 28．（2025·辽宁·中考真题）如图，在中，，以为直径作，与相交于点．连接，与相交于点． (1)如图1，连接，求的度数； (2)如图2，若点为的中点，且，求的长． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，弧长公式等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）连接，先证明，得到，由等腰三角形性质得到，设，在四边形中，由四边形内角和等于计算即可； （2） 根据直角三角形斜边中线的性质先证明为等边三角形，则可求度数，再由弧长公式即可求解． 【详解】（1）解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设， 在四边形中，∵ ∴， ∴； （2）解：连接， ∵，为中点， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴的长为：． 29．（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）课本再现 我们在学习直线和圆的位置关系时，教材中定义了切线，即直线和圆有唯一公共点时，这条直线叫做圆的切线，这个唯一公共点叫做切点．如图1，直线，垂足为，点在上，请说明直线是的切线； 知识应用 如图2，、、、均在上，连接外一点与上一点，并延长交于点，，垂足为，连接交于点，若的半径为4，，． （1）求证：是的切线； （2）求线段和弧的长． 【分析】课本再现：设直线l与另一交点为点M，由得到，从而直线l，根据垂线的性质可得点A与点M重合，即直线l与只有一个交点，根据切线的定义得到直线是的切线； 知识应用：（1）连接，先求出，再由直角三角形两锐角互余和对顶角相等求出，由等腰三角形得性质得，进而可证是的切线； （2）先证明点D，O，B三点共线，得到，由30度角的性质得，根据可求出；求出，然后根据弧长公式弧的长． 【详解】课本再现：设直线l与另一交点为点M， ∴， ∴， ∵直线， ∴， ∴， ∴直线l， ∵，都过点O， ∴根据垂线的性质可得与重合，即点A与点M重合， ∴直线l与只有一个交点， ∴直线是的切线． 知识应用： （1）如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴， ∴是的切线； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点D，O，B三点共线， ∴． ∵，， ∴， ， ∴， ∴． ∵， ∴弧的长为． 【点睛】本题考查了切线证明与判定，等腰三角形的性质，勾股定理，求弧长，熟练掌握切线的判定方法和弧长公式是解答本题的关键． 30．（2025·江苏扬州·中考真题）材料的疏水性 扬州宝应是荷藕之乡．“微风忽起吹莲叶，青玉盘中泻水银”，莲叶上的水滴来回滚动，不易渗入莲叶内部，这说明莲叶具有较强的疏水性．疏水性是指材料与水相互排斥的一种性质． 【概念理解】 材料疏水性的强弱通常用接触角的大小来描述．材料上的水滴可以近似的看成球或球的一部分，经过球心的纵截面如图1所示，接触角是过固、液、气三相接触点（点或点）所作的气−液界线的切线与固−液界线的夹角，图1中的就是水滴的一个接触角． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出图2中水滴的一个接触角，并用三个大写字母表示接触角；（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） （2）材料的疏水性随着接触角的变大而______（选填“变强”“不变”“变弱”）． 【实践探索】 实践中，可以通过测量水滴经过球心的高度和底面圆的半径，求出的度数，进而求出接触角的度数（如图3）． （3）请探索图3中接触角与之间的数量关系（用等式表示），并说明理由． 【创新思考】 （4）材料的疏水性除了用接触角以及图3中与相关的量描述外，还可以用什么量来描述，请你提出一个合理的设想，并说明疏水性随着此量的变化而如何变化． 【分析】本题考查尺规作图—复杂作图，切线的判定和性质，熟练掌握新定义，切线的判定和性质，是解题的关键． （1）圆弧上取一点，交界面与圆弧的交点为，连接，分别作的中垂线，交于点，则点为圆弧的圆心，连接，过点作，则为圆的切线，即为所求； （2）根据题意，可知，接触角越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强，进行作答即可； （3）连接，等边对等角，得到，切线的性质，结合等角的余角相等，得到，进而得到即可； （4）可以根据，进行判断，根据越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强进行作答即可． 【详解】解：（1）①圆弧上取一点，交界面与圆弧的交点为，连接； ②分别作的中垂线，交于点，则点为圆弧的圆心； ③连接，过点作，则为圆的切线，故即为所求； （2）由题意和图，可知，接触角越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强， 故材料的疏水性随着接触角的变大而变强； 故答案为：变强； （3），理由如下： 连接，则：， ∴， ∵为切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （4）∵水滴弧的长度为：， ∴， ∴可以根据的大小，进行判断，越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强（答案不唯一）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十四章 圆 04讲 弧长和扇形面积 题型归纳 【题型1. 求弧长】…………………………………………………………………… 3 【题型2. 求扇形半径】……………………………………………………………… 5 【题型3. 求圆心角】………………………………………………………………… 5 【题型4. 求扇形面积】……………………………………………………………… 7 【题型5. 求某点的弧形运动路径长度】…………………………………………… 8 【题型6. 求图形旋转扫过的面积】………………………………………………… 9 【题型7. 求弓形面积】……………………………………………………………… 10 【题型8. 求其他不规则图形的面积】……………………………………………… 11 【题型9. 求圆锥侧面积】…………………………………………………………… 13 【题型10. 求圆锥底面半径】………………………………………………………… 14 【题型11. 求圆锥的高】……………………………………………………………… 14 【题型12. 求圆锥侧面展开图的圆心角】…………………………………………… 15 【题型13. 圆锥的实际问题】………………………………………………………… 16 【巩固练习】…………………………………………………………………………… 17 知识清单 知识点1 弧长公式 1.公式：n°的圆心角所对的弧长为 . 2.公式变形： ； . 【提示】 ① 公式里的n，180在弧长计算公式中变式倍数关系，没有单位； ② 题目中若没有写精确度，可用“”变式弧长，如弧长2，35等； ③ 正确区分弧、弧的度数相等、弧长相等：度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧也不一定是等弧，要特别注意，只有在同圆或等圆中，才可能是等弧，才有这三者的统一. 知识点2 扇形及其面积公式 1.扇形的定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形. 2.扇形面积公式： 圆心角为n°的扇形面积为（为扇形的弧长，为半径）. 【提示】 ① 扇形面积公式中的“n”与弧长公式中的“n”的意义一样的，变式“1°”的圆心角的倍数，参与计算时不带单位. 知识点3 圆锥 高 1.圆锥的构成：圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体. 2.圆锥的母线：把连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线. 3.圆锥的高：连接圆锥顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高. 【提示】 （1）圆锥的轴通过底面的圆心，并垂直于底面； （2）圆锥的母线长都相等； （3）圆锥可以看成是由一个直角三角形饶一条直角边所在的直线旋转而成的图形，故圆锥的母线、圆锥的高、圆锥底面圆的半径恰好构成一个直角三角形（如图），满足，利用这一关系，已知任意两个量可以求出第三个量. 4.与圆锥有关的公式：（1）；（2）； （3）设圆锥的侧面展开扇形的圆心角为 ，则由该扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长得出：，即 . 【提示】 ① 圆锥的侧面积就是弧长为圆锥的底面的周长，半径为圆锥的母线长的扇形的面积； ② 圆锥的全面积就是它的侧面积和底面积的和. 题型专练 题型1. 求弧长 【例1】（2025·贵州铜仁·三模）小英发现银杏叶片的形状近似于扇形，如图是小英画的银杏叶片的几何示意图，通过测量得到，则的长为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25·上海杨浦·期中）如图所示，一把展开的扇子的圆心角是，扇面的外弧的长是94.2厘米，扇面宽的长是16厘米． 求： (1)的长度； (2)扇面的周长． 【变式1】（2025·四川南充·三模）如图，定滑轮和动滑轮是劳动人民在长期的生产生活实践中，发挥智慧和才能创造出来的简单机械．用一个半径为的定滑轮和动滑轮带动物体上升，假设绳索（粗细不计）滑轮之间没有滑动，拉动绳索使定滑轮上一点绕定滑轮中心顺时针旋转，则物体上升的高度为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·江苏盐城·期中）一圆锥的母线长为，它的侧面展开图的圆心角为，则这个圆锥的底面半径r为 ． 【变式3】（24-25七年级下·上海普陀·阶段练习）一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，这个圆锥的底面半径与母线长之比为 【变式4】（2025·山东临沂·一模）如图，为的直径，的切线交的延长线于点E，点D在上，，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，，求的长． 题型2. 求扇形半径 【例1】（2025·黑龙江绥化·中考真题）在中，如果的圆心角所对的弧长是，那么的半径是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025·福建泉州·模拟预测）若弧长为的扇形的圆心角为，则扇形的半 径 ． 【变式1】（2025·安徽合肥·二模）若扇形的弧长为，，则扇形的半径为（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 【变式2】（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）若圆心角所对的弧长是，则此弧所在圆的半径的长是 ． 【变式3】（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，，分别切于点为，，若，弧的长为，则的半径为 ． 【变式4】（24-25九年级上·江苏扬州·期中）已知扇形的弧长是，圆心角，则这个扇形的半径是 ． 题型3. 求圆心角 【例1】（2025·山西晋中·二模）如图，某公园计划修建一条以点为圆心，半径米，圆心角为的弧形观景步道即．施工过程中，因场地条件限制，需在保持圆心和半径长度不变的前提下，将弧形步道的弧长减少米，则调整后该弧形观景步道的圆心角度数为（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025·河南周口·三模）如图，一个半径为的定滑轮带动重物上升了，假设绳索与滑轮之间没有滑动，则滑轮上某一点P旋转了 度． 【变式1】（2025·广西梧州·三模）一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的直径是，当重物上升时，问滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度为（ ）（假设绳索与滑轮之间没有摩擦，取） A． B． C． D． 【变式2】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）折扇是南京著名的传统手工艺制品之一、某折扇展开后，扇形的半径为，面积为，则此扇形的圆心角为 度． 【变式3】（2025·四川成都·模拟预测）“轮动发石车”在春秋战国时期被广泛应用，模型驱动部分如图所示，其中的半径分别是和，当顺时针转动3周时，上的点P随之旋转，则 ． 【变式4】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）一个扇形的面积为，半径为，则扇形的圆心角的度数为 ． 题型4. 求扇形面积 【例1】（2025·广东珠海·三模）如果一个扇形的圆心角为，半径为，则这个扇形的面积为（　    　）． A．π B． C． D． 【例2】（24-25九年级下·山东菏泽·期中）荷花寓意“家庭美满，生活和谐”，图1是一幅环形荷花装饰挂画将其视为如图2的扇形环面（由扇形挖去扇形），，的长度是，的长度是，则该环形荷花装饰挂画的面积是 ． 【变式1】（2025·黑龙江哈尔滨·三模）某扇形的半径为8，面积为，其圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·吉林长春·中考真题）若扇形的面积是它所在圆的面积的，则这个扇形的圆心角的大小是 度． 【变式3】（24-25九年级上·江西宜春·阶段练习）如图，在扇形中，，，，求图中阴影部分的面积． 【变式4】（2024七年级上·全国·专题练习）已知一个扇形的面积为． (1)若该扇形所在圆的半径为12．求该扇形的圆心角； (2)若该扇形的圆心角的度数为，求该扇形所在圆的面积． 题型5. 求某点的弧形运动路径长度 【例1】（2025·贵州遵义·模拟预测）如图，摆钟是一种技术与艺术相结合的机械时钟，图是其钟摆摆动示意图，，当钟摆从摆动到时，若摆动角度，则端点A移动的路径长为（　　） A． B． C． D． 【例2】（2025·江苏泰州·一模）如图，将绕点顺时针旋转得到，若，则点运动的路径长为 ．      【变式1】（24-25九年级上·河北石家庄·期末）如图，将一个半径为1的半圆，在直线上从左往右作无滑动的滚动，则滚动2025周后圆心所经过的路径长为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，的半径为2，将的内接正六边形绕点O顺时针旋转，第二次与自身重合时，点经过的路径长为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·安徽·二模）如图，中，，为边上任意一点，将绕着点顺时针方向旋转，得到，设点运动路线的长度为，则的最小值为 ． 【变式4】（24-25六年级下·上海金山·期中）时钟的时针长，从上午到中午，这个时针的针尖经过的路程为 ． 题型6. 求图形旋转扫过的面积 【例1】（2025·广东湛江·二模）如图，某汽车车门的底边长为，车门侧开后的最大角度为．若将一扇车门侧开，则这扇车门底边扫过区域的最大面积是（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025·安徽蚌埠·三模）如图，的顶点均在边长为1的小正方形组成的的网格的格点上． (1)画出将绕点顺时针旋转90°得到的对应图形； (2)旋转过程中边“扫过”的面积为 ． 【变式1】（2025·广东茂名·二模）如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，则图中阴影部分面积为 ．（结果保留） 【变式2】（24-25九年级下·黑龙江·期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中，的三个顶点均在格点上，坐标分别为．请解答下列问题： (1)画出关于y轴的对称图形； (2)将绕点O顺时针旋转得到，画出； (3)在（2）的条件下，求线段在旋转过程中扫过的面积． 题型7. 求弓形面积 【例1】（2025·安徽安庆·一模）如图，已知的半径为2，点A和点B在上，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24九年级下·河南商丘·阶段练习）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，A，B，C三个点均在格点上，连接，并作，过点B．则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留） 【变式1】（24-25九年级上·广西柳州·期末）如图，已知的半径为，点和点在上，若，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2023·江西新余·一模）如图，有一个半径为的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过点和点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为 结果保留．    题型8. 求其他不规则图形的面积 【例1】（2025·山东·中考真题）在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征．下图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．已知内切圆的半径是2，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025·浙江绍兴·三模）如图，扇形的圆心角为，，点，分别为，的中点，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留） 【变式1】（2025·重庆·二模）如图，在菱形中，以点为圆心，为半径画弧，交线段于点，以为直径画半圆．若，，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2025·河南周口·三模）如图，在矩形中，分别以和为圆心，长为半径画弧，两弧有且仅有一个公共点．若，则图中阴影部分的面积为 ． 【变式3】（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，切于A、B，若，半径为3，求阴影部分面积． 【变式4】（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，是的直径，点在上且平分弧，于点，分别交，于，． (1)求证：； (2)若为的中点，且半径，求阴影部分面积． 题型9. 求圆锥侧面积 【例1】（2025·浙江温州·二模）如图，圆锥的底面半径，高，该圆锥的侧面积是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025·云南临沧·一模）某校九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥型工艺品若这种圆锥的侧面积为平方厘米，底面圆的半径为厘米，则该圆锥的母线长为 厘米． 【变式1】（2025·广西南宁·三模）广西斗笠是当地传统手工编织的实用雨具，其形状常可抽象成圆锥．如图，已知一广西斗笠的底面半径为，母线长，则该斗笠的侧面面积为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知圆锥的底面圆半径为，母线长为，则圆锥的侧面积是（    ） A．12 B．16 C．20 D．24 【变式3】（2025·云南昆明·三模）云南西双版纳的傣族传统手工艺人常用竹蔑编织圆锥形帽子．某工匠制作了一顶帽子，测得帽檐底面圆的半径为20厘米，帽子的母线长（从帽顶到帽檐边缘的直线距离）为25厘米．则这顶帽子侧面的竹蔑材料表面积是 平方厘米（结果保留）． 【变式4】（2025·上海普陀·三模）已知圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形，则圆锥的侧面积是 ． 题型10. 求圆锥底面半径 【例1】（2025·云南·中考真题）若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为，母线长为，则该圆锥的底面圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·四川广安·中考真题）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若圆锥的母线长为5，则该圆锥的底面圆的半径为（    ） A． B． C． D．5 【变式2】（2025·广东广州·三模）如图，将一个扇形围成圆锥的侧面，已知扇形面积为，扇形半径，则圆锥的底面圆半径 ． 【变式3】（2025·浙江温州·三模）如图，一块扇形铁皮的弧长为，要把它做成一个圆锥形容器（接缝忽略不计），则这个圆锥形容器的底面半径为 ． 题型11. 求圆锥的高 【例1】（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，已知圆锥侧面展开图是一个圆心角为，弧长为的扇形，则圆锥的高为（   ） A．9 B． C． D． 【例2】（2025·江苏南京·二模）已知圆锥的底面圆的半径为1，其侧面展开图的圆心角的度数为，则圆锥的高为 ． 【变式1】（2024·内蒙古赤峰·二模）一个圆锥的侧面积是，它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的高为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）一个圆锥体的侧面展开图是一个圆心角为，半径为6的扇形，则这个圆锥体的高为 ． 【变式3】（2025·山东济宁·模拟预测）如图，将半径为8的圆形纸片剪掉4分之一，余下部分围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高是 ． 题型12. 求圆锥侧面展开图的圆心角 【例1】（2025·湖南长沙·模拟预测）已知一个圆锥的母线长，底面半径是，则圆锥侧面展开图的圆心角度数为（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）若圆锥的底面半径为，母线长为，则其侧面展开图的圆心角为 度． 【变式1】（2025·山东潍坊·一模）一个圆锥的侧面积是底面积的4倍，则该圆锥侧面展开图的圆心角是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·四川绵阳·模拟预测）如图，是圆锥的轴截面图形，是圆锥的高．若，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·内蒙古呼伦贝尔·模拟预测）圆锥的高为，母线长为3，沿一条母线将其侧面展开，展开图（扇形）的圆心角是 度． 题型13. 圆锥的实际问题 【例1】（2025·河北沧州·模拟预测）已知某建筑物的顶端为圆锥形（如图），为了美观，要在圆锥形建筑上装饰一条灯带，灯带自处开始绕侧面一周又回到点，若这个圆锥形建筑物的底面周长为，母线的长为，则这条灯带的最短长度是（　　） A． B． C． D． 【例2】（2025·云南·模拟预测）某同学发现家里的草帽可以近似看作一个圆锥，测量得母线长为50 ，高度为30 ，通过计算，这个圆锥的侧面展开图的弧长为 ． 【变式1】（23-24九年级下·湖北鄂州·阶段练习）如图圆锥的横截面，，，一只蚂蚁从B点沿圆锥表面到母线去，则蚂蚁行走的最短路线长为（    ）cm A． B． C．3 D． 【变式2】（2025·云南曲靖·二模）某博物馆修复一把古代铜锁，锁头的装饰部分为圆锥形（如图）．已知装饰部分的底面圆的半径为3厘米，母线长为5厘米，则该圆锥形装饰的面积为（   ） A．平方厘米 B．平方厘米 C．平方厘米 D．平方厘米 巩固练习 一、单选题 1．（2025·广东梅州·一模）如图物理实验课上，同学们分组研究定滑轮“可以改变用力的方向，但不能省力”时，爱动脑筋的小颖发现：重物上升时，滑轮上点A的位置在不断改变．已知滑轮的半径为，当重物上升时，滑轮上点A转过的度数为（　　） A． B． C． D． 2．（2025·浙江衢州·二模）某单位需要在如图的雪糕筒路障侧面贴上彩纸进行装饰，若该路障可以近似看做圆锥，其主视图的边，，则彩纸的面积是（　　）． A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，是一个圆锥形状的生日帽，若该圆锥的母线长与底面圆半径的比为，将该帽子沿母线剪开，则其侧面展开扇形的圆心角为（   ）． A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）用一个半径为的半圆围成一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是（　　） A． B． C． D． 5．（2025·重庆·模拟预测）如图，在矩形中，对角交于点，以点为圆心，长为半径画弧，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 6．（2025·河南驻马店·三模）如图，四边形ABCD内接于，，连接，若平分，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 7．（2025·安徽滁州·三模）如图，为的直径，，弦，则劣弧的长为（   ） A． B．π C．2π D．4π 8．（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，点C为扇形的半径上一点，将沿折叠，点O恰好落在上的点D处，且，若将此扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面半径与母线长的比为（   ） A． B． C． D． 9．（2025·河南洛阳·三模）如图，圆O是等边三角形的外接圆，点D是弧的中点，连接、．以点D为圆心，的长为半径在圆O内画弧，阴影部分的面积为，则等边三角形的边长为（    ） A．4 B． C． D．2 10．（2025·山西·中考真题）如图，在中，，分别以点为圆心、的长为半径画弧，与的延长线分别交于点．若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（2025·云南昆明·三模）已知圆锥的底面半径为3，母线长为5，将它的侧面沿一条母线剪开后展平，所得扇形的面积为 ． 12．（2025·黑龙江·中考真题）若圆锥的底面半径为3，高为4，则圆锥侧面展开图的面积为 ． 13．（24-25九年级上·全国·随堂练习）若圆锥底面圆的周长为，侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的母线长为 ． 14．（2025·广东深圳·模拟预测）传统服饰日益受到关注，如图①为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，如图②马面裙可以近似地看作扇形的一部分，其中的长度为米，米，圆心角，则该马面裙的面积为 ． 15．（2025·安徽黄山·模拟预测）如图，小明同学把一块等腰直角三角板的顶点放在半径为的圆形铁丝上，三角板的斜边及一条直角边分别与圆交于点、点，则图中的长为 ． 16．（24-25九年级下·黑龙江绥化·期中）若一个圆锥的母线长为8，底面圆的周长是，则该圆锥侧面展开图的圆心角的度数为 ． 17．（2025·吉林松原·模拟预测）如图，是的半径，是的切线，，交于点D．若，，则阴影部分图形的面积为 （结果保留）． 18．（2025·河南·中考真题）我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点O，四边形为矩形，边与相切于点，连接，，连接交于点．若，则图中阴影部分的面积为 ． 19．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，是半圆的直径，是的中点，是的中点，连接，，若，则图中两个阴影部分的周长和为 ． 20．（2025·山东烟台·中考真题）如图，正六边形的边长为4，中心为点，以点为圆心，以长为半径作圆心角为的扇形，则图中阴影部分的面积为 ． 三、解答题 21．（2025·黑龙江·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标为． (1)画出关于y轴对称的； (2)画出绕点O逆时针旋转后的； (3)在（2）的条件下，求点A所经过的路径长． 22．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，将绕点C逆时针旋转得到（、分别与A、B对应）． （1）请你在图中画出； （2）求在旋转过程中，线段所扫过的图形面积．（结果保留） 23．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，为的直径，为上一点，弦的延长线与过点的直线互相垂直，垂足为，且，连接． (1)求证是的切线； (2)若，，求的长． 24．（2025九年级下·浙江·专题练习）（1）已知圆锥的底面半径为，母线长为，求圆锥的表面积； （2）用圆心角为，半径为的扇形做成一个无底的圆锥侧面，求圆锥的侧面积； （3）如图，圆锥的侧面积为，底面半径为3，求圆锥的高． 25．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，四边形内接于，，为对角线，点在的延长线上，且． (1)判断所在直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，的半径为3，求阴影部分的面积．（结果保留） 26．（24-25九年级上·山西吕梁·阶段练习）山西太原剪纸是国家非遗文化之一，某实践小组为一件剪纸艺术作品添加边框，两种设计方案如下．图1设计方案中扇形的半径为，圆心角为，图2设计方案中矩形的长为，宽为．为了美观需对边框用彩条封边，通过计算，比较哪种设计方案使用的彩条较短．      27．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，在一个圆形零件的设计图纸中，，是过圆心O的两条支撑杆，连接边缘的金属杆垂直支撑杆于点F，为加固扇形区域，强化杆与金属杆交于点G． (1)若金属杆，，求该圆形零件的直径； (2)若调整参数使，记该圆形零件的面积为S，求的值． 28．（2025·辽宁·中考真题）如图，在中，，以为直径作，与相交于点．连接，与相交于点． (1)如图1，连接，求的度数； (2)如图2，若点为的中点，且，求的长． 29．（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）课本再现 我们在学习直线和圆的位置关系时，教材中定义了切线，即直线和圆有唯一公共点时，这条直线叫做圆的切线，这个唯一公共点叫做切点．如图1，直线，垂足为，点在上，请说明直线是的切线； 知识应用 如图2，、、、均在上，连接外一点与上一点，并延长交于点，，垂足为，连接交于点，若的半径为4，，． （1）求证：是的切线； （2）求线段和弧的长． 30．（2025·江苏扬州·中考真题）材料的疏水性 扬州宝应是荷藕之乡．“微风忽起吹莲叶，青玉盘中泻水银”，莲叶上的水滴来回滚动，不易渗入莲叶内部，这说明莲叶具有较强的疏水性．疏水性是指材料与水相互排斥的一种性质． 【概念理解】 材料疏水性的强弱通常用接触角的大小来描述．材料上的水滴可以近似的看成球或球的一部分，经过球心的纵截面如图1所示，接触角是过固、液、气三相接触点（点或点）所作的气−液界线的切线与固−液界线的夹角，图1中的就是水滴的一个接触角． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出图2中水滴的一个接触角，并用三个大写字母表示接触角；（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） （2）材料的疏水性随着接触角的变大而______（选填“变强”“不变”“变弱”）． 【实践探索】 实践中，可以通过测量水滴经过球心的高度和底面圆的半径，求出的度数，进而求出接触角的度数（如图3）． （3）请探索图3中接触角与之间的数量关系（用等式表示），并说明理由． 【创新思考】 （4）材料的疏水性除了用接触角以及图3中与相关的量描述外，还可以用什么量来描述，请你提出一个合理的设想，并说明疏水性随着此量的变化而如何变化． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$