1.3 一元二次方程根与系数的关系 同步练习 2025-2026学年苏科版九年级数学上册

1.3 一元二次方程根与系数的关系 同步练习 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1.已知方程的两个实数根分别为，，则式子的值等于(    ) A. B. C. D. 2.一元二次方程的两根分别是，，且，则的值为(    ) A. B. C. D. 3.已知关于的一元二次方程，以下不正确的是(    ) A. 此方程必有实数根 B. 若方程有一个根为，则另一个根为 C. 两根之积为 D. 两根之和为 4.兰兰和笑笑分别解一道关于的一元二次方程，兰兰因把一次项系数看错，解得方程两根为和，笑笑因把常数项看错，解得方程两根为和，则原方程是(    ) A. B. C. D. 5.已知是关于的一元二次方程的一个实数根，则方程的另一个根是(    ) A. B. C. D. 6.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，，则实数，，，的大小关系可能是(    ) A. B. C. D. 7.已知关于的一元二次方程的两实数根为，，若，则的值为(    ) A. B. C. 或 D. 或 8.小刚在解关于的方程时，误将看作，结果解得，，则原方程的解为(    ) A.   B.   C.   D.     二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9.已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，其中，则          ． 10.若是一元二次方程的根，则方程的另一个根为          ． 11.已知关于的一元二次方程的两个实数根为，，且满足，则的值为          ． 12.已知一元二次方程的两根分别为，，则的值为______． 13.已知方程的两个根是，，则          ，          ，          ，          ． 14.等腰三角形的一边长是，另两边的长是关于的方程的两根，则           ． 15.若，是一元二次方程的两个不相等的实数根，则的值为          ． 16.一元二次方程的两根为，，且，其中“”表示一个数，则“”为          ． 三、解答题：本题共6小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 已知关于的一元二次方程， 若方程的一个根是，求方程的另一个根； 若方程有两个相等的实数根，求的值． 18.本小题分 设一元二次方程的两个根为、，若该方程的一个根与另一个根的倍的和为，我们就称这个一元二次方程为“两根相反倍数”方程． 如果方程是“两根相反倍数”方程，则 ______； 如果方程是“两根相反倍数”方程，求的值． 19.本小题分 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的倍，那么称这样的方程为“三倍根方程”例如，方程的两个根是和，则这个方程就是“三倍根方程”． 下列方程是三倍根方程的是______；填序号即可 ；；． 如果关于的方程是“三倍根方程”，求的值； 如果点在反比例函数的图象上，那么关于的方程是“三倍根方程”吗？请说明理由． 20.本小题分 阅读材料： 材料；若关于的一元二次方程的两个根为，，则，． 材料：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值． 解：一元二次方程的两个实数根分别为，， ，， 则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： 材料理解：一元二次方程的两个根为，，则______，______． 类比应用：已知一元二次方程的两根分别为，，求的值． 21.本小题分 材料：若关于的一元二次方程的两个根为，，则，如：一元二次方程的两个实数根分别为，，则，；又如：一元二次方程的两个实数根分别为，，则，． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题． 一元二次方程的两个根分别为，，则 ______， ______； 已知一元二次方程的两根分别为，，求的值； 若实数，满足，，且，求的值． 22.本小题分 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的倍，那么称这样的方程为“三倍根方程”例如，方程的两个根是和，则这个方程就是“三倍根方程”． 下列方程是三倍根方程的是______；填序号即可 ； ； ． 如果关于的方程是“三倍根方程”，求的值； 如果点在反比例函数的图象上，那么关于的方程是“三倍根方程”吗？请说明理由； 如果关于的一元二次方程是“倍根方程”，那么、、应满足的关系是______直接写出答案 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：方程的两个实数根分别为，， ， ； 故选：． 由题意易得，，然后将所求式子展开，再将，代入计算即可． 本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 2.【答案】  【解析】解：解方程得，， 所以． 故选：． 解方程得到和的值，然后计算的值． 本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了解一元二次方程． 3.【答案】  【解析】解：方程化为， ， 方程有两个不相等的实数解，所以选项的说法正确； 方程的两根之积为， 若方程有一个根为，则另一个根为，所以、选项的说法正确； 方程的两根之和为，所以选项的说法错误． 故选：． 先把二次项系数化为正系数，再计算根的判别式的值，则可对选项进行判断；根据根与系数的关系可对、、选项． 本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了根的判别式和一元二次方程的解． 4.【答案】  【解析】根据兰兰没有看错常数项，这里有根与系数的关系得到常数项为，笑笑没看错一次项系数，则一次项系数为，从而得到原方程． 【详解】解：兰兰把一次项系数看错，则常数项为， 笑笑因把常数项看错，则一次项系数为， 所以原方程为． 故选：． 5.【答案】  【解析】解：设该方程的另一个根为， 根据根与系数的关系，得， 解得． 故选：． 设该方程的另一个根为，则根据根与系数的关系得，然后解一次方程即可． 本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，． 6.【答案】  【解析】解：设抛物线解析式为，则此抛物线与轴的交点坐标为，， 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根和， 当自变量为、时， 即、为直线与抛物线两交点的横坐标， 如图： ． 故选：． 可设抛物线解析式为，于是得到抛物线与轴的交点坐标为，，再判断当自变量为、时二次函数值为，即，然后画出图象，利用图象可得判断、、、的大小关系． 本题考查了抛物线与轴的交点：利用根与系数的关系得到抛物线与轴的交点坐标，解决本题的关键是要画出大致图象． 7.【答案】  【解析】解：根据题意，得， 解得或， ， ， ， ， 故选：． 根据根与系数的关系可得，解出的值，再根据判别式，可得，进一步即可求出的值． 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，注意判别式这个隐含的条件． 8.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的解法．此题解得的值是解题的关键． 利用根与系数的关系求得的值；然后利用因式分解法解原方程即可． 【解答】 解：依题意得关于的方程的两根是：，． 则， 则原方程为， 整理，得， 解得，． 9.【答案】  【解析】解：，是关于的一元二次方程的两个实数根， ， 又， ． 故答案为：． 利用根与系数的关系，可得出，结合，即可求出的值． 本题考查了根与系数的关系，牢记“一元二次方程的两根之和等于”是解题的关键． 10.【答案】  【解析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系．设方程的另一个根为，利用一元二次方程根与系数的关系，即可求解． 【详解】解：设方程的另一个根为， 是一元二次方程的根， ， ， 即方程的另一个根为． 故答案为： 11.【答案】  【解析】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，首先利用根与系数的关系可以得到，，接着利用根与系数的关系得到关于的方程，解方程即可解决问题，能根据根与系数的关系得出关系式，是解此题的关键． 【详解】解：关于的一元二次方程的两个实数根为，， ，， ， 即：， 解得：． 故答案为：． 12.【答案】  【解析】解：一元二次方程的两根分别为，， ，， ， 故答案为：． 由根与系数的关系可求得和的值，代入求值即可． 本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程的两根为，，则，． 13.【答案】   【解析】解：方程的两个根是，， ，， ， ． 故答案为：，，，． 可以直接利用根与系数的关系，计算两根之积和两根之和，进而即可求得和的值． 本题考查的是一元二次方程的解，利用一元二次方程根与系数的关系：，得出是解题关键． 14.【答案】或  【解析】本题考查根的判别式，根与系数的关系．熟练掌握等腰三角形的两腰相等，以及，方程有两个相等的实数根，是解题的关键． 分是底边和是腰长，两种情况进行讨论． 【详解】解：当是底边时，另两边为腰，长度相等，则有两个相等的实数根， ， ， 方程为：，解得， ，满足题意； 当是腰长时，则是的一个根，设另一个根为， 则：， ，； ，满足题意； 故或． 故答案为：或 15.【答案】  【解析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的化简求值，掌握以上知识及计算是关键． 根据一元二次方程根与系数的关系得到，根据分式的性质，分式的混合运算化简，再代入计算即可． 【详解】解：，是一元二次方程的两个不相等的实数根，， ， ， 原式， 故答案为：． 16.【答案】  【解析】根据一元二次方程的两根为，，得到，结合得到，解答即可． 本题考查了一元二次方程根与系数关系定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：由一元二次方程的两根为，， 故， 又， 故， 解得． 故答案为：． 17.【答案】；   或．  【解析】设方程的另一个根为， 根据根与系数的关系得， 解得， 即方程的另一个根为； 根据题意得， 解得，， 即的值为或． 设方程的另一个根为，则利用根与系数的关系得，然后解关于的一次方程即可； 利用根的判别式的意义得到，然后解关于的一元二次方程即可． 本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了根的判别式． 18.【答案】；  或．  【解析】解：方程是“两根相反倍数”方程， ， 根据根与系数的关系得：，， ，， ， 解得：， 当， ，， ， 解得：； 分两种情况：设，则， 根据根与系数的关系得：，， 解得：，， ， 设，则， 根据根与系数的关系得： ，， 解得：，， ． 根据新定义可得，根据根与系数的关系得：，得出，，进而代入，即可求解； 分两种情况：设，则，或，则；根据的方法，分别求得，的值，代入代数式，即可求解． 本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解答本题的关键． 19.【答案】；   ；   是，理由见解析．  【解析】由可得：，，不满足“三倍根方程”的定义； 由可得：，，不满足“三倍根方程”的定义； 由可得：，，满足“三倍根方程”的定义； 故答案为：； 设关于的方程的两个根为，，则，， ，； 由条件可知， 方程化为方程， 整理得， 解得，， 方程是“三倍根方程”． 分别求出三个方程的根，然后根据题中所给定义可进行求解； 根据“三倍根方程”的定义设关于的方程的两个根为，，进而根据一元二次方程根与系数的关系及方差的解可进行求解； 方程化为方程，解方程求得方程的根，根据“三倍根方程”的定义即可求出答案． 本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，则，也考查了解一元二次方程以及反比例函数． 20.【答案】，；   ．  【解析】一元二次方程的两个根为，， ，， 故答案为：，； 一元二次方程的两根分别为，， ，， ． 利用根与系数的关系，即可得出及的值； 利用根与系数的关系，可得出，，将其代入中，即可求出结论； 本题考查根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键． 21.【答案】，；  ；  ．  【解析】解：由题意知，，， 故答案为：，； 由题意知，，， 则； 实数，满足，，且， ，是一元二次方程的两根， ，， ， ， ，或， ． 用材料中给出的，直接计算即可； 将变形为，即可求解； 由，，可得，是一元二次方程的两根，进而求出和的值，即可求解． 本题考查一元二次方程根与系数的关系，读懂材料是解题的关键． 22.【答案】；   ；   方程是“三倍根方程”；见解析；   ．  【解析】解：由可得：，，不满足“三倍根方程”的定义； 由可得：，，不满足“三倍根方程”的定义； 由可得：，，满足“三倍根方程”的定义； 故答案为：； 设关于的方程的两个根为，， 由一元二次方程根与系数的关系可知：， ，； 点在反比例函数的图象上， ， 方程化为方程， 整理得， 解得，， 方程是“三倍根方程”； 根据“三倍根方程”的概念设一元二次方程的两个根为和． 原方程可以改写为， ， 解得． ，，之间的关系是． 故答案为：． 分别求出三个方程的根，然后根据题中所给定义可进行求解； 根据“三倍根方程”的定义设关于的方程的两个根为，，进而根据一元二次方程根与系数的关系及方差的解可进行求解； 方程化为方程，解方程求得方程的根，根据“三倍根方程”的定义即可求出答案； 根据“三倍根方程”的概念得到原方程可以改写为，解方程即可得到结论． 本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了一元二次方程的解和解一元二次方程． 第4页，共16页 学科网（北京）股份有限公司 $$